Phân dạng và các phương pháp giải bài toán về diện tích hình phẳng

Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em

MỤC LỤC

Trang

I MỞ ĐẦU 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2 1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3 1.4 Phương pháp nghiên cứu 3 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận 3 2.2 Thực trạng của đề tài 3  17 2.3 Hiệu quả của đề tài 18 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

I MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, tích phân cùng với các khái niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ

sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày

Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn

đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ

để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế Tài liệu “ PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” sẽ giúp các em giải quyết được phần nào các vấn

đề trên

1.2, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh

có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay

- Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân

có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực

tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để ôn tập và luyện thi THPT quốc gia hàng năm

1.3, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chương : Nguyên hàm,Tích phân và chủ yếu là một số dạng toán liên quan đến diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

1.4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

a Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia của bộ giáo dục và các trường phổ thông,trường đại học trong cả nước

b Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung ứng dụng của tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận

Phần các bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số là một trong những phần quan trọng trong chương trình THPT; là một phần không thể thiếu trong các kỳ thi vào đại học, cao đẳng trong những năm gần đây

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn các em thường dùng hai phương pháp chính là: Dùng công thức và vẽ đồ thị sau đó dựa vào đồ thị để tính Trong đó

có những dạng toán mà việc dùng công thức để tính là rất khó khăn và dễ bị sai , khi đó nhất thiết ta phải vẽ đồ thị để tính

Việc vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn

Mặt khác từ chuyên đề nhỏ này cùng với một số kinh nghiệm mà tôi tích lũy được các em có thể mở rộng tư duy tiếp cận một số toán khác Đặc biệt là giúp các em có thể giải được một số bài tập liên quan đến phần này và các dạng toán thi THPT Quốc gia

2.2 Thực trạng của đề tài

Qua một thời gian giảng dạy tại trường THPT Tĩnh gia 2 tiếp cận với học sinh, nắm được khả năng của học sinh qua việc đọc các tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề trong các kì thi và kinh nghiệm của bản thân Tôi đã nghiên cứu sâu vào vấn đề này để biên soạn và hệ thống là khối 12 Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với từng học sinh từ yếu đến trung bình, khá và giỏi

A.Đặt vấn đề

Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung khi học vấn đề này , đại

đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :

- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng

Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này

-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”

để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học

-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức :  

b

a b

a

dx x f dx x f

Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b).

Ví dụ : S x  x dx

3

0

2 3 2

Học sinh viết sai là : S x  x dx

3

0

2 3 2 ) (

2/ Hướng khắc phục

- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :

+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối

+ Hoặc dùng công thức sau :





b

a b

a

dx x f dx x f

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b)

- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn

- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ

để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng

giải , số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên

B Cách giải quyết vấn đề và một số bài toán vận dụng :

I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH

1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ,trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S được tính theo công thức :





b

a

dx x f

S ( ) (1)

( Sách giáo khoa giải tích 12CB)

 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f ( x)

 Nếu f(x)   x a b thì  

b

a

b

a

dx x f dx x f

 Nếu f(x)   x a b thì   

b

a

b

a

dx x f dx

x f

 Muốn khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f ( x) ta phải xét dấu của

biểu thức f(x) Thường có hai cách làm như sau :

-Cách 1: Dựa vào các định lí về dấu của biểu thức để xét dấu của biểu thức

f(x)

-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  a; b để suy ra dấu

của f(x) trên đoạn đó

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì

a b

x )

(x   

f

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì f (x)   x a b

Chú ý :1.Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có:  

b

a b

a

dx x f dx x f

2 Nếu phương trình f(x)  0 có nghiệm c ( b a; ) thì









b

c

x c

a

x x

b

c x c

a

x

b

a

d x f d

x f d

x f d x f d

x

2 Một số bài tập vận dụng

Bài 1

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , trục hoành , hai đường thẳng x = 0 và x = 3

Giải.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , trục hoành , hai đường thẳng x = 0 và x = 3 được tính bởi công thức S  x  dx

3

0

2

Cách 1: Dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ta có bảng xét dấu của

2

)

(x  x

x   -2 

2 )

(x   x

f + 0 -

Dựa vào bảng xét dấu trên ta thấy với x0 ; 3 thì  x 2  0

2





Diện tích S của hình phẳng trên là :

2

21 6 2

9 0 2 2

0 3 2 2

3 0

3 ) 2 2 ( ) 2 ( 2

2 2

2 3

0

3

0







































S

Cách 2 : Dựa vào đồ thị như sau:

Từ đồ thị trên ta thấy  x  2  0  x   0;3 

2

21 6 2

9 0 2 2

0 3 2 2

3 0

3 ) 2 2 ( ) 2 (

3

0

3

0







































Cách 3: Dựa vào chú ý

Ta có  x 2  0  x  2 0 ; 3

2

21 )

2 2 ( ) 2 ( 2

3

0

2 3

0 3

0



















Bài 2

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) y = x3 - 3x2 + 2 , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :

S x  x  dx

2

2

y

x

f x   = -x-2

3

-4

2 -1

Cách 1:Ta có bảng xét dấu của biểu thức ( ) 3 3 2 2





x x x

x   1  3 1 1  3 

2 3

)





x x

x

f - 0 + 0 - 0 +

Nên S x 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x2 2 )dx

1

0

2

1

3 2

3 2

0

2











































4

1 ( 2 2 2 4

2 0 2 1 4

1 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

2

5 2 1 4

1 4 8

4

1

4

1



















Cách 2 : Dựa vào đồ thị của hàm số

Ta có đồ thị hàm số y  ( ) 3 3 2 2





x x x

(C)

y

x

f x  = x 3 -3x 2+2

3

2 -1

4

Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một

điểm có hoành độ x = 1

Hơn nữa x3 -3x2 + 2 ≥ 0  x  [ 0 ; 1 ] và x3 -3x2 + 2 ≤ 0 x [ 1 ; 2 ]

Do đó S x 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x2 2 )dx

1

0

2

1

3 2

3 2

0

2 3



























































4

1 ( 2 2 2 4

2 0 2 1 4

1 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

2

5 2 1 4

1 4 8

4

1

4

1

















Cách 3:

Phương trình x3  3x2  2  0





























2

; 0 3 1

2

; 0 1

2

; 0 3 1

x x x

Nên







2

1

2 3 1

0

2 3 1

0

2

1

2 3 2

3 2

0

2

3 3x 2dx x 3x 2d x 3x 2d (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4























Bài 3:

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y ( x 3 ) 2,trục

hoành,trục tung.Gọi A(0;9),B(b;0) (-3<b<0) Tìm b để đoạn thẳng AB chia hình

phẳng (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau.(Theo đề thi thử THPT quốc gia

2017 của trường chuyên ngoại ngữ )

Giải

Để giải bài này ta phải dùng phương pháp đồ thị để xác định được hình phẳng của 2 phần được giới hạn bởi những đường nào ,từ đó ta mới tính được diện tích của chúng

Gọi S là diện tích của hình phẳng (H) Đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành 2 phần gồm: -Phần 1 là tam giác OAB có diện tích S1

- Phần 2 là phần còn lại của hình phẳng (H)

(Như hình vẽ sau)

Theo bài ra ta có S  2S2 (1)

Mặt khác : 







0

3

2

) 3 (x d x

S 9 (2) . 29

2

1

2

b OB

OA S

S  OAB   (3)

Từ (1),(2),(3) ta có phương trình 9   9b b  1

Vậy b  1 là giá trị cần tìm

Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy nếu không vẽ đồ thị thì chỉ xác định được

diện tích của hình phẳng (H),còn 2 phần mà hình phẳng (H) được đoạn thẳng

AB chia ra ta không hình dung được hình dạng cũng như công thức tính diện tích của nó là gì và việc giải quyết bài toán là gặp khó khăn Do vậy sử dụng đồ thị trong trường hợp này là phương án giải quyết bài toán khả thi nhất

Bài 4

Cho hình thang cong (H) được giới hạn bởi các đường y 1x ,y  0 ,x 1 ,x  5

.Đường thẳng xk( 1 k 5 )chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1, S2 Tìm k để S 2 2S1

Giải

Tương tự bài tập 3 ở trên, để xác định được S1, S2 ta phải dựa vào đồ thị như sau:

Nhìn vào đồ thị trên ta thấy :

S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y 1x ,y 0 ,x 1 ,x k

S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

x

y 1 ,y  0 ,xk,x 5

x

k

ln ln

1

1 1

x

S

k x

k

ln 5 ln ln

5

Theo bài ra ta có phương trình: ln 5  lnk  2 lnk

3 5

ln 3 5 ln









k

k

Vậy k  3 5 là giá trị cần tìm

Nhận xét : Qua 2 bài tập 3,4 ta thấy phương pháp sử dụng đồ thị là phương

pháp vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn

II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).

Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x 0 ; y 0 ) thì cặp số (x 0 ;

y 0 ) là nghiệm của hệ phương trình 







) ( ) (

x g y

x f y

(1) Hoành độ x 0 của điểm M là nghiệm của phương trình f(x) g(x) (*)

Giải phương tình (*) ta sẽ được x 0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Thay x = x 0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm

2/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :

Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a ,

x =b (a<b)

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :

dx x g x f S

b

a

(Theo sách giáo khoa giải tích 12 –CB)

Muốn tính được diện tích S cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức cần tính tích phân Cách khử được áp dụng bởi 1 trong 3 cách như ở mục I ở trên

3 Một số bài tập vận dụng

Bài 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường



























3

1 0

3 4 1

2

2

x

x x

x x

x x

Suy ra diện tích của hình phẳng trên là :

dx x x dx x x

x

3

1 2 3

1

Cách 1 : Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có :

x -∞ 1 3 + ∞

x2 – 4x + 3 + 0 - 0 +

Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0  x  [1 ; 3]

3 ( )

3 4

3

1

2























Cách 2 : Dựa vào đồ thị

Đồ thị hai hàm số y = x2 -3x + 2 và y = x – 1 như sau :