Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
1,02 MB
Nội dung
Giải tích 12 www.vmathlish.com CHƯƠNG III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUN HÀM Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác đònh K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x ) f ( x ) , x K Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: f ( x )dx F( x ) C , C R Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất f '( x )dx f ( x ) C f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx (k 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp 0dx C dx x C ax C (0 a 1) ln a cos xdx sin x C a x dx x 1 C, ( 1) sin xdx cos x C 1 1 dx ln x C dx tan x C x cos1 x e x dx e x C dx cot x C sin x 1 cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) eax b dx eax b C , (a 0) a1 a1 dx ln ax b C sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) a ax b a Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu f (u)du F (u) C u u( x ) có đạo hàm liên tục thì: x dx f u( x ) u '( x )dx F u( x ) C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: udv uv vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân www.vmathlish.com Giải tích 12 Câu Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) x –3 x d) f ( x ) b) f ( x ) ( x 1)2 x g) f ( x ) sin k) f ( x ) x x www.vmathlish.com 2x4 x c) f ( x ) x 1 x2 e) f ( x ) x x x f) f ( x ) h) f ( x ) tan2 x i) f ( x ) cos2 x x cos x m) f ( x ) sin x cos x sin x.cos2 x e x n) f ( x ) e x e x – 1 o) f ( x ) e x p) f ( x ) e3 x 1 cos x Câu Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: sin x.cos2 x a) f ( x ) x x 5; c) f ( x ) e) f (x )= 5x ; x x3 x ; g) f ( x ) sin x.cos x; i) f ( x ) l) f ( x ) x F(1) b) f ( x ) cos x; F (e) d) f ( x ) F (2) f) f ( x ) x x F ' 3 h) f ( x ) x3 3x 3x ; F (0) x2 ; x F ( ) F (1) x ; 3x x3 x2 x k) f ( x ) sin2 ; F (1) 2 ; F (1) F 2 ( x 1) Câu Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) g( x ) x cos x x ; f ( x ) x sin x; F 3 2 b) g( x) x sin x x ; f ( x ) x cos x; F( ) c) g( x ) x ln x x ; f ( x) ln x; F(2) 2 Câu Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x): F( x ) (4 x 5)e x F( x ) tan x 3x a) b) x f ( x ) (4 x 1)e f ( x ) tan x tan x x2 x2 x F ( x ) ln F ( x ) ln x2 x x c) d) 2 x f (x) f ( x ) 2( x 1) ( x 4)( x 3) x4 Câu Tìm điều kiện để F(x) nguyên hàm hàm số f(x): F ( x ) ln x mx F( x ) mx (3m 2) x x Tìm m a) Tìm m b) 2x f ( x ) f ( x ) x 10 x x 3x www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com F ( x ) (ax bx c) x x F( x ) (ax bx c)e x Tìm a, b, c d) c) Tìm a, b, c x f ( x ) ( x 3) e f ( x ) ( x 2) x x F( x ) (ax bx c)e2 x F( x ) (ax bx c)e x e) f) Tìm a , b , c Tìm a, b, c 2 x x f ( x ) (2 x 8x 7)e f ( x ) ( x 3x 2)e b c g) F ( x ) (a 1)sin x sin x sin x Tìm a, b, c f ( x ) cos x F ( x ) (ax bx c) x h) Tìm a, b, c 20 x 30 x f ( x ) 2x VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f ( x )dx phương pháp đổi biến số Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x ) u '( x ) ta đặt t u( x ) dt u '( x )dx Khi đó: f ( x )dx = g(t )dt , g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2 a x a x x a sin t, t 2 0t x a cos t, x a tan t, t g) x 1.xdx k) sin x cos xdx n) e x dx x e 3 e) ( x 5)4 x dx h) 2 0t x a cot t, Câu Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx a) (5 x 1)dx b) (3 x )5 d) (2 x 1)7 xdx 3x 2x sin x dx l) cos5 x o) x.e x 1 dx dx c) f) i) m) p) 2xdx x dx x2 dx x (1 x )2 tan xdx e cos2 x x x dx www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com ln x dx dx r) x x e 1 Câu Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx a) b) (1 x )3 (1 x )3 q) d) g) dx e) x x dx x2 x dx h) x2 dx s) c) f) e tan x cos2 x dx x dx dx x2 i) x x 1.dx x x 1 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: x P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).e dx u dv P(x) x e dx P( x ).ln xdx P(x) P(x) lnx cos xdx sin xdx P(x) Câu Tính nguyên hàm sau: a) x.sin xdx b) x cos xdx c) ( x 5)sin xdx d) ( x x 3) cos xdx e) x sin xdx f) g) x.e x dx h) x 3e x dx i) ln xdx k) x ln xdx l) ln2 xdx m) ln( x 1)dx n) x tan2 xdx o) x cos2 xdx p) x cos xdx q) x ln(1 x )dx r) x.2 x x cos xdx s) x lg xdx dx Câu Tính nguyên hàm sau: a) e x b) dx d) cos x dx ln(ln x ) dx x Câu 10 Tính nguyên hàm sau: g) a) e x cos xdx d) g) ln(cos x ) dx cos2 x x ln x x x2 ln xdx c) sin x dx x e) x.sin x dx f) sin xdx h) sin(ln x )dx i) cos(ln x )dx b) e x (1 tan x tan2 x )dx c) e x sin xdx e) dx h) ln(1 x ) x x3 x2 dx f) x cos2 x dx dx ln x i) dx x www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức là: F( x ) G( x ) A( x ) C1 (*) F( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) A( x ) B( x ) C nguyên hàm f(x) Câu 11 Tính nguyên hàm sau: sin x cos x dx dx a) b) sin x cos x sin x cos x e) sin x 4 sin x cos x ex i) dx e x e x dx f) cos4 x 4 sin x cos x e x k) dx e x e x c) sin x sin x cos x dx dx g) 2sin2 x.sin xdx l) ex e x e x d) h) cos2 x.sin xdx m) dx cos x sin x cos x dx e x e x e x dx VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x ) P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P(x) bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh) A B Chẳng hạn: ( x a)( x b) x a x b ( x m)(ax bx c) ( x a)2 ( x b)2 A Bx C , với b2 4ac x m ax bx c A B C D x a ( x a)2 x b ( x b)2 f(x) hàm vô tỉ ax b + f(x) = R x, m cx d đặt t m ax b cx d + f(x) = R đặt t x a x b ( x a)( x b) f(x) hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: + sin ( x a) ( x b) 1 , sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b) sin(a b) sử dụng sin(a b) www.vmathlish.com Giải tích 12 + + www.vmathlish.com sin ( x a) ( x b) sin(a b) 1 , sử dụng sin(a b) cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b) cos ( x a) ( x b) cos(a b) 1 , sử dụng cos(a b) sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b) + Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x , cos x ) đặt t = cosx + Nếu R(sin x , cos x ) R(sin x , cos x ) đặt t = sinx + Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x, cos x ) đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Câu 12 Tính nguyên hàm sau: a) dx x( x 1) e) dx x 6x x3 dx b) dx ( x 1)(2 x 3) f) k) x2 dx x 1 x dx g) ( x 1)(2 x 1) c) dx x 4 dx x ( x 1) x 3x Câu 13 Tính nguyên hàm sau: x 1 a) b) dx dx 1 x 1 x x 2 x e) i) 1 x x x f) dx x dx x k) 3 x x( x 1)dx dx (2 x 1)2 x dx l) c) x 1dx g) l) x3 dx x x 2 x dx x 5x d) h) m) dx d) h) m) x x 10 x x 3x dx i) x dx x3 1 x4 x dx x dx 1 x x dx x2 6x Câu 14 Tính nguyên hàm sau: a) sin x sin xdx b) cos x sin xdx dx sin x dx i) cos x cos x 4 e) f) dx cos x c) (tan2 x tan x )dx g) k) cos x cos x cos3 xdx sin x cos x dx l) cos3 xdx cos x d) sin x cos x dx h) sin3 x cos x dx m) sin xdx www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com §2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục K a, b K Nếu F nguyên hàm f K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu b f ( x )dx a b f ( x)dx F(b) F(a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a f ( x)dx f (t)dt f (u)du F(b) F(a) Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thò y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: b S f ( x )dx a Tính chất tích phân f ( x )dx b a a b b b b b a a a f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx Nếu f(x) [a; b] a b a b f ( x )dx b kf ( x )dx k f ( x )dx (k: const) f ( x )dx f ( x )dx a c b a c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx Nếu f(x) g(x) [a; b] a b b a a f ( x )dx g( x )dx Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u( b ) a u( a ) f u( x ).u '( x)dx f (u)du đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác đònh K, a, b K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b K thì: b b b udv uv vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b b a a – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho vdu dễ tính udv www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: b f ( x)dx F(b) F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Câu Tính tích phân sau: a) (x x 1)dx d) x 1 x 2 2 e) dx k) x2 2x x3 1 x 2 g) ( x 1)( x x 1)dx b) ( x e x 1 )dx x 2 4 dx x2 x 1 dx x2 e f) ( x h) ( x x x x )dx i) l) dx c) 1 x )dx x x x 23 x 44 x dx e2 x 7x dx x dx 8 m) x 1 x2 dx Câu Tính tích phân sau: a) b) x 1dx d) 0 x2 x 2 xdx dx 4 x Câu Tính tích phân sau: e) 2 0 3x 1 x dx c) ( x x x x )dx f) a) sin( x )dx b) (2sin x 3cosx x )dx c) x 9dx 0 x sin 3x cos x dx d) tan x dx cos x e) dx sin x f) h) (2 cot g) 3tan x dx cos x cos x dx i) sin 2 x 5) dx x.cos2 xdx www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com k) (tan x cot x )2 dx l) sin( x ) dx m) sin( x ) 4 x dx d) ln cos Câu Tính tích phân sau: a) x e e x 0e x e x x e (1 e) i) e 1 b) dx ( x 1).dx x x ln x e x )dx x f) ln x dx x k) 1e 0 x 2x x 0 2x 4 ex dx dx e ln x 1 c) 1e dx e cos x g) l) 0 sin xdx xe x dx h) m) 0 4e 1 ex dx ex x x dx x 1 e dx VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x ) f u( x ) u '( x ) Dạng 2: Giả sử ta cần tính b u(b ) a u(a ) g( x )dx f (u)du f ( x )dx Đặt x = x(t) (t K) a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) b b a a g(t) f x(t).x '(t) f ( x )dx f x(t) x '(t)dt g(t)dt Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a x a x Cách đổi biến x a sin t, x a cos t, x a tan t, x a cot t, a , sin t a x , cos t x x a2 t 2 0t t 2 0t t ; \ 0 2 t 0; \ 2 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com Câu Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1 x3 a) x(1 x)19 dx b) (1 x ) d) k) dx e dx n) l) e 1 x 2 sin x o) dx i) dx 1 x2 a) dx 1 x2 d) x g) b) 1 dx 3 e) h) x2 2x cos x sin x 0 sin x dx k) dx l) x x2 dx ln x ln x dx x e (x 2 x x dx 1 x f) x 1 dx x3 x2 sin x dx x cos x 2 c) dx 1)( x 2) x2 sin x2 p) x dx ex dx ex m) cos x sin x Câu Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 2): ln 2 ln x dx 2x e x 2x x h) x x2 ln3 f) x x dx x5 0 x dx e) x x dx 2x g) xdx c) i) xdx x2 1 dx 1 x m) x x x dx dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b P( x ).e x a) x sin xdx b a a a P( x ).sin xdx P(x) P(x) P(x) e x dx cos xdx sin xdx Câu Tính tích phân sau: b P( x ).cos xdx dx a u dv b P( x ).l n xdx lnx P(x) b) ( x sin x) cos xdx c) 2 x cos xdx 10 www.vmathlish.com Giải tích 12 d) www.vmathlish.com x cos xdx e) x tan f) ( x 2)e x dx xdx 0 g) ln xe dx h) x x ln xdx i) ln( x x)dx e k) e x sin xdx l) e cos x sin xdx o) e m) ln xdx e x p) ln xdx e ln x dx x q) x (e 2x x 1)dx 1 e VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trò tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ Câu Tính tích phân sau: a) d) g) b) x dx c) x x dx x 0 3 x dx e) f) ( x x )dx 2 x x 9dx h) i) x x x dx 2 x dx x dx x dx 1 Câu Tính tích phân sau: a) d) g) 2 cos x dx b) sin x dx 0 2 e) sin xdx 2 tan x cot x 2dx h) c) f) cos xdx sin x dx cos 2xdx cos x cos x cos xdx i) 2 sin xdx VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ 11 www.vmathlish.com Giải tích 12 Câu 10 Tính tích phân sau: a) d) dx 1 x x www.vmathlish.com b) x 1 x e) dx k) dx 2 x(x 1) h) x 3x 1 1 x x d) dx l) g) k) dx 0 x 2x 2 ( x 2) ( x 3) x (1 x ) b) x3 3x dx e) h) l) dx x2 3x dx c) x3 x dx x f) 2 x 2008 2008 ) x (1 x x2 1 x4 x dx i) x3 x x dx x2 (3 x 1) dx x 2x 4x dx 0 x2 x 1 x dx x4 dx 2 ( x 1) m) dx dx (1 x) m) 2 dx x 1 dx i) 5x 3x 3x 2 x dx 0 x 2x 1 4 x 11dx Câu 11 Tính tích phân sau: a) f) c) x dx x3 x2 9x dx 0 x 5x g) x4 1 x2 dx VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ Câu 12 Tính tích phân sau: a) 2 x x 1dx b) d) g) 10 k) x 1 dx dx x 1 n) x x x 1 2 x 1 1 3x dx e) h) x3 x2 1 dx dx 2x 1 4x 1 x x 1dx dx c) x 1 x f) x4 x5 i) l) 4x 2 dx x x 4 m) dx 3x x5 x3 1 x dx dx 1 x dx 1 x o) dx x x2 1 p) dx x x3 Câu 13 Tính tích phân sau: 12 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com a) x x dx b) g) dx 1 2 k) h) x x2 dx l) dx (1 x )3 1 x dx x 3dx x x2 f) dx i) x 2008 (1 x )3 x2 x2 e) x 10 x dx 1 c) dx x 2008dx x2 1 d) 2 x dx m) x2 12 x x 8dx Câu 14 Tính tích phân sau: a) d) g) cos xdx cos x cos xdx 0 cos2 x 2 b) cos3 x sin x cos5 xdx e) sin x cos x cos xdx 0 cos xdx h) cos x sin x sin x cos x f) dx tan x cos x cos x c) dx i) cos xdx cos x sin x sin x 3cos x dx Câu 15 Tính tích phân sau: a) ln d) g) dx ex ln3 ln2 x ln x ln x b) e) dx ln3 ex (e x 1) e x ln e2 x dx c) ex e x(e2 x x 1)dx f) ln 1 dx h) ex e x e x dx i) ln 3ln x ln x dx x e x dx (e x 1)3 e x 1dx VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác Câu 16 Tính tích phân sau: 4 a) sin x cos xdx b) tan xdx c) sin x cos x dx d) sin xdx www.vmathlish.com e) sin xdx f) cos x 13 Giải tích 12 www.vmathlish.com g) sin 2 h) sin x cos xdx x cos xdx (sin x cos x )dx q) o) xdx tan sin3 x cos x p) xdx s) sin x cos x sin x cos x dx /3 cos x x.cos x tan x cos x dx 4 cos x(sin x cos x)dx e) g) dx /6 sin c) d) sin x.cos3 x b) dx cos3 x r) dx cos x cos x sin x cos xdx sin x cos x dx cos x Câu 17 Tính tích phân sau: a) x cos5 xdx m) dx sin tan 2 cos x l) dx cos x n) i) k) (tan x e sin x cos x)dx f) 1 sin x sin xdx h) sin x.ln(cos x )dx sin x 2 (tan x 1) cos x dx i) sin x cos2 x dx Câu 18 Tính tích phân sau: a) 2 sin x dx b) dx cos x c) sin x dx d) 2 cos x cos x dx e) k) sin x cos x dx h) (1 sin x ) cos x (1 sin x )(2 cos x ) dx l) sin x sin x dx sin x cos x dx sin x cos x i) dx cos x cos( x ) dx sin x cos( x ) 4 f) cos x dx cos x g) m) dx sin x sin( x ) Câu 19 Tính tích phân sau: 14 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com a) (2 x 1) cos xdx d) xdx b) cos x 2 e) g) cos(ln x )dx k) 2x e sin xdx l) ln(sin x ) cos x i) dx sin e x sin x cos3 xdx o) xdx xdx (2 x 1) cos m) x sin x cos dx x tan xdx x 1 0 n) sin x.e dx x f) x cos xdx h) sin xdx x cos c) 4 dx cos p) ln(1 tan x )dx x VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm Câu 20 Tính tích phân sau: a) d) e x dx 0 e x ln ln g) k) ex 1 x ln dx x e 5 ex 1 e e b) e) dx x (ln x 1) ln x 0e 4 ln f) e 1.e dx x 2x h) dx ln x ln c) dx l) e2 x 0e x 1 e x 0e x i) dx m) e2 x x 1 0e 1 ex dx 1 ex dx dx 1 ln3 dx x e 1 dx Câu 21 Tính tích phân sau: a) e x sin xdx b) 2x xe dx c) g) e2 e e) x ln 1 x dx f) ln x ln h) x ln x e e ln x ln(ln x ) dx x xe x dx d) (e x cos x) cos xdx x dx i) ln2 x dx x e3 ln(ln x ) dx x e2 15 www.vmathlish.com Giải tích 12 k) www.vmathlish.com ln x x l) dx ln(sin x ) dx cos2 x m) ln( x 1) x 1 dx VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số lẻ [-a; a] a f ( x )dx a Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn [-a; a] a a a f ( x )dx f ( x )dx Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: a a a J f ( x )dx; K f ( x )dx Bước 1: Phân tích I f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a a a Bước 2: Tính tích phân J f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a – Nếu f(x) hàm số lẻ J = –K I = J + K = – Nếu f(x) hàm số chẵn J = K I = J + K = 2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì: f ( x) x dx f ( x )dx a (với R+ a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) I dx dx dx J dx; K dx x x x x x a a a a a Để tính J ta đặt: t = –x Dạng Nếu f(x) liên tục 0; 2 f (sin x )dx Để chứng minh tính chất ta đặt: t f (cos x )dx x Dạng Nếu f(x) liên tục f (a b x ) f ( x ) f (a b x ) f ( x ) đặt: t = a + b – x Đặc biệt, a + b = đặt t=–x a + b = 2 đặt t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) 16 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức là: F( x ) G( x ) A( x ) C1 (*) F( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) A( x ) B( x ) C nguyên hàm f(x) Câu 22 Tính tích phân sau (dạng 1): a) cos x dx e) 1 g) sin x cos x x dx f) 2 1 xdx 1 x cos x.ln dx 1 x 1 x x 2 c) h) dx cos x ln( x x )dx ln x x dx b) 1 x x x x 1 d) i) sin2 x x sin x x2 dx x cos x sin2 x dx Câu 23 Tính tích phân sau (dạng 2): a) x4 b) dx 1 x d) g) x2 1 1 sin2 x e) dx 3x x c) dx x2 1 x dx 3 f) sin x sin x cos5 x sin x cos x ex 6x dx h) 6 1 (e i) 1)( x 1) dx 1 (4 x 1)( x 1) x sin2 x 2x x dx dx dx Câu 24 Tính tích phân sau (dạng 3): a) cos x n n cos x sin x d) n sin 2009 dx (n N*) b) x sin2009 x cos2009 x sin x e) sin x cos x dx cos x cos4 x sin x dx dx c) f) sin x sin x cos x sin x cos4 x sin x dx dx Câu 25 Tính tích phân sau (dạng 4): a) x.sin x cos x dx b) d) ln(1 tan x )dx e) x cos x sin x 2 dx x.cos xdx c) sin x ln cos x dx f) x.sin xdx 17 www.vmathlish.com Giải tích 12 g) www.vmathlish.com x h) sin x dx x sin x i) cos x dx k) l) sin x ln(1 tan x )dx x sin x cos x cos x dx m) dx x sin x x sin x cos xdx Câu 26 Tính tích phân sau (dạng 5): a) 2 sin x sin x cos x dx b) 2 g) e) sin x 6 sin x cos x h) dx cos l) x.sin xdx n) 1 e ex x e x sin x sin x cos4 x o) dx cos x 6 sin x cos x 1 e ex x 1 e e x x dx e x cos4 x f) dx dx e x sin x sin x cos x dx sin x cos4 x dx c) k) cos x sin x cos x dx cos x d) dx sin x cos x i) 2sin x.sin xdx m) 1 e e x x e x dx dx VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n f ( x , n)dx (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp a số yêu cầu sau: Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn In theo In-k (1 k n) Chứng minh công thức truy hồi cho trước Tính giá trò I n cụ thể Câu 27 Lập công thức truy hồi cho tích phân sau: a) I n sin n xdx b) I n cosn xdx n1 Đặt u sin x dv sin x.dx n1 Đặt u cos x dv cos x.dx c) I n tan n xdx Phân tích: tann x tann2 x tan2 x 1 tann2 x 18 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com d) I n x n n cos x.dx Đặt u x dv cos x.dx Jn x n n sin x.dx Đặt u x dv sin x.dx n Đặt u x x dv e dx e) I n x n e x dx e n Đặt u ln x dv dx f) I n ln n x.dx 1 g) I n (1 x )n dx Đặt x cos t 2n Đặt u sin t dv sin t.dt dx h) I n Phân tích x )n (1 (1 x )n x2 (1 x )n x2 (1 x )n u x x Tính Jn dx Đặt dv dx n (1 x ) (1 x )n x2 i) I n x n x dx n Đặt u x dv x dx k) I n dx cosn x dx Phân tích cosn x cos x cosn1 x Đặt t cosn1 x 19 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b S f ( x ) dx là: (1) a Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] b – Hai đường thẳng x = a, x = b là: S f ( x ) g( x ) dx (2) a Chú ý: Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b a f ( x ) dx b f ( x )dx a Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b a c d b a c d f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx = c f ( x )dx a d f ( x )dx c b f ( x )dx d (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S g( y ) h( y ) dy c Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b 20 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com S(x) diện tích thiết diện vật thể bò cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Thể tích B là: b V S( x )dx a Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox: b V f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d V g2 ( y )dy là: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ln x , y 0, x , x e a) y x x 6, y 0, x 2, x b) y x e c) y ln x , y 0, x 1, x e x d) y ln x x , y 0, x e, x 1 e) y ln x , y 0, x , x e f) y x3 , y 0, x 2, x e x , y 0, x 0, x g) y h) y lg x , y 0, x , x 10 10 1 x4 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 3 x , y 0, x a) y b) y x , y x, y x 1 c) y e x , y 2, x d) y x , x y 0, y e) y x , y x x 1, y f) y x x 5, y 2 x 4, y x 11 g) y x , y x2 27 ,y 27 x h) y x , y x x 4, y i) y2 x, x y 0, y k) y x x 5, y x x 3, y 3x 15 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , y , y 0, x e b) y sin x cos x , y 3, x 0, x x c) y 5x 2 , y 0, y x, x d) y x x, y x 3x 6, x 0, x 21 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com 2 e) y x , y 0, y x f) y x x 2, y x x 5, y g) y x , y x, y h) y a) y x , y x x b) y x x , y x 2 x , y e x , x e Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: c) y x , y x2 e) y x , y x g) y x2 ,y x2 d) y 1 x2 ,y x2 f) y x x, y x x h) y x , y x i) y x x, y x k) y x 2, y x Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , x y2 b) y2 x 0, x y c) y2 2y x 0, x y d) y2 x 1, y x e) y2 x, y x, y 0, y f) y ( x 1)2 , x sin y g) y2 x, x y2 16 h) y2 (4 x )3 , y2 x i) x y3 0, x y k) x y2 8, y2 x Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x.e x ; y 0; x 1; x b) y x.ln2 x; y 0; x 1; x e c) y e x ; y e x ; x d) y 5x 2 ; y 0; x 0; y x e) y ( x 1)5; y e x ; x 1 f) y ln x , y 0, x , x e e g) y sin x cos2 x, y 0, x 0, x h) y x sin x; y x; x 0; x 2 i) y x sin2 x; y ; x 0; x k) y sin2 x sin x 1, y 0, x 0, x Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) (C ) : y x , tiệm cận xiên (C), x = x = 2x2 x2 2x , y , tiệm cận xiên (C), x = –1 x = b) (C ) : y x2 c) (C) : y x x x 3, y tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C) : y x3 3x 2, x 1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hoành độ x = –2 e) (C) : y x x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: 22 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com a) y sin x , y 0, x 0, x b) y c) y sin6 x cos6 x , y 0, x 0, x e) y x3 1, y 0, x 1, x g) y x x , y 0, x 0, x 3 d) y x , x f) y x , y x x2 x3 ,y h) y x x, y x i) y sin x , y cos x , x ,x k) ( x 2)2 y2 9, y l) y x x 6, y x x m) y ln x , y 0, x Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x , y 1, y b) y x , y y c) y e x , x 0, y e d) y x , y 1, y Câu 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: trục Ox ii) trục Oy a) y ( x 2)2 , y c) y x 1 , y 0, x 0, x i) b) y x , y x , y d) y x x , y e) y x.ln x , y 0, x 1, x e f) y x ( x 0), y 3x 10, y g) y x , y x h) x – y2 1 x2 y2 1 i) k) y x 1, y 2, y 0, x l) x y2 0, y 2, x m) y2 x , y 0, x www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng 23 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 24 www.vmathlish.com ... www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x)... – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực... udv www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng