Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn lớp 11 trần đình cư

Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số .... Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số ....

SĐT: 01234332133 ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ

Biên soạn: Ths Trần Đình Cư

Bài giảng Giải tích11

Chương IV

TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH

LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ

HUẾ, NGÀY 4/1/2017

1

MỤC LỤC

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 2

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số 3

Dạng 2 Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 4

Dạng 4 Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy 5

Dạng 5 Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số 6

Dạng 6 Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa 9

Dạng 7 Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực 10

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 12

BÀI 2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 20

Dạng 1 Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 23

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức 26

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên 27

Dạng 4 Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên 27

Dạng 5 Tính giới hạn vô cực 29

Dạng 6 Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 29

Dạng 7 Dạng vô định   31

Dạng 8 Dạng vô định    ;0 32

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 35

BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 38

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x 0 38

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 41

Dạng 3 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K 43

Dạng 4 Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 45

Dạng 5 Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm 45

MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} 51

ÔN TẬP CHƯƠNG 4 53

2

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Định nghĩa dãy số cĩ giới hạn 0

Dãy (u ) cĩ giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số nhạng của dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, |un| đều cĩ thể nhỏ hơn một số dương đĩ

Kí hiệu: lim u n 0 hay limun0 hoặc un0

"lim u 0" , đọc dãy số (u ) cĩ giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ ncực)

Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng

a) Dãy số (u ) cĩ giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số n  u cĩ giới hạn 0 n

b) Dãy số khơng đổi (u ) , với n un 0 cĩ giới hạn 0

2 Các định lí

* Định lí 1: Cho hai dãy số  u và n  v Nếu n un vn với mọi n và limvn 0 thì lim un 0

* Định lí 2: Nếu q 1 thì limqn 0

3 Định nghĩa dãy cĩ giới hạn hữu hạn

* Định nghĩa 1: Ta nĩi dãy (v ) cĩ giới hạn là số L ( hay n v dần tới L) nếu n nlim v n L 0

  

Kí hiệu: limvnL hay vn L

Ngồi ra ta cũng cĩ thêm định nghĩa như sau (Ngơn ngữ ):

 Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim un  L

* Định lí 2: Giả sử limun L và lim vn M 0, c là một hằng số Ta có:

u lim u alim u v a b; lim cu cL; lim u v lim u limv ; lim ;

v limv b

5 Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn

 Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội q thỗ mãn q 1

 Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: 1 2 n u1

Định nghĩa: Ta nĩi dãy số (u ) cĩ giới hạn n  , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của

dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, đều lớn hơn số dương đĩ

ub)Nếu lim u a 0 và lim v 0 và v 0 với mọi n thì lim

vTương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

c) Nếu lim u và lim v a 0 thì lim u v

Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại 

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

Phương pháp: lim un 0 khi và chỉ khi |un| cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đĩ

Từ (1) và (2) suy ra u có thể



n

nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim u 0

Ví dụ 2 Biết rằng dãy số (un) cĩ giới hạn là 0 Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng cĩ giới hạn là

0 Chiều ngược lại cĩ đúng khơng?

Hướng dẫn

Vì (u ) có giới hạn là 0 nên u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng

nào đó trở đi

Mặt khác, v  u  u Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y

n n

ù, kể từ một số hạng nào đó trở đi Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số

hạng nào đó trở đi Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng)

Ví dụ 3 Vì sao dãy (u ) với n  n

n

u  1 khơng thể cĩ giới hạn là 0 khi n ?

Dạng 2 Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số

Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp

lim q 0 nếu q 1

Ví dụ 1

a) Cho hai dãy số (u ) và (v ) Chứng minh rằng nếu n n limvn 0 và un vn với mọi n thì lim un 0

b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số cĩ số hạng tổng quát như sau:

Dạng 3 Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn

Phương pháp: nlim vn a nlim v n a 0

 Nếu biểu thức cĩ dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho

nk với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu

 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản

3

3

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

2n 1 5nlim

b n b n b n bXét p m

HướngDẫn: Xét n p Chia cả tử và mẫu cho

n ,p là bậc cao nhất ở mẫuTính giới hạn sau:

2 3n n 12n n 1

1 4n2n 1 3 n n 2

Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp

Phương pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội là |q|<1

 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn (un)

II Bài tập rèn luyên

Bài 1 Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số  34,1212 (chu kỳ 12)

   Tính tổng S 1 tan   tan2 tan3 

c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ

a aa aaa alim

10



Hướng dẫn: Ta có

n 1b)Ta có: 1-n (1 n)(n n 1) 1 n; n

Lấy số dương M lớn tùy ý

lim n vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng

nào đó trở đi mặt khác u n nên u lớn hơn một số dương bất kì kể

từ một số hạng nào đó

Vì lim n nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi

Mặt khác, theo giả thiết u n với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy

y,ù k

 



n

ể từ số hạng nào đó trở đi Vậy lim u  

Ví dụ 4 Cho biết limun   và vnun với mọi n Cĩ kết luận gì về giới hạn vn

10

Ví dụ 5 Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) khơng hội tụ Cĩ kết luận gì về sự hội tụ của dãy un vn

Hướng dẫn: Kết luận dãy unvn khơng hội tụ

Xét dãy u v , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim u v a và limu b

Khi đó limu limv a

Vậy limv a limu

Mặt khác, vì vnu với mọi n nên (-v ) ( u )với mọi n.n n   n (2)

Từ (1) và (2) suy ra (-vn) cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi Do

đĩ, lim( v ) n  hay limvn  

12

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

Dạng 1 Tính giới hạn của dãy số có quy luật

1 3nsin2n cos2n

 Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn

 Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn

2 Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng

(chiều giảm) và số M

3 Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

* Phương pháp 1:

 Đặt lim un a

 Từ limun 1 limf(u )n ta được một phương trình theo ẩn a

 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm

 Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất

* Phương pháp 2:

 Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./

 Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học

 Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó

Với n=1, ta có u 2 2 thì (1) đúng

Giả sử bất bất đẳng thức đúng với n=k thì u 2

Mà 0 u 2 nên u u Vậy (u ) là dãy tăng (2)

Từ (1) và (2) suy ra (u ) có giới hạn

Vì u 0nên lim u a 0.Vậy lim u =2

Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:

Với n=1, ta có: u 2 (đúng)

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k (k 1), nghĩa là

Chứng minh rằng dãy số (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ

Hướng dẫn: lim un lim n 1

Giả sử lim u lim sinn a.Khiđó lim sin n 2 a lim sin n 2 sinn 0

2 lim cos n 1 sin1 0 lim cos n 1 0 lim cosn 0

mặt khác: cos n 1 cosncos1 sinnsin1,Suy ra lim sinn 0

cos n sin n 0, vô lý

Vậy dãy số (u ) với u sinn không có giới hạn



II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Chứng minh dãy (un) với n

n dấu căn

u  2 2   2 2 là dãy hội tụ

Hướng dẫn

 Bước 1: Chứng minh dãy (un) tăng

 Bước 2: Chứng minh (un) bị chặn trên

Bài 2 Cho dãy truy hồi 1 n 1

2 2

n 1

n

n 1 n

41

18

 Giả sử

n n

n n

lim u a, tìm a

a 1

2lim u 1

 Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ

b) Cho dãy (un) xác định bởi: n 1n n

dãy có giới hạn

* Đặt lim u a,a 0

1Vậy lim u

a) Chứng minh rằng un 2 với mọi n 2

b) Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ

Giả sử lim u lim cosn a lim cos n 2 a lim cos n 2 cosn 0

2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sinn 0

mặt khác: sin n 1 sinncos1 cosnsin1,Suy ra lim cosn 0

Suy ra : lim cos n

Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x } 0

Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,

Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc ) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên

Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vơ vực được định nghĩa như sau:

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng a;

Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là  khi x  nếu với mọi dãy số (x ) bất kì, n

x a và x  , ta có: f(x ) . Kí hiệu:

xlim f(x) hay f(x) khi x

nếu k nguyên dương

3 lim x 0 nếu k nguyên âm

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;) Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi khi

x  nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xna và xn  ta có: f(x )n L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (;a) Ta nĩi hàm số y=f(x) cĩ giới hạn là số L khi khi

x  nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xna và xn  ta có: f(x )n L

c)Nếuf(x) 0 và lim f(x) L thì :L 0 và lim f(x) L

Dấu của f(x) được xác định trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x

Định nghĩa1: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm

số y=f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0xnb và xnx ta có: f(x )0 n L Kí hiệu:

Định nghĩa 2: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm

số y=f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a x n x và x0 nx ta có: f(x )0 n L Kí hiệu:

6 Các quy tắc tính giới hạn vơ cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

lim f(x) L 0 và lim g(x) hoặc thì lim f(x)g(x)

         được tính theo quy tắc trong bảng sau:

2 Để chứng minh hàm số f(x) khơng cĩ giới hạn khi xx0 ta thực hiện:

Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thỗ mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0

nlim x x , lim yn x

   

 Chứng minh lim f xn  n nlim f y hoặc một trong hai  n

   giới hạn đĩ khơng tồn tại

Ví dụ 1 Cho hàm số

2

x x 2y

n1Xét dãy x khi n ;x 0

n1lim f(x ) lim 2 2 (2)

nVậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi x 0

2 n2

n

n n

n n

x 9a) (x ),x 3,lim x 3 lim 6

x 31b) (x ),x 1; ,lim x 1 lim

a Vẽ đồ thị hàm số f(x) Từ đĩ dự đốn về giới hạn của f(x) khi x0

b Dùng định nghĩa chứng minh dự đốn trên

Hướng dẫn

a) Dự đốn: Hàm số khơng cĩ giới hạn khi x0

b) Lấy hai dãy số cĩ số hạng tổng quát là an 1; và bn 1

a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx khơng cĩ giới hạn khi x 

b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)

Hưĩng dẫn: Xét hai dãy a với a n n 2n và b với b n n 2n

Giả sử (x )là dãy bất kì thõa mãn x a và x Vì lim f(x) L nên lim f(x ) L

Vì lim g(x) M nên lim g(x ) M Do đó: lim f(x ).g(x ) L.M

Từ định nghĩa suy ra: lim f(x).g(x)

Hướng dẫn

n n

ät số hạng nào đó trở đi

Nếu số dương này là 2 thì -f(x ) 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số x  a; sao cho -f(x ) 2 hay f(x )   2 0

Vì lim f(x) nên với dãy số x bất lỳ, x K \ x và x x ta luôn có lim f(x )

Từ định nghĩa suy raf(x ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó tr 

Nếu số dương này là 1 thì f(x ) 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Nói cách khác, luôn tòn tại ít nhất một số x K \ x sao cho f(x ) 1

Đặt c x , ta cóf(c) 0



26

Dạng 2 Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức

Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:

1 Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì  0

x x0lim f(x) f x

2 Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn 

Ví dụ 1 Tính các giới hạn của các hàm số sau:

2 2

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x 1, để phân tích 1

thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner    

 a b c d 0 thì pt có một nghiệm là x1 1, để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner     

3 Nếu u(x) và v(x) cĩ chứa dấu căn thì cĩ thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đĩ phân

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

A B lượng liên hiệp là: A B A B

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tìm các giới hạn của hàm số sau:

x 1

x 3 3x 5lim

x 1

8x 11 x 7lim

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tìm các giới hạn của các hàm số sau

33

1 Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

2 Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức

3 Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định    ;0 hoặc chuyển về dạng vô định ;0

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tính các giới hạn sau

35

MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo}

Dạng 1 Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vơ định 0

0)

Phương pháp: Vận dụng các cơng thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng cĩ thể sử

dụng định lí:

lim 1 hoặc lim u(x) 0 lim 1; lim 1

Ví dụ 1 Tính các giới hạn của hàm số sau

2 3

sinx 1 2sinxsincosx

xsin

1 sin2x cos2x 2sin x sin2x

1 sin2x cos2x 2sin x sin2x

1 cos 2x sin 2x 4sinxcos x

1 cos5x cos7x 1 cos5x cos5x cos5x cos7x 2

12111

cos12x cos10x sin11x 11

II Bài tập rèn luyện

Bài 1 Tính các giới hạn sau

98 1 cos3xcos5xcos7x cos x sin x 1

x sin2x 3 cos2xlim

2 x

Ta nhận thấy: -2 sin2x 3 cos2x 2

x 2 x sin2x 3 cos2x x 2

Vậy

21

1Vậy lim x sin 0

II Bài tập rèn luyện

Bài tập1 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

2

2 2

b) Tương tụ bài mẫu 2 ĐS:0

c)Ta có: 1 cos x 1 x 1, x

38

BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Hám số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số y f(x) xác đinh trên khoảng K và x 0K Hàm số

 y f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của  khoảng đĩ

 y f(x) liên tục trên đoạng [a;b] nếu nĩ liên tục trên khoảng (a;b) và

a) Hàm số đa thức liên tục trên tồn bộ tập số thực

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định

của chúng

Định lí 2: Giả sử y f(x) và y g(x)  là hai hàm số liên tục tại điểm điểm x Khi đĩ: 0

a) Các hàm số

0

f(x) g(x), f(x) g(x) và f(x).g(x) cũng liên tục tại điểm x 

b) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x , nếu g x0  0 0

Định lí 3: Nếu hàm số y f(x) liên tục trên đoạn a; b  và f(a).f(b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

 

c a;b sao cho f(c)=0

Mệnh đề tương đương: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 Khi đĩ phương trình f(x)=0 cĩ ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0

Phương pháp

f (x) khi x xf(x) f (x) khi x x