BẤT đẳng thức và các phương pháp chứng minh

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa A  B  A − B   A  B  A − B  2/Tính chất + A>B  B  A + A>B B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B C > D  A+C > B + D + A>B C >  A.C > B.C + A>B C <  A.C < B.C + < A < B < C B >  A n > B n n + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > A >  A m > A n + m > n >  1  A B 3/Một số bất đẳng thức + A  với  A ( dấu = xảy A = ) + An  với  A ( dấu = xảy A = ) + A  với A (dấu = xảy A = ) + -A 0) + A − B  A − B ( dấu = xảy A.B < 0) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) =   ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z )  với x;y;z  R Vì (x-y)2  vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2  vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2  với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z  xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz – 2yz = ( x – y + z)  với x;y;z  R Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz với x;y;z  R Dấu xảy x+y=z Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2 + b2  a + b   a)  ;   a2 + b2 + c2  a + b + c    3   b) c) Hãy tổng quát toán Giải: a) Ta xét hiệu = ( a2 + b2  a + b  −    ) ( ) 1 a2 + b2 a + 2ab + b = 2a + 2b − a − b − 2ab = (a − b )2  − 4 4 a2 + b2  a + b   Vậy    Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu   a2 + b2 + c2  a + b + c  2 −  = (a − b ) + (b − c ) + (c − a )  Vậy 3   a2 + b2 + c2  a + b + c    3   Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 + a 22 + + a n2  a1 + a + + a n    n n   Tóm lại bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2    − mn + n  +  − mp + p  +  − mq + q  +  − m + 1          2 2 m  m  m  m    − n  +  − p  +  − q  +  − 1  (luôn đúng) 2  2  2  2  m  −n =0 m  − p=0 2 Dấu xảy  m   −q =0 2 m  − = m  n =  m  m=2 p =   n = p = q =  m q =   m = 22  Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a + b + c  abc(a + b + c) Giải: Ta có : a + b + c  abc(a + b + c) , a, b, c   a + b + c − a bc − b ac − c ab   2a + 2b + 2c − 2a bc − 2b ac − 2c ab  (  a2 − b2 (  a2 − b2 (  a2 − b2 ) ) + (b ) + (b ( + 2a b + b − c 2 − c2 − c2 ) + (c ) + (c ) ( + 2b c + c − a ) + 2a c − 2a bc − 2b ac − 2c ab  − a2 ) + (a b + b c − 2b ac) + (b c + c a − 2c ab) + (a b + c a − 2a ab)  − a2 ) + (ab − bc) + (bc − ac) + (ab − ac) 2 2 0 Đúng với a, b, c Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau: ( A + B)2 = A2 + AB + B ( A + B + C )2 = A2 + B + C + AB + AC + 2BC ( A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB + B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh a) a + b2  ab b) a + b +  ab + a + b c) a + b + c + d + e  a(b + c + d + e) Giải: a) a + b2 2 2  ab  4a + b  4ab  4a − 4a + b   (2a − b)  (BĐT đúng) Vậy a + b) b2  ab (dấu xảy 2a=b) a + b +  ab + a + b  2(a + b + )  2(ab + a + b)  a − 2ab + b + a − 2a + + b − 2b +   (a − b) + (a − 1) + (b − 1)  Bất đẳng thức cuối Vậy a + b +  ab + a + b Dấu xảy a=b=1 a + b + c + d + e  a(b + c + d + e )  c) 4( a + b + c + d + e )  4a(b + c + d + e) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu ( ) ( ) ( ) ( )  a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a − 4ac + 4c   (a − 2b) + (a − 2c) + (a − 2d ) + (a − 2c)  2 2 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a + b )  (a + b )(a + b ) Giải: (a 10 )( ) ( )( + b10 a + b  a + b a + b )  a 12 + a 10 b + a b10 + b12  a 12 + a b + a b + b12 ( ) ( )  a b a − b + a b b − a   a2b2(a2-b2)(a6-b6)   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x  y Giải: Chứng minh x2 + y2  2 :x  y nên x- y  x− y x2 + y2 2 x− y  x2+y2  2 ( x-y)  x2+y2- 2 x+ 2 y   x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2   x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy  x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- )2  Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y + y − xy − y +  x, y  R b/ a + b + c  a + b + c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z =  1 1  + +  x+ y+z  x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu x y z 1 x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + )  x y z (vì + + < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh :  a b c + + 2 a+b b+c a+c Giải: Ta có : a + b  a + b + c  Tương tự ta có : 1 a a    (1) a+b a+b+c a+b a+b+c b b  ( 2) , b+c a+b+c c c  (3) a+c a+b+c Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c + + 1 a+b b+c a+c Ta có : a  a + b  Tương tự : (*) a a+c  a+b a+b+c b a+b  b+c a+b+c (5) , ( 4) c c+b  c+a a+b+c ( 6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c + + 2 a+b b+c a+c (**) Từ (*) (**) , ta :  Phương pháp 3: a b c + +  (đpcm) a+b b+c a+c Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x + y  xy b) x + y  xy dấu( = ) x = y = Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) (x + y )2  xy a b b a d) +  Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: (x + y )2  xy Tacó (a + b)2  4ab ; (b + c)2  4bc ; (c + a)2  4ac  (a + b ) (b + c ) (c + a )  64a b c = (8abc)  (a+b)(b+c)(c+a)  8abc 2 2 Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b  , ta có: a + b  ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1 + a + + a n  n n a1 a a n  a + a + + a n   a1 a a n    n   n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số khơng âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x + + = x x x x +1 +1 + Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt a = x , a, b   b = x Khi phương trình có dạng : a b + + = b +1 a +1 a + b Vế trái phương trình: Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu  a   b    = + 1 +  + 1 +  + 1 −  b +1   a +1   a + b   a + b + 1  a + b + 1  a + b +1 = + + −3  b +1   a +1   a + b  1   = (a + b + c ) + + −3  b +1 a +1 a + b  (b + 1) + (a + 1) + (a + b ) 1  + + −3  b +1 a +1 a + b  3  3 (a + 1)(b + 1)(a + b) −3 = (a + 1)(b + 1)(a + b ) 2 Vậy phương trình tương đương với : a +1 = b +1 = a + b  a = b =  2x = 4x =  x = Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = x y z + + x +1 y +1 z +1 Giải : P = 3- ( 1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > + + x +1 y +1 z +1 a + b + c  3 abc 1 1 + +  33 a b c abc  1 1  (a + b + c ) + +   a b c 1  + +  a b c a+b+c Suy Q = 9 1   -Q  − nên P = – Q  3- = + + 4 x +1 y +1 z +1 Vậy max P = x = y = z = Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 a+b+c + +  2abc a + bc b + ac c + ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a + +bc  2a bc  1 1    +  a + +bc a bc  ab ac  Tương tự : 1 1     +  b + + ac b ac  bc ab  1 1    +  c + + ab c ab  ac bc  2 a+b+c  + +  2abc a + bc b + + ac c + + ab Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ : CMR tam giác ABC : a b c + +  (*) b+c−a c+a−b a+b−c Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc + +  33 (1) b+c−a c+a −b a +b−c (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b + c − a )(c + a − b)  (b + c − a + c + a − b) = c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)  abc abc →  (3) (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 10 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 45 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu (x + y2 ) 8 (x − y )2 2 Giải: Ta có (x  x + y = (x − y ) + xy = (x − y ) + 2 (vì xy = 1) + y ) = ( x − y ) + 4.( x − y ) + 4 Do BĐT cần chứng minh tương đương với (x − y )4 + 4(x − y )2 +  8.(x − y )2  (x − y )4 − 4(x − y )2 +   (x − y ) − 2  2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  Chứng minh 1 +  2 1+ x 1+ y + xy Giải:  1   1  1 +   +    − − 2 2   1+ x 1+ y + xy  + x + y   + y + xy  Ta có   xy − x xy − y + 0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) x( y − x) y( x − y) + 0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x )2 (xy −1)  BĐT cuối xy > Vậy ta có đpcm (1 + x )( + y ).(1 + xy) * Dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh a + b + c  Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có  (1.a + 1.b + 1.c)2  (1 + + 1).(a + b2 + c2 )  (a + b + c)2  3.(a2 + b2 + c2 ) a2 + b2 + c2  (vì a+b+c =1 ) (đpcm) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 46 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 1 2) Cho a,b,c số dương Chứng minh (a + b + c ). + +   a Giải: 1+  (1) b c a a b b c c + + +1+ + + +1  b c a c a a (1)  a b a c  b c 3+ +  + +  + +   b a  c a c b áp dụng BĐT phụ x y + 2 y x Với x,y > Ta có BĐT cuối 1 Vậy (a + b + c ). + +   a b (đpcm) c * Dùng phương pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c Ta có x + x = y  x + x = y2  x = y2 − x  Đặt Ta có x =k (k ngun dương x ngun dương ) k (k + 1) = y Nhưng k  k ( k + 1)  ( k + 1)  k  y  k + Mà k k+1 hai số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên dương Nên khơng có cặp số ngun dương thoả mãn phương trình x = y = Vậy phương trình có nghiệm :  Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 54 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 55 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài tập đề nghị : Bài 1:Chứng minh với a,b,c > : a b c 1 + +  + + bc ac ab a b c HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa tổng bình phương đẳng thức Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: 1 1 + + + + 1 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) (n  N *) 1 = − k (k + 1) k k + 1 1 Bài 3: Cho a, b c > a + b + c  Cmr : 1 + 1 + 1 +   64  a  b  c 1 HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 1 +  , 1 +  , 1 +   a  b  c Bài : Cho a  c  0, b  c  Cmr : c(a − c) + c(b − c)  ab HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho c a−c c b−c , cộng hai vế theo , b a a b Bài 5: Cho a, b >1 Tìm GTNN S = a2 b2 + b −1 a −1 vế Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 56 Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a2 b2 HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho xét trường hợp dấu “=” , b −1 a −1 xảy Bài : Tìm GTLN GTNN y = HD: Đặt x= + x + 12x (1 + x )    tg ,    − ,   2 Bài 7: Cho 36x +16 y = Cmr : 15 25  y − 2x +  4   x = cos HD: Đặt :   y = sin   Bài 8: Cmr : + − x  (1 + − x ), x  − 1,1 x   HD : Đặt x = sin 2 ,   − ,   4 Bài 9: Cho a, b  0, c  Chứng minh rằng: a + b + c  + a b + b c + c a Bài 10: Cho  ABC có a, b, c độ dài cạnh Chứng minh rằng: a b(a − b) + b c(b − c) + c a(c − a)  Bài 11: Cho n  ,1  n, a, b  Chứng minh Bài 12: n  ,2  n Chứng minh rằng: Bài 13: Có tồn xR cho: an + bn  a + b      n n 1   1 +   n  tg 3x   3? tgx Bài 14: Cho  ABC có diện tích (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC, CA, AB lấy lần lược điểm A’, B’, C’ Chứng minh rằng: Trong tất tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có diện tích nhỏ hay 1(đơn vị diện tích) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS ...BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh. .. Hữu Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng. .. sin x  Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy: sin nx  n sin x , n    , x  R Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai