1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục

16 23 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 481,65 KB

Nội dung

Mục đích của nghiên cứu này nhằm làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thông khi giải các bài toán nguyên hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán ở trường phổ thông nói chung và giải các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng.

MỤC LỤC STT 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài 1.2. Mục đích nghiên cứu 1.3. Đối tượng nghiên cứu 1.4. Phương pháp nghiên cứu 2. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2. Thực trạng và giải pháp thực hiện 2.3. Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm 10 3.  KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 11 3.1. Kết luận 12 3.2. Kiến nghị 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài       Chúng ta đã biết dạy Tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh có  thể xem giải tốn là phương tiện chủ yếu của hoạt động tốn học. Dạy học  tốn đóng vai trị đặc biệt quan trọng trong dạy Tốn   trường phổ  thơng. Các bài tốn là phương tiện vơ cùng hiệu quả khơng gì thay thế được   trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư  duy, hình thành kỹ  năng, kỹ xảo. Hoạt động giải tốn là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích  khác của dạy học tốn. Do đó tổ chức tốt việc dạy giải Tốn có vai trị quyết  định đến chất lượng dạy học tốn      Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học tốn ở trường phổ thơng có lúc, có  chỗ cịn chưa được như  mong muốn, biểu hiện qua  năng lực giải Tốn của  học sinh  cịn  hạn chế  do học sinh cịn mắc nhiều sai lầm  Một trong  những ngun nhân quan trọng đó là giáo viên cịn chưa chú ý một cách đúng  mức tới việc phát hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường   gặp cho học sinh ngay trong các giờ  học Tốn. Chính vì vậy mà   học sinh   nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm      Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm  trước đây mà nay là kỳ thi THPT Quốc gia bài tốn Ngun hàm, Tích phân  tơi thiết nghĩ hầu như khơng thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT các bài  tốn ngun hàm, Tích phân là những bài tốn khó vì nó cần đến sự  áp dụng   linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính Ngun hàm, Tích  phân và một số kỹ năng khác. Trong thực tế nhiều học sinh tính một cách hết  sức máy móc đó là: tìm một ngun hàm của hàm số  cần tính tích phân rồi  dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp  tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến ngun hàm của hàm số  tìm được có phải là ngun hàm của hàm số  đó trên đoạn lấy tích phân hay   khơng?   Phép   đặt   biến       phương   pháp   đổi   biến   số   có   nghĩa   hay   khơng? Phép biến đổi hàm số  có tương đương hay khơng? Vì thế  trong q  trình giải bài tốn Ngun hàm, Tích phân học sinh thường mắc phải những  sai lầm đẫn đến lời giải sai. Qua thực tế  giảng dạy nhiều năm   trường  THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của học sinh trên nhiều chun   đề  Tốn học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành Giáo dục đang trên   đường “Đổi mới căn bản và tồn diện giáo dục phổ  thơng” như  hiện nay  tơi nhận thấy rõ những yếu điểm này của học sinh. Vì vậy, tơi mạnh dạn đề  xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến trong việc   giải bài tốn ngun hàm, tích phân và hướng khắc phục” 1.2. Mục đích nghiên cứu      Làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thơng khi giải   các bài tốn ngun hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm   đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Tốn ở trường phổ thơng nói  chung và giải các bài tốn ngun hàm, tích phân nói riêng 1.3. Đối tượng nghiên cứu          Qua nhiều năm  giảng dạy Tốn   trườ ng phổ  thơng cũng như   đọ c  nhiều tài liệu tốn học đặc biệt là đọc các tài liệu tốn học liên quan đến   ngun hàm, tích phân bản thân tơi nhận thấy c ần phải giúp các em học  sinh cũng như  giáo viên có cách nhìn sâu sắc, chắc chắn khi gi ải Tốn để  tránh những sai l ầm khi gi ải Tốn 1.4. Phương pháp nghiên cứu      Các phương pháp chủ yếu nghiên cứu trong sáng kiến này bao gồm: ­ Nghiên cứu lý luận: Lựa chọn các ví dụ cụ thể để phân tích các sai lầm của   học sinh, vận dụng năng lực tư  duy và kỹ  năng vận dụng kiến thức của học  sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng ­ Thực nghiệm sư phạm trên các lớp 12 của trường THPT Yên Định 1 2. NỘI DUNG  2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm          Căn cứ  vào bảng nguyên hàm thường gặp, phương pháp đổi biến số,  phương pháp từng phần sau đây: (Sách Giáo khoa Đại số lớp 12 – Nâng cao –  NXBGD hiện hành do Đoàn Quỳnh chủ biên) a) Bảng nguyên hàm thường gặp 0dx = C dx = x + C xα dx = xα + + C , (α α +1 − 1) dx = ln x + C x sin kx.dx = − coskx.dx = cos kx + C k sinkx + C k e kx dx = e kx + C k a x dx = ax +C ln a dx = tan x + C cos x dx = − cot x + C sin x b) Phương pháp đổi biến số f� u ( x) � u , ( x)dx = F [ u ( x) ] + C � � c) Phương pháp từng phần u ( x).v ( x)dx � , = u ( x )v ( x ) − � v( x)u , ( x)dx 2.2. Thực trạng và giải pháp thực hiện Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những sai   sót và bình luận về  những ngun nhân sai lầm thường xẩy ra và đưa ra  hướng khắc phục cho một số sai lầm đó: 2.2.1. Ví dụ 1. Tính I =  (3x + 2)3 dx a) Sai lầm thường gặp: (3x + 2) Ta có I =  (3x + 2)3 dx  =   + C 4 b) Nguyên nhân sai lầm:  Lời giải trên đã vận dụng công thức:  x n dx = xn + + C ,  với n n +1 Tuy nhiên trong trường hợp này phải đặt u = 3x + 2   du = 3dx c) Lời giải đúng: Ta có I =  (3x + 2)3 dx  =  (3x + 2) (3 x + 2)3 d (3 x + 2) =  + C 12 d) Một số bài tập tương tự: 1) Tính nguyên hàm I =  (5 x − 4)2015 dx 2)  Tính nguyên hàm I =  2(1 − x) 2014 dx 2.2.2.  Ví dụ 2. Tính I = ( x + 1)2 dx −2 a) Sai lầm thường gặp: dt dt  dt = 2(x + 1)dx  � dx = 2( x + 1) = t  t = 1  t = 1 Đặt t = (x + 1)2  Với x = ­ 2         x = 0     Khi đó I = I = ( x + 1)2 dx  =  −2 1 tdt = 0 21 b) Nguyên nhân sai lầm:  ­ Hàm số t = (x + 1)2 không phải là hàm số  đơn điệu trên [­ 2; 0] nên khơng  thể  đổi biến, đổi cận như  lời giải trên mà cần viết thành hai hàm số  đơn  điệu trước khi đổi biến dt dt ­ Lời giải trên cịn sai khi viết  dx = 2( x + 1) =   t Chỉ viết được x + 1 =  t , khi x   ­ 1 c) Lời giải đúng: −1 −2 −2 −1 ( x + 1) dx + � ( x + 1) dx Ta có I = ( x + 1)2 dx  =  � Sau đó từng tích phân trên chúng ta mới đổi biến * Chú ý. Cách giải trên chỉ  muốn đưa ra để  lưu ý tới việc đổi biến bị  sai  ở  trên. Chúng ta có thể giải theo cách khác tốt hơn sau: 0 ( x + 1)3 Cách 2. I = ( x + 1)2 dx  =  ( x + 1)2 d ( x + 1) =  −2 −2 −2 = d) Một số bài tập tương tự: 2.2.3. Ví dụ 3. Tính tích phân:   I =  dx ( x + 2) −3 a) Sai lầm thường gặp: 2 dx ( x + 2) −1 −2 ( x + 2) dx I =   =   =  ( x + 2) −1 −3 −3 −3 =  −5 b) Nguyên nhân sai lầm ­ Hàm số y =  ( x + 2)2  gián đoạn tại x = ­ 2 �[ −3; 2]  nên không thể  dùng công  thức Newton ­ Leidnitz như trên được c) Lời giải đúng Hàm số  y =  ( x + 2)2  không xác đị nh tại x = ­ 2 �[ −3; 2]  nên tích phân trên  khơng tồn t ại * Chú ý. Khi tính  b f ( x)dx  cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên  a; b   a khơng? Nếu có thì áp dụng các phương pháp đã học để  tính tích phân. Nếu  khơng liên tục thì kết luận ngay tích phân đó khơng tồn tại d) Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1)    I  =  dx x2 −1 2)    I  =  dx ( x − 2) 3)  I =  dx ( x − 1) 2015 4)    I  = x( x 1) dx 5)    I  = dx cos x 2.2.4. Ví dụ 4. Tính tích phân sau I =  x − x + dx a) Sai lầm thường gặp: I =  3 x − x + dx = �( x − ) dx = � ( x − 2) d ( x − 2) 2 ( x − 2) = 2 = 1 − =0 2 b) Nguyên nhân sai lầm ­ Nguyên nhân sai lầm   trên là do học sinh nắm không rõ phép đưa ra khỏi  dấu can bậc hai ­ Phép biến đổi  ( x − ) = x − ,  với x  [ 1;3]  là không tưng đương c) Lời giải đúng I =  x − x +  dx  3 1 x − d ( x − 2) = � [ − ( x − ) ]d ( x − ) + � ( x − 2) d ( x − 2)    = �( x − ) dx = � x − 2)    =  − ( 2 ( x − 2) + I =  2n f x 2n a 2 * Chú ý. Ta có  n f x b = 2n f x ,  n 1, n N b f x dx  ta phải xét dấu f(x) trên đoạn a; b  rồi dùng các tính  a chất của tích phân tách tích phân ban đầu thành tổng của hai tích phân khơng  chứa dấu giá trị tuyệt đối d) Một số bài tập tương tự: 1) I =  x2 6x dx 2)      I =  sin x dx; 3)      I =  x3 2x x  dx 4)      I =  x2 x2   dx 5)      I =  π π tan x + cot x − dx 2.2.5. Ví dụ 5. Tính tích phân: I =  dx sin x a) Sai lầm thường gặp: t2 2dt x Đặt  t = tan  thì dx =  ;  = t sin x (1 t ) 2dt dx = = 2(t 1) (1 t ) sin x −2 dx  I =   =  tan x + 1 sin x 2 d(t+1) =  t  + c −2 =  tan π + ­  tan + Do tan  khơng xác định nên tích phân trên khơng tồn tại b) Ngun nhân sai lầm x x Đặt t = tan ,  x 0;  tại x =   thì tan  khơng có nghĩa c) Lời giải đúng �x π � d� − � dx dx π 4� �x π � �−π =� � = tan � − �π0 = tan − tan � I =   =  � π�0 x π� sin x 2� �2 � �4 0 + cos � �x − � cos �2 − � � � � � π π � �= � * Chú ý. Đối với phương pháp đổi biến số  khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là  hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên  a; b d) Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1) I  = dx sin x 2)    I  = dx cos x x2 dx 2.2.6. Ví dụ 6. Tính tích phân sau I =  x a) Sai lầm thường gặp: I =  1 x2 x2 x 1 x2 1 x x dx 2 x Đặt t = x+ dt dx x2 Đổi cận: Với x = ­1 thì t = ­2;                 Với x =1 thì t =2 I = 2 dt t   = ln  = ( 2 2 1 t ln t 2 2 )dt = (ln t ln 2 2 ­ ln t 2) 2 ln t t 2 b) Nguyên nhân sai lầm x 1 x4 x2 1 x2 x  là sai vì trên đoạn  [ −1; 1]  chứa x = 0 nên khơng thể chia cả tử  và mẫu cho x = 0 được c) Lời giải đúng Xét hàm số F(x) =                     F’(x) =  Do đó I =  2 2 ln x2 x 2 x x (ln   x2 x 2 x x x2 1 x2 dx ln =  x4 2 x2 11 x2 x4 ) x x 1 1 1 ln 2 2 * Chú ý. Khi tính tích phân mà chia cả  tử  và mẫu cho x cần để  ý rằng trên   đoạn lấy tích phân đó phải khơng chứa điểm x = 0 2.2.7. Ví dụ 7. Tính tích phân  I =  x3 x2 dx a) Sai lầm thường gặp: Đạt x= sint   dx = costdt Khi đó I =  x3 x2 dx sin t dt cos t 10 Đổi cận: với x = 0 thì t = 0             Với x =   thì t = ? b) Ngun nhân sai lầm Khi gặp tích phân của hàm chứa x  thì thường đặt x = sint nhưng đối với  tích phân này gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể với x = nhưng khơng tìm được  chính xác t bằng bao nhiêu? c) Lời giải đúng Đặt t =  x dt =  x x2 dx tdt xdx Đổi cận: với  x = 0 thì t = 1;                với x =   thì t =  Khi đó  I = x3 x                = 15 2 15 dx t tdt t 15 t dt t t3 15 15 15 15 192 33 15 192 * Chú ý.  Khi g ặp tích phân của hàm số  ch ứa   x   thì thườ ng đặ t x =  sint hoặc g ặp tích phân củ a hàm số  ch ứa 1 + x 2 thì th ườ ng đặ t x = tant,  nhưng c ần chú ý đến cậ n của tích phân đó. Nế u cậ n là giá trị  lượ ng giác  củ a góc đặ c biệt thì mớ i ch ọn làm theo ph ươ ng pháp này, cịn nế u khơng  thì phải ch ọn ph ươ ng pháp khác d) Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1)   I =  2)    I =  x3 x2 dx                                               dx x x2 11 2.3. Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm 2.3.1. Hiệu quả thực tiễn        Trong q trình giảng dạy tốn   trường phổ  thơng đặc biệt là khi dạy   học sinh giải các bài tốn ngun hàm, tích phân ban đầu học sinh gặp khó  khăn, lúng túng đối với các bài tốn như  đã nêu trên. Tuy nhiên sau khi được   thầy giáo chỉ rõ những sai lầm thường gặp, phân tích tỉ mỉ, cẩn thận để chọn   lựa phương pháp phù hợp, hướng các em học sinh đi đến lời giải đúng      Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và u cầu các em học sinh giải cẩn   thận một số bài tốn ngun hàm, tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích lớp  12 và một số bài tốn trong các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần  đây các em đã thận trong hơn khi đi tìm và trình bày lời giải và đã giải khơng  những được mà cịn rất tốt về  số  lượng và chất lượng lớn các bài tập về  ngun hàm, tích phân 2.3.2. Hiệu quả thực nghiệm         Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2014 – 2015 tại trường THPT   n Định 1. Bài kiểm tra trên hai đối tượng học sinh là lớp 12A7(có 44 học   sinh) khơng áp dụng sáng kiến này; lớp 12A6 (có 43 học sinh) áp dụng sáng   kiến này cho kết quả như sau:                      Xếp   Giỏi Khá Tb Yêú loại Đối tượng 12A6 25,5% 44% 30,5% 0% 12A7 10,5% 19,5% 65% 5%      Sau khi triễn khai thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực, hứng thú   đặc biệt là khi giải bài tốn ngun hàm, tích phân, các em giải tốn ngun  hàm, tích phân rất thận trọng và hiểu rõ bản chất của vấn đề chứ  khơng rập  khn một cách máy móc như  trước kia. Đó là việc thực hiện phát huy tính   tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh 12 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận      Sáng kiến tập trung nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải bài   tốn ngun hàm, tích phân có ý nghĩa quan trọng trong q trình dạy – học vì  khi áp dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được điểm yếu, những   hiểu biết chưa thực sự thấu đáo của bản thân. Từ  đó các em học sinh có thể  phát huy được tính chủ động, độc lập sáng tạo, năng lực tư duy, suy nghĩ sáng   tạo, trau rồi thêm kiến thức về  ngun hàm, tích phân từ  đó làm chủ  được  kiến thức, đạt được kết quả  cao trong q trình học tập để  chuẩn bị  hành  trang kiến thức để các em học sinh tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia đạt  kết quả cao trong thời kỳ đẩy mạnh việc “Đổi mới căn bản và tồn diện Giáo  Dục phổ thơng” như hiện nay 3.2. Kiến nghị      Hiện nay trường THPT n Định 1 đẵ  có một số  sáng kiến kinh nghiệm  mà chúng tơi đẵ  nghiên cứu trong một số năm gần đây, có một số  sách tham   khảo. Tuy nhiên sách tham khảo viết về những sai lầm trong các chủ đề tốn  học cịn hạn chế, chưa nhiều. Vì vậy, nhà trường cần quan tâm hơn nữ trong  việc trang bị  thêm các tài liệu tham khảo đặc biệt là các tài liệu viết về  sai   lầm thường gặp trong giải tốn      Việc học sinh đọc các tài liệu viết về sai lầm khi giải tốn cịn hạn chế.  Do đó nhà trường cần tun truyền, tổ  Tốn cần có những buổi ngoại khố  tun truyền để  học sinh hiểu thêm, từ  đó các em chủ  động đến thư  viện,  13 mua thêm tài liệu đọc để  góp phần thêm, trang bị  thêm kiến thức tốn học   phổ thơng cho bản thân. Từ đó các em tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm          thân   tự   làm,   không   sao  chép của người khác Yên Định, ngày 26 tháng 5 năm 2016 Người viết SKKN Xác nhận của BGH trường THPT Yên Định 1       Thiều Thanh Hải …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Giải tích 12  (NXBGD – 2008) 2. Sách giáo khoa Giải tích 12  (NXBGD – 2000) 3. Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Hun – Trần Chí Trung –   NXBGD) 4. Phương pháp giải tốn Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB   Hà Nội ­ 2005) 14 5. Sai lầm ph ổ  bi ến khi gi ải toán  (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất –   NXBGD – 2003) 6. Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán  (Trần Phương và Nguyễn   Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) 1. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 15 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………… 2. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 16 ... xuất? ?sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm với đề tài: ? ?Một? ?số? ?sai? ?lầm? ?phổ? ?biến? ?trong? ?việc   giải? ?bài? ?tốn ngun? ?hàm,? ?tích? ?phân? ?và? ?hướng? ?khắc? ?phục? ?? 1.2. Mục đích nghiên cứu      Làm? ?sáng? ?tỏ? ?và? ?nhắc? ?phục? ?những? ?sai? ?lầm? ?của học sinh? ?phổ? ?thơng khi? ?giải   các? ?bài? ?tốn ngun? ?hàm,? ?tích? ?phân,  từ đó đề ra? ?hướng? ?khắc? ?phục? ?các? ?sai? ?lầm. .. thận? ?một? ?số? ?bài? ?tốn ngun? ?hàm,? ?tích? ?phân? ?trong? ?sách giáo khoa? ?Giải? ?Tích? ?lớp  12? ?và? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?trong? ?các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần  đây các em đã thận? ?trong? ?hơn khi đi tìm? ?và? ?trình bày lời? ?giải? ?và? ?đã? ?giải? ?khơng ... Sau đây? ?sáng? ?kiến? ?xin đưa ra? ?một? ?số? ?ví dụ cụ thể? ?trong? ?đó có chỉ ra những? ?sai   sót? ?và? ?bình luận về  những ngun nhân? ?sai? ?lầm? ?thường xẩy ra? ?và? ?đưa ra  hướng? ?khắc? ?phục? ?cho? ?một? ?số? ?sai? ?lầm? ?đó: 2.2.1. Ví dụ 1. Tính I = 

Ngày đăng: 27/10/2020, 13:58

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w