Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Nguyên hàm, tích trình bày lý thuyết đạo hàm cơ bản; định nghĩa, các phép toán nguyên hàm; phương pháp tính nguyên hàm, tích phân...
Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TỐN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM A LÝ THUYẾT Đạo hàm hàm C' x ' x 1 I VI PHÂN du( x) u '( x).dx Ví dụ 1: ứng dụng vi phân ax b d ax b a.dx dx d (ax b) d a a d x 1 1 x dx x dx d ln x d x 1 (với 1 ) 1 1 dx hay dx d ln x x x Lưu ý: f ( x).dx dF ( x) {với F ( x) nguyên hàm f x ( F '( x) f ( x) } Biến F ( x) Biến x II Nguyên hàm 2.1 Định nghĩa F ( x) gọi nguyên hàm f x F '( x) f ( x) Khi F ( x) C đgl họ nguyên hàm f x Kí hiệu: Lưu ý: f ( x)dx F ( x) C F '( x) f ( x) f ( x)dx : đgl nguyên hàm f(x) theo biến x PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM lưu k ý ỹ thuật đổi biến Phần lớn sử dụng vi phân Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2.2 Các phép toán nguyên hàm f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx k f ( x)dx k. f x dx (với k số) B PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Có hai phương pháp tính ngun hàm – tích phân: Phương pháp đổi biến Phương pháp phần BẢNG NGUYÊN HÀM ĐA THỨC – PHÂN THỨC ax b dx d d ax b a a x dx x 1 t 1 C t dt C 1 1 Lưu ý: dt t '.dx {với t hàm t ( x) đó} dx dt ln x C ln t C x t MŨ e x dx de x a x dx da x ln a LƯỢNG GIÁC sin xdx d cos x cos xdx d sin x dx dx d tan x; d cot x cos x sin x Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN f u( x) .u '( x).dx f (u( x))du( x) f t dt Biến x {với t u( x) } Biến t Sử dụng vi phân bảng DẠNG TOÁN x 1 t 1 x dx C t dt C 1 1 Ví dụ Tìm nguyên hàm dx x C x2 ( x 3)dx 3x C 7 x ln x x C x = x x 2x Để đưa đáp số câu 3, thực NHÁP: 1 1 x2 x 31 x x2 ;+x 1 ln x ;-7x 3 -7 +2 2x x x 1 x x dấu nguyên hàm tương ứng Ví dụ Sử dụng vi phân đổi biến Tìm nguyên hàm 1 (ax b)dx a (ax b).d (ax b) a tdt (với t ax b ) t2 C 2a (ax b)2 C 2a ( x 9) dx ( x 9) d x 9 4 x 9 5 C Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ( x 1) xdx Phân tích: Biểu thức nguyên hàm dạng tích x 1 biểu thức 6 phức tạp Nên ta nghĩ đến đổi biến x thành biến x+1 Chuyển phức tạp đơn giản cách đổi biến Bg ( x 1) xdx x 1 x 1 1 d ( x 1) x 1 x 1 d x 1 6 x 1 x 1 8 7 C Lưu ý: x ax b b cách đổi biến thường dùng a 1 x x 1 dx x 1 1 x 1 d x 1 x 1 x 1 d x 1 3 x 1 x 1 C 4 Bài tập áp dụng Tìm nguyên hàm x 2 3x 2018 xdx xdx dx dt ln x C ln t C x t Ví dụ (Dạng phân thức) dx d ax b ln ax b C ax b a ax b a dx x ln x C 3x ln 3x 1 C dx KỸ THUẬT TÁCH MẪU SỐ Công thức: dx ax b a ln ax b C ax b ln ax b C a.dx Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Bài tốn tổng quát P( x) ax bdx với P( x) đa thức Phương pháp giải: Dùng kỹ thuật chia đa thức lấy tử số chia cho mẫu P( x) c Q( x) ax b ax b Bài 1.1 Tìm nguyên hàm (Tạo hệ số x tử mẫu giống nhau) x5 ( x 1) 4 dx 1 dx x 4ln x C x 1 x 1 x5 x 10 (2 x 1) 11 11 dx 1 dx 2x 1 2 x 1 x 1 x 1dx x 1dx 11 x ln x C 2 x 3 3x 3x 2 7dx 3x 2dx 3x 2dx x 1dx x 3dx ??? 3x 3x 6x Bài tập áp dụng 1.1 Tìm nguyên hàm x3 x 1dx 3x 5dx 2x 1 Bài tập áp dụng 1.2 Tìm nguyên hàm ln x x(ln x 1)dx x(3ln x 5)dx x 1 dx ln 3x C 3x 3 ln x ex x e x 1.e dx sin x dx cos x sin x cos xdx 2sin x sin x sin x dx cos x Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài tốn tổng qt ax b cx d ax ? P( x) dx bx c ? ax b ? cx d ax b cx d Mạnh dạn lấy hai biểu thức mẫu trừ cho biến x Mục tiêu tạo mẫu hàm bậc Như ? phải điền số tương ứng sau ax b cx d x ax b cx d ? c ax b a cx d 1 a c cb ad cb ad cx d ax b ax b cx d ? ax b ? cx d ax b cx d Mạnh dạn lấy hai biểu thức mẫu trừ cho số tự Mục tiêu tạo mẫu hàm bậc Như ? phải điền số tương ứng sau x ax b cx d d ax b b cx d 1 b d da bc da bc cx d ax b ax b cx d LƯU Ý: a A Ax B ax b cx d dx a a c b c B A ln ax b b a c d c d B ln cx d C b d Bài 2.1 Tìm nguyên hàm dx x 1 x 3 1 x 1 x 3 ( x 1)( x 3) dx x x dx 1 x 3 ln x ln x C ln C 4 x 1 Lưu ý: ln A ln B ln AB ;ln A ln B ln dx x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 ( x 3) dx A B dx x 1 x 1 2x 1 ln x ln x C ln C 7 x3 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x x x x 1 x 1 1 dx dx dx dx 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 ln x ln x C ln x C 2 Bài tập áp dụng 2.1 Tìm nguyên hàm dx x 1 x x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 2x dx xdx xdx xdx 5x Bài tốn tổng qt (Phương pháp hữu tỉ hóa) f u ( x) dx Phương pháp giải Đặt t u ( x) t u ( x) d t du ( x) 2tdt u '( x)dx dx Suy ra: f u ( x) dx f (t ) 2tdt 2tdt u '( x) g t 2tdt g t Bài 3.1 Tìm nguyên hàm dx x2 xdx 2x 1 x3 dx 1 x 1 1 Bài giải Đặt t x t x t 2t x (2t 2)dt dx Suy 1 dx 2t 2 dt dt 2t 2ln t C t t x2 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TỐN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN x 2ln x C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (Dạng toán xuất ln x ) Dùng vi phân: dx d ln x x Tìm nguyên hàm ln x x 3ln x 1dx x ln x 9ln x dx x 2ln x dx (Dạng hữu tỷ hóa xuất Đặt t ln x t ln x ln x Bài (Dạng toán xuất e x ) Dùng vi phân: e x dx de x Tìm nguyên hàm e x dx ex dx x e 1 dx x e 2 dx x e 2e x e2 x ex 1 dx x 1 dx Bài (Dạng toán xuất lượng giác) Dùng vi phân cos dx d sin x ; sin xdx d cos x d cos x Tìm nguyên hàm 2cos x 1 sin xdx Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TỐN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN sin xdx 3cos x sin xdx cos x sin xdx 3cos x sin x cos x dx Lưu ý: sin x 2sin x.cos x sin x tan I x sin x.(1 sin x) dx cos3 x I sin x dx cos4 x tan x I I tan3 x dx dx cos x sin x ĐS: I ĐS: I ĐS: I ĐS: I C cos x 1 3cos x cos x tan x C tan x tan x PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN C tan x C Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN f ( x)dx F ( x) C F '( x) f ( x) Do ta có F '( x)dx F ( x) C (u.v) ' u '.v v '.u (uv) ' dx u '.vdx v '.udx uv vdu udv udv uv vdu u ' dx NHẬN XÉT: Dấu hiệu tích phân phần ta thấy biểu thức dấu nguyên hàm xuất tích hai họ hàm khác nhau: f ( x).g ( x)dx g ( x)dF ( x) {Quan sát xem hai hàm f x , g ( x) hàm dễ nhìn thấy nguyên hàm Dễ ta chọn đưa vào làm dv } DẠNG TOÁN NGUYÊN HÀM THƯỜNG XUẤT HIỆN Dạng Xuất tích hai họ hàm khác {trong có hàm e x , hàm lượng giác} Đây dấu hiệu dùng phương pháp phần Các hàm dễ tìm nguyên hàm e x ,sin x, cos x, 1 , ưu tiên làm dv cos x sin x f ( x).e dx f x .de x x udv f ( x).e x e x df ( x) f ( x).e x e x f '( x).dx f ( x) dx f ( x)d tan x x f ( x).sin x.dx f ( x)d ( cos x); f ( x).cos xdx f ( x)d sin x; cos u.dv Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm x.e dx x.de x.e e dx xe e C (3x 1)e dx (3x 1)de (3x 1)e e d 3x 1 (3x 1) e 3.dx 3x 1 3e x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx Tiếp tục dùng phần x x x x x x x x x x x x x x x x x 10 x C Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TỐN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Do S( H ) x 3x dx x x Nhận xét: Trên đoạn 1; 2 biểu thức x2 3x khơng đổi dấu x 3x Suy S( H ) x 3x dx x 3x dx 2 17 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHÂN TÍCH ĐỊNH HƯỚNG CON ĐƯỜNG GIẢI BÀI TỐN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH y f ( x) Hình phẳng (H) giới hạn y x a; x b, (a b) b Diện tích hình phẳng (H) S( H ) f ( x) dx a Lưu ý: Nếu đề tốn hình phẳng (H) cho khuyết a b ta giải phương trình f ( x) pt có nghiệm a b ( y trục hồnh Ox ) THỂ TÍCH y f ( x) Cho hình phẳng (H) giới hạn y Xoay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta x a; x b, (a b) khối tròn xoay (T) Khi thể tích khối tròn xoay (T) b V(T ) f ( x)dx a KỸ THUẬT THƯỜNG DÙNG VỚI CÁC HÌNH PHẲNG HÌNH - HÌNH ĐA DIỆN – HÌNH TRỊN XUAY Tính diện tích hình cong phẳng (hay đa giác phẳng): Phương pháp: + Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp + Chọn x đoạn a; b nằm trục hồnh + Tính độ dài giá trị f x Tổng tất giá trị f x biến x chạy từ a đến b diện tích hình cần tìm Tính thể tích khối tròn xoay (T) (hay khối đa diện): Phương pháp: + Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp + Chọn x đoạn a; b nằm trục hồnh, tương ứng ta có thiết diện hình S mp vng góc trục hồnh x cắt hình (T) + Tính diện tích hình S S x Tổng tất diện tích S x biến x chạy từ a đến b thể tích khối (T) cần tìm 18 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài tốn [Nguyễn Việt Hải – CQT] Một ruột xe hình vẽ đường kính ruột xe d 10cm Khi đặt ruột xe nằm mặt phẳng đường kính đường tròn R1 0,5m Tính thể tích ruột xe Phân tích: - Đầu tiên học sinh cần nhận hình vẽ tốn hình tròn xoay - Việc quan trọng: xác định đường sinh hình tròn xoay trục (theo khái niệm sách Hình học 12 – chương trình chuẩn, trang 31) Cụ thể bài, đặt vòng xuyến nằm mặt phẳng P trục đường thẳng qua tâm vòng tròn vng góc với P , đường sinh đường tròn nằm mặt phẳng chứa trục (theo sách Hình học 12 Nâng cao, trang 47 – 48) Cụ thể xuất giải - Dựng mơ hình thực tế: học sinh cầm tay vòng tròn, lòng bàn tay đặt vng góc với mặt đất Dùng thể làm trục, xoay vòng, vết đường tròn tạo nên hình, hình vòng xuyến.Ta bắt gặp nhiều hình ảnh vòng xuyến đời sống như: ruột xe (xăm xe), kiềng đeo cổ, vòng đá đeo tay,… Giải tốn Giải tích hóa tốn cách đơn giản hình ảnh cụ thể sau: - Chọn trục trục hoành - Đường sinh đường tròn C có tâm I nằm trục tung hình vẽ Khi đó: C có tâm I 0; R r bán kính r - Vậy hình xuyến tốn hình tạo thành xoay C quanh trục Ox - Nhận xét: r x r y I m r R x O Phương trình đường tròn C : x y R r r y R r r x Gọi m đường thẳng qua I vng góc với Oy m chia C thành hai đường tròn: 19 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - 1/2 đường tròn phía m : C1 : y r x R r - 1/2 đường tròn phía m : C2 : y r x R r Vậy thể tích vòng xuyến: V r r r x2 R r r x R r dx 4 R r r x dx r r ; dx r cos tdt 2 Đặt x r sin t , t Đổi cận: x t r r V 4 R r r r sin t r cos tdt 4 r R r cos tdt 2 2 r R r 1 cos 2t dt 2 r R r t sin 2t 2 r R r 2 Nhận xét:Ta giải cách khác cách dùng công thức tổng diện tích với thiết diện vòng xuyến cắt mặt phẳng vng góc với Ox hình vành khăn có bán kính đường tròn nhỏ R bán kính đường tròn lớn R 2r Tuy nhiên, xét mặt kỹ thuật tính tốn, giải theo cách thực không hiệu phương pháp giải Chi tiết xin dành cho đọc giả Đặt vấn đề: Khi thay đổi đường sinh từ đường tròn sang đường khác ta số kết thú vị Ở dùng đường sinh tam giác vuông, ta có tốn sau đây: Bài tốn 20 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TỐN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Người ta dự định xây bể chứa nước hình vẽ, phần hình trụ dùng để chứa nước, xung quanh khối bê tơng Hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao a , bề dày phần bê tông xung quanh đáy bể b Tính thể tích V khối bê tơng Phân tích: Cũng với ý tưởng toán trên, ta thay đổi đường sinh thành tam giác vng Bài tốn giải tích hóa hình ảnh đơn giản hình bên y C a a 2 Ta có: A ; R , C ; R b b a A B R b b AB : y R, AC : y x R a x O Khi thể tích khối bê tông: V a a b a b b b 2 x R R dx x R R x ab 3R b a a 2 3b a 2 a 2 Bài toán Một vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy 10 cm cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối gỗ nhỏ 21 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TỐN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Phân tích định hướng Đây tốn tính thể tích vật thể khơng có cơng thức tính sẵn Vậy biết có cách để tính nhờ áp dụng Tích phân Trước tiên ta cần chọn hệ trục Đối với khối trụ có hai cách thường chọn Trục Ox song song với đường cao vng góc với đường cao Vấn đề tìm diện tích S x thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox Hướng dẫn giải CÁCH Xét thiết diện mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy khối trụ hay bổ dọc hình nêm Ta chứng minh tốn tổng quát : Một vật thể có dạng khối trụ với bán kính đáy R cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc Ta phần cắt hình nêm loại 1có thể tích V R3 tan 22 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chứng minh Ta chọn hệ trục hình vẽ : Tâm đáy trùng gốc toạ độ, hai trục xOx yOy chứa hai đường kính vng góc đáy Khi đáy khối trụ hình tròn , phương trình đường tròn đáy x y R Nên hình nêm có đáy nửa đường tròn có phương trình y R x , x R; R Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, x R; R , cắt hình Nêm theo thiết diện tam giác PMN vng điểm N có góc MPN Rõ ràng PN y R x MN PN tan R2 x tan Thiết diện có diện tích S x 1 PN MN R x tan 2 R Suy thể tích cần tìm : V R 2 R S x dx tan R R x dx R x3 