Phan loai tuyen10 nam2022 NC

1 Bất đẳng thức Bài 1.1 Hướng dẫn trang 17 (BinhDinh-2022 ) Cho số a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a b c + + ≥ b+c−a a+c−b a+b−c Bài 1.2 Hướng dẫn trang 17 (DakLak-2022 ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 12 Chứng minh a b c + + ≥ · b + 16 c + 16 a + 16 Bài 1.3 Hướng dẫn trang 17 (HaiDuong-2022 ) … … … ab bc ac Cho a; b; c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn + + = c a b √ √ √ 2022 √ Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = a + b + c + √ √ · a+ b+ c Bài 1.4 Hướng dẫn trang 17 (HaiPhong-2022 ) Cho a, b, c số durơng thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức b c a √ √ √ + + · P = a + a + bc b + b + ca c + c + ab Bài 1.5 Hướng dẫn trang 17 (QuangBinh-2022 ) Cho x, y > thỏa mãn x + y + 2xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y Bài 1.6 Hướng dẫn trang 17 (QuangNgai-2022 ) Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x + 2y = a) Chứng minh xy ≤ b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + Bài 1.7 16 x2 − 2x + + · xy x2 (TuyenQuang-2022 ) Hướng dẫn trang 17 Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 a + − b + − c + − ≤ b c a Bài 1.8 (Ninh Thuan-2022 ) Hướng dẫn trang 17 Cho ba số a, b, c thỏa mãn −1 ≤ a ≤ 1; −1 ≤ b ≤ 1; −1 ≤ c ≤ a + b + c = Chứng minh a2 + b7 + c2022 ≤ ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang Bài 1.9 Hướng dẫn trang 17 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 2022 Chứng minh (2a + 2b − c)2 + (2b + 2c − a)2 + (2c + 2a − b)2 = 18198 Bài 1.10 Hướng dẫn trang 17 (Tuyển sinh 2022 - 2023 ) a) Cho a, b, c ba số khác cho a + b + c = Chứng minh 1 1 1 + + + + = a2 b c a b c b) Tính giá trị biểu thức … … … 1 1 1 1 P = + 2+ 2+ + + + ··· + + + 2 2 3 Bài 1.11 Hướng dẫn trang 17 (SP-HN-2022 ) a) Khơng sử dụng máy tính, tính giá trị biểu thức P = √ 7+5 2+ √ − b) Cho đa thức P (x) = ax2 + bx + c Chứng minh P (x) nhận giá trị nguyên với số nguyên x ba số 2a, a + b, c số nguyên Sau đó, chứng tỏ 2a, a + b, c số nguyên P (x) c¯ ung nhận giá trị nguyên với số nguyên x Bài 1.12 Hướng dẫn trang 17 (Khoa Hoc -2022-2023-Toan2022 ) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh b2 c2 a2 + + ≥ P = 2 a+b b+c c+a Bài 1.13 Hướng dẫn trang 17 (Bac-Giang-2022 ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh abc a2 + b2 + c2 ≤ Bài 1.14 (Bến Tre, Năm 2022 ) Hướng dẫn trang 17 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 16x + 7y + 13z = 15 Tìm giá trị lớn biểu thức 2xy 3yz 7zx A= + + · 2x + y 2y + z 2z + x Bài 1.15 (Thừa Thiên Huế, năm 2022-2023 ) Hướng dẫn trang 17 a) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x3 − x2 (y + 1) + x(7 + y) − − y = b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh: x y z 3+x+y+z + + ≤ x2 + 15 y + 15 z + 15 32 Trang ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Bài 1.16 (Quảng Bình 2022 ) Hướng dẫn trang 18 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh b2 c2 a2 + + ≥ a + b + c b+c−a c+a−b a+b−c Bài 1.17 (Vĩnh Phúc - 2022 ) Hướng dẫn trang 18 2 Cho số thực dương √ a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca ≤ Chứng minh a) a + b + c ≤ · 2ab + 2bc + 2ca + b) + + ≥ (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 Giá trị lớn giá trị nhỏ Bài 2.18 Cho P = (DakNong-2022 ) Hướng dẫn trang 18 4x4044 + 9x2022 + · Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ x2022 + Bài 2.19 (HaNam-2022 ) Hướng dẫn trang 18 Cho hai số a, b thỏa mãn a+b ≥ a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = Bài 2.20 (HaNoi-2022 ) 20a2 + b +4b2 4a Hướng dẫn trang 18 Với số thực không âm x y thỏa mãn x2 + y = 4, tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2y Bài 2.21 (HaTinh-2022 ) Hướng dẫn trang 18 Cho a, b số thực thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ a + b + = ab Tìm giá trị lớn biểu thức √ √ a2 − b2 − 1 F = + + · a b a + b2 Bài 2.22 (KomTum-2022 ) Hướng dẫn trang 18 Cho x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x2 + 6y + 2y + 6x + 6y + = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = x + y − Bài 2.23 (NamDinh-2022 ) Hướng dẫn trang 18 Cho x, y, z số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức P = (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) − xyz ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang Bài 2.24 Hướng dẫn trang 18 (Thái Bình - 2022 ) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2022 √ √ √ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 2a2 + ab + 2b2 + 2b2 + bc + 2c2 + 2c2 + ca + 2a2 Bài 2.25 Hướng dẫn trang 18 (ThanhHoa-2022 ) Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z Q= + + + xyz 2 1+y 1+z 1+x Bài 2.26 Hướng dẫn trang 18 (VungTau-2022 ) Với số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ x2 + 2y + 3z = 15 Tìm giá trị nhỏ P = x + y + z Bài 2.27 Hướng dẫn trang 18 (Phan Bội Châu, Nghệ An 2022 ) Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x, y, z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức T = 7x + y + z + 9y + 2z − 3xz − 26xyz Bài 2.28 (Tuyển sinh năm 2022-2023 ) Hướng dẫn trang 18 a) Chứng minh 2x3 − 3x2 + ≥ với số thực x ≥ 1 b) Cho số thực không âm x, y, z thỏa + + = · Tìm giá trị nhỏ + x3 + y + z 1−x 1−y 1−z biểu thức Q = + + + 2022 2 1−x+x 1−y+y − z + z2 Bài 2.29 (Bắc Ninh 2022 ) Hướng dẫn trang 18 a) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x3 + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức y3 z3 x3 + + · P = 3y + 3z + 3x + b) Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn Hai bạn phải đấu với trận, bạn phải gặp đối thủ khơng có trận đấu hịa Chứng minh xếp 10 bạn thành hàng dọc cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau Bài 2.30 (BinhPhu2022 ) Hướng dẫn trang 18 a2 b2 a) Cho số thực dương a, b thỏa mãn a + b = Chứng minh + ≥ b+1 a+1 √ b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + a + b + + c = Tìm giá trị lớn Trang ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 biểu thức P = Bài 2.31 2a + 2b + 2c + + + · a+1 b+1 c+2 Hướng dẫn trang 19 (Bình Thuận 2022 ) Cho só dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2024 P = · + 2 a +b +c ab + bc + ca Bài 2.32 Hướng dẫn trang 19 (Dak Nông 2022 ) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức y2 z2 x2 + +√ · P = 15z + 26zx + 8x2 15x2 + 26xy + 8y 15y + 26yz + 8z Bài 2.33 Hướng dẫn trang 19 (KHTN-HN-2022 ) Xét số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn đồng thời điều kiện c ≤ b < a ≤ 3, b2 + 2a ≤ 10, b2 + 2a + 2c ≤ 14 a2 + b2 + + 4ab ≤ a3 + b3 + a + b Tìm giá trị lớn biểu thức P = 4a2 + b4 + 2b2 + 4c2 Bài 2.34 (Lâm Đồng 2022 ) Hướng dẫn trang 19 a) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P = + + · 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c b) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn O có trực tâm điểm H Gọi M điểm cung nhỏ BC (M khác B, C) Gọi N , P theo thứ tự điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N , H, P thẳng hàng Bài 2.35 (LamSon-ThanhH2022 ) Hướng dẫn trang 19 Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh b c a √ + √ + √ ≥ · 2 2 a b +1 b c +1 c a +1 Bài 2.36 (LeQuyDon-VungT2022 ) Hướng dẫn trang 19 Với số thực dương x, y, z thỏa mãn 2(x2 + y + z ) = 3y(x + z) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2(x + y + z) − (x2 + z ) Bài 2.37 (LHP-NamDinh-2022 ) Hướng dẫn trang 19 Xét hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang biểu thức » P = x4 + y + Bài 2.38 + x+y Hướng dẫn trang 19 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Xét số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức y2 z2 x2 √ √ + + · P = yz + + x3 zx + + y xy + + z 3 Phương trình hệ phương trình Hướng dẫn trang 19 (Nam Định - 2022 ) √ √ Giải phương trình x + = x2 + 9x + 19 − x + Bài 3.39 Hướng dẫn trang 19 (Sơn La - 2022 ) √ √ a) Giải phương trình: x − + x + = Bài 3.40 b) Xác định đường thẳng (d) : y = ax + b, biết (d) qua điểm A(3; 2), cắt trục tung điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ số nguyên tố Bài 3.41 Hướng dẫn trang 19 (Bến Tre, năm 2022 - 2023 ) Giải hệ phương trình x3 − y = 37 4x2 − 3y = 16x − 9y Hướng dẫn trang 19 (Khoa học, năm 2022-2023 )    x + = y a) Giải hệ phương trình   y + = x 1 b) Giải phương trình + = · x + 4x + x + 8x + 15 Bài 3.42 Bài 3.43 Hướng dẫn trang 19 (Bac-Giang-2022 ) » (2, điểm) Giải phương trình x2 + 3x − + x3 + x + √ = x3 + x + (Bắc Ninh 2022 ) √ √ √ 1) Giải phương trình x + − x − + x2 + 3x − 10 = Bài 3.44 Trang Hướng dẫn trang 19 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023   x+y+z =6   2) Giải hệ phương trình xy + yz + zx = 11    xyz = Hướng dẫn trang 19 (Bình Thuận 2022 ) √ √ Giải phương trình: 2x + + x + = 3x + 20 Bài 3.45 Bài 3.46 Hướng dẫn trang 20 (Lê Quý Đôn - Vũng Tàu 2022 ) a) Rút gọn biểu thức √ √ √ ò x−2 x+2 2( x − 1) √ P = √ − √ : , (1 − x)2 ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2 ï với x ≥ x = √ b) Giải phương trình x2 − 3x + − (x − 1) 2x − = c) Giải hệ phương trình Bài 3.47 Hướng dẫn trang 20 (x + 1)3 = 3x + Hướng dẫn trang 20 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Giải hệ phương trình Bài 3.49 4y + x + 4y − = (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Giải phương trình x2 + Bài 3.48 x2 + 4xy + x − = + 4(2x − y) = 2(x + 4) √ 2x + + 2y − 14 = x + y+7 y+7−4 (Vĩnh Phúc-2022 ) Hướng dẫn trang 20 a) Giải phương trình x2 − x + x2 + 4x + = −4x2 √ √ √ b) Giải phương trình x + + − x − 15 + 2x − x2 = −4 c) Giải hệ phương trình Bài 3.50 x2 + y + xy + 3x = 14y x2 + 3x (x + y − 3) = 18y (Thừa Thiên Huế, năm 2022-2023 ) Hướng dẫn trang 20 a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P ) : y = x2 đường thẳng (d) : y = kx + Gọi I giao điểm (d) trục tung Tìm tất giá trị k để đường thắng (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x2 ; y2 thỏa mãn x1 < x2 IA = 2IB  x3 − xy − (x − y + 1)(x + y) = b) Giải hệ phương trình x − 2y − y + = ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang Bài 3.51 Hướng dẫn trang 20 (Thừa thiên Huế, năm 2022-2023 ) a) Tìm m để phương trình 3x2 + 4(m − 1)x − m2 − 4m − = (x ẩn số) có hai nghiệm x3 x3 x1 , x2 cho biểu thức P = 31 + 32 đạt giá trị lớn x2 x1 √ √ b) Giải phương trình x2 + x2 + 6x + 12 − 3x2 + 10x + 28 x + = (Bình Phước 2022 )  2  x + 4xy + 10x − 12y − 12y + = (1) … Giải hệ phương trình x+5   3y − − = xy − 2y − (2) Bài 3.52 Bài 3.53 Hướng dẫn trang 20 Hướng dẫn trang 20 (Dak Nong 2022 ) a) Giải phương trình: (x − 9)(x − 6)(x − 4)(x − 1) = −56 b) Giải hệ phương trình: Bài 3.54 2x2 + 2y − 5xy − 9x − 9y + = x2 + 2y + x2 + 2y + − = Hướng dẫn trang 20 (KHTN-HN-2022 ) Giải hệ phương trình 2x2 + 3xy + y = 3x + 2y + = 2x + y + Bài 3.55 Giải hệ phương trình Bài 3.56 Hướng dẫn trang 20 (Kiên Giang 2022 ) 2y + xy − 6y − 3x = y − 2y − x = Hướng dẫn trang 20 (Lâm Đồng 2022 ) (4.0 điểm) √ √ √ a) Giải phương trình ( x + − x + 2)(1 + x2 + 7x + 10) − = b) Cho bìa hình chữ nhật có hai kích thước 50 cm 80 cm Một người muốn làm hộp đựng q cách cắt bốn góc bìa bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập lại để hộp khơng nắp Tìm độ dài x để hộp thu tích lớn (LHP-NamDinh-2022 ) » 2x + y + y(2x − 1) = 10 Giải hệ phương trình √ √ y − y + 2x − = Bài 3.57 Trang Hướng dẫn trang 20 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Bài 3.58 Hướng dẫn trang 20 (LHP-NamDinh-2022 ) √ √ Giải phương trình x3 − 3x − = 3x x − x − Bài 3.59 Giải hệ phương trình Bài 3.60 Hướng dẫn trang 20 (LQD-NT-2022 ) x2 + 2y + + 2y − = 2x3 + 3x2 y + 4y + 6x2 + 6xy + 6x + 3y + = Hướng dẫn trang 20 (LVT - Ninh Bình 2022 ) √ a) Giải phương trình x2 − 3x + + 2(2 − x) x − = b) Giải hệ phương trình Bài 3.61 Hướng dẫn trang 21 x2 + y + xy = x y + 2xy = y Hướng dẫn trang 21 (3,00 điểm) [2022]Giải phương trình Bài 3.63 x2 + 7y − 4xy + 6y = (Năm 2022 ) Giải hệ phương trình Bài 3.62 2x2 + 2y + 8x + 4y = −1 √ x−3+ √ − x = −x2 + 8x − 14 (Tuyển sinh năm 2022 ) Hướng dẫn trang 21 Tìm m để phương trình x2 − (m + 1)x + m + = (m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh AB, AC tam giác ABC vuông A có BC = (Phan Bội Châu, Nghệ An năm 2022 ) √ √ a) Giải phương trình x + + x2 − x = x2 + ® (2xy − 1)2 + 4x2 = 5y b) Giải hệ phương trình 2x x − y = y − y Bài 3.64 Bài 3.65 (Tuyển sinh năm 2022-2023 ) Hướng dẫn trang 21 Hướng dẫn trang 21 1) Rút gọn biểu thức 1 1 √ +√ √ +√ √ + ··· + √ √ +√ √ ; M=√ 1+ 2+ 3+ 14 + 15 15 + 16 √ √ 3 − + 10 N= √ √ √ 10 − + √ √ 2) Giải phương trình + 3x 9x2 + 9x2 + − 3x = ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 3) Giải hệ phương trình Bài 3.66 2x2 + xy + = 4x x3 + x2 y + y = 3x Hướng dẫn trang 21 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Cho f (x) = 2x2 − 2x − có nghiệm phân biệt x1 , x2 Đặt g(x) = x2 − Tính giá trị biểu thức T = g x1 g x2 Bài 3.67 Hướng dẫn trang 21 (Lê Hồng Phong, Năm 2022-2023 ) a) Chứng minh P (n) = n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120 chia hết cho 24 với số tự nhiên n b) Cho p số nguyên tố có dạng 4k + 3, (k ∈ N) Chứng minh a, b ∈ Z thoả mãn a2 + b2 chia hết cho p a p b p Từ suy phương trình x2 + 4x + 9y = 58 khơng có nghiệm ngun Bài 3.68 Hướng dẫn trang 21 (Khoa Học, năm 2022-2023 ) Cho phương trình x2 + m2 + x − = với m tham số thực a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 với m ∈ R Tính giá trị biểu thức F = x31 + x32 theo m b) Tìm tất giá trị nguyên tham số m để F chia hết cho Bài 3.69 Hướng dẫn trang 21 (Bac-Giang-2022 ) Tìm ba số nguyên x; y; z thỏa mãn x4 + 9y + 25z = x2 + 6xy + 2022 Bài 3.70 Hướng dẫn trang 21 (LeQuyDon-VungT2022 ) ac ≥ Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm b+d (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = a) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn b) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (x + y)(2x + 3y)2 + 2x + y + = Bài 3.71 Hướng dẫn trang 21 (Dak Nơng 2022 ) a) Cho phương trình bậc hai: x2 − 2(3m + 1)x + 3(m2 + 2) = (*) với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 x21 + x22 − 2x1 x2 = b) Tìm tất nghiệm nguyên (x; y) phương trình: 2x2 + y − 3xy − x − y − 13 = Bài 3.72 Hướng dẫn trang 21 (KHTN-HN-2022 ) Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn (x + y)(5x + y)3 + xy = (5x + y)3 + x2 y + xy Trang 10 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Bài 3.73 Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn y = Hướng dẫn trang 21 (Tuyển sinh năm 2022-202022 ) 2x − · −x+1 x2 Tổ hợp Bài 4.74 (Bắc Giang năm 2022 ) Hướng dẫn trang 21 Cho chín số nguyên dương a1 ; a2 ; ; a9 ước số nguyên tố khác 3; Chứng minh chín số cho ln tồn hai số mà tích hai số số phương Bài 4.75 (Lâm Đồng 2022 ) Hướng dẫn trang 21 a) Chứng minh với số nguyên n 2023n3 − n chia hết cho b) Bạn Thanh mua số số bút hết tất 263 nghìn đồng Biết giá 13 nghìn đồng, giá bút 12 nghìn đồng Hỏi bạn Thanh mua bút? Bài 4.76 (Bình Thuận 2022 ) Hướng dẫn trang 22 Người ta viết số nguyên 1,2, 3,4, 5,6, 7,8 lên đỉnh bát giác lồi cho tổng số ba đỉnh liên tiếp không nhỏ k, với k nguyên dương Tìm giá trị lớn k Bài 4.77 (Bình Thuận năm 2022 ) Hướng dẫn trang 22 Hai bạn An Bình so số lượng viên bi mà hai bạn có An nói với Bình rằng: “Nếu bạn cho tơi số viên bi từ túi bạn tơi có số viên bi gấp lần số viên bi bạn Cịn tơi cho bạn số viên bi thế, số viên bi bạn số viên bi tơi” Hỏi số viên bi mà bạn An có bao nhiêu? Bài 4.78 (Thanh Hóa năm 2022 ) Hướng dẫn trang 22 a) Bên tam giác cạnh cho năm điểm Chứng minh năm điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ b) Cho số tự nhiên a, b, c thỏa 2a2 + 3b3 = 4c4 Chứng minh a, b, c chia hết cho c) Một tập hợp S gọi có tính chất T S có bốn phần tử với phần tử x S it hai phần tử x − x + thuộc S Cho tập hợp X = {1; 2; 3; , ; 2022} Tính số tất tập có tính chất T (nêu trên) tập X Bài 4.79 (Bắc Ninh 2022 ) Hướng dẫn trang 22 a) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x3 + y + z = Tìm giá trị nhỏ ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 11 biểu thức P = x3 y3 z3 + + · 3y + 3z + 3x + b) Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn Hai bạn phải đấu với trận, bạn phải gặp đối thủ khơng có trận đấu hịa Chứng minh xếp 10 bạn thành hàng dọc cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau Bài 4.80 Hướng dẫn trang 22 (Dak Nơng 2022 ) Trên bảng có hai số Thực ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau: Mỗi lần viết lên bảng số c = ab + a + b với hai số a b có bảng Hỏi với cách viết thêm số sau số lần hữu hạn viết số 2022 lên bảng khơng? Bài 4.81 Hướng dẫn trang 22 (KHTN-HN-2022 ) Cho điểm A1 , A2 , , A30 theo thứ tự nằm đường thẳng cho độ dài đoạn thẳng Ak Ak+1 k (đơn vị dài), với k = 1, 2, , 29 Ta tô màu đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , , A29 A30 ba màu cho trước (mỗi đoạn thẳng tô màu) Chứng minh với cách tô màu, ta chọn hai số nguyên dương ≤ j < i ≤ 29 cho hai đoạn thẳng Ai Ai+1 , Aj Aj+1 tơ màu i − j bình phương số nguyên dương Bài 4.82 Hướng dẫn trang 22 (Kiên Giang 2022 ) Cho dãy gồm 2023 ô vuông nhau, xếp liên tiếp thành hàng ngang Người ta điền vào ô vuông số ô vuông không lớn 4, tích ba số điền ba ô vuông liên tiếp 24 Hỏi có tất cách điền số vậy? Bài 4.83 Hướng dẫn trang 22 (Ninh Bình 2022 ) Cho bảng vng × (gồm ba dòng ba cột) Người ta ghi tất số thuộc tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} vào ô vuông bảng, ô vuông ghi số, cho tổng số bảng vng cỡ × a) Hãy cách ghi số vào bảng thỏa mãn yêu cầu b) Trong tất cách ghi số vào bảng thỏa mãn u cầu tốn, tìm giá trị lớn tổng số bảng vuông cỡ × Bài 4.84 Hướng dẫn trang 22 (SP-HN-2022 ) Ta viết 10 số 0, 1, 2, , vào mười trịn hình bên, số viết lần Sau ta tính tổng ba số đoạn thẳng để nhận tổng Có hay khơng cách viết 10 số cho tổng nhận dược Trang 12 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Bài 4.85 (SP-HN-2022 ) Hướng dẫn trang 22 a) Trong mặt phẳng cho điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác tù có đỉnh lấy từ điểm cho b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh rầng tồn 2018 tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lấy từ 2022 điểm cho Bài 4.86 (Lê Hồng Phong, Nam Định, năm 2022 ) Hướng dẫn trang 22 Từ 2022 số nguyên dương 1, 2, 3, , 2022, người ta chọn n số phân biệt cho hai số chọn có hiệu khơng ước tổng hai số Chứng minh n ≤ 674 Bài 4.87 (hanBoiChau-Nghe-2022 ) Hướng dẫn trang 22 Cho tập hợp A gồm 2022 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2022 Tìm số tự nhiên n nhỏ cho tập hợp gồm n phần tử A chứa phần tử số đôi nguyên tố Bài 4.88 (Vĩnh Phúc, năm 2022 ) Hướng dẫn trang 22 Thầy Hùng viết số nguyên 1, 2, 3, , 2021, 2022 lên bảng Thầy Hùng xố 1010 số bảng Chứng minh số cịn lại bảng ln tìm a) số có tổng bình phương hợp số b) 504 số có tổng bình phương chia hết cho Đa thức Bài 5.89 (DienBien-2022 ) Hướng dẫn trang 22 a) Cho f (x) = x2 − 6x + 12 Giải phương trình f (f (f (f (x)))) = 65539 b) Cho tam giác ABC vuông A với đường phân giác BM CN Chứng minh bất đẳng thức √ (M C + M A)(N B + N A) ≥ + 2 M A.N A Bài 5.90 (Tuyển sinh năm 2022 - 2023 ) Hướng dẫn trang 22 Cho biểu thức √ √ Å√ ã x+2 x−2 4x x+5 x+6 −√ − P (x) = √ : , (x ∈ R) x−4 x−2 x+2 4−x a) Tìm điều kiện x để P (x) có nghĩa rút gọn biểu thức P (x) b) Tìm tất giá trị x để P (x) ≤ ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 13 Bài 5.91 Hướng dẫn trang 23 (Bắc Ninh 2022 ) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(2; −3) B(7; 7) Tìm điểm M thuộc trục Ox để ba điểm M, A, B thẳng hàng √ √ 2) Cho a nghiệm phương trình 6x2 + 3x − = Tính giá trị biểu thức T = 12a4 − a2 + 2a Hướng dẫn trang 23 (LQD-NT-2022 ) Ç… åÇ å √ 1+a 1−a √ √ Rút gọn biểu thức P = +√ với < a < −1− a2 a 1+a− 1−a − a2 − + a Bài 5.92 Bài 5.93 Hướng dẫn trang 23 (KHTN-HN-2022 ) 1 + + = Chứng minh a b c   1 1 abc + + = · a + bc b + ca c + ab (a + bc)(b + ca)(c + ab) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Bài 5.94 Hướng dẫn trang 23 (Tuyển sinh năm 2022 ) Cho số nguyên dương x, y, z thoả (x + y)4 + 5z = 63x Tính giá trị biểu thức Q = x + y + z Số học Bài 6.95 Hướng dẫn trang 23 (Ninh Bình năm 2022 ) x−1 số nguyên x2 + b) Biết a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh √ √ √ √ √ √ a + bc + b + ca + c + ab ≥ + ab + bc + ca a) Tìm tất số nguyên x cho Bài 6.96 Hướng dẫn trang 23 (Vĩnh Phúc năm 2022 ) a) Tìm tất số nguyên tố p q cho p2 + 3pq + 4q số phương b) Tìm tất số nguyên tố p cho tồn số tự nhiên x, y thoả mãn x3 + y − 6xy = p − Bài 6.97 (Kiên Giang 2022 ) Hướng dẫn trang 23 Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a2 +b2 +c2 chia hết cho a2022 +b2022 +c2022 chia hết cho Trang 14 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Bài 6.98 (Lê Q Đơn, Nha Trang năm 2022 ) Hướng dẫn trang 23 a) Cho phương trình x2 − 5x + 3m + = (m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn |x21 − x22 | = 15 b) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 − chia hết cho 24 Bài 6.99 (Quảng Bình 2022 ) Hướng dẫn trang 23 Tìm n ∈ N để n5 + chia hết cho n3 + Bài 6.100 (SP-HN-2022 ) Hướng dẫn trang 23 Cho a, b, c, d số nguyên dương thoả mãn ab = cd Chứng minh N = a2022 + b2022 + c2022 + d2022 hợp số Bài 6.101 (Phan Bội Châu - Nghệ An - 2022 ) Hướng dẫn trang 23 a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn (x − y)2 (8 − xy) + = 12(x − y) b) Cho n số nguyên dương Chứng minh 2n + 36 122n + 25 không đồng thời số phương Bài 6.102 (Bắc Ninh 2022 ) Hướng dẫn trang 23 1) Tìm tất nghiệm nguyên (x; y; z) phương trình x x2 + x + = z y − thỏa mãn x, y số nguyên z số nguyên tố √ √ 2) Tìm số thực x cho x + 2022 − 2022 số nguyên x Bài 6.103 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Hướng dẫn trang 23 a) Chứng minh P (n) = n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120 chia hết cho 24 với số tự nhiên n b) Cho p số nguyên tố có dạng 4k + 3, (k ∈ N) Chứng minh a, b ∈ Z thoả mãn a2 + b2 chia hết cho p a p b p Từ suy phương trình x2 + 4x + 9y = 58 khơng có nghiệm nguyên Bài 6.104 (Thừa Thiên Huế, Năm 2022-2023 ) Hướng dẫn trang 23 a) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x3 − x2 (y + 1) + x(7 + y) − − y = b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh: x y z 3+x+y+z + + ≤ · x + 15 y + 15 z + 15 32 ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 15 Bài 6.105 Hướng dẫn trang 23 (Bình Phước 2022 ) a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 − 6y + xy + 2y − x − = b) Cho x, y nguyên thỏa mãn x2 − 2021y + 2022 chia hết cho xy Chứng minh x, y hai số lẻ nguyên tố Bài 6.106 Hướng dẫn trang 24 (Bình Thuận 2022 ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x4 + x2 − y − y + = b) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = c2 Chứng minh abc 60 Bài 6.107 (LVT - Ninh Bình 2022 ) Hướng dẫn trang 24 a) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + 2y + 3z ≤ Chứng minh 3 + + ≥ + 2 x + 4y + 9z 49xy 49yz 98zx 49 b) Tìm tất số nguyên dương a số nguyên tố p cho a2 = 7p4 + Trang 16 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Hướng dẫn phần bất đẳng thức Hướng dẫn Bài 1.1 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.2 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.3 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.4 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.5 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.6 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.7 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.8 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.9 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.10 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.11 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.12 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.13 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.14 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.15 Đề trang ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 17 Hướng dẫn Bài 1.16 Đề trang Hướng dẫn Bài 1.17 Đề trang Hướng dẫn phần giá trị lớn giá trị nhỏ Hướng dẫn Bài 2.18 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.19 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.20 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.21 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.22 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.23 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.24 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.25 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.26 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.27 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.28 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.29 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.30 Đề trang Trang 18 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Hướng dẫn Bài 2.31 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.32 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.33 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.34 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.35 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.36 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.37 Đề trang Hướng dẫn Bài 2.38 Đề trang Hướng dẫn phần phương trình hệ phương trình Hướng dẫn Bài 3.39 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.40 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.41 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.42 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.43 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.44 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.45 Đề trang ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 19 Hướng dẫn Bài 3.46 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.47 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.48 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.49 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.50 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.51 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.52 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.53 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.54 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.55 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.56 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.57 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.58 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.59 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.60 Đề trang Trang 20 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Hướng dẫn Bài 3.61 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.62 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.63 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.64 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.65 Đề trang Hướng dẫn Bài 3.66 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.67 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.68 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.69 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.70 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.71 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.72 Đề trang 10 Hướng dẫn Bài 3.73 Đề trang 11 Hướng dẫn phần tổ hợp Hướng dẫn Bài 4.74 Đề trang 11 Hướng dẫn Bài 4.75 Đề trang 11 ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 21 Hướng dẫn Bài 4.76 Đề trang 11 Hướng dẫn Bài 4.77 Đề trang 11 Hướng dẫn Bài 4.78 Đề trang 11 Hướng dẫn Bài 4.79 Đề trang 11 Hướng dẫn Bài 4.80 Đề trang 12 Hướng dẫn Bài 4.81 Đề trang 12 Hướng dẫn Bài 4.82 Đề trang 12 Hướng dẫn Bài 4.83 Đề trang 12 Hướng dẫn Bài 4.84 Đề trang 12 Hướng dẫn Bài 4.85 Đề trang 13 Hướng dẫn Bài 4.86 Đề trang 13 Hướng dẫn Bài 4.87 Đề trang 13 Hướng dẫn Bài 4.88 Đề trang 13 Hướng dẫn phần đa thức Hướng dẫn Bài 5.89 Đề trang 13 Hướng dẫn Bài 5.90 Đề trang 13 Trang 22 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 Hướng dẫn Bài 5.91 Đề trang 14 Hướng dẫn Bài 5.92 Đề trang 14 Hướng dẫn Bài 5.93 Đề trang 14 Hướng dẫn Bài 5.94 Đề trang 14 Hướng dẫn phần số học Hướng dẫn Bài 6.95 Đề trang 14 Hướng dẫn Bài 6.96 Đề trang 14 Hướng dẫn Bài 6.97 Đề trang 14 Hướng dẫn Bài 6.98 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.99 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.100 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.101 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.102 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.103 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.104 Đề trang 15 Hướng dẫn Bài 6.105 Đề trang 16 ∠LATEX themes and ralated topics sưu tầm Trang 23 Hướng dẫn Bài 6.106 Đề trang 16 Hướng dẫn Bài 6.107 Đề trang 16 Trang 24 ∠Tuyển tập toán tuyển 10 năm 2022 - 2023 ... x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ x2 + 2y + 3z = 15 Tìm giá trị nhỏ P = x + y + z Bài 2.27 Hướng dẫn trang 18 (Phan Bội Châu, Nghệ An 2022 ) Cho số thực x, y, z thỏa mãn ≤ x, y, z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức... + m + = (m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh AB, AC tam giác ABC vuông A có BC = (Phan Bội Châu, Nghệ An năm 2022 ) √ √ a) Giải phương trình x + + x2 − x = x2 + ® (2xy − 1)2 + 4x2... số nguyên dương thoả mãn ab = cd Chứng minh N = a2022 + b2022 + c2022 + d2022 hợp số Bài 6.101 (Phan Bội Châu - Nghệ An - 2022 ) Hướng dẫn trang 23 a) Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn (x − y)2 (8 − xy) +