Mục đích của nghiên cứu này nhằm làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thông khi giải các bài toán nguyên hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán ở trường phổ thông nói chung và giải các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng.
MỤC LỤC STT 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài 1.2. Mục đích nghiên cứu 1.3. Đối tượng nghiên cứu 1.4. Phương pháp nghiên cứu 2. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2. Thực trạng và giải pháp thực hiện 2.3. Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm 10 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 11 3.1. Kết luận 12 3.2. Kiến nghị 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đã biết dạy Tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh có thể xem giải tốn là phương tiện chủ yếu của hoạt động tốn học. Dạy học tốn đóng vai trị đặc biệt quan trọng trong dạy Tốn trường phổ thơng. Các bài tốn là phương tiện vơ cùng hiệu quả khơng gì thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải tốn là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học tốn. Do đó tổ chức tốt việc dạy giải Tốn có vai trị quyết định đến chất lượng dạy học tốn Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học tốn ở trường phổ thơng có lúc, có chỗ cịn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Tốn của học sinh cịn hạn chế do học sinh cịn mắc nhiều sai lầm Một trong những ngun nhân quan trọng đó là giáo viên cịn chưa chú ý một cách đúng mức tới việc phát hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh ngay trong các giờ học Tốn. Chính vì vậy mà học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm trước đây mà nay là kỳ thi THPT Quốc gia bài tốn Ngun hàm, Tích phân tơi thiết nghĩ hầu như khơng thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT các bài tốn ngun hàm, Tích phân là những bài tốn khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính Ngun hàm, Tích phân và một số kỹ năng khác. Trong thực tế nhiều học sinh tính một cách hết sức máy móc đó là: tìm một ngun hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến ngun hàm của hàm số tìm được có phải là ngun hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa hay khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương hay khơng? Vì thế trong q trình giải bài tốn Ngun hàm, Tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của học sinh trên nhiều chun đề Tốn học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và tồn diện giáo dục phổ thơng” như hiện nay tơi nhận thấy rõ những yếu điểm này của học sinh. Vì vậy, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài tốn ngun hàm, tích phân và hướng khắc phục” 1.2. Mục đích nghiên cứu Làm sáng tỏ và nhắc phục những sai lầm của học sinh phổ thơng khi giải các bài tốn ngun hàm, tích phân, từ đó đề ra hướng khắc phục các sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Tốn ở trường phổ thơng nói chung và giải các bài tốn ngun hàm, tích phân nói riêng 1.3. Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy Tốn trườ ng phổ thơng cũng như đọ c nhiều tài liệu tốn học đặc biệt là đọc các tài liệu tốn học liên quan đến ngun hàm, tích phân bản thân tơi nhận thấy c ần phải giúp các em học sinh cũng như giáo viên có cách nhìn sâu sắc, chắc chắn khi gi ải Tốn để tránh những sai l ầm khi gi ải Tốn 1.4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp chủ yếu nghiên cứu trong sáng kiến này bao gồm: Nghiên cứu lý luận: Lựa chọn các ví dụ cụ thể để phân tích các sai lầm của học sinh, vận dụng năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng Thực nghiệm sư phạm trên các lớp 12 của trường THPT Yên Định 1 2. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Căn cứ vào bảng nguyên hàm thường gặp, phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần sau đây: (Sách Giáo khoa Đại số lớp 12 – Nâng cao – NXBGD hiện hành do Đoàn Quỳnh chủ biên) a) Bảng nguyên hàm thường gặp 0dx = C dx = x + C xα dx = xα + + C , (α α +1 − 1) dx = ln x + C x sin kx.dx = − coskx.dx = cos kx + C k sinkx + C k e kx dx = e kx + C k a x dx = ax +C ln a dx = tan x + C cos x dx = − cot x + C sin x b) Phương pháp đổi biến số f� u ( x) � u , ( x)dx = F [ u ( x) ] + C � � c) Phương pháp từng phần u ( x).v ( x)dx � , = u ( x )v ( x ) − � v( x)u , ( x)dx 2.2. Thực trạng và giải pháp thực hiện Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những sai sót và bình luận về những ngun nhân sai lầm thường xẩy ra và đưa ra hướng khắc phục cho một số sai lầm đó: 2.2.1. Ví dụ 1. Tính I = (3x + 2)3 dx a) Sai lầm thường gặp: (3x + 2) Ta có I = (3x + 2)3 dx = + C 4 b) Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên đã vận dụng công thức: x n dx = xn + + C , với n n +1 Tuy nhiên trong trường hợp này phải đặt u = 3x + 2 du = 3dx c) Lời giải đúng: Ta có I = (3x + 2)3 dx = (3x + 2) (3 x + 2)3 d (3 x + 2) = + C 12 d) Một số bài tập tương tự: 1) Tính nguyên hàm I = (5 x − 4)2015 dx 2) Tính nguyên hàm I = 2(1 − x) 2014 dx 2.2.2. Ví dụ 2. Tính I = ( x + 1)2 dx −2 a) Sai lầm thường gặp: dt dt dt = 2(x + 1)dx � dx = 2( x + 1) = t t = 1 t = 1 Đặt t = (x + 1)2 Với x = 2 x = 0 Khi đó I = I = ( x + 1)2 dx = −2 1 tdt = 0 21 b) Nguyên nhân sai lầm: Hàm số t = (x + 1)2 không phải là hàm số đơn điệu trên [ 2; 0] nên khơng thể đổi biến, đổi cận như lời giải trên mà cần viết thành hai hàm số đơn điệu trước khi đổi biến dt dt Lời giải trên cịn sai khi viết dx = 2( x + 1) = t Chỉ viết được x + 1 = t , khi x 1 c) Lời giải đúng: −1 −2 −2 −1 ( x + 1) dx + � ( x + 1) dx Ta có I = ( x + 1)2 dx = � Sau đó từng tích phân trên chúng ta mới đổi biến * Chú ý. Cách giải trên chỉ muốn đưa ra để lưu ý tới việc đổi biến bị sai ở trên. Chúng ta có thể giải theo cách khác tốt hơn sau: 0 ( x + 1)3 Cách 2. I = ( x + 1)2 dx = ( x + 1)2 d ( x + 1) = −2 −2 −2 = d) Một số bài tập tương tự: 2.2.3. Ví dụ 3. Tính tích phân: I = dx ( x + 2) −3 a) Sai lầm thường gặp: 2 dx ( x + 2) −1 −2 ( x + 2) dx I = = = ( x + 2) −1 −3 −3 −3 = −5 b) Nguyên nhân sai lầm Hàm số y = ( x + 2)2 gián đoạn tại x = 2 �[ −3; 2] nên không thể dùng công thức Newton Leidnitz như trên được c) Lời giải đúng Hàm số y = ( x + 2)2 không xác đị nh tại x = 2 �[ −3; 2] nên tích phân trên khơng tồn t ại * Chú ý. Khi tính b f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên a; b a khơng? Nếu có thì áp dụng các phương pháp đã học để tính tích phân. Nếu khơng liên tục thì kết luận ngay tích phân đó khơng tồn tại d) Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1) I = dx x2 −1 2) I = dx ( x − 2) 3) I = dx ( x − 1) 2015 4) I = x( x 1) dx 5) I = dx cos x 2.2.4. Ví dụ 4. Tính tích phân sau I = x − x + dx a) Sai lầm thường gặp: I = 3 x − x + dx = �( x − ) dx = � ( x − 2) d ( x − 2) 2 ( x − 2) = 2 = 1 − =0 2 b) Nguyên nhân sai lầm Nguyên nhân sai lầm trên là do học sinh nắm không rõ phép đưa ra khỏi dấu can bậc hai Phép biến đổi ( x − ) = x − , với x [ 1;3] là không tưng đương c) Lời giải đúng I = x − x + dx 3 1 x − d ( x − 2) = � [ − ( x − ) ]d ( x − ) + � ( x − 2) d ( x − 2) = �( x − ) dx = � x − 2) = − ( 2 ( x − 2) + I = 2n f x 2n a 2 * Chú ý. Ta có n f x b = 2n f x , n 1, n N b f x dx ta phải xét dấu f(x) trên đoạn a; b rồi dùng các tính a chất của tích phân tách tích phân ban đầu thành tổng của hai tích phân khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối d) Một số bài tập tương tự: 1) I = x2 6x dx 2) I = sin x dx; 3) I = x3 2x x dx 4) I = x2 x2 dx 5) I = π π tan x + cot x − dx 2.2.5. Ví dụ 5. Tính tích phân: I = dx sin x a) Sai lầm thường gặp: t2 2dt x Đặt t = tan thì dx = ; = t sin x (1 t ) 2dt dx = = 2(t 1) (1 t ) sin x −2 dx I = = tan x + 1 sin x 2 d(t+1) = t + c −2 = tan π + tan + Do tan khơng xác định nên tích phân trên khơng tồn tại b) Ngun nhân sai lầm x x Đặt t = tan , x 0; tại x = thì tan khơng có nghĩa c) Lời giải đúng �x π � d� − � dx dx π 4� �x π � �−π =� � = tan � − �π0 = tan − tan � I = = � π�0 x π� sin x 2� �2 � �4 0 + cos � �x − � cos �2 − � � � � � π π � �= � * Chú ý. Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên a; b d) Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1) I = dx sin x 2) I = dx cos x x2 dx 2.2.6. Ví dụ 6. Tính tích phân sau I = x a) Sai lầm thường gặp: I = 1 x2 x2 x 1 x2 1 x x dx 2 x Đặt t = x+ dt dx x2 Đổi cận: Với x = 1 thì t = 2; Với x =1 thì t =2 I = 2 dt t = ln = ( 2 2 1 t ln t 2 2 )dt = (ln t ln 2 2 ln t 2) 2 ln t t 2 b) Nguyên nhân sai lầm x 1 x4 x2 1 x2 x là sai vì trên đoạn [ −1; 1] chứa x = 0 nên khơng thể chia cả tử và mẫu cho x = 0 được c) Lời giải đúng Xét hàm số F(x) = F’(x) = Do đó I = 2 2 ln x2 x 2 x x (ln x2 x 2 x x x2 1 x2 dx ln = x4 2 x2 11 x2 x4 ) x x 1 1 1 ln 2 2 * Chú ý. Khi tính tích phân mà chia cả tử và mẫu cho x cần để ý rằng trên đoạn lấy tích phân đó phải khơng chứa điểm x = 0 2.2.7. Ví dụ 7. Tính tích phân I = x3 x2 dx a) Sai lầm thường gặp: Đạt x= sint dx = costdt Khi đó I = x3 x2 dx sin t dt cos t 10 Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 Với x = thì t = ? b) Ngun nhân sai lầm Khi gặp tích phân của hàm chứa x thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể với x = nhưng khơng tìm được chính xác t bằng bao nhiêu? c) Lời giải đúng Đặt t = x dt = x x2 dx tdt xdx Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = Khi đó I = x3 x = 15 2 15 dx t tdt t 15 t dt t t3 15 15 15 15 192 33 15 192 * Chú ý. Khi g ặp tích phân của hàm số ch ứa x thì thườ ng đặ t x = sint hoặc g ặp tích phân củ a hàm số ch ứa 1 + x 2 thì th ườ ng đặ t x = tant, nhưng c ần chú ý đến cậ n của tích phân đó. Nế u cậ n là giá trị lượ ng giác củ a góc đặ c biệt thì mớ i ch ọn làm theo ph ươ ng pháp này, cịn nế u khơng thì phải ch ọn ph ươ ng pháp khác d) Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân sau: 1) I = 2) I = x3 x2 dx dx x x2 11 2.3. Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm 2.3.1. Hiệu quả thực tiễn Trong q trình giảng dạy tốn trường phổ thơng đặc biệt là khi dạy học sinh giải các bài tốn ngun hàm, tích phân ban đầu học sinh gặp khó khăn, lúng túng đối với các bài tốn như đã nêu trên. Tuy nhiên sau khi được thầy giáo chỉ rõ những sai lầm thường gặp, phân tích tỉ mỉ, cẩn thận để chọn lựa phương pháp phù hợp, hướng các em học sinh đi đến lời giải đúng Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và u cầu các em học sinh giải cẩn thận một số bài tốn ngun hàm, tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích lớp 12 và một số bài tốn trong các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần đây các em đã thận trong hơn khi đi tìm và trình bày lời giải và đã giải khơng những được mà cịn rất tốt về số lượng và chất lượng lớn các bài tập về ngun hàm, tích phân 2.3.2. Hiệu quả thực nghiệm Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2014 – 2015 tại trường THPT n Định 1. Bài kiểm tra trên hai đối tượng học sinh là lớp 12A7(có 44 học sinh) khơng áp dụng sáng kiến này; lớp 12A6 (có 43 học sinh) áp dụng sáng kiến này cho kết quả như sau: Xếp Giỏi Khá Tb Yêú loại Đối tượng 12A6 25,5% 44% 30,5% 0% 12A7 10,5% 19,5% 65% 5% Sau khi triễn khai thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực, hứng thú đặc biệt là khi giải bài tốn ngun hàm, tích phân, các em giải tốn ngun hàm, tích phân rất thận trọng và hiểu rõ bản chất của vấn đề chứ khơng rập khn một cách máy móc như trước kia. Đó là việc thực hiện phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh 12 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận Sáng kiến tập trung nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải bài tốn ngun hàm, tích phân có ý nghĩa quan trọng trong q trình dạy – học vì khi áp dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được điểm yếu, những hiểu biết chưa thực sự thấu đáo của bản thân. Từ đó các em học sinh có thể phát huy được tính chủ động, độc lập sáng tạo, năng lực tư duy, suy nghĩ sáng tạo, trau rồi thêm kiến thức về ngun hàm, tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong q trình học tập để chuẩn bị hành trang kiến thức để các em học sinh tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao trong thời kỳ đẩy mạnh việc “Đổi mới căn bản và tồn diện Giáo Dục phổ thơng” như hiện nay 3.2. Kiến nghị Hiện nay trường THPT n Định 1 đẵ có một số sáng kiến kinh nghiệm mà chúng tơi đẵ nghiên cứu trong một số năm gần đây, có một số sách tham khảo. Tuy nhiên sách tham khảo viết về những sai lầm trong các chủ đề tốn học cịn hạn chế, chưa nhiều. Vì vậy, nhà trường cần quan tâm hơn nữ trong việc trang bị thêm các tài liệu tham khảo đặc biệt là các tài liệu viết về sai lầm thường gặp trong giải tốn Việc học sinh đọc các tài liệu viết về sai lầm khi giải tốn cịn hạn chế. Do đó nhà trường cần tun truyền, tổ Tốn cần có những buổi ngoại khố tun truyền để học sinh hiểu thêm, từ đó các em chủ động đến thư viện, 13 mua thêm tài liệu đọc để góp phần thêm, trang bị thêm kiến thức tốn học phổ thơng cho bản thân. Từ đó các em tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm thân tự làm, không sao chép của người khác Yên Định, ngày 26 tháng 5 năm 2016 Người viết SKKN Xác nhận của BGH trường THPT Yên Định 1 Thiều Thanh Hải …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Giải tích 12 (NXBGD – 2008) 2. Sách giáo khoa Giải tích 12 (NXBGD – 2000) 3. Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Hun – Trần Chí Trung – NXBGD) 4. Phương pháp giải tốn Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội 2005) 14 5. Sai lầm ph ổ bi ến khi gi ải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – NXBGD – 2003) 6. Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán (Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) 1. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 15 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………… 2. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 16 ... xuất? ?sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm với đề tài: ? ?Một? ?số? ?sai? ?lầm? ?phổ? ?biến? ?trong? ?việc giải? ?bài? ?tốn ngun? ?hàm,? ?tích? ?phân? ?và? ?hướng? ?khắc? ?phục? ?? 1.2. Mục đích nghiên cứu Làm? ?sáng? ?tỏ? ?và? ?nhắc? ?phục? ?những? ?sai? ?lầm? ?của học sinh? ?phổ? ?thơng khi? ?giải các? ?bài? ?tốn ngun? ?hàm,? ?tích? ?phân, từ đó đề ra? ?hướng? ?khắc? ?phục? ?các? ?sai? ?lầm. .. thận? ?một? ?số? ?bài? ?tốn ngun? ?hàm,? ?tích? ?phân? ?trong? ?sách giáo khoa? ?Giải? ?Tích? ?lớp 12? ?và? ?một? ?số? ?bài? ?tốn? ?trong? ?các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần đây các em đã thận? ?trong? ?hơn khi đi tìm? ?và? ?trình bày lời? ?giải? ?và? ?đã? ?giải? ?khơng ... Sau đây? ?sáng? ?kiến? ?xin đưa ra? ?một? ?số? ?ví dụ cụ thể? ?trong? ?đó có chỉ ra những? ?sai sót? ?và? ?bình luận về những ngun nhân? ?sai? ?lầm? ?thường xẩy ra? ?và? ?đưa ra hướng? ?khắc? ?phục? ?cho? ?một? ?số? ?sai? ?lầm? ?đó: 2.2.1. Ví dụ 1. Tính I =