Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
2,1 MB
Nội dung
TÍCHPHÂN I Khái niệm tíchphân Diện tích hình thang cong Giới thiệu cho học sinh cách tính diện tích hình thang cong Từ suy cơng thức: xlim �x S x S x0 f x0 x x0 Định nghĩa tíchphân Cho hàm f liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f b K hiệu số: F(b) – F(a) gọi tíchphân f từ a đến b, ký hiệu là: f x dx � a b Có nghĩa là: f x dx F b F a � a Gọi F x nguyên hàm f(x) F x a F b F a thì: b b f x dx F x � a b a F b F a Trong đó: – a: cận trên, b cận – f(x) gọi hàm số dấu tíchphân – dx: gọi vi phân đối số – f(x)dx: Gọi biểu thức dấu tíchphân II Tính chất tíchphân Giả sử cho hai hàm số f g liên tục K, a, b, c ba số thuộc K Khi ta có: a f x � a b a f x dx � f x dx (Gọi tính chất đổi cận) � a b b c b a a c f x dx � f x dx � f x dx � b b b a a a � dx � f x dx �� g x dx (Tích phân tổng hiệu hai tíchphân tổng � �f x �g x � � hiệu hai tích phân) b b a a kf x dx k � f x dx (Hằng số k dấu tích phân, đưa ngồi dấu tíchphân được) � Ngồi tính chất trên, người ta chứng minh số tính chất khác như: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Nếu f x �0x � a; b thì: b f x dx �0x � a; b � a Nếu: x γ a; b : f x g x b b a a f x dx � g x dx (Bất đẳng thức tích phân) � Nếu: x � a; b với hai số M, N ta ln có: M �f x �N Thì: b M b a �� f x dx �N b a (Tính chất giá trị trung bình tích phân) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCHPHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂNTÍCH Trong phương pháp này, cần: Kỹ năng: Cần biết phântích f(x) thành tổng, hiệu, tích, thương nhiều hàm số khác, mà ta sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm chúng Kiến thức: Như trình bày phần “Nguyên hàm”, cần phải nắm kiến thức Vi phân, cơng thức phép tốn lũy thừa, phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tíchphân sau a/ � x 1 2 a/ x 1 x Giải dx x x4 1 1 � x2 1 � �x 1d 1 b/ � x 1 dx dx x3 x x dx d/ � x 2x2 2 �2 x x x � x � x � dx 2x x2 1 dx � � � � � � � x2 x2 1 � x 1� � � � x2 x x x ln x � c/ dx x x4 1 1 x2 1 � d x2 1 x2 1 2 x2 1 5 2 b/ x 1 dx � 3 � x 1 x 1 1 x2 2 � � x 1 x 1 � 1 � dx � dx dx � � � 3 3� � x x x x x x � � � � � � � � 1 d x 1 d x 1 d x 1 1 1 �I � 2� � ln x ln x 1 x x 1 0 x 1 x 1 1 c/ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x x x ln x � x 1 x dx ln ln x3 x x dx d/ � x 2x2 d x x 1 � x x 1 ln x 1 2 ln x � I � x dx � 1 x 1 d x �2 x � � � x � ln x �1 3 � x x dx � � � � x 2x � 2� � � 2 dx � 2 x 1 2 �x 2dx 1 2 � 1�1 � �1 dx �� � � �dx � x x x x � � � � 2 x 1 ln x 1 2 1� 1 x 1 � � ln � x 1 x x 1 � �2 Ví dụ Tính tíchphân sau a/ 2sin x sin x 1 � cos x b/ dx � 2sin 1 �2 x � dx c/ � ln � � 4 x �2 x � 1 d/ sin x dx x 3cos x sin x tan x dx cos x � Ví dụ Tính tíchphân sau x2 1 dx b/ � 2 x x 1 e2 ln x a/ � dx x ln x e sin x dx c/ � sin x d/ sin x.cos xdx � B PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tíchphândạng này, ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc: Bước 1: Đặt x v t Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận Bước 3: Phântích f x dx f v t v ' t dt Bước 4: Tính � � 3� ln x ln x � � � x 1 � � dx � x dx � � � � � x x x x x 1 � � � � b v b a v a f x dx � g t dt G t � Bước 5: Kết luận: I G t v b v a v b v a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2/ Nhận dạng: (Xem lại phần nguyên hàm) * Chú ý: a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn a2 x2 � x a sin t � �t � � 2 � x a cos t � �t � � x2 a2 � a � � x � t �� ; � �2 2� � � sin t � a � � s � t � 0; \ � � � �2 � cos t a2 x2 � � � x a tan t � t �� ; � � 2� � � � x a cos t � t � 0; � ax ax � ax ax x a.cos 2t x a b x x a b a sin t b Quan trọng em phải nhận dạng: - Ví dụ: Trong dạngphân thức hữu tỷ: 1 1 dx � dx du 2 � � 2 ax bx c a u k � � * � b � � �� a� � �x � � � 2a � � 2a �� � � � � � b u x ,k , du dx � Với: � � � 2a 2a � � * áp dụng để giải toán tổng quát: * �2 x x dx � 3 � a x 1 dx dx x 2 k 1 k �� … Từ suy cách đặt: x sin t 3/ Một số ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Tính tíchphân sau a/ �1 x dx b/ �1 x 2 dx c/ Giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �3 x x dx � � ; a/ Đặt x sin t với: t �� �2 2� � �x � sin t � t � Suy ra: dx cos tdt và: � x � sin t � t � � 2 Do đó: f x dx x dx sin t cos tdt cos tdt Vậy: b/ Đặt: x 0 cos 2t dt cos 2t dt �t sin 2t �2 � � f x dx � � � 2� 2 � �0 � �2 � 2� � � sin t , t �� ; � 2� � �x � sin t � t � cos tdt � � 1 Suy ra: dx �x � sin t � t � Do đó: 1 dx � � 2x2 0 1 dx �1 � � � x �2� �1 1 2 cos tdt dt t � 20 2 sin t c/ Vì: x x x 1 Cho nên: x 1 � � ; �� sin t * Đặt: x 2sin t , t �� � 2� 1 � x � sin t �t � � �� �ήt � 0; cos t Suy ra: dx cos tdt và: � � 6� � �x � sin t � t � 2 1 dx cos tdt dt Do đó: f x dx x x dx 2 sin t x 1 Vậy: f x dx � dt t 06 � Ví dụ 2: Tính tíchphân sau a/ 1 dx � x x 1 b �12 x x 5dx dx c/ �2 x 4x b/ d/ a x2 �a x 2 dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word * Chú ý: Để tính tíchphândạng có chứa x a , a x , ta sử dụng phương pháp đổi biến số: u x g x, t Ví dụ 1: Tính tíchphân sau �x 1 dx Giải: t 1 2t Đặt: �x � t 1; x � t � Khi đó: � t2 1 dx � 2t � x2 x t � x 1 2t t Do vậy: � dx �2 dt t 2t x 1 1 1 dt �t ln t 1 1 1 ln 1 x x dx Ví dụ 2: Tính tích phân: I � Giải Đặt: t sin x , suy dt cos xdx x 0, t ; Khi x 1, t 1� cos 4t � 2 2 2 dt Do đó: f x dx x x dx sin t sin t cos tdt sin t cos tdt � � 4� � �2 Vậy: I f x dx cos 4t dt � t sin t � � � 8� 8� �0 16 0 II Đổi biến số dạng Quy tắc: (Ta tính tíchphân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau:) Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u x đặt t : t u x Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận: dt u ' x dx u x � u ' x dx g t dt Bước 3: Ta phântích f x dx g � � � Bước 4: Tính b u b a u a f x dx � g t dt G t � Kết luận: I G t u b u a u b u a Nhận dạng: TÍCHPHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word P x I dx A DẠNG: � ax b a �0 * Chú ý đến công thức: m m dx ln ax b Và bậc P x cao ta chia tử cho � a ax b mẫu dẫn đến P x m dx � Q x dx � Q x dx m � dx � ax b ax b ax b x3 I dx Ví dụ 1: Tính ticích phân: � x Giải Ta có: f x x 27 x2 x 2x 8 2x Do đó: 2 x3 27 � �1 3 27 13 27 �1 � dx � dx � x x x ln x � ln 35 � x x � � 2x 8 x � �3 8 16 16 �1 1� Ví dụ 2: Tính tích phân: I x2 �x dx Giải x2 Ta có: f x x 1 x 1 x 1 x2 dx Do đó: � x 1 B DẠNG: � ax � 1 � � �1 � � x dx x x ln x ln � � � � � � � � � x � �2 �5 � � 5� P x dx bx c 2 Tam thức: f x ax bx c có hai nghiệm phân biệt u ' x � dx ln u x u x Công thức cần lưu ý: Ta có hai cách Cách 1: (Hệ số bất định) Cách 2: (Nhẩy tầng lầu) x 11 dx Ví dụ 3: Tính tích phân: I �2 x x Giải Cách 1: (Hệ số bất định) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: f x A x 3 B x 4x 1 x 11 A B x x x x 3 x x x x 3 Thay x 2 vào hai tử số: A thay x 3 vào hai tử số: 1 B suy B x2 x 3 Do đó: f x 1 x 11 � �3 dx � dx 3ln x ln x ln ln Vậy: �2 � � x 5x x 2 x3� 0� Cách 2: (Nhẩy tầng lầu) Ta có: f x x 5 2x 2x 1 2 2 x 5x x x x x 3 x 5x x x Do đó: 1 1 � � x2 � � 2x I � f x dx � 2 dx � ln x x ln � � � ln ln x x x x x � � � �0 0 2 Tam thức: f x ax bx c có hai nghiệm kép u ' x dx ln u x �u x Công thức cần lưu ý: Thông thường ta đặt x b / 2a t x3 dx Ví dụ 4: Tính tíchphân sau: I �2 x 2x Giải 3 x3 x3 dx dx Ta có: �2 � x 2x 0 x 1 Đặt: t x suy ra: dx dt ; x t và: x t ; x t Do đó: � x 1 x3 t 1 dx � t2 4 � �1 1� � dt � t 3 � dt � t 3t ln t � ln � t t � �2 t� 1� 1 4x dx Ví dụ 5: Tính tíchphân sau: I � 4x 4x Giải 4x 4x Ta có: x x x 1 Đặt: t x suy ra: dt 2dx � dx �x � t 1 dt ; � �x � t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 1 t 1 x x 1 1� � 1� � Do đó: dx � dx � dt � dt � ln t � 2 � � � 4x2 x t t t � � t �1 0 x 1 1 1 � Tam thức: f x ax bx c vô nghiệm: Ta viết: P x f x 2 � � � � � b � a� �� �x � � 2a � � 2a �� � � � � b � u x � P x 2a � ;� 2 a u k � k � 2a � Khi đó: Đặt u k tan t x dx Ví dụ 6: Tính tích phân: I �2 x 4x Giải 2 x x dx � dx Ta có: �2 x x x 0 Đặt: x tan t , suy ra: dx �x � tan t dt � � cos t �x � tan t t2 t t2 tan t dt �sin t � dx 2� dt ln cos t 2t 1 Do đó: � � 2 � � t1 tan t cos t t1 �cos t � x 2 1 t1 x 1 � tan t � tan t � cos t � cos t1 � 5 Từ: � 1 � tan t � tan t 17 � cos t � cos t2 � 17 17 � Vậy: ln cos t 2t � ln t2 t1 � ln cos t2 2t2 � � � ln cos t1 2t1 ln cos t2 t t1 cos t1 cos t2 1 t2 t1 arctan arctan ln arctan arctan ln cos t1 17 17 x3 x x I dx Ví dụ 7: Tính tíchphân sau: � x Giải Ta có: x3 x2 x x2 2 x 4 x 4 2 x3 x x � �1 dx � � dx � dx � x x � �2 J 1 Do đó: � �x � x 4 x � �2 �0 x 0� dx Tính tíchphân J �2 x 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word �x � t � dt ; � Đặt: x tan t suy ra: dx �ή cos t �x � t � 1 1 Khi đó: dx � dt � dt t 2 � x 4 tan t cos t 20 Thay vào (1): I C DẠNG: � ax �� 0; cos t � � 4� � t P x dx bx cx d Đa thức: f x ax bx cx d a �0 có nghiệm bội ba 1 dx m1 m � 1 m x x Cơng thức cần lưu ý: x dx Ví dụ 8: Tính tích phân: I � x 1 Giải Cách 1: Đặt: x t , suy x t và: x t ; x t 2 t 1 �1 � � 1 � dx �3 dt � dt � Do đó: � �2 � � t t t � � t t2 � x 1 1� x Cách 2: x x 1 3 x 1 x 1 x 1 Ta có: � 1 � � 1 � dx dx Do đó: � � � � 3 � � x x x x � � � � x 1 � � � �0 x 1 x Ví dụ 9: Tính tích phân: I x4 � x 1 dx 1 Giải Đặt: x t , suy ra: x t và: x 1 t 2 x t 1 Do đó: x4 � x 1 1 dx 1 t 1 �t 2 dt 1 1 1 t 4t 6t 4t 1� � dt � t 4 � dt � � t t t t � � 2 2 1 � �1 1 � 33 � �� t 4 � dt � t 4t 6ln t � ln � t t t � �2 t t �2 2 � 2 Đa thức: f x ax bx cx d a �0 có hai nghiệm: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 3� Vậy: I f x dx � 4t � dt 8t 2t 3ln t 3ln � � � t� 1� Ví dụ Tính tíchphân sau sin xdx a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I � x sin x cos x.cos 2 sin x cos x dx b CĐ Y Tế - 2006 I � sin x KQ: ln Giải sin xdx sin xdx sin x � � dx ln cos x a I � x sin x cos x cos x cos x sin x 2cos x.cos 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x dx � dx � dx b I � sin x cos x sin x sin x cos x 4 (1) � � �� x � sin � ; Vì: sin x cos �x � � �4 x x � � sin �x �0 � 4� Mặt khác: d sin x cos x cos x sin x dx d sin x cos x ln sin x cos x Cho nên: I � sin x cos x � ln � ln1 ln � � Ví dụ Tính tíchphân sau a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 I � cos x dx sin x cos x cos x b CĐ KTKT Đông Du – 2006 I dx � 2sin x KQ: 32 KQ: ln Giải 2 a I � cos x dx Vì: cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x Cho nên: f x dx cos x sin x cos x 3 dx cos x sin x sin x cos x 3 cos x sin x dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ln � dt cos x sin x dx; x � t 2, x � t � � Đặt: t sin x cos x � � 1� �f x dx t dt � 3 � dt � � t t � �t � 4 1 � �1 � Vậy: I f x dx � dt � � �2 3 � � � t t t t �2 32 � � � � dt cos xdx � cos xdx dt � � cos x b I Đặt: t 2sin x � � dx � 2sin x �x � t 1; x � t � 3 cos x dt 1 Vậy: I dx � ln t ln � 2sin x 41 t 4 Ví dụ Tính tíchphân sau: a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 I 4sin x dx � cos x KQ: b CĐ Bến Tre – 2006 I sin x sin x dx � cos x Giải 2 cos x 2 a I 4sin x dx sin xdx � cos x sin xdx cos x � � cos x cos x 0 0 b I sin x sin xdx � cos x 2 Ta có: sin 3x sin x sin 3x sin x sin 3x.cos x � dt 3sin xdx � sin xdx dt � � Đặt: t cos 3x � � �x � t 2; x � t � Vậy: t 1 � � �1 1 � f x dx dt t 2 � dt � t 2t ln t � ln � � � � 32 t 31� t � �2 � 2 Ví dụ Tính tíchphân sau http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word � � sin � x � �4 � dx b I � � � sin � x � �4 � sin x sin x cot xdx a I � sin x 3 d I cos x sin x cos x dx � c I sin xdx � 0 Giải � sin � 1 sin x sin x � sin a I � sin x cot xdx � sin x 3 � x� � cotxdx 3 � � 1 � cot x cot xdx � �cot xdx � sin x � � � � sin � x � cos x sin x �4 � I dx dx b � � � � cos x sin x sin � x � 2 �4 � d cos x sin x � ln cos x sin x cos x sin x 0 2 cos x � 2� cos x � c I sin xdx � dx cos x dx � � � � � � � 40� � � 0� 1 �3 � �3 �2 3 � cos x cos x dx x sin x sin x � � � � 8 32 � �8 �0 16 0� 1 �2 3 d I cos x sin x cos x dx � x sin x sin x � � � 32 �8 �0 16 4 Cho nên: 2 12 1 � � I � sin x cos xdx cos xdx sin x cos xdx sin x sin x � � � � 20 � 0 0� Ví dụ Tính tíchphân sau a I sin xdx � dx b I � sin x cot x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 c I �tan x cot x 2dx d */ I cos x sin x dx � Giải 0 a I sin xdx cos x sin xdx � cos x cos x � � � � � �d cos x � �2 � cos x cos3 x cos5 x � � �0 15 dx b I � sin x cot x 1 � tdt dx � dx 2tdt � � sin x sin x Đặt: t cot x � t cot x � � �x � t 3; x � t � 2tdt dt 2t Vậy: I � � t 1 2 tan x cot x dx c I �tan x cot x 2dx � tan x cot x dx � Vì: tan x cot x sin x cos x sin x cos x cos x 2 2 cot x cos x sin x sin x cos x sin x � � � � � x � ; � cot x Cho nên: x Ϋ��� �; � �6 � �3 � � � � tan x cot x 0; x �� ; � � �6 � � � � � tan x cot x 0; x �� ; � � �4 � � � 3� � � ; � � � � 6 cos x cos x I tan x cot x dx tan x cot x dx dx dx � Vậy: � � � sin x sin x ln sin x ln sin x d I cos x sin x dx � Đặt: x ln (1) t � dx dt , x � t ; x � t 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do đó: 2 � � �3 � �� 3 3 cos I� t sin t dt sin t cos t dt sin x cos x dx � � � � � �� � � � 2 � � � �� � 0 (2) Lấy (1) + (2) vế với vế: I � I Ví dụ Tính tíchphân sau a tan xdx (Y-HN-2000) � b d sin x (GTVT-2000) dx � cos x e cos x dx (NT-2000) � sin x cos x cos x � dx (NNI-2001) sin x c f 2sin x dx (KB-03) � sin x sin x dx � cos x Giải tan xdx Ta có: f x tan x sin x cos x a � cos x cos x cos x cos x 4 4 dx � � I f x dx dx tan x tan x x 3 Do đó: cos2 x � � � � cos x � � �cos x �� 4�� � � �3 � �tan x tan x � � � � � � � 12 � � 3�� 12 � 12 � � � * Chú ý: Ta cách phântích khác: f x tan x tan x tan x 1 tan x tan x tan x tan x tan x tan x 1 4 3 dx dx 2 2 � � tan x tan x tan x dx tan x dx Vậy: I � � � cos2 x � � � cos x 4 � �1 � �1 � �1 I � tan x tan x x � � 3 � � � � �3 � 12 �3 � �3 b cos x dx � sin x cos x Ta có: f x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x sin x cos x � cos x sin x � Do đó: I � f x dx � � � cos x sin x dx � sin x cos x � 0� � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (1) � cos x sin x t 2.x � t 3; x � t 2, � � Đặt: t sin x cos x � � t 2 1� �1 � dt cos x sin x dx � f x dx dt �2 � dt � t t � �t � Vậy: 2 2 � �1 � �1 I � dt � � �2 � t t � � t t �3 � sin t cos t sin t cos t � 1 � � 2 � 2 � sin t cos t dt sin t cos t sin t cos t � 1� 1 � � � �� � � 9� 2 � cos t sin t dt f x cos x c � dx sin x sin x 3sin x 3sin x sin x 1 Ta có: f x cos x sin x 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x 4 2 dx dx cos x � � I cot x dx dx Vậy: sin x � � � � � � � sin x � 4 1 �1 �2 5 23 � cot x 3cot x 3x x sin x � 12 �3 � d � cos sin x cos x � 1 dx � dx � dx � dx � dx � tan x � � x cos x cos x cos x � cos x cos x cos x 0� � tan x 4 1 2 dx tan x dx tan x tan x d tan x tan x d tan x � 2 � � cos x cos x 0 1 � �4 �1 �4 �tan x tan x tan x tan x tan x � � tan x tan x � 5 � �0 �3 �0 15 2 d cos x sin x sin x 2sin x dx dx dx ln cos x e � � � � cos x cos x cos x cos x 0 4 0 f 2sin x dx cos x dx d sin x ln sin x � � sin x sin x 2� sin x 0 ln 2 Ví dụ Tính tíchphân sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ln a sin x cos xdx � b sin 3x dx � cos 3x 2 sin x cos x dx �J � dx � K c I � sin x cos x sin x cos x cos x dx sin x �cos x Giải 0 a sin x cos xdx cos x cos x.sin xdx cos x cos x d cos x � � � �1 �2 � cos x cos5 x � �7 �0 35 sin 3x 3sin x d 2cos 3x b dx � dx � ln cos 3x � cos x cos x cos x ln sin x cos x 1 1 dx � dx � dx c Ta có: I J � 201 20 � � sin x cos x sin �x � sin x cos x � 3� 2 Do: 2 1 1 x � � � �x � � � �x � 2� sin �x � 2sin � � cos �x � tan � �2 cos � � � 3� �2 � � � �2 � �2 � � �x � � d �tan � � � � �2 � � �x � tan � � �2 � � �x � � d �tan � � � 6 x 1 � � � � � ln tan ln ln Vậy: I �� � � 20 �x � �2 �0 tan � � �2 � (1) 2 sin x cos x sin x cos x - Mặt khác: I 3J sin x 3cos x dx dx � � sin x cos x sin x cos x Do đó: I 3J sin x cos x dx cos x sin x � 1 � 3 1 � �I ln I J ln � � 16 4 �� Từ (1) (2) ta có hệ: � �I J �J ln � � � 16 Để tính K ta đặt t x � dt dx � x ; t 0.x � t 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (2) (3) cos 2t 3 cos 2t 1 K dt dt I J ln Vậy: � � � � � cos � sin t cos t t � sin � t 3 � � � 2� � 2� Ví dụ 10 Tính tíchphân sau: a dx (CĐ – 99) � sin x b c dx � sin x cos x (ĐH-LN-2000) sin x cos x sin x cos x dx (SPII-2000) d � 10 10 4 dx � � (MĐC-2000) sin x sin �x � � 6� � Giải 4 1 � �4 dx dx dx tan �x � a � � � � sin x � �0 0 sin x cos x cos � �x � � � b dx � sin x cos x Đặt: t tan x 1� x� 2dt � dt dx � tan � dx; � dx ; x � t 0, x � t x 2� 2� 1 t 2 cos 2 1 1 2dt 2dt I � dt � � 2 2 Vậy: 2t 1 t 1 t t 2t t 1 0 2 2 1 t 1 t (2) � dt du; t � tan u ; t � tan u � cos u � Đặt: t tan u � � 2dt 2 �f t dt du 2du 2 � t 1 2 tan u cos2 u � Vậy: I u2 �2du u1 c sin � 10 2u u2 u1 � � u2 u1 � arctan arctan � � � � � x cos10 x sin x cos x dx 10 10 4 2 4 6 Ta có: sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 1 cos x cos x 15 1 � � cos 2 x � sin x � cos 2 x sin x cos x cos8 x 16 32 32 32 � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 15 1 15 � 15 Vậy: I � dx sin x sin x � cos x cos8 x � � 32 32 32.8 64 � 32 0 0� d dx � � sin x sin �x � � 6� � � � � � � � � � � � cos x sin x cos �x � Ta có: �x � x � sin � (*) �x � x � sin �x � � 6� � 6� � � 6� � 6� � � � � � sin �x � cos x sin x cos �x � 6� � 6� 2 2 � Do đó: f x � � � � � � sin x sin �x � sin x sin �x � sin x sin �x � � 6� � 6� � 6� � � � � �� cos �x � cos �x �� 3� � � cos x cos x 6 � � � �� I f x dx � � �� dx ln sin x ln sin x � � �� � �sin x sin x � � � �� � �� � � sin �x � sin x � �� 6 6� � 6� � �� � I ln sin x 3 ln ln ln 2 � � sin �x � � � * Chú ý: Ta có cách khác f x 1 � � �3 � sin x sin x sin �x � sin x � sin x cos x � � 6� �2 � 6 cot x 2d cot x dx Vậy: I � � cotx 2ln cot x cot x sin x 2ln Ví dụ 11 Tính tíchphân sau a sin x cos x dx (HVBCVT-99) � cos x sin x c dx (ĐHNT-01) 6 � cos x sin x b cos x cos 2 xdx (HVNHTPHCM-98) � d dx � cos x (ĐHTM-95) Giải a sin x cos3 x cos x dx sin x dx � cos x 2� cos x 0 (1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word dt 2sin x cos xdx sin xdx � � Đặt: t cos x � � cos x t 1; x � t 2, x � t � � 2 t 1 � � ln dt dt ln t t � 1� � � 22 t �t � 2 Vậy: I b cos x cos 2 xdx � 2 Ta có: f x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x.cos x 2 1� 1 � � cos x cos x cos x cos x � cos x cos x cos x 4� � 1 1 � �1 �2 Vậy: I � dx � x sin x sin x sin x � � cos x cos x cos x � � 8 16 16 48 � �4 �0 0� c � cos sin x dx x sin x 6 5 4 Vì: d sin x cos x 6sin x cos x cos x sin x dx 6sin x cos x sin x cos x � d sin x cos x 3sin x sin x cos x sin x cos x dx 3sin x cos xdx sin xdx � sin xdx d sin x cos x d sin x cos x ln sin x cos6 x sin x Vậy: � dx � cos x sin x sin x cos6 x ln dx dx �4 � d tan x d tan x tan x tan x � � � cos x � cos x cos x � � �0 0 Ví dụ 12 Tính tíchphân sau: sin xdx (HVQHQT-96) a � 11 b sin x cos xdx (NNI-96) � c cos x cos xdx (NNI-98) � d �1 cos 2xdx (ĐHTL-97) 0 Giải sin11 xdx a � Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word sin11 x sin10 x.sin x cos2 x sin x 5cos x 10 cos3 x 10 cos x 5cos x cos x sin x 5cos2 x 10cos3 x 10cos x 5cos5 x cos6 x sin xdx Cho nên: I � 5 �1 � 118 � cos x cos x cos5 x cos x cos x cos x � 21 �7 �0 b sin x cos xdx � Hạ bậc: cos x � cos x � � � sin x cos x � � � � cos x cos x cos x � � � � 1 cos x cos 2 x cos x cos 2 x cos x 1� cos x cos x � � � cos x cos 2 x cos3 x � cos x cos x � � � 8� � � � 1 cos x cos x � cos x cos x cos x cos x cos x.cos x � � � 16 16 � � 3cos 3x cos x cos x 32 1 �4 Vậy I 3cos x cos x cos x dx � x sin x sin x sin x � � � 32 64 32.6 32.4 �32 �0 �2 � � � cos x dx �� cos xdx � cos xdx � d �1 cos xdx �2 cos xdx � 0 �0 � � � � � 2� sin x 02 sin x � 1 2 � � III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến dạng * Sử dụng công thức: b b 0 f x dx � f b x dx � Chứng minh: �x � t b Đặt: b x t , suy x b t dx dt , � � �x b � t Do đó: b b b b 0 f x dx � f b t dt � f b t dt � f b x dx Vì tíchphân khơng phụ thuộc vào biến � số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ: Tính tíchphân sau a/ 4sin xdx � sin x cos x 5cos x 4sin x � sin x cos x b/ d/ x 1 x � m n dx c/ log tan x dx � e/ dx f/ sin x dx � sin x cos x sin x cos x dx � sin x cos3 x Giải a/ I � 4sin xdx (1) Đặt: sin x cos x � dt dx, x � t , x � t � 2 � � � � 4sin � t � t x � x t � � cos t �2 � 2 �f x dx dt dt f t dt cos t sin t � � � � � � � sin � t � cos � t � � � � �2 � � �2 � � � Nhưng tíchphân không phụ thuộc biến số, cho nên: cos x I � f t dt � dx (2) sin x cos x sin x cos x Lấy (1) + (2) vế với vế ta có: I � dx � I � dx sin x cos x sin x cos x � �2 � I 2� dx tan �x � � � �0 cos � �x � � 4� 5cos x 4sin x Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau: b/ I � dx sin x cos x 5cos x 4sin x 5sin t 4cos t 5sin x cos x I � dx � � dx 3 sin x cos x cos t sin t sin x cos x 0 (2) 1 � �2 dx � dx tan �x � � I Vậy: I � � 2 � �0 sin x cos x cos � �x � � 4� http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word c/ log tan x dx Đặt: � � dx dt , x � t ; x � t � 4 � t x � x t � � � 4 � � �f x dx log tan x dx log � tan � t � dt � � � �4 � � � � � tan t � 1 dt log dt log 2 log t Hay: f t log � � tan t � tan t � 0 f t dt � dt � log tdt � I t 04 Vậy: I � �I sin x d/ I dx 6 � sin x cos x (1) � � sin � t � cos6 x �2 � dx I � � � � �d t � cos x sin x sin � t � cos � t � �2 � �2 � (2) Cộng (1) (2) ta có: I cos x sin x dx dx x � I � � cos x sin x 0 e/ x 1 x � m n 6 dx Đặt: t x suy x t Khi x 0, t 1; x 1, t 0; dt dx 0 1 t t dt � x n x dx t t dt � Do đó: I � m n m n m MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 4sin x dx � cos x x 1 x � cos x 2sin x dx � cos x 3sin x x sin x dx (HVNHTPHCM-2000) x �cos x sin x � cos (XD-98) sin x cos x dx x �1 cos dx (ĐHKT-97) sin x cos x dx (CĐSPHN-2000) � 3sin x cos x x dx (AN-97) sin x � (CĐSPKT-2000) ln � dx � � � cos x � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x sin x dx (ĐHYDTPHCM-2000) � cos x 10 sin x cos x dx � sin x cos3 x a sin x b cos x c dx * Dạng: I � a 'sin x b 'cos x c ' Cách giải: B ' a 'cos x b 'sin x a sin x b cos x c C dx A � a 'sin x b 'cos x c ' a 'sin x b 'cos x c ' a 'sin x b 'cos x c ' Ta phân tích: - Sau đó: Quy đồng mẫu số - Đồng hai tử số, để tìm A, B, C - Tính I: � B a 'cos x b 'sin x � C dx I � A dx Ax B ln a 'sin x b 'cos x c ' C � � � a 'sin x b 'cos x c ' a 'sin x b 'cos x c ' � � a 'sin x b 'cos x VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tính tíchphân sau: a sin x cos x dx (Bộ đề) � sin x cos x c b cos x 2sin x dx (XD-98) � cos x 3sin x sin x cos x d I cos x 3sin x 1dx � 4sin x 3cos x dx � 4sin x 3cos x Giải a C sin x cos x Ta có: f x sin x cos x A B cos x 2sin x dx � sin x cos x sin x cos x sin x 2cos x sin x cos x Quy đồng mẫu số đồng hệ số hai tử số: � �A �A B � A B sin x A B cos x A C � � � f x �� A B 1 � �B Thay vào (1) sin x cos x � � 3A C � � C � � 2 � � d sin x cos x 3 I� dx dx ln sin x cos x � � � � � sin x cos x sin x cos x 10 0� I 4 ln ln J 10 5 (2) - Tính tíchphân J: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word J (1) � dx dt ; x � t 0, x � t � cos x � x 2dt � t tan � � J Đặt: � � 2dt 2dt � t f x dx � 2t 1 t2 t t 2t 2 3 � 1 t2 1 t � 3 Tính (3): Đặt: � du dt t � tan u u1 ; t � tan u u2 � cos u � t tan u � � 2du du �f t dt 2 cos u � cos u � u2 2 4 u2 u1 � I I ln u2 u1 Vậy: J � du 2 10 5 u b � �tan u1 � �tan u � B cos x 4sin x cos x 2sin x cos x 2sin x C dx; f x A � 1 � cos x 3sin x cos x 3sin x 4cos x 3sin x cos x 3sin x Giống phần a Ta có: A ; B ; C 5 3cos x 4sin x Vậy: I � � � 5 cos x 3sin x 0� � �2 �4 dx x ln 4cos x 3sin x � � � ln �0 10 � �5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng này, ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc: Bước 1: Đặt x v t Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận Bước 3: Phân tích f x dx f ... tích phân) a III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Trong phương pháp này, cần: Kỹ năng: Cần biết phân tích f(x) thành tổng, hiệu, tích, thương nhiều hàm số khác, mà ta sử... hàm”, cần phải nắm kiến thức Vi phân, công thức phép toán lũy thừa, phép toán bậc n số biểu diễn chúng dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính tích phân sau a/ � x 1 2 a/