Chương 7: Nguyên hàm tích phân từng phần

Tài liệu trình bày một số bài toán cơ bản nguyên hàm tích phân từng phần giúp các em học sinh có thêm tư liệu phục vụ công tác học tập môn Toán. Mời các em cùng tham khảo.

CHƯƠNG Tại Ngun hàm – Tích phân lại khó? NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Kỹ thuật phần kỹ thuât hiệu tốn tính tích phân, phần ta không nhắc lại toán mà đề cập tới số toán nâng cao phần Trước tiên ta nhắc lại chứng minh công thức tính nguyên hàm – tích phân phần Giả sử u  x  , v  x  hàm liên tục miền D ta có: d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu   udv  uv  vdu Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v nguyên hàm  vdu dễ tính  udv Ngồi ta ý tới thứ tự đặt Nhất – Log, Nhì – Đa, Tam – ln x ln a dv  lại Nếu khơng có ln; log chọn u  đa thức dv  lại Nếu kh ng c Lượng, Tứ - Mũ Nghĩa có ln hay log a x chọn u  ln hay u  log a x  log đa thức ta chọn u  lượng giác cuối mũ đặt sin x  I   P x   dx  cos x  I   P  x  e ax  bdx I   P  x  ln  mx  n  dx sin x  x I    e dx  cos x  u P x P x ln  mx  n  sin x   cos x    dv sin x   cos x  dx   dv  e ax  bdx P  x  dx e xdx Dạng - Lư n c c a đa thức - Dạn mũ nh n ượn i c c c a n tư n ứn ạn n n h m t n ph n MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài tốn Tìm họ ngun hàm sau   x   e dx c)   3x   ln x dx 2x a)   2x  1 cos x dx d)   4x   ln  x   dx b) Lời giải | Chinh phục olympic toán i n ấ n nh i nh m TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Ta thường gặp dạng sau ,với P  x  đa thức Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát du  dx u  x   a) Xét   x   e dx Đặt   2x 2x dv  e dx  v  e  1 1 Khi đ   x   e 2xdx   x   e 2x   e 2xdx   x   e 2x  e 2x  C 2 Vậy   x   e xdx   2x  3 e2 x  C 2x b) Xét Khi đ Vậy   2x  1 cos x dx Đặt u  2x  du  2dx   dv  cos xdx v  sin x   2x  1 cos x dx   2x  1 sin x   sin x dx   2x   sin x  cos x  C  x  2 e 2x dx   2x  3 e2 x  C  u  ln x du  dx c) Xét   3x   ln x dx Đặt   x dv   3x   dx  v  x  x  1   1 ln xdx   x  x  ln x    x   dx   x  x  ln x   x  x   C 3   u  ln  x   dx du  d) Xét   4x   ln  x   dx Đặt   x1 dv   4x   dx  v  2x  x  Khi đ   3x Khi đ   4x  1 ln  x  1 dx   2x  x  ln  x  1   2x2  x dx x1   2   2x2  x  ln  x      2x    dx   2x  x  ln  x     x  3x  ln  x     C x      2x  x   ln  x    x  3x  C Bài toán Hàm số y  f  x  thỏa mãn  f  x  sin dx  f  x  cos x    x cos xdx Tìm y  f x ? Lời giải CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có:  u  f  x du  f '  x  dx   f  x  sin xdx  f  x  cos x   f '  x  cos xdx Đặt   dv  sin xdx v   cos x   Mà theo giả thiết  f  x  sin xdx   f  x  cos x   x cos xdx Suy f '  x   x  f  x    xdx  x C ln  Tạp chí tư liệu tốn học | Tại Nguyên hàm – Tích phân lại khó? Bài tốn Tìm ngun hàm I   x ln   x  dx Lời giải  2x  u  ln   x  du   x  Cách giải thông thường Đặt   dv  xdx  v x   x2 x3 x2 Khi đ : I  ln   x    dx  ln   x   I 2 2x x3 dt dx Đặt t   x  dt  2xdx  xdx  2 2x t  dt  2 1  I1        dt   t  ln t   C    x   ln   x    C t 2  t 2 + Tìm I   x2 x2 ln   x   I  ln   x     x   ln   x    C 2 2 2x  x2  x2 x2 2  ln   x    C1  ln   x    C 2 2 Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số” I  2x  u  ln   x   du   x  Đặt  2  dv  xdx v  x    x   2 Vì v   xdx  x2 x2  C ta chọn C  nên v  1 2  x2  x2 x2 2 Khi đ : I  ln   x    xdx  ln   x    C 2 Nhận xét Qua toán em làm quen thêm kĩ thuật chọn hệ số cho phương pháp tích phân phân Kĩ thuật trình bày sau    u  f  x du  f   x  dx Khi tính tích phân phần khâu đặt  với C  dv  g x dx v  G x  C         số ( chọn số ) Và theo “th i quen” thường chọn C  Nhưng việc chọn C  lại làm cho việc tìm ngun hàm (tích phân)  vdu khơng “đẹp” cho Vì ta c quyền chọn C số thực nên ta chọn hệ số C thích hợp mà đ biếu thức vdu đơn giản Cách làm gọi “kĩ thuật chọn hệ số” Sau ta tìm hiểu số ví dụ để hiểu rõ phương pháp này! | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Kĩ thuật chọn hệ số Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát Bài tốn Tìm ngun hàm  ln  sin x  cos x  dx cos2 x Lời giải Cách giải thông thường cos x  sin x u  ln  sin x  cos x  dx  du  Đặt   sin x  cos x dx dv   v  tan x  cos x   I  tan x ln  sin x  cos x    tan x  cos x  sin x  dx sin x  cos x tan x  cos x  sin x  dx trở nên kh khăn Lúc cần “lên sin x  cos x tiếng” “kĩ th t chọn hệ s ” Khi đ việc tìm  Cách giải theo “kĩ thuật chọn hệ số” cos x  sin x  u  ln  sin x  cos x  du  dx   sin x  cos x Đặt   dx dv    v  tan x  C  sin x  C cos x cos x  cos x  sin x  C cos x cos x  sin x Khi đ :  vdu   dx Để nguyên hàm đơn giản ta “Chọn cos x sin x  cos x cos x  sin x C  ” lúc ta  vdu   dx cos x cos x  sin x  I  tan x ln  sin x  cos x    dx  tan x ln  sin x  cos x   x  ln cot x  C cos x Bài tốn Tìm nguyên hàm  x sin   3x  dx Lời giải CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN + Xét I   x sin   3x  dx du  2xdx u  x   Đặt  dv  sin   3x  dx  v  cos   3x  Khi đ I   x sin   3x  dx  x cos   3x    x cos   3x  dx 3 + Xét J   x cos   3x  dx   du  dx  u  x   Đặt lại  dv  cos   3x  dx  v   sin 1  3x    Tạp chí tư liệu toán học | Tại Nguyên hàm – Tích phân lại khó? 2 J   x cos   3x  dx   x sin   3x    sin   3x  dx 9 2   x sin   3x   cos   3x   C 27 2 Vậy, I   x2 sin   3x  dx  x cos   3x   x sin   3x   cos   3x   C 27 Lưu ý T n đ i iải chuẩn, nhiên, c n tìm đ p cu i ta thực theo phư n ph p t ng phân theo đ đường chéo Phương pháp phần sơ đồ đường chéo  Bước 1: Chia thành cột: + Cột 1: Cột u lu n lấy đạo hàm đến + Cột 2: Cột dv lu n lấy nguyên hàm tương ứng với cột  Bước 2: Nhân chéo kết cột với Dấu phép nhân c dấu    sau đ đan dấu    ,    ,    ,  Bước 3: Kết toán tổng phép nhân vừa tìm Áp dụng cho toán Dấu u  x2  2x dv  sin   3x  cos   3x    Lấy nguyên hàm  sin   3x   cos   3x  27 2 Kết I   x2 sin   3x  dx  x cos   3x   x sin   3x   cos   3x   C 27 Tiếp theo toán sử dụng phương pháp phần sơ đồ đường chéo Bài tốn Tìm ngun hàm  x e dx x Lời giải Nhận xét: Về mặt lý thuyết ta hoàn toàn giải phương pháp tích phân phần Song ta phải sử dụng tới lần tích phân phần ( bậc đa thức x dài ) Lúc ta làm theo sơ đồ tích phân đường chéo | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lấy đạo hàm Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát Đạo hàm Dấu Nguyên hàm u  x5 Kết tìm được: 5x  ex 20x  ex 60x  ex 120x  ex 120  ex  ex  x e dx  x e x dv  e x x  5x e x  20x e x  60x e x  120xe x  120e x  C   x  5x  20x  60x  120x  120  e x  C Cách Ta sử dụng công thức:  f  x   f  x  e dx  f  x  e x x C * Thật  f  x  e x  C   f   x  e x  f  x  e x   f  x   f   x   e x (đpcm) Áp dụng công thức  *  ta được: 1 0 I   x 5e xdx    x  5x    5x  20x    20x  60x    60x  120x    120x  120   120  e xdx 1    x  5x  e xdx    x  4x  e xdx  20   x  3x  e xdx 0 1 60   x  2x  e dx  120   x   e dx  120  xdx x x 0 =  x  5x  20x  60x  120x  120  e x  120  44e Tích phân đường chéo nguyên hàm lặp Nếu ta tính tích phân theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại ngun hàm ban đầu cần tính CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN (kh ng kể dấu hệ số) dừng lại lu n dòng đ kh ng chia dòng Cách tính Các dòng nhân chéo trường hợp   tích phân phần tử dòng cuối  sử dụng quy tắc đan dấu thêm Sau ví dụ minh họa Bài tốn Tìm ngun hàm I   e x cos 3xdx Lời giải Tạp chí tư liệu toán học | Tại Nguyên hàm – Tích phân lại khó? Đạo hàm Dấu u  cos 3x Nguyên hàm dv  e x   2x e  2x e 3 sin 3x 9 cos 3x Ta có I  2x 1 e cos 3x   3 sin 3x  e 2x    9 cos 3x  e 2xdx  e 2x cos3x  e 2x sin3x  I 4 4 13 3  I  e 2x cos 3x  e 2x sin 3x  C  I  e 2x cos 3x  e 2x sin 3x  C 4 13 13 Bài tốn Tìm ngun hàm  e x sin x dx Lời giải Cách Cách giải phần th ng thường u  sin x + Xét F  x    e x sin x dx Đặt   x dv  e dx  du  cos x dx  x v  e  Khi đ : F  x   e x sin x   e x cos x dx  e x sin x  G  x  (1) u  cos x du   sin xdx + Với G  x    e x cos xdx Đặt    x x v  e dv  e dx   Khi đ : G  x   e x cos x   e x sin x dx  C  e x cos x  F  x   C (2) Từ (1) (2) ta có F  x   e sin x  e cos x  F  x   C  F  x   Vậy F  x    ex sin x dx  Ghi nh : Gặp e mx  n e  sin x  cos x  x x  C C .sin  ax  b  dx e mx  n pháp nguyên hàm phần lần liên tiếp Cách (Phương pháp tích phân đường chéo) | Chinh phục olympic toán e x  sin x  cos x  cos  ax  b  dx ta ln thực phương TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC x Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát Đạo hàm Dấu u sin x  cos x   sin x  Nguyên hàm  dv  ex ex ex  I  e x sinx e x cos x   e x sin xdx  I  e x  sin x  cos x   I  I  e x  sin x  cos x   C Bài tốn Tìm ngun hàm I   e x  cos  2x   dx Lời giải Cách Cách giải phần thông thường u  cos  2x  1 du  2 sin  2x   dx Đặt:   x1 v  e x1  dv  e dx  Khi đ I  e x 1 cos  2x     e x 1 sin  2x   dx  e x 1 cos  2x    2J Xét tích phân J =  e x  sin(2x  1).dx u  sin(2x  1) du  cos  2x   dx Đặt   x1 v  ex1  dv  e dx Khi đ J  e x  sin  2x     e x  cos  2x   dx  e x 1 sin  2x    2I  C Suy I  e x 1 cos  2x    2J  e x 1 cos  2x    e x 1 sin  2x    2I   C  5I  e x 1 cos  2x    2e x 1 sin  2x    I  e x 1  cos  2x    sin  2x     C Cách (Phương pháp đường chéo) Đạo hàm CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN u Dấu cos  2x    2 sin  2x    4 cos  2x   Ie x1 cos  2x    2e  x1 Nguyên hàm  dv  e x1 e x1 e x1 sin  2x     e x  cos  2x   Tạp chí tư liệu tốn học | Tại Ngun hàm – Tích phân lại khó?  e x   cos  2x    sin  2x     4I  I  e x1  cos  2x    sin  2x     C Phương pháp đường chéo dạng:  f  x  ln n  ax  b  dx Đối với dạng tìm nguyên hàm  f  x  ln n  ax  b  dx ưu tiên đặt u  ln n  ax  b  đạo hàm "u " kh ng phải chuyển lượng t  x  từ cột đạo hàm sang cột nguyên hàm để giảm mũ ln bậc cột đạo hàm Tiếp tục làm tương tự cột đạo hàm dừng lại Nhân chéo từ hàng đạo hàm thực chuyển t  x  sang hàng kề cột nguyên hàm sử dụng quy tắc đan dấu bình thường Sau ta tìm hiểu số ví dụ liên quan tới dạng Bài tốn 10 Tìm ngun hàm I   x ln xdx Lời giải Cách Phương pháp phân th ng thường  ln x du  dx  x2 x2 u  ln x  x Đặt  Khi đ : I  ln x  x ln xdx  ln x  I   2 dv  x v  x  dx  du   u  ln x  x2 x x2 x2 x + Tìm I   x ln xdx Đặt  Khi đ I  ln x  dx  ln x   C  2 2 dv  x v  x  2  x2  x2  x2 x2 1  I  ln x   ln x   C    ln x  ln x    C Sau ta tìm hiểu cách 2 2    Đạo hàm ln x x Nguyên hàm x2  x x x2 x  Nhận x x | Chinh phục olympic toán  ln x x ln x x Dấu x2 x TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Chuyển Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát x2 x2 x2 x2  1 Kết I  ln x  ln x   C   ln x  ln x    C 2  2 Bài tốn 11 Tìm ngun hàm I    x  4x   ln  x   dx Lời giải Đặt t  x   dt  dx; x  4x    x   x    t  t    t  2t  I    x  4x   ln  x   dx    t  2t  ln tdt Cách Phương pháp phần th ng thường ln t  du  dx  u  ln t  t Đặt  Khi đ :  dv  t  2t  v  t  t   t3   t3  ln t  t3   t2   t3  I    t  ln t     t  dt    t  ln t     t  ln tdt    t  ln t  2I  *  3  3  t 3  3  3  dt  u  ln t du    t2    t + Tính I     t  ln tdt Đặt   t2   dv   t dt t t   3   v   3     t3 t2   t2 t   t3 t2  t3 t2 Khi đ : I     ln t      dt     ln t    C 27 9 2  2 9 2  t3   2t  2t t Thay I vào  *  ta được: I    t  ln t    t  ln t   C 27 3    * * Thay t  x  vào  * *  ta nguyên hàm   x  4x   ln  x   dx Cách Chuyển (Chia) Đạo hàm  u  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN ln t t t hàm  dv   t  2t ln t t ln t Nguyên Dấu t3 t  2t t 2t t (Nhân) t 2t  2t t  Nhận t 2t t  27 Tạp chí tư liệu toán học | 10 Tại Nguyên hàm – Tích phân lại khó?  t3   2t  2t t Kết I    t  ln t    t  ln t   C 27 3    * * Thay t  x  vào  * *  ta nguyên hàm   x  4x   ln  x   dx MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO 3 0 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  x.f   x  e f  xdx  f    ln Tính I   e f  x dx A I  B I  11 C I   ln D I   ln Lời giải   u  x du  dx Đặt  Khi đ  f  x f  x  dv  f x e dx v  e       3  x.f   x  e fx dx  x.e fx 3   e  dx f x   3.e     e  dx   e  dx    f f x f x Chọn ý A   Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  c đạo hàm liên tục 0;  , đồng thời thỏa mãn hai  2  điều kiện  f '  x  cos  xdx  10 f    Tích phân  f  x  sin 2xdx bằng? A I  13 B I  7 C I  D I  13 Lời giải   u  cos x du   sin 2xdx  Xét  f '  x  cos xdx  10 đặt   dv  f '  x  cos xdx  v  f  x      10   f '  x  cos xdx  cos xf  x    f  x  sin 2xdx   0 Chọn ý D Hai ví dụ mở đầu dừng mức dễ áp dụng công thức, từ thứ trở thứ nâng cao nhiều yêu cầu phải biến đổi c tư việc đặt u, dv! Ví dụ 3: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương c đạo hàm liên tục  0;  Biết f    f  x  f   x   e x  4x với x   0;  Tính I   A I   14 B I   11 | Chinh phục olympic toán 32 C I   16 x  3x  f '  x  f  x dx D I   16 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC  10  f     f  x  sin 2xdx   f  x  sin 2xdx  10  f    13 Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát Lời giải Một tốn vận dung cao khó, bât ta tìm biểu thức dv, ta dễ ràng thấy f ' x  f  x  dx  ln f  x  , từ ta giải t Từ giả thiết f  x  f   x   e2 x Ta có I   x  3x  f '  x  f  x a sau  f  2   4x u  x  3x du   3x  6x  dx   dx Đặt  f ' x dv  f x dx  v  ln f  x     2 0  I   x3  3x  ln f  x     3x  6x  ln f  x  dx     x  2x  ln f  x  dx  3J 2 x2 t Ta có J    x  2x  ln f  x  dx     t  2    t   ln f   t  d   t   2     x     x   ln f   x  d   x     x  2x  ln f   x  dx   2 2  2J    x  2x  ln f  x  dx    x  2x  ln f   x  dx    x  2x  ln f  x  f   x  dx 0    x  2x  ln e 2x  4x Vậy I  3J   2 dx    x  2x  2x  4x  dx  32 16 J 15 15 16 Chọn ý D      cot x Ví dụ 4: Cho biểu thức S  ln      sin 2x  e dx  với số thực m  Chọn khẳng n    4m2  định khẳng định sau A S  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN   C S  cot   4m B S        ln  sin   m2      D S  tan   4m       ln     4m  Lời giải     sin 2x  e Ta có cot x dx   Xét   4m2 sin 2xe cot xdx    4m2   4m2    4m2 e cot xdx    sin 2xe cot xdx    4m2 e cot xd  sin x   sin x.e  cot x  4m2      cot x  sin x   dx e  sin x  4m2 Tạp chí tư liệu toán học | 12 Tại Nguyên hàm – Tích phân lại khó?  sin x.e  cot x   2  e cot xdx    4m2 4m2 Từ     , suy I  sin x.e  cot x   4m2 cot  4m2  1  sin e 4m  cot   4m2  S  ln  sin e  m2       cot   4m        ln  sin   m2    Chọn ý C Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  c đạo hàm cấp hai liên tục đoạn  0; 1 đồng thời thỏa mãn điều kiện  1 0 ef '    f '   e x f  x  dx   e x f '  x  dx   e x f ''  x  dx  Tính A 2 B 1 C ef    f   D Lời giải Ta đặt  1 0 e x f  x  dx   ex f '  x  dx   ex f '' x dx  a Sử dụng tích phân phần ta có: a  e xd  f '  x    e.f '    f '    e x f '  x  dx  e.f '    f '    2a ef '    f '   0 0   1  1 ef    f   a   e xd  f  x    e.f    f     e x f  x  dx  e.f    f    2a 0  Chọn ý D e Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  c đạo hàm  1; e  f  e   1;  ln x.f '  x  dx  Tính giá e f  x trị biểu thức tích phân  dx x 1 B D A C Lời giải đến tích phân t ng ph n dx  e f  x e 1 u  ln x du   Ta có  ln x.f'  x  dx  Đặt  dx x   ln x.f  x    1 2 x dv  f '  x  dx  v  f  x   e  e Chọn ý D 13 | Chinh phục olympic toán f  x 1 dx  ln e.f  e   ln 1.f       x 2 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Phân tích Nh n thấy tích phân c a đề có xuất f '  x  , v y, ta n hĩ n a Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát    Ví dụ : Cho hàm số f  x  c đạo hàm 0;  có f    a; thỏa mãn đồng thời 4  4 điều kiện    f  x  dx  b  a; b   Biết  theo a b A a  b  B a  b   tan x.f '  x  dx  Tính I   tan x.f '  x  dx C a  b  D a  b  Lời giải dx     u  tanx f  x du  Đặt   dx cos x   tan x.f '  x  dx  tan x.f  x  04   0 cos x dv  f '  x  dx  v  f  x    f  x   4 dx  f     a  cos x 4 Mà    f  x  dx  b     f  x  1  f  x   dx  a  b     tan x.f  x   dx  a  b   2  cos x  Chọn ý C Ví dụ : Cho tích phân       cos x  2x sin x   x   x 2    dx  a b với a,d số nguyên  c  d  b, c số nguyên tố Giá trị biểu thức a  b  c  d A 28 B 44 C 29 D 36 Lời giải Phân tích Thoạt tiên, nhìn tích phân trên, ta thấ kh “c ng kềnh” n n thườn n hĩ khó chấp nh n chịu bó tay v a m i đọc đề! Nhưn thực chất, c n tính CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN ph n c a tích ph n “c ng kềnh” t n 2x    du  dx u   cos x sin x  2  x  Đặt   1 x    44  x2 dx   x2 dv  cos xdx   v  sin x       4 sin x  2x   x2  dx   2x sin x  dx   2   1  x  1 16 Chuyển vế biểu thức tích phân vế phải ta tích phân ”cồng kềnh” đề yêu cos x dx    x2   4 cầu       cos x  2x sin x   x   x 2   16  dx    a  b  c  d  36   16  2 1  16 Tạp chí tư liệu toán học | 14 Tại Nguyên hàm – Tích phân lại khó? Chọn ý D Ví dụ 9: Cho biểu thức tích phân sau  2  Trong đ   x  2018  cot x  x ln sin x   x  2018    dx   a ln  ln     b2  2018  c2  2018   a; b; c   Mệnh đề sau A a  b  c B a  b  c C a  b  c D a  b  c Lời giải Phân tích Tư n tự trên, biểu thức tích ph n n dàng chia tích phân thành tích phân gọn h n 2  Ta có A   x  2018  cot x x  2018 2 dx  3 cũn kh “c ng kềnh” Nhưn ta dễ N n h m t ng ph n x  2018.cot xdx x  x du  dx   dx u  x  2018  du  x  2018   Đặt  x  2018 dv  cos xdx  dv  cot xdx  v  ln sin x  sin x Do đ ta c A  x  2018.ln sin x 2  A   a ln  ln   2  2  x   ln sin x x ln sin x x  2018 dx dx  x  2018.ln sin x x2  2018  b2  2018  c2  2018  ln 2    2    2018    2018   9   1    ln  ln     2018    2018  2   ; b  ; c  Kiểm tra mệnh đề, ta thấy mệnh đề B 9 Chọn ý B Ví dụ 10: Cho hàm số f  x  c đạo hàm liên tục khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện f ' x  f  x  2  x   x x   0;   Biết f    a; f    b;    dx  c Tính  f  2x    f  x  dx theo a, b, c A 4b  2a  8c B 8c  2b  4a C 4b  2a  2c D 4b  2a  8c Lời giải Trước tiên để liên kết liệu đề bài, ta dùng phép đổi biến 15 | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Ta tìm a  Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát dy  2dx  Đặt y  2x   y x  2 Có  x     f 2x      2 Có f '  x   f  x    y  2  dy  y  4 4 x  dx        dy  2   dx  2   f  x    f y   f y     x   x  f '  x  x    Do đ c  2 f '  x .xdx  f x  Đến bước nay, ta dùng nguyên hàm tích phân quen thuộc  u  x du  dx   Đặt   c  x.f  x    f  x  dx  dv  f '  x  dx   v  f  x  4 2   8c  4f    2f     f  x  dx   f  x  dx  4b  2a  8c Chọn ý D Ví dụ 11: Cho hàm số f  x  liên tục  0;   thỏa mãn 2x.f  x   f '  x  , x  0;   Cho  x  f '  x   dx  f    Biết f    tính f   A B C D Lời giải Để liên kết liệu đề bài, ta biến đổi đẳng thức ban đầu 2x.f  x   f '  x   2x f  x  f '  x   x  f '  x   ( Nhân vế với xf '  x  )      x  f '  x   dx   2x f  x  f '  x  dx Nhận thấy f  x  '  2f '  x  f  x  1 0 u  x du  2xdx  Nên ta dùng Nguyên hàm phần cách đặt  dv  2f '  x  f  x  dx  v  f  x  0 Do đ   2x f  x  f '  x  dx  x f  x  1   2x.f  x  dx   2x.f  x  dx  f      f  x  f '  x  dx  f     *  (Vì f '  x   2xf  x  ) 2 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN f  1 0 Đặt f  x   y  dy  f '  x  dx   f  x  f '  x  dx   Thay vào  *  ta f  1 2 y2 ydy  f  1  f  1 2  f  1   f     f    2 Chọn ý C Ví dụ 12: Hàm số f  x  c đạo hàm liên tục  0; 1 thỏa mãn đồng thời điều e e 1 kiện f    0;  f  ln x  dx  1;  f  x  dx  A B e 1 x ;  e  2x  f '  x  dx  e Tính f   0 C D Tạp chí tư liệu tốn học | 16 Tại Ngun hàm – Tích phân lại khó? Lời giải du   e x   dx  u  e x  2x  Đặt  dv  f '  x  dx  v  f  x   e    e x  2x  f '  x  dx   e x  2x  f  x     e x   f  x  dx 1 0  e   e   f  1    e f  x dx  2 f x  dx   e   f 1    e f x  dx x 1 0 x * e dy  ex dx Đặt y  e     e x f  x  dx   f  lny  dy  1 x  ln y   *   e   e   f  1    f  1  x Chọn ý A    Ví dụ 13: Cho f  x  liên tục c đạo hàm 0;  f    a  a   2 2  ; f    0;  2  f  x  sin 2xdx  a  ; 0  sin x  f  x   f '  x  dx  Giá trị a 1 B  D A 1 C 2 Lời giải Nhận thấy, tích phân xuất f '  x  nên theo tự nhiên, ta dùng Nguyên hàm phần cách đặt u  sin x  f  x  du   sin x cos x  f '  x   dx   dv  f '  x  dx  v  f  x        sin x  f  x   f '  x  dx   sin x  f  x   f  x     sin x cos x  f '  x   f  x  dx 0     a  a   sin 2x.f  x  dx   f  x  f '  x  dx f  x  5 3   f  x  f '  x  dx  a  a   a     8 2    a2  a  a a 1  a    4a  4a    a  2 Chọn ý D  Ví dụ 14: Biết I   A P  2 x   sin 2x  dx   b  a, b   Tính P  a  2b 2 a B P  C P  D P  Lời giải  du  dx u  x Đặt   dv    sin 2x  dx  v  x  sin x  17 | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC   Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát    I  x  x  sin x    2  x I   16         4  x  sin x  dx      0 xdx  04 sin xdx   cos 2x 2  2 4 dx     x  cos 2xdx 16 32 2 0  a  32 2   sin 2x 2  2 I        P  a  2b  32 8 2 32 b   Chọn ý C e 1 Ví dụ 15: Biết I    3x   ln xdx  a.e  b  a, b   Tính P  a  8b x  11 29 A P  B P  C P  D P  Lời giải dx u  ln x  e e ln x   du  x Đặt   I   x3  ln x  ln x    x   1   dx 1 x   dv   3x  x  dx  v  x  ln x     e ln x x3  I  e 1  e  a    b    e3   e3        e3   3  P  a  8b  Chọn ý C Ví dụ 16: Đâu nguyên hàm hàm số f  x   ln x A x ln x  x ln x  x  C B x ln x  x ln x  x  C C x ln x  x ln x  x  C D x ln x  x ln x  x  C Lời giải Ta tính I   ln xdx CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN 2 ln x  u  ln x du  dx  I  x ln x   ln xdx x ln x   ln xdx  Đặt  x dv  dx  v  x Lại tiếp tục tính  ln xdx Nguyên hàm phần dx  u  ln x du   Đặt  x   ln dx  x ln x   dx  x ln x  x dv  dx  v  x   I  x ln x   x ln x  x   C  x ln x  x ln x  x  C Chọn ý D Tạp chí tư liệu tốn học | 18 Tại Ngun hàm – Tích phân lại khó? Nh n xét: Ở toán trên, ta phải dùng l n Nguyên hàm t ng ph n để giải trọn vẹn tốn Ví dụ 17: Cho  x ae  b ( a, b, c số nguyên dương) Tính P  a  b  c c B P  2 C P  3 D P   1 e 3xdx  A P  Lời giải du  2xdx e 3x u  x   3x 3x Đặt    I    x  1 e dx   x  1   xe 3xdx e 3x 3 dv  e dx  v   2  I  e   J ( J   xe 3xdx ) 3 Ta tính J lại nguyên hàm phần du  dx u  x e 3x 1 3x e e 3x  3x Đặt    e dx   e  J  x 3x 3 0 3 dv  e dx  v   e  e  2e J      3 3 9  2e  14e  11  a  14; b  11 c  27  P  a  b  c  2 Do đ I  e     3 9 27 Chọn ý B  Ví dụ 18: Cho I n   sin n xdx với n nguyên dương Tính lim A 1 B In2 In D  C Lời giải   Xét I n    sin n  xdx   sin n 1 x.sin xdx  I n    cos x.sin   In 2     n  1 sin  n 1 n   x   cos x  n   sin n x.cos xdx  x.cos xdx   n    sin n x   sin x  dx   I n    n    sin xdx   n    sin n  xdx   n   I n   n   I n  n   n   I n    n   I n   lim Chọn ý B 19 | Chinh phục olympic toán In2 n   In n2 In2 n1  lim  In n2 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC n  u  sin n 1 x du   n  1 sin x.cosxdx Đặt   dv  sin xdx   v   cos x Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát  x x1 a dc   x  e dx  e đ  121  x b 12 Ví dụ 19: Cho tích phân a, b, c,d nguyên dương a c , phân số tối giản Giá trị biểu thức bc  ad b d B A 24 C 12 D Lời giải 12  12 x  12   x 1  x Có I     x   e x dx   e x dx    x   e x dx x x 12  12 12    x  u  e x du     Đặt  x  dv  dx  v  x   I  xe x 12 x  12e 12  12 12   x x 1  e dx  12 e x  x dx  xe x  x  1 12 12 12  x  x1     x   e dx x 12  12 12  121 143 145 e  e 12  a  143, b  12, c  145,d  12  bc  ad  24 12 12 Chọn ý A  Ví dụ 20: Cho tích phân   x  dx  e  e e x   x x  48  x  48  x  48  a b      a, b   Tính ab A 42 B 56 C 81 D 45 Lời giải Phân tích: Tư n tự tích phân c ng kềnh khác, ta tách tích phân thành ph n   x e x xe x   dx  I e  dx  1 x x2  48 1  x2  48  x2  48 dx  x x  48  x  48  x  48       x  u  du  dx  x  2018 2  x  2018 x  2018    Đặt  x dv  e dx  x v  e  x CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN x  e x x x  48 I e e dx  x x  48 x  48  x  1 xe x x  48  x  48 dx a  e2 e    ab  56 b  Chọn ý B Tạp chí tư liệu tốn học | 20 ... ngun hàm  x e dx x Lời giải Nhận xét: Về mặt lý thuyết ta hồn tồn giải phương pháp tích phân phần Song ta phải sử dụng tới lần tích phân phần ( bậc đa thức x dài ) Lúc ta làm theo sơ đồ tích phân. .. 5x  20x  60x  120x  120  e x  120  44e Tích phân đường chéo nguyên hàm lặp Nếu ta tính tích phân theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN (kh... Cho tích phân   x  dx  e  e e x   x x  48  x  48  x  48  a b      a, b   Tính ab A 42 B 56 C 81 D 45 Lời giải Phân tích: Tư n tự tích phân c ng kềnh khác, ta tách tích phân