LT HÌNH học 10 CHƯƠNG III tọa độ PHẲNG

HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Đường thẳng y = ax + b: Đồ thò hàm số y = ax + b đường thẳng gọi đường thẳng y = ax + b Hệ số góc đường thẳng: y  d O x  Tang góc  tạo đường thẳng d với trục Ox gọi hệ số góc đường thẳng d k = tan  Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc a Đường tròn:  Đường tròn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Đường tròn tâm O, bán kính R thường kí hiệu C(O; R) C(O; R) = {M  OM = R}  Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng tiếp xúc với đường tròn điểm  Tiếp tuyến đường tròn vuông góc với bán kính tiếp điểm  Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O; R) khoảng cách từ O đến  bán kính R Tiếp điểm M R Tiếp tuyến đường tròn O Quan hệ hai vectơ:  Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng      u phương v k  R\{0} : u =k v     u  v  u v = NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng: Vectơ u gọi vectơ phương đường   thẳng  u  giá u song song trùng với  Nhận xét:  Nếu u vectơ phương đường thẳng  ku (k ≠ 0) vectơ phương  Do đường thẳng có vô số vectơ phương  Một đường thẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm vectơ phương đường thẳng y Vectơ phương đường thẳng u v x O Phương trình tham số đường thẳng: a) Đònh nghóa:  Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0) nhận vectơ u  (u1; u2 ) x  x  u t làm vectơ phương có phương trình tham số là:  , tR tham số  y  y  u2 t b) Liên hệ vectơ phương hệ số góc đường thẳng:  Nếu đường thẳng  có vectơ phương u  (u1; u2 ) với u1 ≠  có hệ số góc k  u2 u1 Vectơ pháp tuyến đường thẳng:  Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  n  n vuông góc với vectơ phương  Nhận xét:  Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng  k n k   vectơ pháp tuyến  Do đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến  Một đường thẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm vectơ pháp tuyến NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 y Vectơ pháp tuyến đường thẳng u n O x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Phương trình tổng quát đường thẳng: a) Đònh nghóa: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua điểm M0(x0; y0) nhận n  a; b  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = hay ax + by + c = với c = ax0 + by0 Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c =  có vectơ pháp tuyến n = (a; b) có vectơ phương u = (-b; a) b) Các trường hợp đặc biệt: Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = (1) c b  Nếu a = (1) trở thành bx + c = hay y   Khi đường thẳng  vuông góc với trục Oy điểm (0; c  b y - ) c b x O c a  Nếu b = (1) trở thành ax + c = hay x =  y Khi đường thẳng  vuông góc với trục Ox điểm c a (  ;0 ) - O  Nếu c = (1) trở thành ac + by = Khi đường thẳng  qua gốc tọa độ O c x a y x O  Nếu a, b, c khác ta đưa (1) dạng x  y  c a a0 c b y b0 - với a0   , b0   Đây phương trình đường thẳng theo đoạn chắn  Đường thẳng cắt Ox Oy M(a0; O) N(0; b0) O c b - c a x Vò trí tương đối hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng 1 2 có phương trình tổng quát là: a1x + b1y + c1 = a2x + b2y + c2 = Tọa độ giao điểm 1  nghiệm hệ phương trình: a1 x  b1 y  c1   a2 x  b2 y  c2  (I) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Ta có trường hợp sau: a) Hệ (I) có nghiệm (x0; y0)  cắt  điểm M x0 ; y0  b) Hệ (I) có vô số nghiệm  1 trùng  c) Hệ (I) vô nghiệm  1 song song  Góc hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1: a1x+b1y+c1 = 0, 2: a2x+b2y+c2=0 Góc hai đường thẳng 1, 2 kí hiệu (1, 2) Đặt  = (1, 2), ta có: cos  a1a2  b1b2 a12  b12 a22  b22 n1   n2 * Chú ý:    1  2  n1  n2  a1a2 + b1b2 =  Nếu 1 2 có phương trình y = k1x + m1 y = k2x + m2 1  2  k1.k2 = -1 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = điểm M0(x0; y0) Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu d(M0, ), tính công thức: d M ,    ax  by  c a2  b2 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng  Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTCP u  (u1; u2 )   x  x  tu 1; PTTS :  y  y  tu  PTCT : x  x0 u1  y  y0 u2 (u1  0, u2  0)  Để lập phương trình tổng qt đường thẳng  ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 )   VTPT n  (a; b)  PTTQ : a( x  x0 )  b( y  y0 )  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com  Một số tốn thường gặp: +  qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( xB ; yB ) (với x A  xB , y A  yB ): PT : x  xA xB  x A  y  yA yB  y A x y   a b y  y0  k ( x  x ) +  qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT : +  qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: PT : Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng qt đường thẳng  Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d – Xác định I = d   (I hình chiếu M d) – Xác định M cho I trung điểm MM Cách 2: Gọi I trung điểm MM Khi đó:  M đối xứng M qua d   MM   ud (sử dụng toạ độ)  I  d  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , ta thực sau: – Nếu d // : + Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d – Nếu d   = I: + Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A I  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta thực sau: – Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d VẤN ĐỀ 2: Các tốn dựng tam giác Đó tốn xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại tốn ta thường sử dụng đến cách dựng tam giác Sau số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường cao BB, CC Cách dựng: – Xác định B = BC  BB, C = BC  CC – Dựng AB qua B vng góc với CC – Dựng AC qua C vng góc với BB – Xác định A = AB  AC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường cao BB, CC Cách dựng: – Dựng AB qua A vng góc với CC – Dựng AC qua A vng góc với BB – Xác định B = AB  BB, C = AC  CC Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN – Xác định A đối xứng với A qua G (suy BA//CN, CA// BM) – Dựng dB qua A song song với CN – Dựng dC qua A song song với BM – Xác định B = BM  dB, C = CN  dC Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB  AC – Dựng d1 qua M song song với AB – Dựng d2 qua M song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC  d1 – Xác định trung điểm J AB: J = AB  d2 – Xác định B, C cho JB  AJ , IC  AI Cách khác: Trên AB lấy điểm B, AC lấy điểm C cho MB   MC VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1x  b1y  c1   a2 x  b2 y  c2  (1)  1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm   1 // 2  hệ (1) vơ nghiệm   hệ (1) có vơ số nghiệm   1  2 a1  a1  a1  a2 a2 a2 b1 (nếu a2 , b2 , c2  ) b2 b1  b1  b2 b2 c1 c2 c1 c2 (nếu a2 , b2 , c2  ) (nếu a2 , b2 , c2  ) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta thực sau: – Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 ,  )  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 ax0  by0  c a2  b2 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN )   – M, N nằm phía   (ax M  byM  c)(axN  byN  c)  – M, N nằm khác phía   (ax M  byM  c)(axN  byN  c)  Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a1 x  b1y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC ta thực sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác ngồi (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ABC với đường phân giác AD phân giác ngồi AE (D, E  BC) ta có: DB   AB AB DC , EB  EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: – Viết phương trình đường phân giác d1, d2 góc tạo hai đường thẳng AB, AC – Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2) + Nếu B, C nằm khác phía d1 d1 đường phân giác + Nếu B, C nằm phía d1 d1 đường phân giác ngồi VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) 2: a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ) (n , n ) (n1 , n2 )  90 (1 , 2 )   0 180  (n1 , n2 ) (n1 , n2 )  90 n n a1b1  a2 b2 cos(1, 2 )  cos(n1, n2 )   n1 n2 a12  b12 a22  b22 Chú ý: 00   1, 2   900  1  2  a1a2  b1b2   Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1 k2 = –1  Cho ABC Để tính góc A ABC, ta sử dụng cơng thức: cos A  cos  AB, AC   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 AB AC AB AC SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình đường tròn có tâm bán kính cho trước: y Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 M(x; y) R b * Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm gốc tọa độ O có bán kính R là: x2 + y2 = R2 I(a; b) x O a Nhận xét: Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = phương trình đường tròn (C) a2 + b2 - c > Khi (C) có bán kình R = a  b  c Phương trình tiếp tuyến đường tròn: M Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R Tiếp tuyến  điểm M(x0; y0) nằm đường tròn (C) có phương trình: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = M0 I LÝ THUYẾT & BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường tròn  Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: ( x  a)2  (y  b)2  R2 (C) có tâm I(a; b) bán kính R  Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x  y2  2ax  2by  c  – Biến đổi đưa dạng ( x  a)2  (y  b)2  R2 – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2  b2  c Chú ý: Phương trình x  y2  2ax  2by  c  phương trình đường tròn thoả mãn điều kiện: a2  b  c  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  (y  b)2  R2 Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng  – Bán kính R = d ( I ,  ) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB – Bán kính R = AB Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng  – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Tâm I (C) thoả mãn: I  d d (I , )  IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng  điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng  qua B vng góc với  – Xác định tâm I giao điểm d  – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 d ( I ,  )  d ( I ,  ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn:  d ( I ,  )  IA (2)  – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định 1 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 2 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d (1 , 2 ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường thẳng d  – Tâm I (C) thoả mãn: d (I , 1 )  d (I , 2 ) I  d – Bán kính R = d (I , 1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x  y2  2ax  2by  c  (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c  phương trình (C) Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: IA  IB  IA  IC NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác – Bán kính R = d ( I , AB ) VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Tập hợp tâm đường tròn Để tìm tập hợp tâm I đường tròn (C), ta thực sau: a) Tìm giá trị m để tồn tâm I b) Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I  x  f (m)  y  g(m) c) Khử m x y ta phương trình F(x; y) = d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện m a) để giới hạn miền x y e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm F(x;y)=0 với phần giới hạn d) Tập hợp điểm đường tròn Thực tương tự VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax  By  C  đường tròn (C): x  y2  2ax  2by  c  , ta thực sau:  Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d (I , d )  R  d cắt (C) hai điểm phân biệt + d (I , d )  R  d tiếp xúc với (C) + d (I , d )  R  d (C) khơng có điểm chung  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d (C) nghiệm hệ phương trình:  Ax  By  C   2  x  y  2ax  2by  c  (*) + Hệ (*) có nghiệm  d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm  d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vơ nghiệm  d (C) khơng có điểm chung NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai đường tròn (C1) (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x  y2  2a1x  2b1y  c1  , (C2): x  y2  2a2 x  2b2 y  c2  ta thực sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với bán kính R1, R2 +  (C1) cắt (C2) điểm R1  R2  I1I  R1  R2 I1I  R1  R2 +  (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) I1I  R1  R2 +  (C1) tiếp xúc với (C2) I1I  R1  R2 +  (C1) (C2) ngồi I1I  R1  R2 +  (C1) (C2)  Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình:  x  y  2a x  2b y  c  1  2 x  y  a x  b y  c  2 0 (*) + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) điểm + Hệ (*) có nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vơ nghiệm  (C1) (C2) khơng có điểm chung VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng   tiếp xúc với (C)  d (I , )  R  Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 )  (C) –  qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT IM0  Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình  có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm t Từ suy phương trình   Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) ngồi đường tròn (C) – Viết phương trình  qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d (I , )  R , ta tìm tham số Từ suy phương trình  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP Đònh nghóa đường elip:  Cho hai điểm cố đònh F1 , F2 độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho: F1M  F2 M  2a  Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm elip Độ dài F1F2  2c gọi tiêu cự elip Phương trình tắc elip: Cho elip (E) có tiêu điểm F1 F2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho F1(-c; 0), F2(c; 0) Khi phương trình tắc elip (E) có dạng: x2 y2  1 a2 b2 2 c = a A1 với b = a - c M(x; y) A2 O F1 F2 x B1 Hình dạng elip:  (E) có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng gốc O  (E) cắt trục Ox hai điểm A1(-a;0), A2(a;0) cắt  (E) cắt trục Oy hai điểm B1(0;-b), B2(0;b)  Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elip  Đoạn thẳng A1A2 gọi trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi trục nhỏ elip  Tỉ số B2 b B2 A1 -a F1(-c; 0) A2 F2(c; 0) a O x -b B1 e gọi tâm sai elip Liên hệ đường tròn đường elip: a) Từ hệ thức b  a  c ta thấy tiêu cự elip nhỏ b gần a, tức trục nhỏ elip gần trục lớn Lúc elip có dạng gần đường tròn b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x  y  a Với điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta xét điểm M'(x'; y') cho  x '  x  y '  b y (với  a < b < a) tập hợp điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình x ' y'  1 a2 b2 y M(x; y) M'(x'; y') O H x elip (E) Khi ta nói đường tròn (C) co thành elip (E) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0) M  (E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 a  y2 b 1 (a  b  0, b2  a2  c2 )  Toạ độ tiêu điểm: F1(c; 0), F2 (c; 0)  Với M(x; y)  (E), MF1, MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M c c x , MF2  a  x a a MF1  a  Hình dạng elip  (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng  Toạ độ đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b)  Độ dài trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b  Tâm sai (E): e c a (0 < e < 1)  Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x   a, y   b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a e  Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm Fi là: x    Với M  (E) ta có: MF1 d ( M , 1 )  MF2 d ( M , 2 ) e (e < 1) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E) Đưa phương trình (E) dạng tắc: x2 a2  y2 b2  Xác định a, b, c Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) – Toạ độ đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) c a – Tâm sai e  a e – Phương trình đường chuẩn x   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E) Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E) Chú ý: Cơng thức xác định yếu tố (E): c + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) a đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) + b2  a2  c + Các + e VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y)  (E): MF1  a  c c x , MF2  a  x a a VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a Dạng 2: x2 a2  y2 b2 1 (a > b)  Tập hợp elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ [...]... Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com §3 PHƯƠNG TRÌNH ELIP 1 Đònh nghóa đường elip:  Cho hai điểm cố đònh F1 , F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1 F2 Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho: F1M  F2 M  2a  Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip Độ dài F1F2  2c gọi là tiêu cự của elip 2 Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 Chọn hệ trục tọa. .. x a a MF1  a  3 Hình dạng của elip  (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng  Toạ độ các đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b)  Độ dài các trục: trục lớn: A1 A2  2a , trục nhỏ: B1B2  2b  Tâm sai của (E): e c a (0 < e < 1)  Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x   a, y   b (ngoại tiếp elip) 4 Đường chuẩn của elip (chương trình nâng... dạng chính tắc: x2 a2  y2 b2  1 Xác định a, b, c Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) – Toạ độ các đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) c a – Tâm sai e  a e – Phương trình các đường chuẩn x   0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình chính tắc...HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2) Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1): x 2  y2  2a1x  2b1y  c1  0 , (C2): x 2  y2  2a2 x  2b2 y  c2  0 ta có thể thực hiện như sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2 +  (C1) cắt (C2) tại... thành elip (E) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 10 www.TOANTUYENSINH.com LÝ THUYẾT & BÀI TẬP 1 Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2  2c (c > 0) M  (E )  MF1  MF2  2a (a > c) F1, F2: các tiêu điểm, F1F2  2c : tiêu cự 2 Phương trình chính tắc của elip x2 a 2  y2 b 2 1 (a  b  0, b2  a2  c2 )  Toạ độ các tiêu điểm: F1(c; 0), F2 (c; 0)  Với M(x; y)  (E), MF1,... tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x 2  y 2  a 2 Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta xét điểm M'(x'; y') sao cho  x '  x  y '  b y (với  a 0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình x ' 2 y' 2  1 a2 b2 y M(x; y) M'(x'; y') O H x là một elip (E) Khi đó ta... F1F2  2c gọi là tiêu cự của elip 2 Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0) Khi đó phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: x2 y2  1 a2 b2 2 2 c = a A1 với b = a - c M(x; y) A2 O F1 2 F2 x B1 3 Hình dạng của elip:  (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O  (E) cắt trục Ox tại hai điểm A1(-a;0),... của (E) Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E) Chú ý: Cơng thức xác định các yếu tố của (E): c + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) a đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1(0; b), B2 (0; b) + b2  a2  c 2 + Các + e VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm trên (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý các cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E): MF1 ... I1I 2  R1  R2 +  (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) I1I 2  R1  R2 +  (C1) tiếp xúc trong với (C2) I1I 2  R1  R2 +  (C1) và (C2) ở ngồi nhau I1I 2  R1  R2 +  (C1) và (C2) ở trong nhau  Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2  y 2  2a x  2b y  c  0 1 1 1  2 2 x  y  2 a x  2 b y  c  2 2 2 0 (*) + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2)... M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a Dạng 2: x2 a2  y2 b2 1 (a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