V tan R x dx tan R x R3 tan 0 R Áp dụng CT : V 2 R tan vào ta có : 2000 666, cm3 Thể tích khối gỗ nhỏ V 103 tan 45 3 CÁCH 23 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Gọi S x diện tích thiết diện mặt phẳng có phương vng góc với trục Ox Mặt phẳng cắt trục Ox điểm E Khi S x Shinh quat S HMN ( Hình quạt bán kính R 10 góc tâm 2 ) Ta có OE x EF x tan x HF R x 10 x cos HF 10 x 10 x arc cos HN 10 10 10 x 10 x S x 102.2arc cos 10 x 20.sin 100arc cos 10 x 20 x x 2 10 10 10 V 100arc cos 10 x 10 x 20 x x dx 666,7 cm3 phần thể tích cần tìm 10 Mở rộng kết toán cắt khối trụ mặt không qua tâm mặt đáy Bài tốn Một vật thể có dạng khối trụ với bán kính đáy R cắt khối trụ mặt phẳng tạo với đáy góc có giao tuyến với đáy dây cung AB 2a ( với a R ) Tính thể tích phần cắt 24 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Thật TRƯỜNG HỢP : Đáy hình nêm phần dây cung cung nhỏ AB hình vẽ, Chọn hệ trục , thiết diện vng góc với trục Ox cắt dây AB H Tương tự ta có : HN PN PH PN OI R x R a MHN MN HN tan R x R a tan tan S x 1 HN MN 2 S x R a x R x R a tan a V R2 x2 R2 a2 S x dx a a tan 2R a a x R x R a dx a V tan R a x R x R a dx TRƯỜNG HỢP : Đáy hình nêm phần dây cung cung lớn AB hình vẽ, 25 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN a Tương tự : V tan R a x R x R a dx Bài toán tương tự toán Bài toán [Nguyễn Việt Hải – CQT] Một cốc nước hình trụ bán kính R = 6cm Người ta đổ nước vào nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang góc 45 độ (Nhưhìnhvẽ) Tính thể tích nước cốc Hướng dẫn giải R OA OB OC OD 6cm , OM cm Giả sử I điểm nằm đoạn thẳng MA 26 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: gốc O tâm đường tròn đáy Ox OB , Oy đáy Mặt phẳng qua I vng góc với AB cắt khối cần tính theo thiết diện hình chữ nhật HEFG Khi đó: EH 2IH R xI2 36 x HG IJ OM xI x Nên diện tích SEHFG EH HG 36 x x với x 6;3 Nên ta tích cần tìm là: V 36 x x dx 6 Đặt x 6sin dx 6cos d Đổi cận x 6 , x V 2 36 36sin 6sin d 12cos 6sin d (36cos 36sin 2)d 36sin 18cos 2 75 Bài toán Gọi H phần giao hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích H Phân tích Tính thể tích hình bị giới hạn ta dùng ứng dụng tích phân 27 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Vì trục hai khối trụ vng góc với nên ta gắn tọa độ vào để tính Khi lấy mặt phẳng vng góc với trục hồnh cắt (H) thiết diện có hình vng có cạnh x (0 x a) a Tính diện tích thiết diện dùng cơng thức tích phân để tính: V( H ) S ( x)dx Hướng dẫn giải Dựng đứng hình lên chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi cắt (H) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 a2 thiết diện hình vng cạnh b Khi diện tích thiết diện là: S ( x) b2 a2 x a) , ta x2 x2 a a Thể tích hình (H) là: V( H ) a a2 S ( x)dx x dx a x x 2a (đợn vị thể tích) 3 Bài tốn Một nhà toán học muốn điêu khắc tượng đặc biệt có dạng “xoắn” cắt gọt từ khối đá hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có tất cạnh Biết tương có hai đáy tam giác ABC A ' B ' C ' đồng thời thiết diện tượng cắt mặt phẳng song song nằm hai đáy tam giác có ba đỉnh nằm 28 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN đường chéo AC ', CB ', BA ' Tính thể tích V tượng đá mà nhà toán học dự định điêu khắc Phân tích - Mơ hình tượng hình có dạng xoắn, khơng thuộc mơ hình khối đa diện thông thường nên không lựa chọn công cụ tính thể tích theo khối đa diện để giải cho tốn, phản xạ có điều kiện sử dụng cơng cụ tích phân ứng dụng tính thể tích - Khi định hướng sử dụng cơng cụ tích phân, ta thấy mơ hình tượng khơng phải tròn xoay, ta chọn việc ứng dụng tính thể tích vật thể từ định nghĩa - Đến xuất yêu cầu bản: lựa chọn hệ trục tọa độ, hai ứng với hệ trục tọa độ phải xây dựng cơng thức diện tích thiết diện b Việc lựa chọn trục, vận dụng V S ( x)dx cần hình dung trục Ox vng góc a với mặt thiết diện; ta có sẵn mặt thiết diện song song với hai đáy nên có việc định hướng trục Ox có phương chiều cao lăng trụ, chọn gốc tọa độ định hướng dựa số điểm đặc biệt Ta có số cách xây dựng hệ tọa độ xây dựng hàm diện tích thiết diện tương ứng Hướng dẫn giải + Thiết diện di chuyển từ mặt đáy ABC đến mặt đáy A’B’C’ với khoảng cách để tạo thành khối vật thể, có lựa chọn S ( x)dx Từ ta có định hướng chọn hệ trục Oxy hình vẽ + Tính trực tiếp S MNP cảm thấy có vướng tư kỹ tính tốn, lại thấy (MNP) || ( ABC ) nên chiếu vng góc MNP xuống đáy ABC M ' N ' P ' MNP việc tạo S ( x) SM ' N ' P ' thuận lợi 3 (3x 3x 1)dx S ( x) (3x 3x 1) Từ có thể tích khối vật thể V 29 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tốn 1.1 Cho vòng xuyến có đường kính d 2r , đường kính vòng tròn nhỏ D 2R Tính thể tích vòng xuyến NHẬN XÉT: Ruột xe vòng xuyến Bài tốn tổng quát Bài toán 1.2 Người ta dùng 18289mm3 vàng để làm vòng đeo cổ (chiếc kiềng) hình xuyến với đường kính mặt 2dm Tính gần (đến số nguyên) độ dày d (đường kính) vòng Bài tốn 1.3 Bạn A có cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính lòng đáy cốc 6cm , chiều cao lòng cốc 10cm đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc Bài tốn 1.4 Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 10m rộng 16m (như hình vẽ) 30 Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ============================Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài tốn 1.5 Một khối gỗ bán kính mặt đáy R = 1,5m chiều cao h = 5m (như hình vẽ) Người ta cưa khối gỗ điểm M theo mặt phẳng song song với trục hình trụ biết OM = 0,5m Tính tỉ số thể tích hai khối gỗ cắt V1: V2 31 ... =========================== =Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN PHÂN TÍCH ĐỊNH HƯỚNG CON ĐƯỜNG GIẢI BÀI TỐN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH y f ( x) Hình phẳng (H) giới hạn y x a; x b, (a b) b Diện tích. .. =========================== =Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Từng phần: b a b udv uv |ba vdu a NHẬN XÉT: Như tốn tích phân tốn ngun hàm chất cách làm tương tự Ví dụ Tính tích phân 1 x x 1... 24 e BÀI TẬP 14 18ln x dx x Nguyễn Việt Hải 0902601019 –THPT chuyên Quang Trung- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC =========================== =Bài giảng NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân