Phân loại và các phương pháp giải số phức

Phân loại và các phương pháp giải số phức Phân loại và các phương pháp giải số phức Phân loại và các phương pháp giải số phứcPhân loại và các phương pháp giải số phứcPhân loại và các phương pháp giải số phức Phân loại và các phương pháp giải số phứcPhân loại và các phương pháp giải số phứcPhân loại và các phương pháp giải số phức

Chuyên Đề Số Phức Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức MỤC LỤC MỤC LỤC .2 (BỘ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BAO GỒM CHỦ ĐỀ) (SẼ UPDATE TRONG THOI GIAN TỚI) CHỦ ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN CHỦ ĐỀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC 27 CHỦ ĐỀ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 38 (BỘ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BAO GỒM CHỦ ĐỀ) (SẼ UPDATE TRONG THOI GIAN TỚI) Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức CHỦ ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN Phương pháp Cho hai số phức z = a + bi, z' = a'+ b'i, ( a,b,a',b' ∈ ¡ ) ta cần nhớ định nghĩa phép tính sau: a = a' z = z' ⇔   b = b' z + z' = ( a + a') + ( b + b') i; z − z' = ( a − a') + ( b − b') i z.z' = ( a + bi ) ( a'+ b'i ) = aa'− bb'+ ( ab'+ a'b) i z' z'.z ( a'+ b'i ) ( a − bi ) aa'+ bb'+ ( ab'− a'b) i = = = z z a2 + b2 a2 + b2 Vận dụng tính tính chất ta dễ dàng giải tốn sau Ta cần ý kết sau: Với i n , n∈ ¢ ( ) k  Nếu n = 4k ( k ∈ ¢ ) i n = i 4k = i  Nếu n = 4k + ( k ∈ ¢ ) i n = i 4k i = 1.i = i  Nếu n = 4k + ( k ∈ ¢ ) i n = i 4k i = 1.( −1) = −1  Nếu n = 4k + ( k ∈ ¢ ) i n = i 4k i = 1.( −i ) = −i =1 I CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ Cho số phức: z = 3 − i Tính số phức sau: z; z ; (z) ;1+ z + z 2 Giải Ta có  + i 2 z=     3 1 z = − i÷ = − i− = − i  2 ÷ 4 2   Tính (z)3 3 2    3  3 1  1  z = + i÷ =  ÷ + 3. ÷ i + . i ÷ +  i ÷  2 ÷  ÷  ÷ 2 2  2        3 3 = + i− − i=i 8 8 ( )  1+ z + z2 = 1+ 1 3 + 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 Dùng MTCT sau: Bước 1: Chọn chương trình số phức: Màn hình hiền thị MODE Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức Bước 2: Lưu − i → A Bước 3: Tính z ấn SHIFT 2 ALPHA A + i 2 Ta Bước 4: z2 Tính ấn ANPHA A Ta − i Bước 4: Tính (z)3 ta ấn ( SHIFT 2 ALPHA A ) x2 = ` Bước 5: Tính 1+ z + z Ta được: + 1+ − i 2 Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức: 1+ z + z2 = a) z = ( + 5i ) − ( 1− 2i ) ; c) z = ( + i ) b) z = ( − 3i ) ( + 5i ) ; ; 2i i +1 Giải d) z = a) Ta có: z = ( + 5i ) − ( 1− 2i ) = − 1+ ( + 2) i = + 7i Vậy phần thực a = ; phần ảo b = Dùng MTCT: b) Ta có: z = ( − 3i ) ( + 5i ) = 16 + 20i − 12i + 15 = 31+ 8i Vậy phần thực a = 31; phần ảo b = Dùng MTCT: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức c) Ta có: z = ( + i ) = + 3.4.i + 3.2.i + i = + 12i − − i = + 11i Vậy phần thực a = 2; phần ảo b = 11 Dùng MTCT: 2i ( i − 1) −2 + 2i 2i = 2 = = 1+ i i +1 i −1 −2 Vậy phần thực a = 1; phần ảo b = Dùng MTCT: d) Ta có: z = Ví dụ Thực phép tính sau: a) A = ( 1+ i ) ( − 3i ) ; −5 + 6i b) B = ; + 3i d) D = − 2i ; i  1+ 7i  e)  ÷  + 3i  c) C= 1 − i 2 2026 Giải a) Ta có: A = 1 7− i = = = = − i ( 1+ i ) ( − 3i ) − 3i + 4i − 3i + i 72 − i 50 50 Dùng MTCT: b) Ta có: B = −5 + 6i ( −5 + 6i ) ( − 3i ) −2 + 39i −2 39 = = = + i + 3i 25 25 25 42 − ( 3i ) Dùng MTCT: c) Ta có: C = 1 − i 2 Dùng MTCT: = 1− 3i = ( 1+ 3i − 3i ) = 2+ 3i = + i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức d) Ta có: D = − 2i ( − 2i ) ( −i ) = = −3i + 2i = −2 − 3i i −i Dùng MTCT: e) Ta có: 2026  1+ 7i   ÷  + 3i  = ( 2i ) 1013  ( 1+ 7i ) ( − 3i )  =   ( + 3i ) ( − 3i )  2026 = ( 1+ i ) 2026 = ( 1+ i )    1013 = 21013.i1013 = 21013.i1012.i = 21013.i Dùng MTCT: 1+ 7i + 3i Bước 1: Tính Bước 2: ( 1+ i ) 2026 = ( 1+ i )    1013 = ( 2i ) 1013 Tìm dư phép chia 1013 cho Suy ra: i 2013 = i 2026  1+ 7i  Vậy  ÷  + 3i  = 21013i Ví dụ Viết số phức sau dạng a + bi,( a,b ∈ R ) : a) z = ( + i ) − ( 1+ 2i ) − ( − i ) ( − i ) ; 3 1+ i − i 1+ 2i b) z = + − ; 1− i − i 1+ i d) z = ( 2+ i ) ( + i ) ( 1+ i ) ; z= 2( 1− i ) − 3( 1+ i ) c) ( 1− 2i ) e) z = ; ( 1+ i ) ( − 2i ) Giải a) z = ( + i ) − ( 1+ 2i ) − ( − i ) ( − i ) 3 ( = 23 + 3.22i + 3.2i + i − 1+ 3.2i + 3.( 2i ) + ( 2i )  − − 3i − 2i + i   = + 12i − − i − ( 1+ 6i − 12 − 8i ) − ( − 5i − 1) = + 18i ) Dùng MTCT: b) z = 1+ i − i 1+ 2i + − 1− i − i 1+ i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức ( 1+ i ) + ( − i ) ( + i ) − ( 1+ 1i ) ( 1− i ) = ( 1− i ) ( 1+ i ) ( − i ) ( + i ) ( 1+ i ) ( 1− i ) 1+ 2i + i + i − i 1+ i − 2i 2i + i + i + − = + − = − + i 1+ 4+ 1+ 10 10 Dùng MTCT: = + i + 4i ) ( 1+ i ) + i ) ( 1+ i ) ( ( c) z = = −1− 5i 2( 1− i ) − 3( 1+ i ) ( 3+ 4i ) ( 1+ i ) = − 3+ 4i + 7i = ( 1− 7i ) ( 1− 5i ) =− 1+ 5i 1+ 5i ( 1+ 5i ) ( 1− 5i ) 1+ 35i − 12i −34 − 12i 17 = = − − i 1+ 25 26 13 13 Dùng MTCT: = d) z = ( 2+ i ) ( 1− 2i ) 3  ( + i ) ( 1+ 2i )  2+ i  = + i = ( ) ÷  ( 1− 2i ) ( 1+ 2i )  1− 2i    ÷ + i + 4i ÷  ( )  5i  = ÷ ( + 4i ) = i ( + 4i ) = −i ( 3+ 4i ) = − 3i  1+  Dùng MTCT: e) ( 1+ i ) ( 1+ i ) =  1+ i 2 1+ i z= = )  ÷ ( 5 ( − 2i ) 25 ( 1− i ) 32  1− i  6 1 i i ( 1+ i ) = i ( 1+ i ) = − + i 32 32 32 32 Dùng MTCT: = Ví dụ Tìm nghịch đảo số phức sau: a)z = + 4i; b) z = −3 − 2i; c)z = 1+ i ; − 2i ( ) d)z = + i Giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức a) Xét z = + 4i Ta có: 1 − 4i − 4i = = = = − i z + 4i 32 − ( 4i ) 25 25 25 Vậy nghịch đảo số phức z = − i z 25 25 Dùng MTCT: b) Xét z = −3 − 2i Ta có: −1( − 2i ) −3 + 2i −3 1 −1 = = = = = + i z −3 − 2i + 2i 9+ 13 13 13 −3 Vậy nghịch đảo số phức z = + i z 13 13 Dùng MTCT: c) Xét z = 1+ i Ta có: − 2i ( ) − 2i ( − 2i ) 1− i − + = = = − i z 1+ i 6 12 + Dùng MTCT: ( d) Xét z = + i ) = + 2i Ta có 1 − 2i = = z + 2i 72 + ( ) = − 2i = − i 121 121 121 Dùng MTCT: Lời bình: Nếu đề cho trắc nghiệm câu dò kết từ đáp án trắc nghiệm hai số ≈ 0,070126 121 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức Nhận xét: Quá trình thực trên, thực ta dùng công thức sau: z.z = z ⇒ z = z z2 Ví dụ Cho z = ( 2a − 1) + ( 3b + 5) i, ∀a,b ∈ ¡ Tìm số a,b để a) z số thực b) z số ảo Giải a) z số thực ⇔ 3b + = ⇔ b = − b) z số ảo ⇔ 2a − = ⇔ a = Ví dụ Tìm m ∈ R để: a) Số phức z = 1+ ( 1+ mi ) + ( 1+ mi ) b) Số phức z = m − 1+ 2( m − 1) i 1− mi số ảo số thực Định hướng: Ta cần biến đổi số phức z dạng z = a + bi, ( a,b∈ ¡ ) Lúc đó: z số ảo (ảo) a = z số thực b = Giải a) Ta có: z = 1+ ( 1+ mi ) + ( 1+ mi ) = 1+ 1+ mi + 1+ 2mi + i 2m2 = − m2 + 3mi z số ảo ⇔ − m2 = ⇔ m = ± b) Ta có: m − 1+ 2( m − 1) i z= = = ( m − 1+ 2( m − 1) i ) ( 1+ mi ) ( 1− mi ) ( 1+ mi ) m − 1− m( 2m − 2) +  m ( m − 1) + 2m − 2 i 1− mi 1+ m2 z số thực ⇔ m( m − 1) + 2m − = ⇔ m2 + m − = ⇔ m = 1∨ m = −2 Ví dụ Tìm số thực x, y cho z = z' , với trường hợp a)z = ( −3x − 9) + 3i, z' = 12 + ( 5y − 7) i; b)z = ( 2x − 3) − ( 3y + 1) i, z' = ( 2y + 1) + ( 3x − 7) i c) (x2 + 2y + i)( − i ) + y ( x + 1) ( 1− i ) = 26 − 14i ( d) x2 + y2 ( + 2i ) ( 3i − 1) + ( y + 2x) 3+ i ( 1+ i ) ) = 320 + 896i Giải  −3x − = 12 x = −7 ⇔ a) z = z' ⇔   = 5y − y = Vậy x = −7;y = Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức  2x − = 2y + 2x − 2y = x − y = x = ⇔ ⇔ ⇔ b) z = z' ⇔   −3y − 1= 3x − 3x + 3y = x + y =  y = Vậy x = 2;y = c) Ta có ( − i ) = − 6i;( 1− i ) = −2 − 2i nên đẳng thức cho có dạng (x ) + 2y + i ( − 6i ) + y ( x + 1) ( −2 − 2i ) = 26 − 14i ( ) 2 Hay 8x − 2xy + 14y + + − 6x − 2xy − 14y = 26 − 14i  4x2 − xy + 7y = 10  4x2 − xy + 7y = 10 4x2 − xy + 7y = 10,( 1) ⇔ ⇔ Suy ra:  2 2y = − x ,( 2)  3x + xy + 7y = 11  x + 2y = Thế (2) vào (1) ta có x3 + x2 − 3x + 1= ⇒ x = 1,x = −1± Vậy cặp số thực cần tìm ( x;y) = ( 1;1) ,( −1− d) Ta có ( ) 3i − ( = 64, ( )( 2; − , −1+ 2; 3+ i ( 1+ i ) ) ) ( ) ( ) 2 = 128i nên 64 x + y + 2i + 128i y + 2x = 320 + 896i ) 2 Hay x + y + 2i y + 2x + = + 14i  x2 + y2 =  x 2−2x + = x = ⇔ ⇒ Vì ta có:  2 y + 2x = y = − 2x  y = ±2   Vậy cặp số cần tìm là: ( x;y ) = ( 1;2) ,( 1; −2) Ví dụ Chứng minh : 3( 1+ i ) = 4i ( 1+ i ) 100 98 − 4( 1+ i ) 96 Giải Ta có: 3( 1+ i ) 100 = ( 1+ i ) − 4i ( 1+ i ) 96   98 + 4( 1+ i ) 96 = ( 1+ i ) 96   3( 1+ i ) − 4i ( 1+ i ) + 4  96 3( 2i ) − 4i ( 2i ) + 3 = ( 1+ i ) =  Vậy đẳng thức cho chứng minh Ví dụ 10 a) Tính mơ-đun số phức z biết z = 3i ( − i ) + 2i ( 1− 3i ) b) Cho số phức z thỏa mãn z= 1− i Tìm mơđun số phức z + iz Giải a) Ta có z = 3i ( − i ) + 2i = 6i − 3i − 2i = + 4i Vậy mô-đun z z = 32 + 42 = Dùng MTCT: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 Chuyên Đề Số Phức z+i z−i số thực dương  2x =  x = 2 x + y − 1> ⇔    y > x + y − ≠ ( )  Vậy tập hợp điểm phải tìm hai tia Ay A’y’ trục tung trừ hai điểm A ( 0;1) A '( 0; −1) b) Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Ta có: ( ) z2 = z ⇔ ( x + yi ) = ( x − yi ) ⇔ x2 − y2 + 2xyi = x2 − y2 − 2xyi 2 x = ⇔ 4xyi = ⇔ xy = ⇔  y = Vậy tập hợp điểm cần tìm trục tọa độ c) Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: z2 + 2z + = ( x + yi ) + 2( x + yi ) + = x2 − y2 + 2x + + 2y ( x + 1) i Để z2 + 2z + 5∈ ¡ +   y =   2y ( x + 1) = x + 2x + > ⇔  2  x + y + 2x + >  x = −1   y2 <    x = −1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa đề   −2 < y < d) Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Ta có: log z−2 +2 4z− −1 > 1⇔ z−2 +2 ⇔ z−2 >7 4z − −1 < ⇔ x + yi − > ⇔ ( x − 2) + y2 > 49 Vậy tập hợp điểm thỏa mãn tốn nằm ngồi hình tròn tâm I ( 2;0) , bán kính R = Ví dụ 11 Gọi M M ' điểm biểu diễn số phức z z’ = ,( z ≠ 0) z Đặt z = x + iy z' = x'+ iy',( x,y,x',y' ∈ R ) a) Tính x’,y’ theo x,y tính x,y theo x’,y’ b) Cho M di động đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R = Tìm tập hợp điểm M’ c) Cho M di động đường thẳng d :y = x + , tìm tập hợp điểm M’ Giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 43 Chuyên Đề Số Phức  x x' = x + y2 x + iy  z z ⇔ z' = ⇔ x'+ y'i = = a) Ta có: z' = ⇔ z' = y z z.z | z|2 x + y2  y' =  x + y2  Tương tự, ta có:  x' x = x' + y'2 x'+ iy' 1 z' z'  z' = ⇔ z = ⇔ z = ⇔ z = = ⇔ x + iy = ⇔  y' z z' z' z'.z' z' x' + y'2 y =  x' + y'2  b) Đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R = có phương trình (C ): ( x + 1) + ( y − 1) = ⇔ x2 + y2 + 2x − 2y = 2 Điểm M ∈ ( C ) ⇔ tọa độ M ( x;y ) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 + 2x − 2y = ⇔ ⇔ 1+ 2x x2 + y − 2y x2 + y2 x2 + y2 + 2x − 2y x2 + y2 = ( Vì x2 + y2 ≠ z ≠ ) ⇔ 2x'− 2y'+ 1= (vì x x2 + y2 = x' y x2 + y2 = y' theo kết câu a)) Suy tọa độ điểm M’(x’;y’) thỏa mãn phương trình 2x'− 2y'+ 1= Vậy tập hợp điểm M’ đường thẳng có phương trình 2x − 2y + 1= c) Điểm M di động đường thẳng d: y = x + nên tọa độ M(x;y) thỏa mãn y = x + ⇔ y' 2 x' + y' = x' 2 x' + y' + (vì theo câu a ta có y = y' 2 x' + y' x = x' x' + y'2 ) ⇔ y' = x'+ x'2 + y'2 ⇔ x'2 + y'2 + x'− y' = Suy tọa độ M ’( x’;y’) thỏa mãn phương trình: x'2 + y'2 + x'− y' = Vậy tập hợp điểm M’ đường tròn (C’) có phương trình: x2 + y2 + x − y = Ví dụ 12 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi  thỏa mãn điều kiện  y − x ≤ a)  ;  y ≥ 2x b)1< z ≤ Hướng dẫn giải a) Vẽ đường thẳng d: y- x = Parabol: y = 2x2  y − x ≤  x − y + 1≥ ⇔ Ta có:  2  y ≥ 2x  y ≥ 2x Vậy tập hợp điểm M phần giới hạn đường thẳng d (P) b) 1< x2 + y2 ≤ Vậy tập hợp điểm hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm O bán kính 2, không lấy đường bên Chú ý: Với câu c, giả sử đề thêm yêu cầu: tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa 1< z ≤ phần thực khơng âm Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 44 Chuyên Đề Số Phức  1< x2 + y2 ≤ ycbt ⇒   x ≥ Vậy tập hợp điểm hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm O bán kính 2, lấy phần bên phải trục tung không lấy bên II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều + z = i − z A Đường thẳng 4x + 2y + = A Đường thẳng x + 2y − = B Đường thẳng 4x − 2y + = D Đường thẳng x + 9y − = Hướng dẫn giải Cách Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) số phức cho M ( x;y ) điểm biểu diễn z mặt phẳng phức Ta có z + = i − z ⇔ ( x + 2) + yi = x + ( y − 1) i ⇔ ( x + 2) + y2 = x2 + ( y − 1) ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng 4x + 2y + = Vậy chọn đáp án A Cách z + = i − z ⇔ z − ( −2) = i − z ( *) Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) số phức cho M ( x;y ) điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, Điểm A biểu diễn số -2 tức A ( −2;0) điểm B biểu diễn số phức i tức B( 0;1) Khi ( *) ⇔ MA = MB Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường trung tực AB: 4x + 2y + = Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i = z + 1− i A Đường thẳng x + y + = A Đường thẳng x + 2y + = B Đường thẳng x − 2y + = D Đường thẳng x − y − 1= Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi (x,y ∈ ¡ ) , điểm M ( x;y ) biểu diễn z Theo ta có: x + ( y + 2) i = ( x + 1) − ( y + 1) i ⇔ x2 + ( y + 2) = ( x + 1) + ( y + 1) ⇔ 4y + = 2x + 2y + ⇔ x − y − 1= Suy M thuộc đường thẳng có phương trình x − y − 1= Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình x − y − 1= Vậy chọn đáp án D Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1− i ) z + − 2i = ( 1− 7i ) z + i A Đường thẳng A Đường elip B Đường tròn D Đường Parabol Hướng dẫn giải Nhận thấy 51+ i = = 1− 7i Ta có ( 1− i ) z + − 2i = ( 1− 7i ) z + i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 45 Chuyên Đề Số Phức ⇔ 5( 1− i ) z + ⇔ z+ − 2i i = 1− 7i z + + 5i 1− 7i − 2i i 1 = z+ ⇔ z+ − i = z− + i + 5i 1− 7i 10 50 50  1   Vậy tập hợp M đường trung trực AB, với A  − ; ÷,B ; ÷  10   50 50  Vậy chọn đáp án A Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + z + = , x= − 2 A Hai đuờng thẳng x = , x = 2 A Hai đuờng thẳng x = Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ B Hai đuờng thẳng x = − , x = − 2 D Hai đuờng thẳng x = − , x = 2 Hướng dẫn giải ) Lúc đó: z + z + = ⇔ x + yi + x − yi + = ⇔ 2x + = ⇔ 4x2 + 12x + = 16  x=  ⇔ 4x2 + 12x − = ⇔  x = −  Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng x= ;x = − song song với trục tung 2 Vậy chọn đáp án A Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − z + 1− i = A Hai đuờng thẳng y= A Hai đuờng thẳng y= Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ 1+ 1+ ;y = 2 B Hai đuờng thẳng 1+ 1− D Hai đuờng thẳng ;y = 2 Hướng dẫn giải y= 1+ 1− ;y = 2 y= 1− 1− ;y = 2 ) Lúc đó: z − z + 1− i = ⇔ x + yi − x + yi + 1− i = ⇔ 1− ( 2y − 1) i = ⇔ 1+ ( 2y − 1) = ⇔ 1+ 4y2 − 4y + 1= ⇔ 4y2 − 4y − =  1+ y = ⇔ 2y2 − 2y − 1= ⇔   1− y =  Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng y= 1+ 1− song song với trục hoành ;y = 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 46 Chuyên Đề Số Phức Vậy chọn đáp án B Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z − z − A Hai đuờng thẳng x = , y = C Hai đuờng thẳng x = , x = −2 B Hai đuờng thẳng x = , y = −2 D Hai đuờng thẳng x = , y = −2 Hướng dẫn giải Gọi M ( x;y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi , ( x,y∈ ¡ ) thỏa z + = z − z − ⇔ x + yi + = x + yi − ( x − yi ) − ⇔ x + 1+ yi = −2 + 2yi x = + ( 2y ) ⇔ x2 + 2x = ⇔   x = −2 Vậy tập hợp điểm M cần tìm hai đường thẳng x = , x = −2 Vậy chọn đáp án C Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều ⇔ ( x + 1) + y2 = ( −2) kiện z − 1+ i = A Đuờng thẳng x − y − = B Đường tròn ( x + 1) + ( y + 1) = 2 D Đường tròn tâm I ( 1; −1) bán kính C Đường thẳng x + y − = R = Hướng dẫn giải Xét hệ thức: z − 1+ i = Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Vậy, tập hợp điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) đường tròn tâm I ( 1; −1) bán kính R = Vậy chọn đáp án D Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z = z−1 18 y− =0 8 18 C Đường tròn x2 + y2 + y + = 8 18 y+ =0 8  9 D Đường tròn tâm I  0; ÷ bán kính  8 A Đuờng tròn x2 + y2 − B Đường tròn x2 + y2 − R= Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¢ ) Ta có z 18 = ⇔ z = z − ⇔ x2 + y2 − y + = z−1 8 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 47 Chuyên Đề Số Phức  9 Vậy, tập hợp điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) đường tròn tâm I  0; ÷ bán  8 kính R = Vậy chọn đáp án B Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = 2z + 1− 2i 8 A Đuờng tròn x2 + y2 − x − y + = B Đường tròn x2 + y2 + x + y − = 3 3 3 8 C Đường tròn x2 + y2 − x − y − = D x2 + y2 − x + y − = 3 3 3 Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z + − 2i = 2z + 1− 2i ⇔ ( x + 3) + ( y − 2) i = ( 2x + 1) + ( 2y − 2) i ⇔ ( x + 3) + ( y − 2) = ( 2x + 1) + ( 2y − 2) 2 ⇔ 3x2 + 3y2 − 2x − 4y − = Suy ra: Tập hợp điểm biểu diễn z phương trình đường tròn (C): x2 + y2 − x − y − = 3 Vậy chọn đáp án C Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = ( 1+ i ) z A Đuờng tròn x2 + ( y + 1) = B Đường tròn x2 + ( y − 1) = C Đường tròn ( x − 1) + ( y + 1) = D ( x + 1) + ( y + 1) = 2 2 2 Hướng dẫn giải Gọi M ( x;y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) Suy z − i = x2 + ( y − 1) ⇔ ( 1+ i ) z = ( 1+ i ) ( x + yi ) = ( x − y) + ( x + y) Nên z − i = ( 1+ i ) z ⇔ x2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) ⇔ x2 + ( y + 1) = 2 2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn x2 + ( y + 1) = Vậy chọn đáp án A Câu Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 4i + z + 4i = 10 y2 A Đuờng elip x + =1 16 y2 B Đuờng elip x + =1 16 y2 C Đuờng elip x + =1 y2 D Đuờng elip x + =1 Hướng dẫn giải Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 48 Chuyên Đề Số Phức Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Lúc (4) ⇔ x2 + ( y − 4) + x2 + ( y + 4) = 10 ⇔ 2 x2 y2 + =1 16 Vậy tập hợp điểm M đường elip có hai tiêu điểm F1(0;4);F2(0; −4) độ dài trục lớn 16 Vậy chọn đáp án A Câu 10 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − + z + = A Đuờng tròn C Đuờng parabol B Đuờng elip D Đuờng thẳng Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z − + z + = ⇔ ( x − 2) + yi + ( x + 2) + yi = ⇔ ( x − 2) + y2 + ( x + 2) + y2 = ( 1) Xét A ( 2;0) ;B( −2;0) ;I ( x;y ) ⇒ IA + IB = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z tập hợp điểm I thỏa mãn IA + IB = , elip có tiêu cự c = AB IA + IB = 2;a = = 2 Vậy chọn đáp án B Câu 11 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện + z > z − A Tập hợp điểm B Tập hợp điểm C Tập hợp điểm D Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên phải trục tung nửa mặt phẳng bên trái trục tung nửa mặt phẳng phía trục hồnh nửa mặt phẳng phía trục hồnh Hướng dẫn giải Xét hệ thực: + z > z − ( 1) Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: (3) ⇔ 8x > Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (1) nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm ( x,y) mà x > Vậy chọn đáp án A Câu 12 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 1≤ z + 1− i ≤ A Tập hợp điểm hình tròn có tâm I ( 1; −1) , bán kính B Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm A ( −1;1) bán kính lớn nhỏ 2; C Tập hợp điểm hình tròn có tâm I ( 1; −1) , bán kính D Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm I ( 1; −1) bán kính lớn nhỏ 2; Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 49 Chuyên Đề Số Phức b) Xét hệ thực: 1≤ z + 1− i ≤ ( 2) Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: ( 2) ⇔ 1≤ ( x + 1) + ( y − 1) ≤ 2 Vậy tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (2) hình vành khăn có tâm A ( −1;1) bán kính lớn nhỏ 2; Vậy chọn đáp án B Câu 13 Tìm tất điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho z+i z+i số thực A Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ B Tập hợp điểm trục hoành C Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ điểm A(0;1) D Tập hợp điểm trục tung, bỏ A(0;1) Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z+i z+i z+i z+i = x + ( y + 1) ( 1− y ) +  x( y + 1) − x( 1− y )  i x2 + ( 1− y ) số thực ⇔ x( y + 1) − x( 1− y ) = ⇔ xy = Mặt khác: x2 + ( y − 1) ≠ ⇔ mặt phẳng phức bỏ điểm ( 0;1) x =  Vậy điểm mặt phẳng phức cần tìm gồm hai trục tọa Tóm lại: ycbt ⇔   y =  x,y ≠ 0;1 ) ( ) ( độ bỏ điểm A(0;1) Vậy chọn đáp án C Câu 14 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u = z + + 3i số z−i ảo A Đường tròn tâm I ( −1; −1) bán kính R = B Đường tròn tâm I ( −1; −1) bán kính R = trừ hai điểm A ( 0;1) ; B( −2; −3) C Đường tròn tâm I ( 1;1) bán kính R = D Đường tròn tâm I ( 1;1) bán kính R = trừ hai điểm A ( 0;1) ; B( −2; −3) Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Ta có: 2 z + + 3i  x + + ( y + 3) i   x − ( y − 1) i  x + y + 2x + 2y − + 2( 2x − y + 1) i u= = = 2 z−i x2 + ( y − 1) x2 + ( y − 1) Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 50 Chuyên Đề Số Phức  x+ + y + = ) ( ) (  x + y + 2x + 2y − =  ⇔ ( x,y ) ≠ ( 0;1) u số ảo ⇔    2x − y + 1≠ x,y ) ≠ ( −2; −3) ( 2 Vậy tập hợp điểm z đường tròn tâm I ( −1; −1) bán kính R = trừ hai điểm A ( 0;1) ; B( −2; −3) Vậy chọn đáp án B Câu 15 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi  thỏa mãn điều kiện x + y = A Ba cạnh tam giác B Bốn cạnh hình vng C Bốn cạnh hình chữ nhật D Bốn cạnh hình thoi Hướng dẫn giải Gọi M điểm biểu diễn số phức z x + y = x ≥ 0,y ≥  x − y = x ≥ 0,y ≤ Ta có: x + y = 1⇔  − x + y = x ≤ 0,y ≥ − x − y = x ≤ 0,y ≤ Vậy tập hợp điểm M cạnh hình vng Vậy chọn đáp án B Câu 16 Gọi M P điểm biểu diễn số phức z = x + iy,( x,y ∈ R ) w = z2 Tìm tập hợp điểm P trường hợp sau đây: Câu 16 M thuộc đường thẳng d: y = 2x A Đường thẳng ( d') : y = − x B Tia ( d') : y = − x,x ≤ C Đường thẳng ( d') : y = x D Tia ( d') : y = − x,x > Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi w = u + vi ( x,y,u,v ∈ R ) , ta có: u = x2 − y2 w = z2 ⇔ u + vi = ( x + yi ) ⇔ u + vi = x2 − y2 + 2xyi ⇔  v = 2xy M thuộc đường thẳng d: y = 2x ⇒ tọa độ điểm P thỏa mãn u = −3x2 ≤  u = x2 − 4x2 u = −3x ≤  ⇔ ⇔  v = 4x v = − u  v = 2x( 2x)  Vậy tập hợp điểm P tia ( d') : y = − x,x ≤ Vậy chọn đáp án B Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 51 Chuyên Đề Số Phức Câu 16.2 M thuộc đường thẳng d: y = x + 1 A Đường thẳng d': y = x − 3 1 B Parabol ( P ) : y = x2 − 2 C Đường tròn ( x − 1) + ( y − 3) = 2 y2 D Elip x + =1 25 16 Hướng dẫn giải M thuộc đường thẳng d: y = x + 1⇒ tọa độ điểm P thỏa mãn  −u − x =  u = x2 − x +  u = − 2x −  ( ) ⇔  ⇔   2 v = 2x + 2x v = 2 − u − 1 + 2 − u − 1  v = 2x( x + 1)  ÷  ÷        −u − −u −  x =  x = ⇔ ⇔  v = u2 + 2u + − u − v = u2 − 2   ( ) Vậy tập hợp điểm P parabol có phương trình y = x − 2 Vậy chọn đáp án B Câu 16.3 M thuộc đường tròn ( C ) :x2 + y2 = 1; A Đường thẳng d': y = x + B Parabol ( P ) : y = x2 C Đường tròn x2 + y2 = D Elip x2 + y2 = Hướng dẫn giải 2 Ta có zz' = z z' S uy z = z.z = z z = z 2 M thuộc đường tròn ( C ) :x + y = ⇔ z = ⇔ w = z = z = 2 Vậy tập hợp điểm P đường tròn ( C ) :x2 + y2 = Vậy chọn đáp án C Câu 16.4 M thuộc hypebol ( C ) : y = ( x ≠ 0) x A Đường thẳng d':x = B Đường thẳng d': y = −2 C Đường thẳng d': y = D Đường thẳng d': y = Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 52 Chuyên Đề Số Phức M thuộc hypebol ( C ) : y = ,( x ≠ 0) Suy tọa độ điểm P(u;v) thỏa mãn: x    u = x − x ⇔ u = x −   x  v = 2x v =   x Vậy tập hợp điểm P đường thẳng có phương trình y=2 Vậy chọn đáp án D Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+i z+i số ảo + z+1 z+1   A Đường tròn tâm I  − ;0÷ bán kính R = 2     B Đường tròn tâm I  − ;0÷ bán kính R = trừ hai điểm ( −1;0)     C Đường tròn tâm I  − ;0÷ bán kính R =     D Đường tròn tâm I  − ;0÷ bán kính R = trừ hai điểm ( 0;1)   Hướng dẫn giải Giả sử z = x + yi điểm biểu diễn số phức z M ( x;y ) ( ( ) ) 2 z + i z + i z + z + z + i z + z + 2i x + y + 2x + 2( x + 1) i + = = Ta có: 2 z+1 z+1 z +z+z+1 ( x + 1) + y2 ( )  x2 + y2 + 2x =  1  x +   z+i z+i ÷ +y = ⇔ ⇔ số ảo + 2   z+1 z+1 ( x + 1) + y2 ≠   ( x;y ) ≠ ( −1;0)  1 Vậy tập hợp điểm M đường tròn  x + ÷ + y2 = bỏ điểm ( −1;0)   Vậy chọn đáp án B Câu 19 Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w = iz + , biết z số phức thỏa mãn: ( z − 2i + 1) = A Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 2 B Đường tròn ( C ) : ( x + 3) + ( y + 1) = 2 C Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = 2 D Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 2 Hướng dẫn giải Ta có z = z nên ( z − 2i + 1) ( ) = 23 ⇔ z − 2i + = ( *) Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 53 Chuyên Đề Số Phức Đặt w = x + yi Ta lại có w = iz + ⇔ z = i − iw ⇒ z = −i + i.w (*) trở thành: iw − 3i + = ⇔ Vậy quỹ ( C ) : ( x − 3) tích ( y + 1) + ( x − 3) = ⇔ ( y + 1) + ( x − 3) = điểm biểu diễn w mặt phẳng phức đường tròn + ( y + 1) = Vậy chọn đáp án C Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn: w = z + + i , biết z số phức thỏa z − 1+ 2i = A Đường tròn tâm I ( 1;2) bán kính R = B Đường tròn tâm I ( 2;1) bán kính R = C Đường tròn tâm I ( 1;1) bán kính R = D Đường tròn tâm I ( 3;3) , bán kính R = Hướng dẫn giải Gọi w = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) ⇒ M ( x;y ) điểm biểu diễn cho số w hệ trục Oxy z = w − − i = x − + ( y − 1) i ⇒ z = x − + ( 1− y ) i z − 1+ 2i = 1⇔ x − + ( − y ) i = 1⇔ ( x − 3) + ( y − 3) = 2 Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I ( 3;3) , bán kính R = Vậy chọn đáp án D Câu 21 Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức w = ( 1− 2i ) z + biết z số phức thỏa mãn: z + = A Đường tròn tâm I ( 1;2) bán kính R = B Đường tròn tâm I ( 2;1) bán kính R = C Đường tròn tâm I ( 1;4) bán kính R = 5 D Đường tròn tâm I ( 1;3) , bán kính R = Hướng dẫn giải Theo giả thiết: z + = ⇔ ⇔ ( a − 1) a − 1+ ( b − 4) i 1− 2i = ⇔ a − 1+ ( b − 4) i = 51− 2i + ( b − 4) = 5 ⇔ ( a − 1) + ( b − 4) = 125 2 Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề đường tròn tâm I ( 1;4) bán kính R = 5 Vậy chọn đáp án C ( ) Câu 22 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z' = 1− i z − với z + ≤ ( ) A Hình tròn tâm I −3; , R = ( ) B Đường tròn tâm I −3; , R = C Hình tròn tâm I ( 1; −4) bán kính R = Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 54 Chuyên Đề Số Phức D Đường tròn tâm I ( 1;3) , bán kính R = Hướng dẫn giải  z = a + bi ( a,b ∈ ¡ ) aGiả sử ta có   z' = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: ( ) ( ) ( z' = 1− i z − ⇔ x + yi = 1− i ( a + bi ) − ⇔ x + yi = a + b − + b − a )  x− y 3+  x = a + b − a = ⇔ ⇔ 3x + y +   y = b − a  b = Theo ta có: 2  x − y +   3x + y +  z + ≤ ⇔ ( a + 1) + b ≤ ⇔  + 1÷ +  ÷ ≤4  ÷  ÷ 4     ( ) ( ⇔ x− y 3+ + ) 3x + y + ≤ 64 ⇔ 4x2 + 4y2 + 24x − 3y − 16 ≤ ( ⇔ x2 + y2 + 6x − 3y − ≤ ⇔ ( x + 3) + y − ) ≤ 16 ( ) Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z’ hình tròn tâm I −3; , R = Vậy chọn đáp án A ( ) Câu 23 Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức w = 1+ i z + biết số phức z thỏa mãn z − ≤ ( ) A Hình tròn tâm I −3; , R = B Đường tròn tâm I ( 3;3) bán kính R = ( ) C Đường tròn tâm I 3; bán kính R = ( ) D Hình tròn tâm I 3; bán kính R = Hướng dẫn giải Đặt z = a + bi,( a,b ∈ ¡ ) w = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z − ≤ ⇔ ( a − 1) + b2 ≤ ( *) Từ ( ) ( ) w = 1+ i z + ⇒ x + yi = 1+ i ( a + bi ) +  x = a − b +  x − = a − 1− b ⇔ ⇔  y = 3a + b  y − = 3( a − 1) + b 2 ⇒ ( x − 3) + ( y − 3) = 4( a − 1) + b2  ≤ 16 ( Do (*))   ( ) Vậy tập hợp điểm cần tìm hình tròn tâm I 3; bán kính R = Vậy chọn đáp án D Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 55 Chuyên Đề Số Phức Câu 24 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z' = 2z + − i với 3z + i ≤ zz + ( ) A Hình tròn tâm I −3; , R = B Đường tròn tâm I ( 3;3) bán kính R = ( ) C Đường tròn tâm I 3; bán kính R =  7 73 D Hình tròn tâm I  3; − ÷ , R = 4   Giải  z = a + bi ( a,b ∈ ¡ ) Giả sử ta có   z' = x + yi ( x,y ∈ ¡ )  x−  x = 2a + a = ⇔ Khi z' = 2x + − i ⇔ x + yi = ( 2a + 3) + ( 2b − 1) i ⇔   y = 2b −  b = y +  Theo ta có: 3z + i ≤ zz + ⇔ 9a2 + ( 3b + 1) ≤ a2 + b2 + ⇔ 4a2 + 4b2 + 3b − ≤ 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 1) + 2 2  7 73 y + 1) − ≤ ⇔ ( x − 3) +  y + ÷ ≤ ( 4 16   7 73 Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z’ hình tròn tâm I  3; − ÷ , R = 4  Vậy chọn đáp án D Câu 25 (Đề minh họa bộ) Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i ) z + i đường tròn Tính bán kính r đường tròn A r = B r = C r = 20 D r = 22 Hướng dẫn giải Gọi w = a + bi , ta có w = a + bi = (3 + 4i ) z + i ⇔ z = a + (b − 1)i [ a + (b − 1)i ] (3 − 4i ) = + 4i − 16i (3a + 4b − 4) + (3b − 4a − 3) 3a + 4b − (3b − 4a − 3) = + i ⇒ z = 25 25 25 Mà z = nên ⇔ (3a + 4b − 4) + (3b − 4a − 3) = 100 ⇔ a + b − 2b = 399 Theo giả thiết, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i ) z + i đường tròn nên ta có a + b − 2b = 399 ⇔ a + (b − 1) = 400 ⇒ r = 400 = 20 Vậy chọn đáp án C BDKT LT THPT Quốc gia Môn Tốn ĐC: P5 Dãy 22 Tập thể Xã tắc-Đường Ngơ Thời Nhậm Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Facebook: Trần Đình Cư Page face: https://www.facebook.com/trandinhcu01234332133/ Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 56 Chuyên Đề Số Phức Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 57 ... k = Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 26 Chuyên Đề Số Phức CHỦ ĐỀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC Phương pháp  Trong mặt phẳng phức, số phức z =... dụ Cho số phức z = m + ( m − 3) i,m ∈ ¡ a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai y = − x b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm Hyperbol y = − x Ths Trần Đình Cư SĐT:... biểu diễn số phức −1− i Ví dụ Trong mặt phẳng phức cho điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' ≠ B’ biểu diễn số phức zz' Chứng