ĐẠO hàm KHÁI NIỆM đạo hàm và các PHƯƠNG PHÁP TÍNH đạo hàm file word

Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ: 1... CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra... Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM

http://dethithpt.com

Mục Lục

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 9

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 29

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 33

ĐẠO HÀM TỔNG HỢP 38

CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm tại một điểm

Hàm số y f x= ( ) liên tục trên ( ; )a b , được gọi là có đạo hàm tại x0∈( ; )a b nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn):

0

0 0

( ) ( ) lim

x x

f x f x

x x

→

−

− và giá trị của giới hạn đó gọi là

giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x Ta kí hiệu 0 f x '( )0

Vậy

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x

→

−

=

−

2 Đạo hàm bên trái, bên phải

0 0

( ) ( ) '( ) lim f x f x

f x

x x

+

( ) ( ) '( ) lim f x f x

f x

x x

−

Hệ quả : Hàm ( ) f x có đạo hàm tại x0⇔ ∃ ( )f x0+ và f x'( )0− đồng thời

'( ) '( )

f x+ = f x−

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

• Hàm số ( )f x có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; ) a b nếu nó có đạo hàm

tại mọi điểm thuộc ( ; )a b

• Hàm số ( )f x có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ] a b nếu nó có đạo hàm

tại mọi điểm thuộc ( ; )a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái '( ) f b− và đạo hàm phải '( )f a+

4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm tại x thì ( )0 f x liên tục tại x 0

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại

điểm x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại 0 x 0

Chẳng hạn: Xét hàm ( )f x = x liên tục tại x=0 nhưng không liên tục tại điểm đó

−

→

Vấn đề 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp:

•

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

• Hàm số y f x= ( ) có đạo hàm tại điểm x x= 0⇔ f x'( )0+ = f x'( )0−

• Hàm số y f x= ( ) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:

1 f x( ) 2= x3+1 tại x=23

3 2 1 1 khi 0( )

− liên tục tại x= −1 nhưng

không có đạo hàm tại điểm đó

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra

Câu 1 ( ) sin2f x = x tại 0

2

x = π

x x

2 1( ) ( 1)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0= −1

Nhận xét: Hàm số y f x= ( ) có đạo hàm tại x x= 0 thì phải liên tục tại điểm đó

a b

 =

 = −

3331

a b

 =

 = −

31

a b

1 0( )

Ta thấy với x≠0 thì ( )f x luôn có đạo hàm Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡

khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tạix=0

Ta có: lim ( ) 1; lim ( )x→0+ f x = x→0− f x = ⇒b f x liên tục tại( ) x= ⇔ =0 b 1.

Cho hàm số y f u x= ( ( ))= f u( ) vớiu u x= ( ) Khi đó 'y x=y u' 'u x.

2 Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

u

=

''

n

n n

u u

n u−

=

(sin )'u =u'.cosu

(cos )'u = −u'sinu

1(tan )'

cos

u u

u

=

'cot '

sin

u u

u

= −

Vấn đề 1 Tính đạo hàm bằng công thức Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm

ad bc y

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

x

−

32

22

21

−+

Lời giải :

Ta có

'

'

( ' ')

ax b a x b a ax bx c y

11

x x

+

2 2

1

x x

+

2 2

1

x x

++

Lời giải :

Lời giải :

Ta có:

' 2

54

5' 4

a y

3 (1 )

x y

3 2 (1 )

x y

1 3

2 1'

x x

x x

Câu 16 y=cos sin2( 3x)

A.y'= −sin(2sin )sin3x 2xcosx B.y'= −6sin(2sin )sin3x 2xcosx

C.y'= −7sin(2sin )sin3x 2xcosx D.y'= −3sin(2sin )sin3x 2xcosx

Lời giải :

' 3sin(2sin )sin cos

Câu 17

sin

x y

Bài 4 Tính ( )

( )

' 1' 0

f

=

'(1) 4'(0)

f

=

'(1) 4'(0) 8

4( 1)(4 ) 0

Bài 7 Tính đạo hàm của các hàm số sau

Câu 1

sin khi 0( )

f x

x x

khi 11

f x

x x

1 khi 1( )

a b

 =

 = −

2321

a b

 =

 = −

31

a b

 =

 = −



Lời giải :

Với x≠1 thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡ ⇔ hàm số có đạo hàm tại x=1

Câu 4 y=2sin 23 x+tan 32 x x+ cos4x

A.y' 12sin 2 cos2= 2 x x+6tan3 1 2tan 3x( + 2 x)+cos4x−4 sin4x x

B.y' 12sin 2 cos2= 2 x x+6tan3 1 tan 3x( + 2 x)+cos4x x− sin4x

C.y' 12sin 2 cos2= 2 x x+tan3 1 tan 3x( − 2 x)+cos4x−4 sin4x x

D.y' 12sin 2 cos2= 2 x x+6tan3 1 tan 3x( + 2 x)+cos4x−4 sin4x x

Lời giải :

Ta có:

2 2

2

1'

x

x y

A.y' tan2= x−2 1 tan 2x( + 2 x)+tanx x+ +( 1)(tan 1)2+

B.y' tan2= x x+ (1 tan 2+ 2 x)+tanx x+ +( 1)(tan 1)2+

C.y' tan2= x+2 1 tan 2x( + 2 x)+tanx+2(x+1)(tan 1)2+

D.y' tan2= x+2 1 tan 2x( + 2 x)+tanx x+ +( 1)(tan 1)2+

Bài 10 Giải bất phương trình :

( ) ( )'( ) lim

x x

g x A

x x

F x B

2 3

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau

0

(1 3 ) (1 4 )lim

Phương pháp:

Vi phân của hàm số

• Tích f x'( ).0 ∆x được gọi là vi phân của hàm số y f x= ( ) tại điểm x (ứng với 0

số gia ∆x) được kí hiệu là df x( )0 = f x'( )0 ∆x

• Nếu hàm số f có đạo hàm ' f thì tích '( ) f x x∆ được gọi là vi phân hàm số

f − Nếu f(n− 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm

cấp n của f và được kí hiệu là f , tức là: ( )n

( 2)

y x

=

7.2.3'''

( 2)

y x

n

n y

k

k y

+ +

=

−

Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n.

Ví dụ 2 Cho đa thức f x( )=x3−5x2+1 Viết ( )f x dưới dạng lũy thừa của x−2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y=sin2x

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Bài 2 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

Câu 1 2 1

2

x y

1

(1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

− +

=

1 ( )

1

( 1) !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

C.

1 ( )

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=

1 ( )

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

Lời giải :

Ta có

' 2

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

− +

−

=+

1

( 1) 3 !( 2)

k k

k

k y

x

− +

−

=+

a n y

n n n

n

a n y

n

n y

n

a n y

ax b +

−

=+

n

a n y

ax b +

−

=+

k

a k y

ax b +

−

=+

2 1

( 1) 3.5 (3 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

Câu 3 y=sin2x+sin3x

A.dy=(cos2x+3sin2xcosx dx) B.dy=(2cos2x+3sin2xcosx dx)

C.dy=(2cos2x+sin2xcosx dx) D.dy=(cos2x+sin2xcosx dx)

Lời giải :

( )

/ /

Lời giải :

/ 2 2

2 .1

2 .1

x x

−

2 2

2 .1

3 2 1

.1

2 4

.1

x x

+

−

( ) ( )

2 4

.1

x x

+

( ) ( )

2 4

3 2 1

.1

x x

−

=+

1

2 11

x

x x

x

+

=

+ (áp dụng u chia v đạo hàm)

2 2

82

x

x x

− ++

12

12

11

12

1

12

1

x y

x x

Vậy ( )

2 3

12

x x

x x

Bài 5 Tính đạo hàm các hàm số sau:

Câu a).y x= cosx

A.cosx−sin x B.−xsin x C.xsin x D.cosx x− sin x

x

2 3

sin

1 cos

x x

2 2

3sin

1 cos

x x

2 2

2sin

1 cos

x x

2 3

3sin

1 cos

x x

x

=+

A.sin 22( x+1 cos 2) ( x+1 ) B.12sin 22( x+1 cos 2) ( x+1 )

C.3sin 22( x+1 cos 2) ( x+1 ) D.6sin 22( x+1 cos 2) ( x+1 )

Lời giải :

Bước đầu tiên áp dung công thức ( )/

uα với u=sin 2( x+1)Vậy ( 3( ) )/ 2( ) ( ( ) )/

' sin 2 1 3sin 2 1 sin 2 1

Câu f) y=2sin 42 x−3cos 53 x.

A. ' sin8 45cos5 sin10

Câu i).y=sin cos tan( 2x 2x).

A.y' cos cos tan= ( 2x 2x) (sin2 tanx 2x+2tanx)

B.y' cos cos tan= ( 2x 2x) (sin2 tanx 2x+tanx)

C.y' cos cos tan= ( 2x 2x) (−sin2 tanx 2x+tanx)

D.y' cos cos tan= ( 2x 2x) (−sin2 tanx 2x+2tanx)

x y

x y

x y

x y

x y

6sin2x cos2x

−

62sin2x−cosx D.

2cos2 .sin 2

x

2sin2 .cos 2

x x

Câu o) y=sin cos tan 32( ( 4 x) )

A.y' sin 2cos tan 3= ( ( 4 x) ) sin tan 3( ( 4 x) ).4tan 3 1 tan 3 33 x( + 3 x)

B.y' sin 2cos tan 3= ( ( 4 x) ) sin tan 3( ( 4 x) ).tan 3 1 tan 3 3 x( + 3 x)

C.y' sin 2cos tan 3= ( ( 4 x) ) sin tan 3( ( 4 x) ).4tan 3 1 tan 33 x( + 3 x)

Câu p) y=sin 2 cos 23 x 3 x

A.sin 4 cos4 2 x x B.3sin cos 2

3 sinx+cosx cosx+sin x B. ( ) (2 )

3 sinx c x− os cosx−sin x

3 sinx+cosx cosx−sin x

Câu r) y=5sinx−3cosx

A.5cosx+3sin x B.cosx+3sin x C.cosx+sin x D.5cosx−3sin x

Lời giải : : ( ) (/ )/

' 5sin 3cos 5cos 3sin

Bài 6 Tính đạo hàm các hàm số sau:

Câu a).y=sin x.

3sin2

.sin cos

x

sin2

.sin cos

x

2sin2

.sin cos

x x

x x

−

Lời giải :

h).y=sin cos( x)+cos sin( x)

A.sin(x+cosx) B.−sin(x+cosx) C.−sin cosx( ) D.−sin x( )

Câu l) y=sin4x+cos4x

A.sin4 x B.2 sin4 − x C.cos4x−sin4 x D.−sin4 x

2

2.cos sin

x

2 2

sinx x− cosx =cosx− xcosx =cosx− x'.cosx x+ cosx

=cosx−(cosx x− sinx)=xsinx

cosx x+ sinx = −sinx+ x'.sinx x+ sinx

= −sinx+(sinx x+ cosx)=xcosx

Vậy ' 0( ) 1

4