LT HÌNH học 12 CHƯƠNG III tọa độ KG

HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Điều kiện hai vectơ phương:   Hai vectơ u , v phương với tồn số thực k cho   u  kv Ba vectơ đồng phẳng:  Đònh nghóa: Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng    Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Trong không gian cho hai vectơ a , b không     phương vectơ c Khi ba vectơ a, b , c đồng phẳng có cặp số m,    n cho c  ma  nb Ngoài cặp số m, n cặp Tích vô hướng hai vectơ:   Trong không gian, cho hai vectơ u v khác vectơ - không Tích vô hướng    hai vectơ u v số, kí hiệu u v , xác đònh công thức:      u.v  u v cos(u , v )   * Chú ý: u  v   u v Vectơ phương đường thẳng:  Vectơ a khác vectơ - không gọi vectơ  phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d * Nhận xét:   Nếu a vectơ phương d vectơ  ka với k ≠ vectơ phương d  Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác đònh biết điểm A thuộc d vectơ  phương a  Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 d a SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ: Hệ tọa độ: Trong không gian, cho ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc đôi       Gọi i , j , k có i  j  k  vectơ đơn vò trục x'Ox, y'Oy, z'Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxyz hay đơn giản hệ tọa độ Oxyz Trong đó:  Điểm O gọi gốc tọa độ  Các mặt phẳng: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi vuông góc gọi mặt phẳng tọa độ       i j  j k  k i  z j y i O k x Tọa độ điểm tọa độ vectơ: z  Trong hệ trục Oxyz, cho điểm M    OM  xi  yj  xk z M(x; y; z) k O y j i x M' x y Bộ ba số (x; y; z) gọi tọa độ điểm M hệ trục Oxyz Kí hiệu: M(x;y;z) M=(x;y;z)   Trong hệ trụ Oxyz, cho a     a  a1i  a2 j  a3 k Bộ ba số (a1; a2; a3) gọi tọa độ  vectơ a hệ trục Oxyz   Kí hiệu: a = (x; y; z) a (x; y; z) II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ: Đònh lí:   Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) Ta có:    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ,    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ,   ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) , k  R NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hệ quả: a) Cho hai vectơ   a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) Ta có:   a1  b1    a  b  a2  b2 a  b  b) Vectơ  (0;0;0) , O(0; 0; 0)     c) Với b  hai vectơ a , b phương  k  R cho a1 = kb1, a2 = kb2, a3 = kb3 d) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) thì:  AB  ( x B  x A ; yB  y A ; zB  zA )  Tọa độ trung điểm M AB M( x A  x B y A  y B z A  zB ; ; 2 ) III- TÍCH VÔ HƯỚNG: Biểu thức tọa độ tích vô hướng:  Đònh lí: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 )   b  (b1; b2 ; b3 ) xác đònh công thức a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3 Ứng dụng:   a) Độ dài vectơ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) ta có: a  a12  a22  a32 b) Khoảng cách hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(x A; yA; zA), B(xB; yB; zB) AB = AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  (zB  x A )2  c) Góc hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) ,    b  (b1; b2 ; b3 ) Gọi  góc hai vectơ a , b   Ta có: cos = cos(a, b )  * Chú ý: a1b1  a2 b2  a3 b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32    a  b  a.b   a1b1  a2 b2  a3 b3  IV- PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Đònh lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 * Nhận xét: Phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = phương trình mặt cầu thỏa A2 + B2 + C2 - D > 0, lúc mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C) bán kính r = A  B  C  D NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 D B B B I r A A Mặt cầu qua A có tâm B A Mặt cầu có đường kính AB Mặt cầu qua điểm A, B, C, D LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác đònh điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác đònh toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt:  A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương  AB  k AC   AB, AC    ABCD hình bình hành  AB  DC  Cho ABC có chân E, F đường phân giác góc A ABC BC Ta có: EB   AB EC , AC  A, B, C, D không đồng phẳng  FB  AB FC AC AB, AC, AD không đồng phẳng   AB, AC  AD  VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2 Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: –Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: xI  x A  xB ; yI  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 y A  yB ; zI  zA  zB SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 – Bán kính R = IA = AB Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác đònh tâm J bán kính R mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  với a2  b2  c2  d  (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2  b2  c  d VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2)  I1I  R1  R2  (S1), (S2)   I1I  R1  R2 I1I  R1  R2  (S1), (S2)  (S1), (S2) tiếp xúc  I1I  R1  R2  (S1), (S2) tiếp xúc  R1  R2  I1I  R1  R2  (S1), (S2) cắt theo đường tròn VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) – Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 hoặc: x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  – Tìm giới hạn q tích (nếu có) Tìm tập hợp tâm mặt cầu – Tìm toạ độ tâm I, chẳng hạn:  x  f (t )   y  g(t )  z  h(t ) (*) – Khử t (*) ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn q tích (nếu có) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I- VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG:   Đònh nghóa: Cho mặt phẳng () Nếu vectơ n khác  có giá vuông góc với mặt phẳng () n gọi vectơ pháp tuyến mp()  * Chú ý: Nếu n vectơ pháp tuyến mp()   n1  kn, (k  0) vectơ pháp tuyến mp()  Ví dụ: n  (6;9;0) vectơ pháp tuyến mp()  n1 = (2; 3; 0) vectơ pháp tuyến mp() n   1 n1  n * Vectơ vuông góc với hai vectơ không phương cho trước: Trong không gian Oxyz, cho mp() hai vectơ   không phương a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) có giá song song nằm mp() Khi đó:  Vectơ  n a =   b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2   ; b1 b1 b2  n b a a' a b' = (a2b3-b2a3;a3b1-b3a1; a1b2-b1a2) α   vectơ vuông góc với hai vectơ a b Kí       hiệu n  a  b n  [a, b ] gọi tích có hướng hai    Vectơ có hướ n g n ab   vectơ a , b vuông góc với hai vectơ   Vectơ n xác đònh vectơ a b pháp tuyến mp() II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG: Đònh nghóa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C không đồng thời 0, gọi phương trình tổng quát mặt phẳng * Nhận xét:  Nếu mặt phẳng () có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = có  vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C )  qua điểm M0 ( x ; y0 ; z0 ) có phương trình A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0  vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C )  Mp():  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 n C b a a'  b' B    Mp() song song với giá hai vectơ a, b Mp() vuông góc đường thẳng BC P nQ nP Q B  A  nP Mp() AB vuông góc mp(P) Mp() song song mp(Q) Các trường hợp riêng: a) Mặt phẳng qua gốc tọa độ có dạng: Ax + By + Cz = b) Mặt phẳng song song chứa Ox có dạng: By + Cz + D = Mặt phẳng song song chứa Oy có dạng: Ax + Cz + D = Mặt phẳng song song chứa Oz có dạng: Ax + By + D = c) Mặt phẳng song song trùng với mp(Oxy) có dạng: Cz + D = Mặt phẳng song song trùng với mp(Oxz) có dạng: By + D = Mặt phẳng song song trùng với mp(Oyz) có dạng: Ax + D = d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) nằm trục tọa độ Phương trình mặt phẳng (ABC) là: z C(0; 0; c) x y z   1 a b c y O B(0; b; 0) A(a; 0; 0) x III- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng  (1): A1x + B1y + C1x + D1 = có vectơ pháp tuyến n1  ( A1; B1; C1 ) ;  (2): A2x + B2y + C2x + D2 = có vectơ pháp tuyến n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Điều kiện để hai mặt phẳng song song:    n1  kn2 ( A ; B ; C )  k ( A2 ; B2 ; C2 ) (1 ) //( )    1 D1  kD2  D1  kD2    n1  kn2 ( A ; B ; C )  k ( A2 ; B2 ; C2 ) (1 )  ( )    1 D1  kD2  D1  kD2   (1) cắt (2)  n1  kn2  (A1; B1; C1)  k(A2; B2; C2) n1 1 n2 2 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:   (1 )  ( )  n1 n2   A1A2 + B1B2 + C1C2 = IV- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG: Đònh lí: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng () có phương trình Ax+By+Cz+D=0 điểm M0(x0; y0; z0) Khoảng cách từ điểm M0 đến mp(), kí hiệu d(M0; ()) tính theo công thức: d ( M0 ; ( ))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng  Vectơ n  VTPT () giá n vuông góc với ()  Hai vectơ a , b không phương cặp VTCP () giá chúng song song nằm () Chú ý:  Nếu n VTPT () kn (k ≠ 0) VTPT ()  Nếu a , b cặp VTCP () n   a, b  VTPT () Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax  By  Cz  D  với A2  B2  C   Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  n  ( A; B; C ) VTPT ()  Phương trình mặt phẳng qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n  ( A; B; C ) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C (z  z0 )  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Các trường hợp riêng Các hệ số Phương trình mặt phẳng () Ax  By  Cz  By  Cz  D  D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Ax  Cz  D  Ax  By  D  Cz  D  By  D  Ax  D  Tính chất mặt phẳng () () qua gốc toạ độ O () // Ox ()  Ox () // Oy ()  Oy () // Oz ()  Oz () // (Oxy) ()  (Oxy) () // (Oxz) ()  (Oxz) () // (Oyz) ()  (Oyz) Chú ý:  Nếu phương trình () không chứa ẩn () song song chứa trục tương ứng x y z   1 a b c  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: () cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Vò trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A1x  B1y  C1z  D1  (): A2 x  B2 y  C2 z  D2   (), ( ) cắt   () // ( )   ()  ( )  A1 A2  B1 B2 A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2  