07 hình học 12 chương III tọa độ không gian

Hình học 12 www.vmathlish.com CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian Câu Viết tọa độ vectơ sau đây: a  2 i  j ; b  7i  8k ; c  9k ; d  3i  j  5k Câu Viết dạng xi  yj  zk vectơ sau đây:   4  1   a   0; ;2; c   ; 0; d   ; ; b  (4; 5; 0) ; ;   3  3  5 Câu Cho: a   2; 5; 3 , b   0; 2; 1 , c  1; 7;  Tìm toạ độ vectơ u với: a) u  4a  b  3c b) u  a  4b  2c c) u  4b  c 3 f) u  a  b  c 4 a  b  2c Câu Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: a) a  x  với a  1; 2;1 b) a  x  4a với a   0; 2;1 d) u  3a  b  5c e) u  c) a  x  b với a   5; 4; 1 , b   2; 5; 3 Câu Cho a  (1; 3; 4) a) Tìm y z để b  (2; y; z) phương với a b) Tìm toạ độ vectơ c , biết a c ngược hướng c  a Câu Cho ba vectơ a  1; 1;1 , b   4; 0; 1 , c   3; 2; 1 Tìm: b) a  b c  a)  a.b  c d) 3a   a.b  b  c b Câu Tính góc hai vectơ a b : a) a   4; 3;1 , b   1; 2; 3 c) a  (2;1; 2), b  (0;  2; ) e) a  (4; 2; 4), b  (2 2; 2 2; 0) c) a 2b  b 2c  c 2a e) 4a.c  b  5c b) a   2; 5;  , b   6; 0; 3 d) a  (3; 2; 3), b  ( 3; 3; 1) f) a  (3; 2;1), b  (2;1; 1) www.vmathlish.com Hình học 12 Câu Tìm vectơ u , biết rằng: a  (2; 1; 3), b  (1; 3; 2), c  (3; 2; 4) a)  u.b  11, u.c  20 a.u  5, a  (2; 3;1), b  (1; 2; 1), c  (2; 4; 3) c)  b u  4, c u  a.u  3, a  (7; 2; 3), b  (4; 3; 5), c  (1;1; 1) e)  b u  7, c u a.u  5, www.vmathlish.com a  (2; 3; 1), b  (1; 2; 3), c  (2; 1;1) b)  u  b, u.c  6 u  a, a  (5; 3; 2), b  (1; 4; 3), c  (3; 2; 4) d)  b u  9, c u  4 a.u  16, Câu Cho hai vectơ a , b Tìm m để:  a  (3; 2;1), b  (2;1; 1) a) a  (2;1; 2), b  (0;  2; ) b)  u  ma  3b v  3a  2mb vuông góc u  2a  3mb v  ma  b vuông góc a  (3; 2;1), b  (2;1; 1) c)  u  ma  3b v  3a  2mb phương Câu 10 Cho hai vectơ a , b Tính X, Y biết:  a  4, b  a)  b) X  a  b    c)  a  4, b  6, a, b  120 d) X  a  b , Y  a  b Câu 11 Cho ba vectơ a, b , c Tìm m, n để c   a , b  : a  (2; 1; 2), b  6, a  b   Y  a  b a  (2; 1; 2), b  6,  a, b   600   X  a  b ,Y  a  b a) a   3; 1; 2  , b  1; 2; m  , c   5;1;  b) a   6; 2; m  , b   5; n; 3 , c   6; 33;10  c) a   2; 3;1 , b   5; 6;  , c   m; n;1 Câu 12 Xét đồng phẳng ba vectơ a, b , c trường hợp sau đây: a) a  1; 1;1 , b   0;1;  , c   4; 2; 3 b) a   4; 3;  , b   2; 1;  , c  1; 2;1 e) a  (2; 3;1), b  (1; 2; 0), c  (3; 2; 4) f) a  (5; 4; 8), b  (2; 3; 0), c  (1; 7; 7) g) a  (2; 4; 3), b  (1; 2; 2), c  (3; 2;1) h) a  (2; 4; 3), b  (1; 3; 2), c  (3; 2;1) c) a   3;1; 2  , b  1;1;1 , c   2; 2;1 d) a   4; 2; 5 , b   3;1; 3 , c   2; 0;1 Câu 13 Tìm m để vectơ a , b , c đồng phẳng: a) a  1; m;  , b   m  1; 2;1 , c   0; m  2;  b) a  (2m  1;1; 2m  1); b  (m  1; 2; m  2), c  (2m; m  1; 2) c) a   m  1; m; m   , b   m  1; m  2; m  , c  1; 2;  d) a  1; 3;  , b   m  1; m  2;1  m  , c   0; m  2;  Câu 14 Cho vectơ a , b , c , u Chứng minh ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Biểu diễn vectơ u theo vectơ a , b , c :        a) a  2;1; , b  1; 1; , c  2; 2; 1 u  (3; 7; 7)        c) a  1; 0;1 , b  0; 1;1 , c  1;1; u  (8; 9; 1) www.vmathlish.com        b) a  1; 7; , b  3; 6;1 , c  2;1; 7 u  (4;13; 6)        d) a  1; 0; , b  2; 3; , c  0; 3; u  (1; 6; 22) Hình học 12 www.vmathlish.com        e) a  2; 3;1 , b  1; 2; , c  2; 2; u  ( ; ; )         f) a  2; 1;1 , b  1; 3; , c  3; 2; 2 u  ( ; ;  )  Câu 15 Chứng tỏ bốn vectơ a , b , c , d đồng phẳng: a) a   2; 6;1 , b   4; 3; 2  , c   4; 2;  , d  (2; 11;1) b) a   2; 6; 1 , b   2;1; 1 , c   4; 3;  , d  (2;11; 1) Câu 16 Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ d Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: a) b , c , d  ma  nb (với m, n ≠ 0) b) a, c , d  ma  nb (với m, n ≠ 0) c) a, b , d  ma  nb  pc , (với m, n, p ≠ 0) d) b , c , d  ma  nb  pc , (với m, n, p ≠ 0) e) a, c , d  ma  nb  pc , (với m, n, p ≠ 0) VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác đònh toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt:  A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương  AB  k AC   AB, AC    ABCD hình bình hành  AB  DC  Cho ABC có chân E, F đường phân giác góc A ABC BC Ta có: EB   AB EC , AC FB  AB FC AC  A, B, C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng   AB, AC  AD  Câu 17 Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M:  Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz  Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M(1; 2; 3) b) M(3; 1; 2) c) M(1;1; 3) e) M(2; 5; 7) f) M(22; 15; 7) g) M(11; 9;10) d) M(1; 2; 1) h) M(3; 6; 7) Câu 18 Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M:  Qua gốc toạ độ  Qua mp(Oxy)  Qua trục Oy a) M(1; 2; 3) b) M(3; 1; 2) c) M(1;1; 3) d) M(1; 2; 1) e) M(2; 5; 7) f) M(22; 15; 7) g) M(11; 9;10) h) M(3; 6; 7) Câu 19 Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1) b) A(1;1;1), B(4; 3;1), C (9; 5;1) c) A(10; 9;12), B(20; 3; 4), C (50; 3; 4) d) A(1; 5; 10), B(5; 7; 8), C (2; 2; 7) Câu 20 Cho ba điểm A, B, C  Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác  Tìm toạ độ trọng tâm G ABC  Xác đònh điểm D cho ABCD hình bình hành  Xác đònh toạ độ chân E, F đường phân giác góc A ABC www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com BC Tính độ dài đoạn phân giác  Tính số đo góc ABC  Tính diện tích ABC Từ suy độ dài đường cao AH ABC a) A(1; 2; 3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0;13; 21), B(11; 23;17), C (1; 0;19) c) A(3; 4; 7), B(5; 3; 2), C (1; 2; 3) d) A(4; 2; 3), B(2;1; 1), C (3; 8; 7) e) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C (1;1; 3) f) A(4;1; 4), B(0; 7; 4), C (3;1; 2) g) A 1; 0;  , B  0; 0;1 , C  2;1;1 h) A(1; 2; 6), B(2; 5;1), C (1; 8; 4) Câu 21 Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: a) A(3;1; 0) , B(2; 4;1) b) A(1; 2;1), B(11; 0; 7) c) A(4;1; 4), B(0; 7; 4) d) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1) e) A(3; 4; 7), B(5; 3; 2) f) A(4; 2; 3), B(2;1; 1) Câu 22 Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: a) A(1;1;1), B(1;1; 0), C (3;1; 1) b) A(3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(5; 3; 3) c) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C (1;1; 3) d) A(0;13; 21), B(11; 23;17), C (1; 0;19) e) A(1; 0; 2), B(2;1;1), C (1; 3; 2) f) A(1; 2; 6), B(2; 5;1), C (1; 8; 4) Câu 23 Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) điểm M  Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ?  Tìm tọa độ điểm M a) A  2; 1;  , B  4; 5; 2  b) A(4; 3; 2), B(2; 1;1) c) A(10; 9;12), B(20; 3; 4) d) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1) e) A(3; 4; 7), B(5; 3; 2) f) A(4; 2; 3), B(2;1; 1) Câu 24 Cho bốn điểm A, B, C, D  Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện  Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD  Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A a) A(2; 5; 3), B(1; 0; 0), C (3; 0; 2), D(3; 1; 2) b) A 1; 0;  , B  0;1;  , C  0; 0;1 , D  2;1; 1 c) A 1;1;  , B  0; 2;1 , C 1; 0;  , D 1;1;1 d) A  2; 0;  , B  0; 4;  , C  0; 0;  , D  2; 4;  e) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D(5; 4; 8) f) A(5; 7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1; 5; 0) g) A(2; 4;1), B(1; 0;1), C (1; 4; 2), D(1; 2;1) h) A(3; 2; 4), B(2; 5; 2), C(1; 2; 2), D(4; 2; 3) i) A(3; 4; 8), B(1; 2;1), C (5; 2; 6), D(7; 4; 3) k) A(3; 2; 6), B(2; 4; 4), C (9; 9; 1), D(0; 0;1) Câu 25 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'  Tìm toạ độ đỉnh lại  Tính thể tích khối hộp a) A 1; 0;1 , B  2;1;  , D 1; 1;1 , C '  4; 5; 5 c) A(0; 2;1), B(1; 1;1), D(0; 0; 0;), A '(1;1; 0) b) A(2; 5; 3), B(1; 0; 0), C (3; 0; 2), A '(3; 1; 2) d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (1;1;1), C '(1; 2; 1) Câu 26 Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB) b) Chứng minh S.ABC hình chóp www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Câu 27 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB) b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP tứ diện c) Vẽ SH  (ABC) Gọi S điểm đối xứng H qua S Chứng minh SABC tứ diện Câu 28 Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a) Phân tích vectơ OI , AG theo vectơ OA, OC , OD b) Phân tích vectơ BI theo vectơ FE , FG , FI Câu 29 Cho hình lập phương ABCD.EFGH a) Phân tích vectơ AE theo vectơ AC , AF , AH b) Phân tích vectơ AG theo vectơ AC , AF , AH Câu 30 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N trung điểm AD BB Chứng minh MN  AC Câu 31 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh Trên cạnh BB, CD, AD lấy điểm M, N, P cho BM = CN = DP = x (0 < x < 1) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (MNP) VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: –Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: x  xB y y z z xI  A ; yI  A B ; zI  A B 2 AB – Bán kính R = IA = Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác đònh tâm J bán kính R mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  với a2  b2  c2  d  www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2  b2  c2  d Câu 32 Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x  y  z2  8x  2y   b) x  y  z2  x  8y  2z   c) x  y  z2  x  4y  4z  d) x  y  z2  x  4y  2z  86  e) x  y  z2  12 x  4y  6z  24  f) x  y  z2  x  12y  12z  72  g) x  y  z2  8x  4y  2z   h) x  y  z2  3x  4y  i) 3x  3y  3z2  x  3y  15z   k) x  y  z2  x  2y  2z  10  Câu 33 Xác đònh m, t, , … để phương trình sau xác đònh mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu đó: a) x  y  z2  2(m  2)x  4my  2mz  5m2   b) x  y  z2  2(3  m)x  2(m  1)y  2mz  2m2   c) x  y  z2  2(cos  1)x  4y  cos z  cos 2   d) x  y  z2  2(3  cos2  )x  4(sin2   1)y  2z  cos 4   e) x  y  z2  ln t.x  2y  6z  ln t   f) x  y  z2  2(2  ln t)x  ln t.y  2(ln t  1)z  ln2 t   Câu 34 Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R: a) I (1; 3; 5), R  c) I (1; 3; 2), R  b) I (5; 3; 7), R  d) I (2; 4; 3), R  Câu 35 Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A: a) I (2; 4; 1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; 2), A(0; 0; 0) d) I (4; 4; 2), A(0; 0; 0) e) I (4; 1; 2), A(1; 2; 4) Câu 36 Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; 1), B(5; 2; 3) b) A(0; 3; 2), B(2; 4; 1) d) A(4; 3; 3), B(2;1; 5) e) A(2; 3; 5), B(4;1; 3) c) I (3; 2;1), A(2;1; 3) c) A(3; 2;1), B(2;1; 3) f) A(6; 2; 5), B(4; 0; 7) Câu 37 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) A 1;1;  , B  0; 2;1 , C 1; 0;  , D 1;1;1 b) A  2; 0;  , B  0; 4;  , C  0; 0;  , D  2; 4;  c) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D(5; 4; 8) d) A(5; 7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1; 5; 0) e) A(6; 2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; 1), D(4;1; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (2; 2; 2), D(1; 1; 2) Câu 38 Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với:  A(1; 2; 0), B(1;1; 3), C(2; 0; 1)  A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C(3; 2; 0) a)  b)  ( P )  ( Oxz )  (P)  (Oxy) Câu 39 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với:  I (5;1;1) I (3; 2; 2) a)  b)  2 2 2 (T ) : x  y  z  x  4y  6z   (T ) : x  y  z  x  4y  8z   VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2)  I1I  R1  R2  (S1), (S2)  I1I  R1  R2  I1I  R1  R2  I1I  R1  R2  (S1), (S2)  (S1), (S2) tiếp xúc  (S1), (S2) tiếp xúc  R1  R2  I1I  R1  R2  (S1), (S2) cắt theo đường tròn Câu 40 Xét vò trí tương đối hai mặt cầu:    x  y  z2  x  y  2z   ( x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  a)  b)  2 2    x  y  z  x  y  4z    x  y  z  x  10 y  6z  21     x  y  z2  x  y  10z    x  y  z2  x  y  2z  15  c)  d)  2 2    x  y  z  x  y  2z    x  y  z  x  12 y  2z  25     x  y  z2  x  y  4z    x  y  z2  x  y  2z   e)  f)  2 2    x  y  z  x  y  4z    x  y  z  x  y  2z   Câu 41 Biện luận theo m vò trí tương đối hai mặt cầu:   ( x  2)2  ( y  1)2  (z  3)2  64 ( x  3)2  ( y  2)2  (z  1)2  81 a)  b)  2 2 2 2   ( x  4)  ( y  2)  (z  3)  (m  2) ( x  1)  ( y  2)  (z  3)  (m  3)   ( x  2)2  ( y  2)2  (z  1)2  25 ( x  3)2  ( y  2)2  (z  1)2  16 c)  d)  2 2 2 2   ( x  1)  ( y  2)  (z  3)  (m  1) ( x  1)  ( y  2)  (z  3)  (m  3) VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) – Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 hoặc: x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  – Tìm giới hạn q tích (nếu có) Tìm tập hợp tâm mặt cầu  x  f (t )  – Tìm toạ độ tâm I, chẳng hạn:  y  g(t ) (*)  z  h(t ) – Khử t (*) ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn q tích (nếu có) Câu 42 Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: MA 2 a) MA2  MB2  30 b) c) MA2  MB2  k (k  0) MB Câu 43 Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com a) MA  MB  124 b) MA  MB c) AMB 900 d) MA = MB e) MA2  MB2  2(k  1) (k  0) Câu 44 Tìm tập hợp tâm I mặt cầu sau m thay đổi: a) x  y  z2  x  6y  2(m  3)z  19  2m  b) x  y  z2  2(m  2)x  4y  2z  2m   c) x  y  z2  x  4y  2(m  1)z  2m2   d) x  y  z2  4(2  cos m) x  2(5  sin m)y  6z  cos 2m   e) x  y  z2  2(3  cos m)x  2(4 sin m  1)y  4z   sin2 m  www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng  Vectơ n  VTPT () giá n vuông góc với ()  Hai vectơ a , b không phương cặp VTCP () giá chúng song song nằm () Chú ý:  Nếu n VTPT () kn (k ≠ 0) VTPT ()  Nếu a , b cặp VTCP () n   a, b  VTPT () Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax  By  Cz  D  với A2  B2  C   Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  n  ( A; B; C ) VTPT ()  Phương trình mặt phẳng qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n  ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 )  Các trường hợp riêng Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Ax  By  Cz  By  Cz  D  D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chú ý: tương ứng Ax  Cz  D  Ax  By  D  Cz  D  By  D  Ax  D  Tính chất mặt phẳng () () qua gốc toạ độ O () // Ox ()  Ox () // Oy ()  Oy () // Oz ()  Oz () // (Oxy) ()  (Oxy) () // (Oxz) ()  (Oxz) () // (Oyz) ()  (Oyz)  Nếu phương trình () không chứa ẩn () song song chứa trục x y z   1 a b c () cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Vò trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A1x  B1y  C1z  D1   Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (): A2 x  B2 y  C2 z  D2   (), () cắt  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  () // ()  A1 A2  B1 B2  C1 C2  D1 D2  ()  ()  A1 A2  B1 B2  C1 C2  D1 D2  ()  ()  A1 A2  B1B2  C1C2  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D = www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng () ta cần xác đònh điểm thuộc () VTPT Dạng 1: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B;C  : (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Dạng 2: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp VTCP a , b : Khi VTPT () n   a, b  Dạng 3: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với mặt phẳng ():Ax+By+Cz + D = 0: (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Dạng 4: () qua điểm không thẳng hàng A, B, C: Khi ta xác đònh VTPT () là: n   AB, AC  Dạng 5: () qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A VTCP u – Một VTPT () là: n   AM, u  Dạng 6: () qua điểm M vuông góc với đường thẳng (d): VTCP u đường thẳng (d) VTPT () Dạng 7: () qua đường thẳng cắt d1, d2: – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT () là: n   a, b  – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M  () Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT () là: n   a, b  – Lấy điểm M thuộc d1  M  () Dạng 9: () qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT () là: n   a, b  Dạng 10: () qua đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (): – Xác đònh VTCP u (d) VTPT n () – Một VTPT () là: n  u , n    – Lấy điểm M thuộc d  M  () Dạng 11: () qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng cắt (), (): – Xác đònh VTPT n , n () () – Một VTPT () là: n  u , n    Dạng 12: () qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: 10 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com c) I (1;1; 2), ( P ) : x  y  z   d) I (2;1;1), ( P ) : x  y  2z   Câu 33 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) (S) : ( x  3)2  ( y  1)2  (z  2)2  24 M(1; 3; 0) b) (S) : x  y2  z2  x  y  4z   M(4; 3; 0) c) (S) : ( x  1)2  ( y  3)2  (z  2)2  49 M(7; 1; 5) d) (S) : x  y  z2  x  2y  2z  22  song song với mặt phẳng x  y  z  14  e) (S) : x  y  z2  x  4y  2z  11  song song với mặt phẳng x  3z  17  f) (S) : x  y  z2  x  4y  4z  song song với mặt phẳng x  y  z    x  4t   g) (S) : x  y  z  x  6y  2z   chứa đường thẳng d :  y  3t   z  t  h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6;–2;3), B(0;1;6), C(2;0;–1), D(4; 1; 0) i) Tiếp xúc với mặt cầu: x  y  z  10 x  y  26 z  113  song song với đường thẳng: d1 : 2 x  y  z  13 x  y 1 z      , d1 : 3 2 Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng Câu 34 Cho tứ diện ABCD  Viết phương trình mặt tứ diện  Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh song song với cạnh đối diện  Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh song song với mặt đối diện  Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB vuông góc với (BCD)  Viết phương trình mặt phẳng trung trực cạnh tứ diện  Tìm toạ độ điểm A, B, C, D điểm đối xứng với điểm A, B, C, D qua mặt đối diện  Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện  Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác đònh tâm I bán kính R (S)  Viết phương trình tiếp diện (S) đỉnh A, B, C, D tứ diện  Viết phương trình tiếp diện (S) song song với mặt tứ diện a) A  5;1; 3 , B 1; 6;  , C  5; 0;  , D  4; 0;  b) A 1;1;  , B  0; 2;1 , C 1; 0;  , D 1;1;1 c) A  2; 0;  , B  0; 4;  , C  0; 0;  , D  2; 4;  d) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D(5; 4; 8) e) A(5; 7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (2; 2; 2), D(1; 1; 2) Câu 35 Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ điểm: A(1;0;0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1) a) Tìm phương trình tổng quát (P) (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q) Câu 36 Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) D(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD tứ diện b) Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi vuông góc c) Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) 16 www.vmathlish.com Hình học 12 d) Tính góc cặp mặt phẳng: (ABC) (ABD), (BCD) (ACD) www.vmathlish.com 17 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M M M,a   d (M , d )  a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d2 )   a1 , a2  M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a1 , a2 cos  a1, a2   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d () Aa1 Ba2 Ca sin d,( ) A2 B C a12 a22 a 32 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác đònh điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2t z  z  a t o  ( t  R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B: Một VTCP d AB 18 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d //  nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d  (P) nên VTPT (P) VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q):  Cách 1: Tìm điểm VTCP (P ) – Tìm toạ độ điểm A  d: cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trò (Q) cho ẩn) – Tìm VTCP d: a  nP , nQ     Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2 Dạng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M0 đường thẳng  H     M0 H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0, H  Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với d; (Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P)  (Q) Dạng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2:  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) Khi d = (P)  (Q) Do đó, VTCP d chọn a  nP , nQ    Dạng 9: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: Tìm giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P) Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  d1, mặt phẳng (Q) chứa  d2 Khi d = (P)  (Q) Dạng 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  MN  d1  Cách 1: Gọi M  d1, N  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M, N  MN  d2 Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2 – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 + Một VTPT (P) là: nP  a, ad   1 19 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = (P)  (Q) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng (P):  Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  vuông góc với mặt phẳng (P) cách: – Lấy M   – Vì (Q) chứa  vuông góc với (P) nên nQ   a , nP  Khi d = (P)  (Q) Dạng 13: d qua điểm M, vuông góc với d1 cắt d2:  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Khi d = (P)  (Q) Câu a) d) Câu a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP a cho trước: M (1;2; 3), a  (1;3;5) b) M (0; 2;5), a  (0;1; 4) c) M (1;3; 1), a  (1;2; 1) M (3; 1; 3), a  (1; 2; 0) e) M (3; 2;5), a  (2; 0; 4) f) M (4;3; 2), a  (3; 0; 0) Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: b) A 1; 1;  , B  0;1;  c) A  3;1; 5 , B  2;1; 1 A  2; 3; 1 , B 1; 2;  d) A  2;1;  , B  0;1;  e) A 1; 2; 7  , B 1; 2;  f) A  2;1; 3 , B  4; 2; 2  Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng  cho trước: a) A  3; 2; 4  ,   Ox b) A  2; 5; 3 ,  qua M(5; 3; 2), N (2;1; 2)  x   3t  c) A(2; 5; 3),  :  y   4t  z   2t d) A(4; 2; 2),  : x  y 5 z2    x   4t  e) A(1; 3; 2),  :  y   2t  z  3t  f) A(5; 2; 3),  : x  y 1 z    Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A  2; 4; 3 , (P) : x  3y  6z  19  b) A 1; 1;  , (P) : mp toạ độ c) A  3; 2;1 , (P) : x  5y   d) A(2; 3; 6), ( P ) : x  3y  z  19  Câu Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: (P ) : x  y  2z   (P ) : x  3y  3z   (P ) : 3x  3y  4z   a)  b)  c)  ( Q ) : x  y  z   ( Q ) : x  y  z     (Q) : x  y  2z   (P) : x  y  z   (P) : x  z   (P) : x  y  z   d)  e)  f)  (Q) : x  y  z   (Q) : y   (Q) : x  z   Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: 20 www.vmathlish.com Hình học 12 a) b) c) d) e) f) Câu trước: a) c) e) Câu trước: www.vmathlish.com  x   2t x  1 t   A(1; 0; 5), d1 :  y   2t , d2 :  y   t  z   t  z   3t x  1 t  x   3t   A(2; 1;1), d1 :  y  2  t , d2 :  y  2  t  z   z   t x  1 t x    A(1; 2; 3), d1 :  y  2  2t , d2 :  y  2  t  z   3t  z   t  x  7  3t x  1 t   A(4;1; 4), d1 :  y   2t , d2 :  y  9  2t  z   3t  z  12  t  x   3t  x  2t   A(2; 1; 3), d1 :  y   t , d2 :  y  3  4t  z  2  2t  z   t x  t x  t   A(3;1; 4), d1 :  y   t , d2 :  y   2t  z  2t  z  Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vuông góc cắt đường thẳng  cho x  t  x  3  t   A(1; 2; 2),  :  y   t b) A(4; 2; 4), d :  y   t  z  2t  z  1  4t  x   3t x  t   A(2; 1; 3),  :  y   t d) A(3;1; 4),  :  y   t  z  2  2t  z  2t x  1 t x  1 t   A(1; 2; 3),  :  y  2  2t f) A(2; 1;1),  :  y  2  t  z   3t  z  Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2 cho  x   2t x  1 t   a) A(1; 0; 5), d1 :  y   2t , d2 :  y   t  z   t  z   3t x  1 t  x   3t   A ( ;  ; ), d : y    t , d : b)   y  2  t  z   z   t  x  1  3t  x   2t   A (  ;  ; ), d : y    t , d : c)   y  1  3t  z   t  z   5t  x   3t  x  t   A ( ; ;  ), d : y    t , d : d)  y  t  z  3  5t  z  2t 21 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com x   t  x  4  3t   e) A(2; 3; 1), d1 :  y   2t , d2 :  y   t  z   3t  z  2  3t  x  3  3t  x   2t   f) A(3; 2; 5), d1 :  y   4t , d2 :  y   t  z   2t  z   3t Câu Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: (P ) : y  2z  (P ) : x  y  2z      x   2t x   t x  1 t a)  b)     x 1 y z d :   , d : y   t d : y   t , d :   y   t 2   1  z   z   3t    z   t ( P ) : x  3y  3z   (P ) : 3x  3y  4z      x   t  x  7  3t x  1 t x  c)  d)      d : y   t , d : y    t d : y    t , d :   y  2  t      z   3t  z  12  t  z   t    z   3t Câu 10 Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x y 1 z   x y 1 z 1  :  1   :  1    x 1 y z 1 x 1 y  z  a) d1 : b) d1 :     1   x  y  z  x  y  z d : d :        x 1 y  z   x 1 y  z   :    :  2  1   x  y  z 1 x 1 y  z   c) d1 : d)     d1 : 1   x  y  z 9  x4 y7 z  d2 :   d :      1  Câu 11 Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 cho trước:  x   2t  x   3t  x   2t  x  2  3t     a) d1 :  y   4t , d2 :  y   t b) d1 :  y  3  t , d2 :  y   2t  z  2  4t  z   2t  z   3t  z  4  4t  x   2t x  1 t  x   3t  x  1  2t     c) d1 :  y   t , d2 :  y   t d) d1 :  y  3  t , d2 :  y   2t  z   t  z   2t  z   2t  z   t Câu 12 Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng  mặt phẳng (P) cho trước:  x  y  z 1  x 3 y 2 z  :  :     a)  b)  1 1 ( P ) : x  y  z   (P ) : x  y  2z   22 www.vmathlish.com Hình học 12  x 1 y 1 z   c)  :   2 (P ) : x  y  z    x  y  z 1  e)  :   ( P ) : x  y  3z    5 x  y  z    : g)   x  2z   ( P ) : x  y  z   www.vmathlish.com  x y z 1  :  d)  2  ( P ) : x  y  z    x 1 y  z  f)  :  2  1 (P ) : x  y  3z    x  y  z 1   : h)   x  z   (P ) : x  y  z   Câu 13 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 cho trước:  x  1  x 1 y  z   , d2 :  y  t a) A(0;1;1), d1 : 1  z   t x   x 1 y 1 z   , d :  y   2t b) A(1;1;1), d1 : 1  z  1  t x 1 y  z x 1 y 1 z    , d2 :   c) A(1; 2; 3), d1 : 2 3 5 Câu 14 Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: a) Chứa cạnh tứ diện tứ diện ABCD b) Đường thẳng qua C vuông góc với mp(ABD) c) Đường thẳng qua A qua trọng tâm tam giác BCD x3 y 6 z 3   Câu 15 Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) hai trung tuyến: (d1 ) : , 2 x4 y2 z2 (d ) :   Viết phương trình tham số đường thẳng sau: 4 a) Chứa cạnh tam giác ABC b) Đường phân giác góc A Câu 16 Cho tam giác ABC có A(3; 1; 1), B(1; 2; 7), C (5;14; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: a) Trung tuyến AM b) Đường cao BH c) Đường phân giác BK d) Đường trung trực BC ABC Câu 17 Cho bốn điểm S(1; 2; 1), A(3; 4; 1), B(1; 4;1), C(3; 2;1) a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vuông góc chung SA BC Câu 18 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 1; 3), C (1; 2; 5) a) Chứng minh S.ABC tứ diện b) Viết phương trình hình chiếu SA, SB mặt phẳng (ABC) 23 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Câu 19 Xét vò trí tương đối hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x 1 y  z    ; d2 :  x  1  t; y  t; z  2  3t a) d1 : 2 b) d1 : x   2t; y   t; z   t ; d2 : x   2t '; y  3  t '; z   t ' c) d1 : x   2t; y  1  t; z  1; x 1 y  z    ; x 1 y  z    ; e) d1 : x  y z 1   ; f) d1 : 6 8  x  y  2z   g) d1 :  ; 2 x  y  z   d2 : x  1; y   t; z   t x 7 y 6 z5   x  y 1 z  d2 :   x 7 y2 z d2 :   6 12 2 x  y  z   d2 :   x  y  2z   2 x  3y  3z   h) d1 :  x  9t; y  5t; z  t  3; d2 :   x  2y  z   Câu 20 Chứng tỏ cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vuông góc chung chúng: a) d1 : x   2t; y   t; z  2  3t ; d2 : x  2t '; y   t '; z   2t ' d) d1 : d2 : b) d1 : x   2t; y   2t; z  t; d2 : x  2t '; y   3t '; z  c) d1 : x   2t; y   4t; z  4t  2; d2 : x   3t '; y   t '; z   2t ' x  y 1 z x y 1 z 1   ; d2 :   2 2 x 7 y 3 z9 x  y 1 z 1   ; d2 :   e) d1 : 1 7 x  y 1 z  x  y 1 z 1   ; d2 :   f) d1 : 2 2  x  y  2z   2 x  y  z   g) d1 :  ; d2 :  x  y  z     x  y  2z   Câu 21 Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 d2: a) d1 : x  3t; y   2t; z   t ; d2 : x   t '; y  2t '; z   t ' d) d1 : x  y  z   b) d1 :  ; 2 x  y    x  2y  z   c) d1 :  ; 2 x  y  z   d2 :  x   t; y  2  t; z   t x  z   d2 :   y  2z   24 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com 2 x  y   3x  y  z   d) d1 :  ; d2 :  x  y  z 1  2 x  y   Câu 22 Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng: a) d1 : x   mt; y  t; z  1  2t ; d2 : x   t '; y   2t '; z   t ' b) d1 : x   t; y   2t; z  m  t ; d2 : x   t '; y   t '; z   3t ' 2 x  y  z   c) d1 :  ; x  y    x  y  mz   d2 :  2 x  y  z   VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng Câu 23 Xét vò trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: (P ) : x  y  z  10  a) d :  x  2t; y   t; z   t ; b) d :  x  3t  2; y   4t; z  4t  ; x  12 y  z    ; x  11 y  z   ; d) d : x  13 y  z    ; e) d : 3x  5y  z  16  f) d :  ; 2 x  y  z   c) d : ( P ) : x  3y  z   (P) : 3x  5y  z   ( P ) : x  3y  z   (P) : x  y  4z   (P) : x  z   2 x  3y  6z  10  g) d :  ; (P) : y  4z  17  x  y  z   Câu 24 Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: i) d cắt (P) ii) d // (P) iii) d  (P) x 1 y  z    ; ( P ) : x  3y  z   a) d : m 2m  x 1 y  z 1   ; ( P ) : x  3y  z   b) d : m m2 3x  y  z   c) d :  ; (P) : x  y  (m  3)z    x  3y  z   d) d :  x   4t; y   4t; z  3  t ; (P ) : (m  1) x  y  4z  n   e) d :  x   2t; y   3t; z   2t ; iv) d  (P) (P ) : (m  2) x  (n  3)y  3z   Câu 25 Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: a) d :  x  m  t; y   t; z  3t cắt ( P ) : x  y  z   điểm có tung độ 25 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com  x  2y   b) d :  cắt ( P ) : x  y  2z  2m  điểm có cao độ –1  y  2z    x  2y   c) d :  cắt ( P ) : x  y  z  m  3x  2z   VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu Câu 26 Xét vò trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: x y 1 z   ; (S ) : x  y  z  x  z   a) d :  1 2 x  y  z   b) d :  ; (S) : ( x  1)2  ( y  2)2  z2  16  x  2z    x  2y  z   c) d :  ; x  y    x  2y  z   d) d :  ; x  y   (S ) : x  y  z2  x  2y  14  (S ) : x  y  z2  x  2y  10z   e) d :  x  2  t; y  t; z   t ; (S ) : x  y  z  x  y  z   f) d :  x   2t; y   t; z   t ; (S ) : x  y  z  x  y  z   g) d :  x   t; y   t; z  ; (S ) : x  y  z  x  y  z   Câu 27 Biện luận theo m, vò trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S):  x  2y  z  m  a) d :  ; (S ) : ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  1)2  x  y   b) d :  x   t; y  m  t; z   t ; (S ) : x  y  z  x  z    x  2y   c) d :  ; (S ) : x  y  z  x  y  z  m  2 x  z   Câu 28 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: d :  x   4t; y   2t; z  4t  a) I (1; 2;1); b) I (1; 2; 1); d :  x   t; y  2; z  2t c) I (4; 2; 1); d: d) I (1; 2; 1); e) I (1; 2; 1); x  y 1 z 1   2 x 1 y z  d:   1  x  2y   d: z   Câu 29 Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = Viết phương trình tiếp tuyến d (S), biết: a) d qua A(0; 0; 5)  (S) có VTCP a  (1; 2; 2) 26 www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com b) d qua A(0; 0; 5)  (S) vuông góc với mặt phẳng: ( ) : x  y  z   Câu 30 Cho tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện, với: a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3) b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0) c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1) d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2) VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a  Cách 2: d)  Cách 3: M M,a   d (M , d )  a – Tìm hình chiếu vuông góc H M đường thẳng d – d(M,d) = MH – Gọi N(x; y; z)  d Tính MN2 theo t (t tham số phương trình đường thẳng – Tìm t để MN2 nhỏ – Khi N  H Do d(M,d) = MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d2 )   a1 , a2  M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng () Câu 31 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:  x   4t  x   2t   a) A(2; 3;1), d :  y   2t b) A(1; 2; 6), d :  y   t  z  t   z  4t  x  y 1 z   x  y 1 z 1   e) A(1; 1;1), d : 2 c) A(1; 0; 0), d : x  y 1 z 1   2  x  y  2z   f) A(2; 3; 1), d :   x  3y  z   d) A(2; 3;1), d : Câu 32 Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Tính khoảng cách chúng: a) d1 : x   2t; y   t; z  2  3t ; d2 : x  2t '; y   t '; z   2t ' 27 www.vmathlish.com Hình học 12 b) d1 : x   2t; y   2t; z  t; c) d1 : x   2t; y   4t; z  4t  2; d2 : x  2t '; y   3t '; z  www.vmathlish.com d2 : x   3t '; y   t '; z   2t ' x  y 1 z x y 1 z 1   ; d2 :   2 2 x 7 y 3 z9 x  y 1 z 1   ; d2 :   e) d1 : 1 7 x  y 1 z  x  y 1 z 1   ; d2 :   f) d1 : 2 2  x  y  2z   2 x  y  z   g) d1 :  ; d2 :  2 x  y  z    x  y  2z   Câu 33 Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với Tính khoảng cách chúng: a) d1 : x   2t, y   3t, z   t ; d2 : x   4t, y   6t, z   2t d) d1 : x 1 y  z  x  y  z 1   ; d2 :   6 3 12 x  y 1 z  x  y  z 1   ; d1 :   c) d1 : x 7 y 5 z9 2 x  y  z  10  ; d2 :   d) d1 :  x  y  z  22  1  Câu 34 Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách chúng: ( P ) : x  3y  z   a) d :  x  3t  2; y   4t; z  4t  ; b) d1 : b) d :  x   2t; y  t; z   2t ;  x  y  2z   c) d :  ; 2 x  y  z   3x  y  z   d) d :  ;  x  3y  z   (P ) : x  z   ( P ) : x  y  4z   ( P ) : x  y  2z   VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a1 , a2 cos  a1, a2   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d () Aa1 Ba2 Ca sin d,( ) A2 B C a12 a22 a 32 28 www.vmathlish.com Hình học 12 Câu 35 Tính góc hai đường thẳng: a) d1 : x   2t, y  –1  t, z   4t ; d2 :  x  – t, y  –1  3t, z   2t x 1 y  z    ; 1 2 x  3y  3z   c) d1 :  ;  x  2y  z   2 x  z   d) d1 :  ;  x  y  3z  17  b) d1 : e) d1 : x 1 y  z    ; d2 : www.vmathlish.com x  y 3 z   2 d2 :  x  9t; y  5t; z  –3  t d2 :  x   3t; y  –1; z  – t  x  2y  z 1  d2 :  2 x  3z   x  y 1 z    d2 trục toạ độ 1 x  y  z   2 x  y  3z   g) d1 :  ; d2 :  x  y  z    x  y  z  2 x  y  3z    x  y  2z   h) d1 :  ; d2 :  3x  y  z   4 x  y  3z   f) d1 : Câu 36 Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: 7 x  2z  15  x  y  z   d1 :  ; d2 :  7 y  5z  34  3x  y  11  Câu 37 Tìm m để góc hai đường thẳng sau :  d1 : x  1  t; y  t 2; z   t ;  d2 : x   t; y   t 2; z   mt ;   600 Câu 38 Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P):: x 1 y 1 z    ; ( P ) : x – y – 2z –10  a) d : 2  b) d : x  1; y   t 5; z   t ; (P) : x  z    x  y  2z   c) d :  ; 3x  y  2z  ( P ) : 3x  y – z    x  2y  z   d) d :  ; ( P ) : 3x – y  2z –  2 x  y  3z   Câu 39 Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1) a) Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện đôi vuông góc với b) Tính góc AD mặt phẳng (ABC) c) Tính góc AB trung tuyến AM tam giác ACD d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tính thể tích tứ diện ABCD Câu 40 Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC) b) Tính góc tạo SC (ABC) góc tạo SC AB c) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) từ B đến (SAC) d) Tính khoảng cách từ C đến AB khoảng cách SA BC Câu 41 Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5) a) Tìm phương trình hình chiếu SA, SB mặt phẳng (ABC) b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc tạo SM NP góc tạo 29 www.vmathlish.com Hình học 12 SM (ABC) c) Tính khoảng cách SM NP, SP MN www.vmathlish.com www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng 30 www.vmathlish.com ... đònh điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác đònh toạ độ điểm đặc... C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng   AB, AC  AD  Câu 17 Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M:  Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz  Trên trục tọa độ: Ox,... SB  (SAC), SC  (SAB) b) Chứng minh S.ABC hình chóp www.vmathlish.com Hình học 12 www.vmathlish.com c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Câu 27 Cho bốn điểm S(1;