Phân dạng và các phương pháp giải bài toán về diện tích hình phẳng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng đề tài → 17 2.3 Hiệu đề tài 18 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 I MỞ ĐẦU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Chương trình giáo dục THPT nay, tích phân với khái niệm khác góp phần quan trọng mơn Giải tích tốn học, sở để nghiên cứu Giải tích đại Muốn học sinh học tốt tích phân người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách gập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó ngun nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Do học vấn đề : vấn đề diện tích hình phẳng , vấn đề thể tích vật thể trịn xoay chương trình giải tích 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Hầu hết em học sinh thường có cảm giác “sợ” tốn tính diện tích hình phẳng tốn tính thể tích vật thể trịn xoay Khi học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng công thức cách máy móc chưa có phân tích , thiếu tư thực tế trực quan nên em hay bị nhầm lẫn , học không giải , đặc biệt tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích tính Thêm vào sách giáo khoa sách tham khảo có ví dụ minh hoạ cách chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tích phân cịn yếu kỹ “đọc đồ thị” hạn chế Tài liệu “ PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” giúp em giải phần vấn đề 1.2, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ tính tích phân , đặc biệt tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ đọc đồ thị hàm số , từ khắc phục khó khăn , sai lầm gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn xoay Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức diện tích thể tích mà học sinh học lớp , thấy tính thực tế liên hệ nội vấn đề chương lớp học , học sinh cảm thấy hứng thú , thiết thực học tốt vấn đề ứng dụng tích phân Đây làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên để ôn tập luyện thi THPT quốc gia hàng năm 1.3, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Chương : Nguyên hàm,Tích phân chủ yếu số dạng tốn liên quan đến diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 1.4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : a Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo - Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia giáo dục trường phổ thông,trường đại học nước b Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung ứng dụng tích phân - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Phần tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số phần quan trọng chương trình THPT; phần khơng thể thiếu kỳ thi vào đại học, cao đẳng năm gần Để tính diện tích hình phẳng giới hạn em thường dùng hai phương pháp là: Dùng cơng thức vẽ đồ thị sau dựa vào đồ thị để tính Trong có dạng tốn mà việc dùng cơng thức để tính khó khăn dễ bị sai , thiết ta phải vẽ đồ thị để tính Việc vẽ đồ thị chia diện tích thành phần làm cho toán trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn xác Mặt khác từ chuyên đề nhỏ với số kinh nghiệm mà tơi tích lũy em mở rộng tư tiếp cận số toán khác Đặc biệt giúp em giải số tập liên quan đến phần dạng toán thi THPT Quốc gia 2.2 Thực trạng đề tài Qua thời gian giảng dạy trường THPT Tĩnh gia tiếp cận với học sinh, nắm khả học sinh qua việc đọc tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề kì thi kinh nghiệm thân Tôi nghiên cứu sâu vào vấn đề để biên soạn hệ thống khối 12 Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với học sinh từ yếu đến trung bình, giỏi A.Đặt vấn đề Bài tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung học vấn đề , đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi ) thường gặp khó khăn , sai lầm sau : SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà - Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung hình phẳng Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước ( diện tích đa giác , thể tích khối đa diện …).Học sinh khơng tận dụng kiểu “tư liên hệ cũ với mới” vốn có nghiên cứu vấn đề -Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng , vật trịn xoay học -Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu - Học sinh thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức , kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ cộng , trừ diện tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải -Học sinh thường bị sai lầm việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối b Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : I = ∫ b f ( x) dx = a ∫ f ( x)dx a Học sinh : công thức trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu khoảng (a ; b) Ví dụ : S = ∫ x − 3x + dx Học sinh viết sai : S = ∫ ( x − x + 2)dx 2/ Hướng khắc phục - Giúp học thành thạo kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối cách linh hoạt tùy thuộc vào tình cụ thể cách sau : + Hoặc cách xét biểu thức dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc dùng công thức sau : b I = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx a Với điều kiện f(x) không đổi dấu khoảng (a ;b) - Đưa nhiều tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy dạy phụ đạo để học sinh tham khảo Qua rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị vận dụng vào giải tốn Giúp học có hình ảnh trực quan SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà hình phẳng Từ học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế , hứng thú - Đưa hệ thống tập tương tự có hình vẽ kèm theo khơng có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn tập tiêu biểu để giảng giải , số lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm nhà nộp làm cho giáo viên B Cách giải vấn đề số tốn vận dụng : I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HỒNH 1/ Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a ; b] Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) ,trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích S tính theo cơng thức : b S = ∫ f ( x) dx (1) a ( Sách giáo khoa giải tích 12CB)  Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f (x) b b • Nếu f ( x) ≥ , ∀x ∈ [ a ; b] S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx a a b b a a • Nếu f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ a ; b] S = ∫ f ( x) dx = ∫ ( − f ( x) ) dx  Muốn khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f (x) ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau : -Cách 1: Dựa vào định lí dấu biểu thức để xét dấu biểu thức f(x) -Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn [ a ; b] để suy dấu f(x) đoạn • Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh f ( x) ≥ , ∀x ∈ [ a ; b] • Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ a ; b] b Chú ý :1.Nếu f(x) không đổi dấu [a ; b] ta có: S = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx a Nếu phương trình f ( x) = có nghiệm c ∈ (a; b) b ∫ a c b f ( x ) d x = ∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x = a c c ∫ a b f ( x)d x + ∫ f ( x)d x c SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Một số tập vận dụng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = -x – , trục hoành , hai đường thẳng x = x = Giải Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = -x – , trục hoành , hai đường thẳng x = x = tính cơng thức S = ∫ − x − dx Cách 1: Dựa vào định lí dấu nhị thức bậc ta có bảng xét dấu f ( x) = − x − sau : −∞ +∞ x -2 f ( x) = − x − + Dựa vào bảng xét dấu ta thấy với x ∈ [ 0;3] − x − < ⇒ − x − = x + ∀x ∈ [ 0;3] Diện tích S hình phẳng : 3 0 S = ∫ − x − dx = ∫ ( x + 2)dx = ( 32  02  x2 21 + x) = + 2.3 −  + 2.0 = + = 2 2  Cách 2: Dựa vào đồ thị sau: y -2 -1 A O B x f( x ) = -x-2 -4 Từ đồ thị ta thấy − x − ≤ , ∀x ∈ [ 0;3] 3 0 S = ∫ − x − dx = ∫ ( x + 2)dx = ( 32  02  x2 21 + x) = + 2.3 −  + 2.0 = + = 2 2  (đvdt) Cách 3: Dựa vào ý Ta có − x − = ⇔ x = −2 ∉ [ 0;3] 3 x2 21 S = ∫ − x − dx = ∫ (− x − 2)d x = (− − x) = 2 0 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) y = x3 - 3x2 + , trục hoành , trục tung đường thẳng x = SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Giải Trục tung có phương trình x = Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , trục hoành hai đường thẳng x = , x = tính cơng thức : S = ∫ x − x + dx Cách 1:Ta có bảng xét dấu biểu thức f ( x) = x − 3x + sau : −∞ +∞ x 1− 1+ 3 f ( x) = x − x + - + 0 + 2 3 Nên S = ∫ x − 3x + dx = ∫ ( x − 3x + 2)dx − ∫ ( x − 3x + 2)dx  24  x x 3 = ( − x + x) − ( − x + x) = − + − −  − + 2.2 − ( − + 2) 4 4 4  = 1 +1− + − + −1+ = 4 Cách : Dựa vào đồ thị hàm số Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) = x − 3x + sau: y f( x) = ( x 3-3 ⋅ x2) +2 -2 -1 A B O1 x (C) Dựa vào đồ thị , suy đoạn [ ; ] đồ thị (C ) cắt trục hồnh điểm có hoành độ x = Hơn x3 -3x2 + ≥ ∀ x ∈ [ ; ] x3 -3x2 + ≤ ∀x∈ [ ; ] 2 3 Do S = ∫ x − 3x + dx = ∫ ( x − 3x + 2)dx − ∫ ( x − 3x + 2)dx =( =  24  x x − x + x ) − ( − x + x ) = − + − −  − + 2 − ( − + 2)  4 4 4  4 1 +1− + − + −1+ = 4 (đvdt) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà Cách 3:  x = − ∉ [ 0;2]  Phương trình x − 3x + = ⇔  x = ∈ [ 0;2]  x = + ∉ [ 0;2]  Nên 2 S = ∫ x − x + dx = ∫ x − x + d x + ∫ x − x + d x = ∫ ( x − x + 2)dx + ∫ ( x − x + 2) dx 3 =( 2 x x −5 5 − x + x) + ( − x + x) = + = + = 4 4 4 4 (đvdt) Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y = ( x + 3) ,trục hồnh,trục tung.Gọi A(0;9),B(b;0) (-3