C1 C2  D1  ()  ( )  D2 A1 A2  B1 B2  C1 C2  D1 D2 A1 A2  B1B2  C1C2  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D = d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng ( ) ta cần xác đònh điểm thuộc ( ) VTPT Dạng 1: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT n   A; B;C  : (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Dạng 2: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp VTCP a , b : Khi VTPT () n   a, b  Dạng 3: () qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với mặt phẳng ( ):Ax+By+Cz + D = 0: (): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 4: () qua điểm không thẳng hàng A, B, C: Khi ta xác đònh VTPT ( ) là: n   AB, AC  Dạng 5: () qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A VTCP u – Một VTPT () là: n   AM, u  Dạng 6: () qua điểm M vuông góc với đường thẳng (d): VTCP u đường thẳng (d) VTPT () Dạng 7: () qua đường thẳng cắt d1, d2: – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT () là: n   a, b  – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M  () Dạng 8: () chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d (d1, d2 chéo nhau): – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT () là: n   a, b  – Lấy điểm M thuộc d1  M  () Dạng 9: () qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d 1, d2: – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT () là: n   a, b  Dạng 10: () qua đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (): – Xác đònh VTCP u (d) VTPT n ( ) – Một VTPT () là: n  u, n  – Lấy điểm M thuộc d  M  () Dạng 11: () qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng cắt (), (): – Xác đònh VTPT n , n ( ) () – Một VTPT () là: n  u , n  Dạng 12: () qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D   A2  B  C   – Lấy điểm A, B  (d)  A, B  () (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,( ))  k , ta phương trình (3) – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13: () tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I bán kính R – Một VTPT () là: n  IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xá c đònh mặt phẳng học lớp 11 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối hai mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C  Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng  MH , n phương  H  (P) MM  2MH  Điểm H hình chiếu điểm M (P)   Điểm M đối xứng với điểm M qua (P)  VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (), ( ) có phương trình: (): A1x  B1y  C1z  D1  ( ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  Góc (), ( ) bù với góc hai VTPT n1, n2 cos  ( ),(  )   Chú ý:    00  ( ),( )  900 n1.n2 n1 n2  A1 A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22  ( )  ( )  A1 A2  B1B2  C1C2  VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D  mặt cầu (S): ( x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R2  () (S) điểm chung  d (I ,( ))  R  () tiếp xúc với (S)  d (I ,( ))  R () tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vuông góc với ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d ( ) H tiếp điểm (S) với ()  () cắt (S) theo đường tròn  d (I ,( ))  R NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Để xác đònh tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vuông góc với ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d () H tâm đường tròn giao tuyến (S) với () Bán kính r đường tròn giao tuyến: r  R2  IH NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I- PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Đònh lí: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  qua điểm M0 (x0;y0;z0)  nhận a = (a1;a2;a3) làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để điểm M(x;y;z) nằm  có số thực t cho: z Vectơ phương  v  u = (a; b; c) y O M(x0; y0; z0)  x  x0  ta1   y  y0  ta2  z  z  ta  x Đònh nghóa: Phương trình tham số đường thẳng  qua điểm M0(x0;y0;z0) có vectơ phương  a= (a1;a2;a3) phương trình  x  x0  ta1 có dạng:  y  y0  ta2 (t  z  z  ta   R) * Chú ý: Nếu a1, a2, a3 khác phương trình  viết dạng tắc: x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 II– ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU: Cho hai đường thẳng d:  x  x0'  t ' a1  x  x0  ta1   '  y  y0  ta2 d':  y  y0  t ' a2  y  z'  t' a  y  z  ta 3   Điều kiện để hai đường thẳng song song:  Đường thẳng d qua M có vectơ phương a ,  đường thẳng d' có vectơ phương a '   a  ka '  d song song d'  M  d '   a  ka ' * Đặc biệt: d trùng d'  M  d ' NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 M a d d' a' SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng d d' cắt hệ phương trình ẩn t, t':  x0  ta1  x'0 t ' a '1   y0  ta2  y '0 t ' a '2 có  z  ta  z ' t ' a ' 3  nghiệm Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng d d' chéo   a a ' không phương hệ phương trình ẩn t, t' d a  x0  ta1  x'0 t ' a '1 :  y0  ta2  y '0 t ' a'2  z  ta  z ' t ' a ' 3  a' d' vô nghiệm * Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng  x  x0  ta d:  y  y0  ta  y  z  ta  mp(): Ax + By + Cz + D = Xét: A(x0 + ta) + B(y0 + ta) + C(z0 + ta) + D = (1)  d cắt ()  (1) có nghiệm  d // ()  (1) vô nghiệm  d  ()  (1) có vô số nghiệm * Một số toán khác: ª Hình chiếu điểm M mp(): M * Bước 1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc mp() * Bước 2: Xác đònh giao điểm M'  với mp() M' hình chiếu cần tìm M' α ª Giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S): * Bước 1: Tìm hình chiếu O mp(P) * Bước 2: Tính OH khoảng cách từ O đến mp(P) * Bước 3: Giao tuyến cần tìm đường tròn (C) tâm H bán kính r' = r  OH NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 I r M r' H P SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp(): M * Bước 1: Tìm hình chiếu I điểm M mp() * Bước 2: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm I α M' ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng : * Bước 1: Viết phương trình mp() qua M vuông góc với đường thẳng  * Bước 2: Xác đònh giao điểm I ()  (I hình chiếu M ) * Bước 3: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm M u I M' α ª Khoảng cách hai đường thẳng chéo  ':  * Bước 1: Viết phương trình mp() chứa ' song song đường thẳng  * Bước 2: Tìm điểm A  * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến () M A H  N ' ª Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng ª Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng ª Phương trình đường cao tam giác không gian: Đường cao AH ABC qua A vuông góc  với giá hai vectơ n  [ AB , AC ] CB A C H NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 B SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M M M,a   a d (M , d )  Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d2 )   a1 , a2  M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d 1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos  a1, a2   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d với hình chiếu d ()   sin d ,( )  Aa1  Ba2  Ca3 A  B  C a12  a22  a32 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác đònh điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2t z  z  a t o  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ( t  R) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 2: d qua hai điểm A, B: Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d //  nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d  (P) nên VTPT (P) VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q):  Cách 1: Tìm điểm VTCP – Tìm toạ độ điểm A  d: cách giải hệ phương trình (P ) (với việc (Q) chọn giá trò cho ẩn) – Tìm VTCP d: a  nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2 Dạng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M0 đường thẳng  H     M0 H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0, H  Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với d; (Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P)  (Q) Dạng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2:  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) Khi d = (P)  (Q) Do đó, VTCP d chọn a  nP , nQ  Dạng 9: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: Tìm giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P) Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  d1, mặt phẳng (Q) chứa  d2 Khi d = (P)  (Q) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dạng 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: Gọi M  d1, N  d2 Từ điều kiện  MN  d1 , ta tìm M, N   MN  d2 Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2 – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 + Một VTPT (P) là: nP  a, ad    – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = (P)  (Q) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng (P):  Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  vuông góc với mặt phẳng (P) cách: – Lấy M   – Vì (Q) chứa  vuông góc với (P) nên nQ   a , nP  Khi d = (P)  (Q) Dạng 13: d qua điểm M, vuông góc với d1 cắt d2:  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Khi d = (P)  (Q) VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vò trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a M M,a   d (M , d )  a  Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H M đường thẳng d – d(M,d) = MH  Cách 3: – Gọi N(x; y; z)  d Tính MN2 theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN2 nhỏ – Khi N  H Do d(M,d) = MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d2 )   a1 , a2  M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d 1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng ( ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 12 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos  a1, a2   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d ()   sin d ,( )  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Aa1  Ba2  Ca3 A  B  C a12  a22  a32 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