Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

Tài liệu thông tin đến các bạn và các em học sinh bài tập Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm; nguyên hàm của hàm số hữu tỷ; nguyên hàm đổi biến số; tính chất nguyên hàm và nguyên hàm của hàm ẩn...

“Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB BÀI 1: NGUYÊN HÀM DẠNG TỐN 1: TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM  Bài tốn 1.Tìm ngun hàm F( x) hàm số f ( x) (giả sử điều kiện xác định) https://luyenthitracnghiem.vn n  x dx  x n 1 Mở rộng   C  n1 n  (ax  b) dx  Một số công thức thường sử dụng:  kdx  kx  C  kf (x)dx  k. f (x)dx  f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx a) Tìm họ nguyên hàm f ( x)  4x3  x  Lời giải x2 Ta có: F( x)   f ( x)dx   (4 x  x  5)dx  x   5x  C b) Tìm họ nguyên hàm f ( x)  3x2  2x Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Ta có: F( x)   f ( x)dx   (3x2  2x)dx  x3  x2  C c) Tìm họ nguyên hàm f ( x)   x2 x Lời giải Ta có: F( x)   f ( x)dx   ( x5  x2 )dx   d) Tìm họ nguyên hàm f ( x)  x4 x3  C  x2  x Lời giải   Ta có: F( x)   f ( x)dx   x3  x2  dx   x2 x3  x e) Tính I   ( x2  3x)( x  1)dx Lời giải x4 3 Phân phối được: I   ( x  2x  3x)dx   x  x  C 3 f) Tính I   ( x  1)( x2  2)dx ( ax  b)n1 C a n1 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải x4 x3   x2  2x  C Phân phối được: I   ( x  x  2x  2)dx  3 g) Tính I   (2x  1)5 dx (công thức mở rộng) Lời giải https://luyenthitracnghiem.vn I   (2 x  1)5 dx  (2 x  1)6 C h) Tính I   (2x  10)2020 dx Lời giải I   (2 x  10) 2020 (2 x  10)2021 dx  C 2021 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm nguyên hàm F( x) hàm số f ( x)  4x3  4x  thỏa mãn F(1)  A F( x)  x4  2x2  5x  B F( x)  x4  4x2  5x  C F( x)  x4  2x2  5x  D F( x)  x  x  5x  Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn A Ta có: F( x)   f ( x)dx   (4x3  4x  5)dx  x4  2x2  5x  C Theo đề bài, ta có: F(1)   14  2.12  5.1  C   C  1 Do đó: F( x)  x4  2x2  5x  Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm F( a) ta cần x  a vào F( x) tìm F( a) Chẳng hạn, tính F(2) , ta x  vào F( x) , nghĩa F(2)  24  2.22  5.2   17 Câu 2: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   3x2  2x  thỏa mãn F 1  A F  x   x3  x2  5x  B F  x   x3  x2  5x  C F  x   x3  x2  5x  D F  x   x3  x2  5x  Lời giải Chọn B  f  x  dx   3x   2x  dx  x3  x2  5x  C “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB F  1    C   C  3 Vậy F  x   x3  x2  5x  Câu 3: Hàm số f  x   5x4  4x2  có nguyên hàm F  x  thỏa F    Tính F  3  B F  3   225 https://luyenthitracnghiem.vn A F  3   226 C F  3   451 D F  3   225 Lời giải Chọn C  f  x  dx   5x   x2  dx   x5  x  6x  C F     225  C   C  226  F  x    x5  x  x  226 Do F  3   451 Câu 4: Hàm số f  x   x3  3x  có nguyên hàm F  x  thỏa F    14 Tính F  2  A F  2   B F  2   14 C F  2   6 D F  2   14 Lời giải https://www.facebook.com/vietgold Chọn A  f  x  dx   x   3x  dx  x  x  2x  C F    14  14  C  14  C   F  x   x  x  2x Do F  2   1 3 Câu 5: Hàm số f  x    2x  1 có nguyên hàm F  x  thỏa F    Tính P  F   2 2 A P  32 C P  18 B P  34 Lời giải Chọn B  2x  1  C  x  1 x  d x   C     4  2x  1  1 F      C   C   F  x  2 3 Do F    34 2 D P  30 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 Câu 6: Hàm số f  x   1  x  có nguyên hàm F  x  thỏa F     Tính F  1  2 A F 1  10 B F 1  5 C F  1  59 12 D F  1  71 12 Lời giải Chọn D   1  1 C   C  Ta có F        2 1  2x  1 71  nên F  1     Do F  x    6 12 Câu 7: Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x    2x   thỏa F    thức T  log 3F 1  2F   A T  B T  Tính giá trị biểu https://luyenthitracnghiem.vn 1  2x  C F  x    1  2x  dx      x  d 1  x    D T  4 C T  10 Lời giải Chọn A  2x  3 C F  x     2x   dx    x   d  x    3   3 1 29 C   C  Ta có F     3  x   29 1 29 14 1 29  Do F  x   nên F  1   ; F  2    5 3 6 3  14   T  log 3F 1  F    log   2.5   log    Câu 8: Hàm số f  x   x3  3x  có nguyên hàm F  x  Biết đồ thị hàm số y  F  x  qua điểm M  2;10  Giá trị F  2  A 18 C 8 B D 20 Lời giải Chọn B x 3x   2x  C F  x     x  3x   dx  4 https://www.facebook.com/vietgold “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 2 3.2   2.2  C  10  C  Hàm số qua M  2;10   2    2   2   x 3x  x   F  2   Do F  x      4 https://luyenthitracnghiem.vn  Bài tốn 2.Tìm ngun hàm F  x  hàm số f  x  (mục đích cho học sinh rèn luyện cơng thức) Làm quen nhóm cơng thức có mẫu số  x dx  ln x  C x Mở rộng   Mở rộng  dx    C  x 1  ax  b dx  a ln ax  b  C  1 dx   C a ax  b ax  b     a) Tìm I    3x    dx x   Lời giải   Ta có: I    3x2    dx  x  ln x  x  C x     b) Tìm I    3x    dx x x   https://www.facebook.com/vietgold Lời giải   Ta có: I    3x2    dx  x  ln x   C x x  x  c) Tìm I   x  3x  dx x Lời giải Ta có: I   d) Tìm I   x  3x   1 dx    x    dx  x  3x  ln x  C x x  2x2  x  dx x Lời giải Ta có: I   e) Tìm I   2x2  6x   3 dx    x    dx  x2  x  3ln x  C x x  dx 2x  Lời giải  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: I   f) Tìm I   Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm 1 dx  ln x   C 2x  2 dx  4x Lời giải 1 dx  .ln  x  C   ln  x  C  4x 4 dx g) Tìm I    2x  1 https://luyenthitracnghiem.vn Ta có: I   Lời giải I 1 1 dx   C   C 2x  4x   2x  1  12   dx h) Tìm I      x  12 x     Lời giải https://www.facebook.com/vietgold  12  12 12  I  dx    ln x   C   ln x   C x 1 x 1   x  1 x     i) Tìm I   dx 4x  4x  Lời giải I 1 1 1 dx   dx   C   C 2 2x  4x  4x  4x   2x  1 j) Tìm I   dx x  6x  Lời giải I 4 4 dx   dx   C   C x  x  x  6x   x  3 k) Tìm I   2x   x  1 dx Lời giải I 2x    x  1  2( x  1)  dx     dx   dx   dx 2 x1   x  1  x  1  x      “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB 3  C  ln x    C x1 x1 2x  l) Tìm I   dx 4x  4x  I  ln x   https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải  2x    dx I dx    2    2x  1   x  1  x  1  I dx   dx 2x   2x  1 2x  Câu 9: I 3 ln x   C 2  x  1 I ln x   C 2  x  1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   F    Giá trị F   x 1 A B ln  C D ln  https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn B F  x   dx  ln x   c x 1 F      c  F  x   ln x    F    ln  Câu 10: Biết F  x  nguyên hàm hàm f  x   A ln  B ln7  F  1  Giá trị F  4  2x  1 C ln7  D ln  Lời giải Chọn D F  x   1 dx  ln x   c 2x  F  1    c  F  x   1 ln x    F  4   ln  2 Câu 11: Biết F  x  guyên hàm hàm số f  x   thỏa F  1  Giá trị F   2x  Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB A 4ln B 3ln C ln D Lời giải Chọn C F  x   3 dx  ln x   c 2x  https://luyenthitracnghiem.vn F  1    c  F  x   3 ln x   F    ln 2 Câu 12: Nguyên hàm F  x  hàm số f  x    e 1 biết F    2x    A F  x   ln 2x   0, B F  x   ln 2x   C F  x   D F  x   0, 5ln 2x   0, ln x   Lời giải Chọn C F  x   1 dx  ln x   c 2x   e 1 3 1 F    ln e  c  c   F  x   ln x    2   F  1  f  1  b a ,b  x2 , x   biết F  1  , A F  x   3x2   2x B F  x   3x2   2x C F  x   3x2   4x D F  x   3x2   2x Lời giải Chọn A  b  a b F  x     ax   dx  x   c x x   https://www.facebook.com/vietgold Câu 13: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   ax  “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB https://luyenthitracnghiem.vn a  2  b  c  a   F  1     3x2 a    Lại có:  F  1     b  c   b   Nên F  x   2 x     f  1  a  b     c     Bài tốn Tìm ngun hàm F( x) hàm số f ( x) (giả sử điều kiện được xác định): Làm quen nhóm cơng thức nguyên hàm hàm lượng giác   sin( ax  b)dx   cos( ax  b)  C  sin xdx   cos x  C  a   cos( ax  b)dx  sin( ax  b)  C  cosxdx  sin x  C  a  Cần nhớ: sin 2x  2sin x cos x, cos 2x  cos2 x  sin2 x  2cos2 x    2sin x a) Tìm I   (sin x  cos x)dx Lời giải I   (sin x  cos x)dx   cos x  sin x  C b) Tìm I   (3cos x  sin x)dx https://www.facebook.com/vietgold Lời giải I   (3cos x  sin x)dx  3sin x  cos x  C c) Tìm I   (2 sin 2x  3cos 6x)dx Lời giải I   (2 sin x  3cos x)dx   cos x  sin x  C d) Tìm I   sin x cos xdx Lời giải I   sin x cos xdx  1 sin xdx   cos x  C  x   e) Tìm I   cos   dx 2 6 Lời giải x   x   I   cos   dx  sin     C 2 6 2 6 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  x f) Tìm I   sin   dx  3 Lời giải  x  x I   sin   dx  3cos     C  3  3 Lời giải I   (sin x  cos x)2 dx   (sin x  sin x cos x  cos2 x)dx   (1  sin 2x)dx  x  cos x  C h) Tìm I   (cos x  sin x)2 dx Lời giải   I    sin x  cos x  dx   sin x  sin x cos x  cos2 x dx   1  sin 2x  dx  x  cos 2x  C  https://luyenthitracnghiem.vn g) Tìm I   (sin x  cos x)2 dx  i) Tìm I   cos2 x  sin x dx Lời giải    https://www.facebook.com/vietgold I   cos2 x  sin x dx   cos xdx  sin x  C  j) Tìm I   cos4 x  sin x dx Lời giải      I   cos4 x  sin x dx   cos2 x  sin x sin x  cos2 x dx     cos2 x  sin x dx   cos xdx  sin x  C  Nhóm áp dụng cơng thức:  sin x dx   (1  cot x)dx   cot x  C   x dx   (1  tan x)dx  tan x  C    cos dx  sin (ax  b)   a cot(ax  b)  C dx  cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C  1   k) Tìm I     dx 2  cos x sin x  10 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Do F  x   ex 3 x2 3e 1 https://luyenthitracnghiem.vn ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.B 9.B 10.B 11.B 12.B 13.D 14.C 15.D 16.C 17.C 18.B 19.B 20.A 21.C 22.B 23.B 24.A 25.A 26.A 27.A 28.A 29.C 30.B ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN (NHÓM BÀI NÂNG CAO CÓ MẪU VÀ HƯỚNG DẪN) Câu 70: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2019)Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  4x(1  ln x) A 2x2 ln x  3x2 C 2x2 ln x  3x2  C D 2x2 ln x  x2  C B 2x2 ln x  x2 Hướng dẫn: Nhân phân phối tách hai nguyên hàm Lời giải Chọn D https://www.facebook.com/vietgold  u   ln x du  dx Đặt   x dv  xdx v  x   f  x  dx  1  ln x  2x   2xdx  1  ln x  2x Khi đó: Câu 71: Giả sử (2 x  3)dx  x( x  1)( x  2)( x  3)    g( x)  C  x2  C  x2 1  ln x   C với C số Tổng nghiệm phương trình g( x)  A 1 B C D 3 Hướng dẫn: Dựa vào phương trình ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  e với a  b  c  d, ta nhóm ( x  a)( x  d) ( x  b)( x  c)  e , sau đặt t  ( x  a)( x  d) Cụ thể: x( x  1)( x  2)( x  3)   x( x  3)[( x  1)( x  2)]  ( x2  3x)( x2  3x  2) Đặt t  x2  3x  dt  (2x  3)dx phần lại nguyên hàm Lời giải Chọn D Ta có: I   (2 x  3)dx (2 x  3)dx  x( x  1)( x  2)( x  3)  ( x  3x  2)( x2  3x)  Đặt t  x2  3x  dt   2x   dx Khi đó: 81 Ngun hàm phương pháp tính Ngun hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB I dt dt 1   C    C  g  x  x  3x  (t  2) t  x  3x   t  1 t  Theo định lý Viet ta thấy phương trình g  x   có hai nghiệm x1 ; x2 x1  x2  3 Mẫu Cho hàm số f ( x) xác định \{1} thỏa f ( x)  ; f (0)  f (2)  Tính giá trị x 1 biểu thức P  f (2)  f (5) 2 ln( x  1)  C1 x  dx  ln x   C   ln(1  x )  C x  x 1   f (0)  2 ln(1  0)  C2  C1  2 ln( x  1)  x     f ( x)   Do   f (2)  2 ln(2  1)  C1  2 ln(1  x)  x  C2  Khi đó: P  f (2)  f (5)   ln[1  ( 2)]    2 ln(5  1)    ln  ln  Câu 72: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT năm 2018 – Câu 37)Cho hàm số f ( x) xác định thỏa mãn f ( x)  A P   ln15 1 \  2 ; f (0)  f (1)  Tính P  f (1)  f (3) 2x  B P   ln15 C P   ln15 https://luyenthitracnghiem.vn Giải Ta có: f ( x)   f ( x)dx   D P  ln15 Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/vietgold  ln(2 x  1)  C1 x    Ta có: f ( x)   f ( x)dx   dx  ln x   C   2x  ln(1  x)  C x     ln(2 x  1)  x  C1   f (0)  ln(1  0)  C2     f ( x)   Do   f (1)  ln(2  1)  C1  C2  ln(1  x)  x   Khi đó: P  f (1)  f (3)   ln  1   ln    ln15  Câu 73: Cho hàm số f ( x) xác định \{1} thỏa f ( x)  , f (0)  2017, x 1 f (2)  2018 Giá trị biểu thức T   f (3)  2018   f ( 1)  2017  A  ln2 B 2ln C ln 2 D Lời giải Chọn C 82 “Thành cơng nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: f ( x)   f ( x)dx   ln( x  1)  C1 x  1 dx  ln x   C   x 1 ln(1  x)  C2 x  https://luyenthitracnghiem.vn C  2018  f (0)  2017 ln(1  0)  C2  2017   Do   f (2)  2018 ln(2  1)  C1  2018 C2  2017 Khi đó: T   f (3)  2018   f ( 1)  2017     ln   1  2018  2018  ln   1  2017  2017     ln 2.ln  ln2 Câu 74: Cho y  f ( x) xác định f (3)  \{2} thỏa mãn f ( x)  ; f (0)  ln 3x  ln Tính P  f (7)  f (11) A P  ln162 C P  ln B P  ln18 D P   ln Lời giải Chọn A 1  ln( x  2)  C1 x  1 Ta có: f ( x)   f ( x)dx   dx  ln x   C   3x   ln(2  x)  C x  2  https://www.facebook.com/vietgold   f (0)  Do   f (3)   1  ln ln(2  0)  C2  ln C1  ln     3  3  4 C  ln  ln ln  ln(3  2)  C1  ln   3 3 1 x   ln( x  2)  ln  f ( x)    ln(2  x)  ln  ln x   3 1  1  Khi đó: P  f ( 7)  f (11)   ln[2  ( 7)]  ln  ln    ln(11  2)  ln  3 3  3   4ln  ln  ln162 Câu 75: Cho hàm số f ( x) xác định * thỏa mãn f ( x)  , f (1)  1, f (1)  x2 f (2)  Giá trị biểu thức f ( 2) A  2ln B  ln C  ln Lời giải Chọn A 83 D ln Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có: f ( x)   f ( x)dx   1 dx    C x x  1  Suy f ( x)   f ( x)dx    +C  dx   ln x  Cx  C  x   ln x  Cx  C1 x    ln(  x)  Cx  C2 x  https://luyenthitracnghiem.vn  f ( 1)   ln1  C  1  C2  C1   ln     C2   ln Do  f (1)    ln1  C.1  C1   f (2)   ln  C.2  C  C  ln     ln x  x ln  ln x   f ( x)    ln(  x)  x ln   ln x  Khi đó: f (2)   ln  2ln   ln   2ln Câu 76: Cho hàm số f ( x) xác định \{2} thỏa f ( x)  2x  , f (1)  f (3)  2 Giá trị biểu thức f (1)  f (4) bao nhiêu? A 6 C 14 B D Lời giải Chọn A Ta có:   x   dx x   f ( x)   f ( x)dx   x  dx       x  dx x  https://www.facebook.com/vietgold  x  x  C1 x   4 x  x  C2 x  4.1  12  C2  C  2  f (1)    Do   f (3)  2 3  4.3  C1  2 C1   x  x  x   f ( x)   4 x  x  x    Khi đó: f (1)  f (4)  4  1   1     4.4   6   Câu 77: Xét hàm số y  f ( x) xác định f ( x)  \{1}, có f (0)  f (2)  Biết hàm số ax  b có đồ thị đường cong hình vẽ Tính giá trị f (1)  f (3) xc A f (1)  f (3)  ln B f (1)  f (3)  C f (1)  f (3)   ln D f (1)  f (3)   ln Lời giải 84 “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn D Từ đồ thị hàm số f ( x)  ax  b ax ta thấy: Đồ thị qua gốc tọa độ b   f ( x)  xc xc ax có đồ thị hình vẽ nên a  , suy xc đồ thị có đường tiệm cận đứng đồ thị x  c đường tiệm cận ngang y  a Từ đồ https://luyenthitracnghiem.vn Mà f ( x)  thị ta thấy đồ thị có đường tiệm cận đứng x  ; đường tiệm cận ngang y  Suy a  c  1 Vậy f ( x)  Ta có: f ( x)   f ( x)dx   x x 1 x   dx     dx  x  ln x   C x 1 x     x  ln( x  1)  C1 x   x  ln(1  x )  C x    x  ln( x  1)  x   f (0)   0  ln     C2  C1  1  f  x   Do    x  ln(1  x )  x  C  2  ln   C      f (2)       Khi f ( 1)  f (3)  1  ln   1    3  ln   1  1   ln   Mẫu Hàm số F( x) liên tục 3x  x  Biết , nguyên hàm hàm số f ( x)   5cos x x      F     F(1)  Giá trị biểu thức T  F(2)  F    bao nhiêu?  2  6 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải  x3  5x  C1 x  F ( x )  f ( x )d x  Ta có:   5sin x  C2 x      Theo đề F     F(1)   5sin     C2  13  5.1  C2   C1  C2  (1)  2  2 Vì hàm số F( x) liên tục nên liên tục điểm x  0, tức có: lim F( x)  lim F( x)  F(0)  C2  C1 nên kết hợp (1)  C1  C2  x 0 x 0  x  5x  x  Suy ra: F( x)   5sin x  x        Do đó: T  F(2)  F      5.2   5sin     1  22  6  6   3x2  x  f ( x )  Câu 78: Biết F( x) liên tục , nguyên hàm hàm số  x  18 x   Giá trị biểu thức F(1)  F(3) A B 18 C D 32 85 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Lời giải Chọn B  x3  x  C1 x  Ta có: F( x)   f ( x)dx    x  18 x  C2 x  nên liên tục điểm x  2, tức có: Vì hàm số F( x) liên tục x 2 Do đó: F(1)  F(3)  1  18  C2    27   C1   14  C1  C2   14  32  18 2 x x  có nguyên hàm hàm số F( x) thỏa mãn F(0)  3x  x  Câu 79: Cho hàm số f ( x)   F( x) liên tục A Giá trị T  F(1)  F(2) C B D Lời giải Chọn B  x2  C1 x  F ( x )  f ( x )d x  Ta có:   x  x  C x   https://luyenthitracnghiem.vn lim F( x)  lim F( x)  F(2)  12  C1  20  C2  C1  C2  32 x 2  Theo đề F     C2  (1) nên liên tục điểm x  1, tức có: Vì hàm số F( x) liên tục  x x  Suy ra: F( x)    x  x  x    Do đó: T  F(1)  F(2)   1   1  22  sin x  x cos x x  , nguyên hàm hàm số f ( x)   x  2( x  1) F( )  F(1)  Giá trị biểu thức F(2 )  F(5) Câu 80: Biết F( x) liên tục A 17 B 2  C D   Lời giải Chọn A  x sin x  C1 x  Ta có: F( x)   f ( x)dx    x  x  C2 x    Theo đề F( )  F( 1)    sin    C1  1   C2    C1  C2  (1) Vì hàm số F( x) liên tục nên liên tục điểm x  0, tức có: 86 https://www.facebook.com/vietgold C  lim F( x)  lim F( x)  F(1)   C1  C2 nên kết hợp (1)   x 1 x 1 C1  “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB lim F( x)  lim F( x)  F(0)  C2  C1 nên kết hợp (1)  C1  C2  x 0 x 0 https://luyenthitracnghiem.vn  x sin x  x  Suy ra: F( x)    x  x  x  Do đó: T  F(2 )  F(5)   2 sin  2   1   25  10  1  17  x   , nguyên hàm hàm f  x    x  Biết  x  x    Câu 81: Biết F  x  liên tục F    F  1  Tính P  F  2   F 12  A 20 B 281 16 C 27 121 Lời giải Chọn A  2x   C  x  x    nguyên hàm f  x  f  x    2x   F  x    2x      x  x   C2 x     Từ suy ra: F    F  1     C1  2  1   4  1 2.12   Ta có: P  F  2   F  12   https://www.facebook.com/vietgold D Câu 82: Cho hàm số y  f  x  xác định  C2   C1  C2  39  C1  C2  20 \0 thỏa mãn 2xf  x   x2 f   x   f  1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  giao điểm với trục hoành A y  x  B y  2x  D y  x C y  x Lời giải Chọn A   f  x   x f   x     x f  x   Ta có: xf  x   x2 f   x    x2 2 Lây nguyên hàm hai vế ta được:    x f  x  dx   1.dx  x f  x   x  C Lại có: f 1   f 1   C  C  1 2 x 1 x2 x 1 Xét phương trình hồnh độ giao điểm:   x  (thỏa mãn) x 2x Ta có: f '  x    f   1  ; f  1  x Phương trình tiếp tuyến giao điểm với trục hồnh là: Từ suy ra: x2 f  x   x   f  x   y  f  1 x  1  f 1  y  x  87 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 83: Cho hàm số y  f  x  xác định \0 thỏa mãn f  x   xf   x   3x2 f    Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  giao điểm với trục hoành A y  x  D y  6x  12 C y  x B y  2x  Lời giải Chọn D   https://luyenthitracnghiem.vn Ta có: f  x   xf   x   3x2   x  f  x   xf   x   3x2  xf  x  '  3x2 Lây nguyên hàm hai vế ta được:    xf  x  dx   3x dx  xf  x   x  C Lại có: f     f     C  2.8  C   C  Từ suy ra: xf  x   x3   f  x   Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3  x x3    x  2 x x3   f   2   6 ; f  2   x2 Phương trình tiếp tuyến giao điểm với trục hoành là: y  f   2  x    f  2   y  6  x    y  6x  12 Ta có: f   x   Câu 84: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x  f  x   x2 f    Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số g  x   f  x   x2 điểm có hồnh độ A y  x  B y  x  C y  4x  D y  x https://www.facebook.com/vietgold Lời giải Chọn A Ta có: f   x  f  x   x2 Lây nguyên hàm hai vế ta được:  f  x  x3 x3 f   x  f  x .dx   x dx   f  x .df  x    C   C 3 2 f  2   Suy ra: f f  2  x  x 3  23 8 C   C  C  3  f  x  x Vậy g  x   x2  x  g '  x   2x  Ta có: g '    7; g    12 Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ là: y  g   x    g    y   x    12  y  x  Câu 85: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x   f  x   e x f    Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x   f  x  giao điểm với trục hồnh 88 “Thành cơng nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB B y  e2  x   A y  x  C y  e2  x   D y  x Lời giải Chọn C https://luyenthitracnghiem.vn Ta có: f   x   f  x   e x  Nhân vế với e  x ta được: e  x f   x   e  x f  x    e  x f  x     Lây nguyên hàm hai vế ta được:    e f  x  dx   1.dx  e f  x   x  C f 0   f 0   C  C  x x Suy ra: e  x f  x   x   f  x   x2   x   ex  f   x    x  3 ex x e Xét phương trình hồnh độ giao điểm  x   e x   x  2 Ta có: f   2    2   e2  e 2 ; f  2   Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ là: y  e2  x   Câu 86: THIẾU Câu 87: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   f '  x   e  x , x  f    Tất nguyên https://www.facebook.com/vietgold hàm f  x  e 2x A  x   e x  e x  C B  x   e x  e x  C C  x  1 e x  C D  x  1 e x  C Lời giải Chọn D   f  x  f '  x  ex  ex f  x  ex f '  x   ex f  x  '   e x f  x   x  C Mà f    , suy f  x    f  x e 2x dx  x2 ex x  2x e dx   x   e x dx   x   d e x   x   e x   e xdx x e     x   e x  e x  C   x  1 e x  C Câu 88: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   2x f  x  f '  x   5x4 , f  x   f 1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M có hồnh độ x  A y  2x  B y  x  C y  4x  D y  x Lời giải 89 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Chọn C f  x   2x f  x  f '  x   5x4  f  x   4x f  x  f '  x   10x    2x f  x  '  10x4  2x f  x   2x  C Mà f 1   2.1   C  C  , suy f  x   x4  f  x   x2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M có hồnh độ x  y   x    f    4x  thỏa mãn điều kiện f  x   0, x  , Câu 89: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục f '  x   e x f  x  , x  f    Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0  ln A 2x  y  ln   B 2x  y  ln   C 2x  y  ln   D 2x  y  ln   https://luyenthitracnghiem.vn f '  x   2x, f '    Lời giải Chọn A x  , f  x   0, f '  x   e x f  x   f '  x  e  x  e x  1  e x  C f  x 1 suy C  1 f  x   x e 1 e x x f  1  f '  ln   2 , f  ln   Phương trình tiếp tuyến hoành độ x0  ln là: y x  ln    x  y  ln    Câu 90: Cho hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  , f  x   f '  x  3x  1, x  Mệnh đề sau đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    Lời giải Chọn D 90 https://www.facebook.com/vietgold Mà f    f '  x “Thành cơng nói không với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Vì f  x   f  x   f '  x  3x  ta suy https://luyenthitracnghiem.vn  f '  x f  x 3x  f '  x 3x  dx   dx  ln f  x   C f  x 3x  Mà f  1  suy C  4 f  x   e 3 x 1  4 f    e  3,79 Câu 91: Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn 0;  thỏa mãn f  x   1, f    ,  x2  f '  x   x f  x   Giá trị f A    C B D Lời giải Chọn B Vì f  x   f  x   f '  x  3x  ta suy f '  x  f  x  dx   3x  dx  ln f  x   f '  x f  x  3x  3x  C 4 Mà f  1  suy C  f  x   e 3 https://www.facebook.com/vietgold  x 1  4 f    e  3,79 Câu 92: Cho hai hàm số y  f ( x) y  g( x) khơng âm, có đạo hàm đoạn [1; 4] thỏa hệ thức f (1)  g(1)  4, g( x)  x f ( x) f ( x)  x.g( x) Giá trị f (4)  g(4) A B ln D 2ln C ln Lời giải Chọn A Ta có g( x)  x f ( x) f ( x)  x.g( x)   Suy f  x   g( x)   x f ( x)  g  x   f ( x)  g  x  f  x   g( x)   1 x  4 4 d f x  g( x) f ( x)  g  x     1 dx  dx    ln x   ln Từ suy        x f x  g ( x ) f x  g ( x )     1 1   ln f  x   g( x)   ln  ln f    g(4)  ln f 1  g(1)   ln 4  ln f    g(4)   f    g     f    g    Câu 93: Cho hàm số y  f ( x) liên tục \{0; 1}, thỏa mãn x( x  1) f ( x)  f ( x)  x2  x với x  \{0; 1} f (1)  2 ln Biết f (2)  a  b ln với a, b  Giá trị tổng a2  b2 91 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB B 0,75 A 0, C 13 D 4, Lời giải Chọn D Ta có x( x  1) f ( x)  f ( x)  x  x   x  1 f  x  x x  x  x f  x    f  x   x1 x1 x 1 x 1  https://luyenthitracnghiem.vn  f x  f x  x  x  1  x  x x dx   dx  f  x   x  ln x   C Suy   f  x   x 1 x1 x1  Mà f 1  2 ln  2 ln     ln  C  C  1 Do f  x   x   x1 x1 x 1 ln x    x  ln x  x x x x 3 3 Ta có f (2)    ln   ln suy a  ; b   a2  b2  2 2 2 Câu 94: Cho hàm số y  f ( x) có có đạo hàm [1; 2] thỏa f (1)  f ( x)  xf ( x)  2x3  3x2 Giá trị f (2) A D 15 C 10 B 20 Lời giải Chọn f  x   ax3  bx2  cx  d   Ta có f ( x)  xf ( x)  2x3  3x2  ax3  bx2  cx  d  x 3ax  2bx  c  2x  3x  a  3a  a    b  b  b  Suy   c  c c  d  d  Vậy f  x   x3  3x2 suy f    20 Câu 95: Cho hàm số y  f ( x) liên tục (0; ) thỏa mãn 2xf ( x)  f ( x)  3x2 x Biết f (1)  0, Giá trị f (4) A 24 B 14 C D 16 Lời giải Chọn D Ta có xf ( x)  f ( x)  3x x  3x x f x  f x  2x 92 https://www.facebook.com/vietgold Chọn B “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  x https://luyenthitracnghiem.vn Suy f  x  x f  x   3x     3x x f  x  2   3x x3 x f  x  dx   dx  x f  x    C 2 x2 x Vậy f (4)  16  C  C  Do f  x   2 Mà f 1  0.5  f 1  Câu 96: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục , f (0)  0, f (0)  0, f ( 2)  thỏa mãn hệ thức f ( x) f ( x)  18x2  (3x2  x) f ( x)  (6 x  1) f ( x);  Giá trị f ( 2) A 4 C 24 B D 24 Lời giải Chọn D f ( x) f ( x)  18 x  (3x  x) f ( x)  (6 x  1) f ( x)  f ( x) f ( x)  36 x  2(3x  x) f ( x)  2(6 x  1) f ( x)    f ( x) f ( x)  2(3x2  x) f ( x)  2(6 x  1) f ( x)  36 x2 f  x    3x        x f  x   36x2   f  x   3x2  x f  x  dx   36x 2dx     https://www.facebook.com/vietgold f  x   3x2  x f  x   12x3  C Ta có f     C   f  2   24 Vậy f  x   3x  x f  x   12 x  f  2   20 f  2   96    f  2   4   Vì f (2)  suy f  2   24 Câu 97: Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không âm đoạn [0;  /2] thỏa mãn f (0)  f ( x) f ( x)  cos x  f ( x) Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số y  f ( x)    đoạn  ;   6 2 A m  21 , M2 2 C m  , M  D m  3, M  2 B m  , M  Lời giải Chọn A Ta có f ( x) f ( x)  cos x  f ( x)  93 f ( x) f ( x)  f ( x)  cos x Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Suy  f ( x) f ( x)  f ( x) dx   cos xdx       f ( x) dx  sin x  C   f ( x)  sin x  C Mà f (0)  suy C  Do ta có  f ( x)  sin x   f  x   sin x  sin x  Vì f  x  khơng âm [0;  /2] nên ta có f  x   sin2 x  sin x  https://luyenthitracnghiem.vn    Xét hàm số f  x   sin2 x  sin x  đoạn  ;  6 2 1  1  Đặt t  sin x , t   ;1  f  t   t  4t  3, t   ;1 2  2  Có f   t   1  1   0, t   ;1 suy hàm số đồng biến  ;1 2  2  t  4t  t2 1 21 21 ; f  1  2  M  2 , m  + f  2 2 Câu 98: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, dương , thỏa mãn f      f  x f  x  x  Khi x 1 hiệu T  f 2  f 1 thuộc khoảng B  7;  A  2;  D  9;12  C  0;1 Chọn C Ta có f  x f  x    x x   ln f  x    ln f  x   ln x   C x 1 x 1     Vì f    nên C   ln f  x   ln x2   f  x   x2  ,   Suy T  f 2  f 1   2  0,17    3   cos x  sin x  Giá trị F   có nguyên hàm F  x  thỏa F    cos x  sin x 4 2 3  11ln 3  ln 3 3 A B C D     4 Câu 99: Hàm f  x   Lời giải Chọn A 94 https://www.facebook.com/vietgold Lời giải “Thành công nói khơng với lười biếng”  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Ta có f  x   cos x  sin x cos x  sin x 11  sin x  cos x   cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x Suy F  x    https://luyenthitracnghiem.vn  cos x  sin x cos x  sin x 11  sin x  cos x dx   dx   dx cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x 11 x  ln cos x  sin x  C 2    3 3 11 3 11 Vì F      ln  C   C   ln 8 4    3 11 Vậy F     ln 2 https://www.facebook.com/vietgold ĐÁP ÁN ĐỀ RÈN LUYỆN LẦN 95 1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11.A 12.C 13.A 14.D 15.A 16.C 17.C 18.D 19.C 20.A 21.D 22.B 23.A 24.D 25.B 26.D 27.D 28.A 29.C 30.A ... ln 210 210 210 19 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHƠNG CĂN)  Bài tốn Tìm ngun hàm F( x) hàm số f ( x) (giả...    34 2 D P  30 Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB  1 Câu 6: Hàm số f  x   1  x  có nguyên hàm F  x  thỏa F     Tính F  1  2 A F 1...  F     cos     2 6  6 13 D P  Nguyên hàm phương pháp tính Nguyên hàm  Quảng Thuận – Ba Đồn – QB Câu 15: Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   2x  sin x  cos x thỏa mãn F