Đang tải... (xem toàn văn)
M ⇔ n > M +1; n +1 n +1 a) lim b) lim − n3 = −∞ Chọn n0 > M + 1, n0 ∈ ¥ Khi đó: ∀n > n0 ⇒ n > M + ⇒ un = b) Ta có: − n = ( − n ) ( n + n + 1) ≤ − n; ∀n ∈ ¥ n2 + > M Vậy lim un = +∞ n +1 Lấy số dương M lớn tùy ý un = − n3 ≤ − n < − M ⇔ n > M + ; chọn n0 > M + 1, n0 ∈ ¥ Khi đó: ∀n > n0 ⇒ n > M + ⇒ un = − n3 < − M Vậy: lim un = −∞ Ví dụ Cho dãy ( un ) thỏa mãn un > n với n Chứng minh lim un = +∞ Giải n lớn số dương kể từ số hạng trở Mặt khác un > n nên lim n = +∞ un lớn số dương kể từ số hạng un = +∞ Vậy nlim →+∞ Ví dụ Biết dãy số ( un ) thỏa mãn un > n với n Chứng minh lim un = +∞ Giải Vì lim n = +∞ nên n lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác, theo giả thiết un > n với n, nên un lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng 2 trở Vậy lim un = +∞ Ví dụ Cho biết lim un = −∞ < un với n Có kết luận giới hạn Hướng dẫn lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ ⇒ −vn > −un ⇒ lim ( −vn ) = +∞ Vậy lim = −∞ Ví dụ Cho dãy số ( un ) hội tụ, dãy ( ) không hội tụ Có kết luận hội tụ dãy ( un ± ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1− x lim = −∞ g ( ) = ( x − 2) g ( x ) = g ( 2) Vì lim x →2 x →2 nên hàm số không liên tục x = Vậy hàm số không liên tục ¡ Bài Xét tính liên tục hàm số sau điểm x = x = a x = x − x−6 f ( x) = x − x ≠ x x − ) ( x = b Bài Xét tính liên tục hàm số sau: x2 1 + x + a) f ( x ) = x x cos x b) f ( x ) = nÕu x ≠ nÕu x = nÕu x ≠ nÕu x = Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp f1 ( x ) Cho hàm số: f ( x ) = f ( x ) x < x0 x ≥ x0 Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0 , thực bước sau: – Bước 1: Tính f ( x0 ) = f ( x0 ) – Bước 2: (Liên tục trái) tính: lim f ( x ) = lim− f1 ( x ) = L1 x → x0− x → x0 Đánh giá giải phương trình L1 = f ( x0 ) , từ đưa kết luận liên tục trái – Bước 3: (Liên tục phải) tính: lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = L2 x → x0+ x → x0 Đánh giá giải phương trình L1 = f ( x0 ) , từ đưa kết luận liên tục phải – Bước 4: Đánh giá giải phương trình L1 = L2 , từ đưa kết luận I Các ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính liên tục hàm số điểm x0 = : x + a x < f ( x) = x + x ≥ Giải Hàm số xác định x ∈ ¡ Ta có: lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = lim− f ( x ) = lim− ( x + a ) = a x →0 x →0 x →0 x→0 Vậy: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word – f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) = ⇔ Hàm số liên tục x0 = Nếu a = xlim →0+ x →0 – f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇔ Hàm số gián đoạn x0 = Nếu a ≠ xlim →0+ x →0 x − 3x + Ví dụ Cho hàm số: f ( x ) = x − a x ≠ x = a) Tìm a để f ( x ) liên tục trái điểm x = b) Tìm a để f ( x ) liên tục phải điểm x = c) Tìm a để f ( x ) liên tục ¡ Giải Ta có: x − x > f ( x) = a x = − x x < a) Để f ( x ) liên tục trái điểm x = ⇔ lim− f ( x ) = lim− ( − x ) = f ( 1) = a x →1 x →1 Vậy điều kiện a = b) Để f ( x ) liên tục phải điểm x = ⇔ lim+ f ( x ) tồn lim+ f ( x ) = f ( 1) x →1 x →1 f ( x ) = lim− ( x − ) = −1 f ( 1) = a Ta có: xlim →1− x →1 Vậy điều kiện a = −1 c) Hàm số liên tục ¡ trước hết phải có: lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ = −1 (mâu thuẫn) x →1 x →1 Vậy không tồn a để hàm số liên tục ¡ II Bài tập rèn luyện x < x + 2a Bài Xét tính liên tục hàm số sau x0 = : f ( x ) = x + x + x ≥ Bài Xét tính liên tục hàm số sau: x −1 nÕu x < a) f ( x ) = x + x = b) g ( x ) = − x − x = −2 x nÕu x ≥ Bài Xét tính liên tục hàm số sau x = x = −1 πx x ≤ cos f ( x) = x − x > x − sin x x Bài Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − x + nÕu x > nÕu x ≤ điểm x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ax f x = ( ) Bài Cho hàm số nÕu x ≤ Tìm a để hàm số liên tục điểm x = nÕu x > 3x + − Bài Tìm a để hàm số f ( x ) = x − ax + nÕu x > liên tục ¡ nÕu x ≤ x nÕu x < nÕu x = Bài Xét tính liên tục hàm số sau: f ( x ) = 3 x − nÕu x > Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng K Phương pháp Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục khoảng K, thực theo bước sau: Bước 1: Xét tính liên tục hàm số khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục hàm số điểm giao Bước 3: Kết luận I Các ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh hàm số sau liên tục ¡ : x cos x ≠ f ( x) = x x = Giải Hàm số f ( x ) liên tục với x ≠ Xét tính liên tục f ( x ) x = Ta có: x.cos 1 = x cos ≤ x x x ⇒ − x ≤ x.cos 1 ≤ x ⇒ lim x.cos ÷ = x→0 x x Mặt khác, f ( ) = f ( x ) = f ( ) ⇒ Hàm số liên tục x = Do đó, lim x→0 Vậy hàm số liên tục tồn trục số Ví dụ Xét tính liên tục hàm số tồn trục số: x + x nÕu x < f ( x) = ax + nÕu x ≥ Hướng dẫn Hàm số xác định với x ∈ ¡ Khi x < Hàm số liên tục Khi x > Hàm số liên tục http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khi x = a = : Hàm liên tục x = a ≠ : Hàm số gián đoạn x = Kết luận: a = : Hàm số liên tục toàn trục số a ≠ , hàm số liên tục ( −∞;1) ( 1; +∞ ) gián đoạn x = II Bài tập rèn luyện 1− x nÕu x < Bài Cho hàm số y = f ( x ) = − x − Xét liên tục hàm số 2x nÕu x ≥ Hướng dẫn đáp số – Với x < : hàm số liên tục – Với x > : hàm số liên tục – Với x = : hàm số liên tục Vậy hàm số liên tục ¡ Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: x2 − 1− x nÕu x ≠ nÕu x ≠ 2 a) f ( x ) = x − b) g ( x ) = ( x − ) 2 nÕu x = nÕu x = Đáp số a) y = f ( x ) liên tục ¡ b) y = g ( x ) liên tục ( −∞; ) ( 2; +∞ ) gián đoạn x = x −1 nÕu x ≠ Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x ) = x − liên tục ( 0; +∞ ) m2 nÕu x = Đáp số: m = ± Bài x2 − x + nÕu x ≥ a) Cho hàm số f ( x ) = x − Chứng minh hàm số liên tục khoảng nÕu − < x < x+7 −3 ( −7; +∞ ) nÕu x < b) Cho hàm số f ( x ) = ax + b nÕu ≤ x ≤ Tìm a b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị hàm số nÕu x > Hướng dẫn a) x > : hàm số liên tục khoảng ( 2; +∞ ) −7 < x < f ( x ) = x−2 liên tục ( −7; ) Vì sao? x +7 −3 x = : hàm số liên tục Kết luận: Hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( −7; +∞ ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b) a = b = −2 hàm số liên tục Dạng Tìm điểm gián đoạn hàm số f ( x ) Phương pháp: x0 điểm gián đoạn hàm số f ( x ) điểm x0 hàm số không liên tục Thông thường x0 thỏa mãn trường hợp: f ( x ) không tồn f ( x ) không tồn tại, lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) xlim → x0 x → x0 x2 − x − x x −3 ) nÕu x ( x − 3) ≠ ( a nÕu x = Ví dụ Cho hàm số: f ( x ) = b nÕu x = Với a, b hai tham số Tìm điểm gián đoạn hàm số Giải D = ¡ nên ta xét gián đoạn hàm số điểm x = x = • f ( x ) = lim Tại x = , ta có f ( ) = a lim x→0 x →0 x2 − x − = +∞ x ( x − 3) Vậy x = điểm gián đoạn hàm số • f ( x ) = lim Tại x = f ( 3) = b lim x →3 x →3 Vậy b ≠ x2 − x − x+2 = lim = x →3 x ( x − 3) x với a điểm gián đoạn hàm số x = 0; x = 3 với a điểm gián đoạn hàm số x = nÕu x ≤ ax − b nÕu < x < liên tục điểm x = gián Ví dụ Tìm giá trị a b để hàm số f ( x ) = x bx − a nÕu x ≥ Khi b = đoạn tai x = Hướng dẫn đáp số Hàm số liên tục x = gián đoạn c = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 1) a − b = a = b + x →1 x →1 ⇒ ⇔ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) 4b − a ≠ b ≠ xlim → 2+ x →2 Ví dụ Tìm điểm gián đoạn hàm số: x − nÕu x ≠ a) f ( x ) = −2 nÕu x = 2+ x −2 b) f ( x ) = x −8 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word nÕu x ≠ nÕu x = Dạng Chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm Phương pháp Chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm – Tìm hai số a b cho f ( a ) f ( b ) < – Hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] – Phương trình f ( x ) = có nghiệm x0 ∈ ( a; b ) Chứng minh phương trình f ( x ) = có k nghiệm – Tìm k cặp số , bi cho khoảng ( ; bi ) rời f ( ) f ( bi ) < 0, i = 1, , k – Phương trình f ( x ) = có nghiệm xi ∈ ( ; bi ) Khi phương trình f ( x ) = có chứa tham số cần chọn a, b cho: – – f ( a ) , f ( b ) khơng cịn chứa tham số chứa tham số dấu không đổi Hoặc f ( a ) , f ( b ) cịn chứa tham số tích f ( a ) f ( b ) âm I Các ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh phương trình x − 10 x − = có nghiệm âm Hướng dẫn Xét hàm số f ( x ) = x − 10 x − , ta có f ( −1) = ; f ( ) = −7 ; f ( 3) = 17 nên f ( −1) f ( ) = −7 < f ( ) f ( 3) = −119 < Mặt khác: f ( x ) = x − 10 x − hàm đa thức nên liên tục [ −1;0] [ 0;3] Suy ra, phương trình x − 10 x − = có nghiệm x0 ∈ ( −1;0 ) x1 ∈ ( 0;3) Vậy phương trình x3 − 10 x − = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình ( − m ) x − x − = ln có nghiệm với m Hướng dẫn Xét hàm số f ( x ) = ( − m ) x − x − , ta có f ( ) = −1 f ( −1) = m + nên f ( −1) f ( ) = − ( m + 1) < 0, ∀m ∈ ¡ Mặt khác: f ( x ) = ( − m ) x − x − hàm đa thức nên liên tục [ −1;0] Suy ra, phương trình ( − m ) x − x − = có nghiệm x0 ∈ ( −1;0 ) Vậy phương trình ( − m ) x − x − = ln có nghiệm với m 1 π + = a ln có nghiệm khoảng ; π ÷ với a sin x cos x 2 Hướng dẫn 1 π = + − a liên tục khoảng ; π ÷ sin x cos x 2 Ví dụ Chứng minh phương trình Xét hàm số f ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word lim+ + − a ÷ = −∞ nên tồn x gần π để f ( x ) < 1 π sin x cos x x→ 2 lim− + − a ÷ = +∞ nên tồn x1 gần π để f ( x2 ) > x →π sin x cos x π Suy f ( x1 ) f ( x2 ) < nên phương trình f ( x ) = ln có nghiệm khoảng ; π ÷ 2 Ví dụ Chứng minh phương trình x + x − = có nghiệm x0 thỏa mãn < x0 < Hướng dẫn Xét hàm số f ( x ) = x + x − , ta có f ( ) = −1 f ( 1) = nên f ( ) f ( 1) < 3 Mặt khác: f ( x ) = x + x − hàm đa thức nên liên tục [ 0;1] 3 2 f ( x1 ) − f ( x2 ) ( x1 + x1 − 1) − ( x2 + x2 − 1) ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 + 1) = = x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 x 3x = x + x1 x2 + x + = x1 + ÷ + + > với x1 , x2 thuộc ¡ 2 2 Suy f ( x ) = x + x − đồng biến ¡ nên phương trình x + x − = có nghiệm x0 ∈ ( 0;1) Theo bất đẳng thức Côsi: = x03 + x0 > x04 ⇒ > x02 ⇒ x02 < 1 ⇒ < x0 < 2 II Bài tập rèn luyện Bài a) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a < b < c Chứng minh phương trình ( x − a ) ( x − b ) + ( x − b ) ( x − c ) + ( x − c ) ( x − a ) = ln có hai nghiệm phân biệt b) Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) thỏa mãn 2a + 6b + 19c = Chứng minh phương trình có 1 nghiệm 0; 3 c) Cho phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) thỏa mãn Chứng minh phương trình có nghiệm ( 0;1) a b c + + = (Với m > ) m + m +1 m Hướng dẫn đáp số a) Xét hàm số f ( x ) = ( x − a ) ( x − b ) + ( x − b ) ( x − c ) + ( x − c ) ( x − a ) tam thức bậc hai có hệ số A = nên phương trình f ( x ) = có nhiều hai nghiệm Ta có: f ( a ) > 0; f ( b ) < 0; f ( c ) > Vậy f ( a ) f ( b ) < f ( b ) f ( c ) < Mặt khác f ( x ) hàm đa thức nên liên tục [ a; b ] [ b; c ] Suy ra, phương trình f ( x ) = có nghiệm x1 ∈ ( a; b ) x2 ∈ ( b; c ) Vậy phương trình ln có hai nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b) Xét hàm số f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) liên tục ¡ 1 Tính f ( ) = c; f ÷ = ( a + 3b + 9c ) 3 1 f ( ) + 18 f ÷ = 3 1 1 Suy f ( ) , f ÷ trái dấu f ( ) = f ÷ = 3 3 1 Vậy phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm 0; 3 c) Xét hàm số f ( x ) = ax + bx + c liên tục ¡ + Khi c = , ta có ax + bx = • Nếu a = từ giả thiết a b c + + = suy b = , phương trình có vơ số nghiệm nên m + m +1 m phương trình có nghiệm khoảng ( 0;1) • Nếu a ≠ , ta có ax + bx + c = ⇔ x ( ax + b ) = x = ⇔ x = − b = m + ∈ ( 0;1) a m+2 • −c m +1 Khi c ≠ , ta có f ( ) = c f ÷= m + m ( m + 2) m +1 Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng 0; ÷ ⊂ ( 0;1) m+2 Bài a) Chứng minh phương trình x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −2; ) b) Chứng minh phương trình x − x − = có nghiệm x0 > c) Chứng minh phương trình x − x − = có nghiệm x0 ∈ ( 1; ) x0 > 12 Hướng dẫn đáp số a) Tính f ( −2 ) , f ( ) , f ( 1) , f ( ) b) Xét hàm f ( x ) = x − x − liên tục ¡ f ( 1) = −2, f ( ) = 28 ⇒ f ( 1) f ( ) < ta chứng minh hàm f ( x ) đồng biến ( 1; ) nên phương trình x − x − = có nghiệm x0 ∈ ( 1; ) 10 Ta có: x0 = x0 + > 2 x0 ⇔ x0 > x0 ⇔ x0 > ⇔ x0 > c) Tương tự câu b) Bài a) Cho phương trình ax + bx + c = thỏa mãn 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng ( 0;1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b) Cho phương trình a tan x + b tan x + c = thỏa mãn 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình có π nghiệm khoảng kπ ; + kπ ÷, k ∈ ¢ Hướng dẫn đáp số a) a tan x + b tan x + c = (1) 2a + 3b + 6c = • • π Đặt t = tan x với x ∈ kπ ; + kπ ÷ ⇒ t ∈ ( 0;1) , ta có: at + bt + c = (2) Trường hợp 1: Nếu c = at + bt = + a = b = … t = b 2 + a ≠ − = , từ phương trình at + bt = ⇔ t = a … c 2 Trường hợp 2: Nếu c ≠ , ta có f ( ) = c f ÷ = ( −12c + 9c ) = − 3 2 Phương trình (2) có nghiệm 0; ÷ ⊂ ( 0;1) nên phương trình 3 ( 1) có nghiệm khoảng π k ; + k ữ, k  Bài Chứng minh phương trình: x + − x = có ba nghiệm phân biệt thuộc ( −7;9 ) Bài Chứng minh với m phương trình x + mx − = ln có nghiệm dương Bài Cho phương trình x − mx + ( m + 1) x − = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn đáp số Đặt t = x , t ≥ , ta t − mt + ( m + 1) t − = a) x = ±1 b) Xét hàm f ( t ) = t − mt + ( m + 1) t − liên tục ¡ Ta có: f ( ) = −2 < lim f ( t ) = +∞ ⇒ ∃c > cho f ( c ) > t →+∞ Suy ra: f ( ) f ( c ) < 0, ( ) có nghiệm t1 ∈ ( 0, c ) ⇒ x = ±t1 Vậy, với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài Chứng minh với m phương trình: ( ) x − + mx = m + ln có nghiệm lớn Giải Đặt t = x − , điều kiện t ≥ Khi phương trình có dạng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word f ( t ) = t + mt − t = Xét hàm số y = f ( t ) liên tục [ 0; +∞ ) Ta có: f ( ) = −1 < lim f ( t ) = +∞ , tồn c > để f ( c ) > t →+∞ Suy ra: f ( 0) f ( c ) < Vậy phương trình f ( t ) = ln có nghiệm t0 ∈ ( 0; c ) , đó: x − = t0 ⇔ t02 + > Vậy với m phương trình ln có nghiệm lớn Bài Cho a, b, c ba số dương phân biệt Chứng minh phương trình: a ( x − b) ( x − c) + b ( x − a ) ( x − c ) + c ( x − b) ( x − a ) = ln có hai nghiệm phân biệt Giải Khơng tính tổng quát, giả sử a < b < c đặt: f ( x) = a ( x − b) ( x − c) + b ( x − a ) ( x − c ) + c ( x − b) ( x − a ) Ta có: f ( b ) < hệ số x f ( x ) a + b + c > Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 < b < x2 Bài Chứng minh phương trình: p ( x − a ) ( x − c ) + q ( x − b ) ( x − d ) = ln có nghiệm, biết a ≤ b ≤ c ≤ d , p q hai số thực Bài 10 Chứng minh phương trình a) ( −m + 1) x − x − = ln ln có nghiệm π b) cos x = 2sin x − có nghiệm khoảng − ; π ÷ c) x + x + − = có nghiệm dương d) x − x − x − = có nghiệm Hướng dẫn đáp số a) Xét f ( ) f ( 1) b) Xét hàm số y = f ( x ) = cos x − sin x + π π π Xét khoảng − ; ÷; ; π ÷ 2 2 c) Xét f ( ) f ( 1) MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} Bài Cho ví dụ hàm số liên tục ( a; b ] ( b; c ) không liên tục ( a; c ) Hướng dẫn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x + nÕu x ≤ Xét hàm số f ( x ) = nÕu x > x * Trường hợp x ≤ : f ( x ) hàm đa thức, liên tục ¡ , nên liên tục ( −2;0] * Trường hợp x > : f ( x ) = hàm số phân thứ hữu tỉ nên liên tục ( 0; ) thuộc tập xác định Như f ( x ) liên tục x ( −2;0] ( 0; ) = +∞ nên hàm số f ( x ) khơng có giới hạn hữu hạn x = x2 Do đó, khơng liên tục x = Nghĩa không liên tục ( −2; ) Tuy nhiên, lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x →0 Bài Chứng minh hàm số liên tục ( a; b ] [ b; c ) liên tục ( a; c ) Hướng dẫn f ( x ) = f ( b ) (1) Vì hàm số liên tục ( a; b ] nên liên tục ( a; b ) xlim →b − f ( x ) = f ( b ) (2) Vì hàm số liên tục [ b; c ) nên liên tục ( b; c ) xlim →b + f ( x ) = f ( b ) ) Từ (1) (2) suy f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) ( b; c ) liên tục x = b (vì lim x →b Nghĩa liên tục ( a; c ) Bài Cho hàm số f ( x ) = ( x − 1) x x Vẽ đồ thị hàm số Từ đồ thị dự đốn khoảng hàm số liên tục chứng minh dự đốn ( x − 1) Hướng dẫn x − nÕu x > = x 1 − x nÕu x < Hàm số có tập xác định ¡ \ { 0} a) f ( x ) = x b) Từ đồ thị dự đoán f ( x ) liên tục khoảng ( −∞;0 ) , ( 0; +∞ ) không liên tục ¡ Thật vậy: * Với x > 0, f ( x ) = x − hàm phân thức nên liên tục ¡ Do liên tục ( 0; +∞ ) * Với x > 0, f ( x ) = − x hàm phân thức nên liên tục ¡ Do liên tục ( −∞;0 ) f ( x ) = −1 ; lim− f ( x ) = Dễ thấy hàm số gián đoạn x = , xlim →0+ x →0 Bài Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Nếu f ( a ) f ( b ) > phương trình f ( x ) = có nghiệm hay khơng khoảng ( a; b ) ? Cho ví dụ minh họa Hướng dẫn Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) > phương trình f ( x ) = có nghiệm vơ nghiệm khoảng ( a; b ) Ví dụ minh họa: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word * f ( x ) = x − liên tục [ −2; 2] , f ( −2 ) f ( ) = > Phương trình x − = có nghiệm x = ±1 khoảng ( −2; ) * f ( x ) = x + liên tục [ −1;1] , f ( −1) f ( 1) = > Phương trình x + = có nghiệm x = ±1 khoảng ( −1;1) Bài Nếu hàm số y = f ( x ) không liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < , phương trình f ( x ) = có nghiệm hay không khoảng ( a; b ) ? Hãy giải thích câu trả lời minh họa hình học Hướng dẫn Nếu hàm số y = f ( x ) không liên tục đoạn [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < phương trình f ( x ) = có nghiệm vơ nghiệm khoảng ( a; b ) Minh họa hình học: Bổ sung hình vẽ / 185.SBT Bài Chứng minh phương trình: x n + a1 x n −1 + a2 x n − + + an −1 x + an = ln có nghiệm với n số tự nhiên lẻ Hướng dẫn Hàm số f ( x ) = x + a1 x n n −1 + a2 x n−2 + + an −1 x + an xác định ¡ f ( x ) = +∞ Vì lim f ( x ) = +∞ nên với dãy số * Ta có: xlim →+∞ x →+∞ ( xn ) mà xn → +∞ , ta ln có lim f ( xn ) = +∞ Do f ( xn ) lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở Nói cách khác, ln tồn số a cho f ( a ) > (1) f ( x ) = −∞ (do n lẻ) Vì lim f ( x ) = −∞ nên với dãy số ( xn ) mà xn → −∞ , ta ln có * Ta có: xlim →−∞ x →−∞ lim f ( xn ) = −∞ hay lim − f ( xn ) = +∞ Do − f ( xn ) lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở Nếu số dương − f ( xn ) > kể từ số hạng trở Nói cách khác, ln tồn số b cho − f ( b ) > hay f ( b ) < −1 (2) Từ (1) (2) suy f ( a ) f ( b ) < Mặt khác hàm đa thức f ( x ) liên tục ¡ , nên liên tục [ a; b ] Do đó, phương trình f ( x ) = ln có nghiệm Bài Cho hàm số f ( x ) liên tục đồng biến đoạn [ a; b ] Chứng minh với dãy hữu hạn có số c1 , c2 , c3 , , cn thuộc [ a; b ] phương trình: f ( x ) = f ( c1 ) + f ( c2 ) + + f ( cn ) ln có nghiệm n đoạn [ a; b ] Hướng dẫn Ta có: a ≤ c1 ≤ b; a ≤ c2 ≤ b; a ≤ c3 ≤ b; Hàm số f ( x ) đồng biến [ a; b ] f ( a ) ≤ f ( c1 ) ≤ f ( b ) f ( a ) ≤ f ( c2 ) ≤ f ( b ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Nên: f ( a ) ≤ f ( c3 ) ≤ f ( b ) … f ( a ) ≤ f ( cn ) ≤ f ( b ) Suy ra: nf ( a ) ≤ f ( c1 ) + f ( c2 ) + + f ( cn ) ≤ nf ( b ) ⇒ f ( a) ≤ f ( c1 ) + f ( c2 ) + + f ( cn ) ≤ f ( b ) n f ( c1 ) + f ( c2 ) + + f ( cn ) n Xét hàm g ( x ) = f ( x ) − M liên tục [ a; b ] ; g ( a ) = f ( a ) − M ≤ g ( b ) = f ( b ) − M ≥ Đặt M = M = Suy ra: g ( a ) g ( b ) ≤ g ( a) = * Khi g ( a ) g ( b ) = ⇔ nên a b nghiệm phương trình f ( x ) = M g ( b ) = * Khi g ( a ) g ( b ) < phương trình f ( x ) − M = có nghiệm ( a; b ) f ( c1 ) + f ( c2 ) + + f ( cn ) ln có nghiệm [ a; b ] n Bài Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 Chứng minh Vậy, phương trình: f ( x ) = lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) = L hàm số f ( x ) liên tục tại x0 x − x0 Hướng dẫn: Đặt g ( x ) = f ( x ) − f ( x0 ) − L biểu diễn f ( x ) qua g ( x ) x − x0 ƠN TẬP CHƯƠNG Bài Tính giới hạn sau: n − 3n + a) lim x →+∞ 2n + 3n + n 3n3 + b) lim x →+∞ 4n + 1 b) +∞ Bài Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Đáp số: a) c) −2 ) + 3n ( lim n +1 x →+∞ ( −2 ) + 3n+1 c) n a) + 0, 03 + ( 0, 03 ) + + ( 0, 03 ) + n n−1 1 1 b) − + − + + − ÷ + 2 c) + 0,9 + ( 0,9 ) + + ( 0,9 ) n−1 + − 100 Hướng dẫn đáp số: a) + 100 = b) + = c) 10 3 97 1− 1+ 100 Bài Viết số thập phân vô hạn tuần hồn 2,131131 … (chu kì 131) dạng số hữu tỉ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 131 131 Đáp số: S = + 1000 = + 131 999 1− 1000 2n − Bài Cho dãy số ( xn ) : xn = 3n + a) Chứng minh dãy số ( xn ) dãy tăng b) Dãy ( xn ) hội tụ có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn đáp số: a) Chứng minh xn +1 − xn > 0, ∀n ∈ ¥ Bài Dùng định nghĩa giới hạn chứng minh: b) lim xn = ( x − ) = −4 a) lim x →1 b) lim x →1 ( 1− x) = +∞ Bài Tìm giới hạn sau: x−2 1+ x − − x x2 + − x + x2 + a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) xlim →−∞ x →2 x − x + x→0 x →2 x x−2 13 Đáp số: a) 1; b) c) d) 12 nÕu x ≥ Bài Cho hàm số y = f ( x ) = Chứng minh hàm số liên tục x + x + nÕu x < ( ) Hướng dẫn: Với x ≠ : hàm số liên tục Với x = : hàm số liên tục ⇒ Vậy hàm số liên tục tập xác định nÕu x < x+a Bài Cho hàm số y = f ( x ) = Tìm a, b để hàm số liên tục ax + bx + nÕu x ≥ Đáp số: với a = 1, b hàm số liên tục ¡ Bài Tìm giới hạn sau: x3 x2 x−2 x −3 x − 3x lim − a) x →+∞ ; c) lim ; ÷; b) xlim →+∞ x →∞ 1− x x+5 3x − 3x + Đáp số: a) b) −∞ c) Bài 10 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x + x + 3x − = có nghiệm d) lim x →1 d) x+7 −2 x −1 12 b) Chứng minh phương trình x − x + x3 + x − x − = có nghiệm khoảng ( 0; ) c) x3 − 12 x − x + = có nghiệm khoảng ( −1;0 ) , ( 0;1) , ( 2; ) Hướng dẫn: f ( x ) = có nghiệm đoạn [ a; b ] ⇔ f ( a ) f ( b ) < http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a) khoảng ( 0;1) b) ( 0; ) c) ( −1;0 ) , ( 0;1) , ( 2; ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Website chuyên đề thi – tài liệu file word ) n2 + − n2 − ) Dạng Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số Phương pháp: ... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHƯƠNG IV GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa dãy số có giới hạn Dãy ( un ) có giới hạn n dần đến dương... lập luận trường hợp lại B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn dãy số Phương pháp: lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Ví dụ Biết dãy số