Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục

MỤC LỤC STT 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng giải pháp thực 2.3 Hiệu sang kiến kinh nghiệm 10 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 11 3.1 Kết luận 12 3.2 Kiến nghị 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chúng ta biết dạy Toán dạy hoạt động toán học Đối với học sinh xem giải toán phương tiện chủ yếu hoạt động toán học Dạy học toán đóng vai trò đặc biệt quan trọng dạy Toán trường phổ thông Các toán phương tiện vô hiệu không thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học toán Do tổ chức tốt việc dạy giải Toán có vai trò định đến chất lượng dạy học toán Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán trường phổ thông có lúc, có chỗ chưa mong muốn, biểu qua lực giải Toán học sinh hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mức tới việc phát sai lầm uốn nắn, sửa chữa sai lầm thường gặp cho học sinh học Toán Chính mà học sinh nhiều sai lầm nối tiếp sai lầm Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN năm trước mà kỳ thi THPT Quốc gia toán Nguyên hàm, Tích phân thiết nghĩ thiếu, học sinh THPT toán nguyên hàm, Tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính Nguyên hàm, Tích phân số kỹ khác Trong thực tế nhiều học sinh tính cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa hay không? Phép biến đổi hàm số có tương đương hay không? Vì trình giải toán Nguyên hàm, Tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm đẫn đến lời giải sai Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường THPT nhiều năm nghiên cứu sai lầm học sinh nhiều chuyên đề Toán học khác giai đoạn ngành Giáo dục đường “Đổi toàn diện giáo dục phổ thông” nhận thấy rõ yếu điểm học sinh Vì vậy, mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến việc giải toán nguyên hàm, tích phân hướng khắc phục” 1.2 Mục đích nghiên cứu Làm sáng tỏ nhắc phục sai lầm học sinh phổ thông giải toán nguyên hàm, tích phân, từ đề hướng khắc phục sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán trường phổ thông nói chung giải toán nguyên hàm, tích phân nói riêng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy Toán trường phổ thông đọc nhiều tài liệu toán học đặc biệt đọc tài liệu toán học liên quan đến nguyên hàm, tích phân thân nhận thấy cần phải giúp em học sinh giáo viên có cách nhìn sâu sắc, chắn giải Toán để tránh sai lầm giải Toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp chủ yếu nghiên cứu sáng kiến bao gồm: - Nghiên cứu lý luận: Lựa chọn ví dụ cụ thể để phân tích sai lầm học sinh, vận dụng lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải - Thực nghiệm sư phạm lớp 12 trường THPT Yên Định NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Căn vào bảng nguyên hàm thường gặp, phương pháp đổi biến số, phương pháp phần sau đây: (Sách Giáo khoa Đại số lớp 12 – Nâng cao – NXBGD hành Đoàn Quỳnh chủ biên) a) Bảng nguyên hàm thường gặp ∫ 0dx ∫ dx = C = x +C xα + ∫ x dx = α + + C , (α ≠ − 1) α ∫ dx = ln x + C x ∫ sin kx.dx = − ∫ coskx.dx = cos kx + C k sinkx + C k kx ∫ e dx = e kx + C k x ∫ a dx = ax +C ln a ∫ cos x ∫ sin x dx = tan x + C dx = − cot x + C b) Phương pháp đổi biến số ∫ f u ( x )  u ( x)dx , = F [ u ( x)] + C c) Phương pháp phần ∫ u( x).v ( x)dx , = u ( x )v( x) − ∫ v( x)u , ( x )dx 2.2 Thực trạng giải pháp thực Sau sáng kiến xin đưa số ví dụ cụ thể có sai sót bình luận nguyên nhân sai lầm thường xẩy đưa hướng khắc phục cho số sai lầm đó: 2.2.1 Ví dụ Tính I = ∫ (3x + 2) dx a) Sai lầm thường gặp: (3x + 2) Ta có I = ∫ (3x + 2) dx = + C b) Nguyên nhân sai lầm: xn + + C , với n ≠ n +1 Tuy nhiên trường hợp phải đặt u = 3x + ⇒ du = 3dx n Lời giải vận dụng công thức: ∫ x dx = c) Lời giải đúng: Ta có I = ∫ (3x + 2) dx = (3x + 2) (3 x + 2) d (3 x + 2) = + C 3∫ 12 d) Một số tập tương tự: 2015 1) Tính nguyên hàm I = ∫ (5 x − 4) dx 2014 2) Tính nguyên hàm I = ∫ 2(1 − x) dx 2.2.2 Ví dụ Tính I = ∫ ( x + 1)2 dx −2 a) Sai lầm thường gặp: dt dt Đặt t = (x + 1)2 ⇒ dt = 2(x + 1)dx ⇒ dx = 2( x + 1) = t Với x = - ⇒ t = x = ⇒ t = 1 Khi I = I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ tdt = 21 −2 b) Nguyên nhân sai lầm: - Hàm số t = (x + 1) hàm số đơn điệu [- 2; 0] nên đổi biến, đổi cận lời giải mà cần viết thành hai hàm số đơn điệu trước đổi biến dt dt - Lời giải sai viết dx = 2( x + 1) = t Chỉ viết x + = t , x ≥ - c) Lời giải đúng: Ta có I = ∫ ( x + 1) dx = −2 −1 ∫ ( x + 1) dx + −2 ∫ ( x + 1) dx −1 Sau tích phân đổi biến * Chú ý Cách giải muốn đưa để lưu ý tới việc đổi biến bị sai Chúng ta giải theo cách khác tốt sau: Cách I = ∫ ( x + 1) dx = −2 ( x + 1)3 ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = −2 −2 = d) Một số tập tương tự: 2.2.3 Ví dụ Tính tích phân: I = dx ∫ ( x + 2) −3 a) Sai lầm thường gặp: dx I = ∫ ( x + 2) = −3 −2 ∫ ( x + 2) dx = −3 ( x + 2) −1 −1 −3 = −5 b) Nguyên nhân sai lầm - Hàm số y = ( x + 2)2 gián đoạn x = - ∈ [ −3; 2] nên dùng công thức Newton - Leidnitz c) Lời giải Hàm số y = ( x + 2)2 không xác định x = - ∈ [ −3; 2] nên tích phân không tồn b * Chú ý Khi tính ∫ f ( x)dx cần ý xem hàm số y = f(x) có liên tục [ a; b] a không? Nếu có áp dụng phương pháp học để tính tích phân Nếu không liên tục kết luận tích phân không tồn d) Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1) dx ∫x I = −1 2) I = dx ∫ ( x − 2) 3) I = dx ∫ ( x − 1) 2015 I = ∫ x( x − 1) dx 4) −2 π 5) I =∫ dx cos x 2.2.4 Ví dụ Tính tích phân sau I = ∫ x − x + dx a) Sai lầm thường gặp: I= ∫ ( x − 2) x − x + dx = ∫ 2 dx = ∫ ( x − ) d ( x − ) = ( x − 2) 2 = 1 − =0 2 b) Nguyên nhân sai lầm - Nguyên nhân sai lầm học sinh nắm không rõ phép đưa khỏi dấu can bậc hai - Phép biến đổi ( x − ) = x − , với x ∈ [ 1;3] không tưng đương c) Lời giải I= ∫ x − x + dx 3 1 = ∫ ( x − ) dx = ∫ x − d ( x − ) = ∫ [− ( x − ) ]d ( x − ) + ∫ ( x − ) d ( x − ) x − 2) =−( 2 * Chú ý Ta có ( x − 2) + 2n ( f ( x ) ) 2n = = f ( x ) , ( n ≥ 1, n ∈ N ) b I= ∫ ( f ( x) ) 2n a 2n b = ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu f(x) đoạn [ a; b] dùng tính a chất tích phân tách tích phân ban đầu thành tổng hai tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối d) Một số tập tương tự: ∫ 1) I = x − 6x + dx π 2) I= ∫ − sin x dx; 3) I= ∫ x − x + x dx    x + −  dx x   4) I= ∫ π 5) I= ∫ π tan x + cot x − dx π 2.2.5 Ví dụ Tính tích phân: I = dx ∫ + sin x a) Sai lầm thường gặp: 2dt 1+ t2 x Đặt t = tan dx = ; = + t + sin x (1 + t ) 2 ⇒ 2dt dx ∫ + sin x = ∫ (1 + t ) ⇒ I= Do tan = ∫ 2(t + 1) −2 d(t+1) = −2 dx ∫0 + sin x = tan x + π π +c t +1 −2 = tan π + tan + π không xác định nên tích phân không tồn b) Nguyên nhân sai lầm x x Đặt t = tan , x∈ [ 0; π ] x = π tan nghĩa 2 c) Lời giải x π  d − ÷ dx dx π  −π   = tan  x − π  π =∫ − tan  I= ∫ =∫ = tan  ÷ π + sin x x π 2 4  0 + cos  x − cos  − ÷  ÷ 2  2 4 π π π  ÷=  * Chú ý Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] d) Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π 1) I = ∫ dx sin x π dx + cos x I =∫ 2) 2.2.6 Ví dụ Tính tích phân sau I = x2 −1 ∫ dx −1 + x a) Sai lầm thường gặp:   1 −  x   x = dx I= ∫ ∫ 2   −1 − +x x +  − x2 x  1−  Đặt t = x+ ⇒ dt = 1 − x  x2  dx  Đổi cận: Với x = -1 t = -2; Với x =1 t =2 2 dt 1 − )dt = (ln t + - ln t − ) I=∫ = ∫( t− −2 t − −2 t + = ln 2+ 2− − ln −2+ −2− = ln −2 = ln t+ t− 2 −2 2+ 2− b) Nguyên nhân sai lầm x2 1− x −1 = sai đoạn [ −1; 1] chứa x = nên chia tử 1 + x4 +x x2 mẫu cho x = c) Lời giải Xét hàm số F(x) = ’ F (x) = 2 2 ln x2 − x +1 x2 + x + (ln x2 − x + )′ = x2 + x + 1 x2 −1 x2 − x +1 dx ln Do I = ∫ = 2 x2 + x + −1 + x x2 −1 x4 +1 −1 = ln 2− 2+ * Chú ý Khi tính tích phân mà chia tử mẫu cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 2.2.7 Ví dụ Tính tích phân I = ∫ x3 − x2 dx a) Sai lầm thường gặp: Đạt x= sint ⇒ dx = costdt Khi I = ∫ x3 − x2 dx = ∫ sin t dt cos t Đổi cận: với x = t = Với x = t = ? b) Nguyên nhân sai lầm Khi gặp tích phân hàm chứa − x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận, cụ thể với x = không tìm xác t bao nhiêu? c) Lời giải Đặt t = − x ⇒ dt = x − x2 dx ⇒ tdt = xdx 10 Đổi cận: với x = t = 1; t = với x = x3 Khi I = ∫ − x2 15 15 dx 15 (1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t  ∫ ∫  t   = 2 1 15  15 15 15  33 15 − = =  − −  192 192   * Chú ý Khi gặp tích phân hàm số chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số chứa + x thường đặt x = tant, cần ý đến cận tích phân Nếu cận giá trị lượng giác góc đặc biệt chọn làm theo phương pháp này, không phải chọn phương pháp khác d) Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1) I = ∫ 2) I= x3 + x2 ∫x dx dx x2 + 2.3 Hiệu sang kiến kinh nghiệm 2.3.1 Hiệu thực tiễn Trong trình giảng dạy toán trường phổ thông đặc biệt dạy học sinh giải toán nguyên hàm, tích phân ban đầu học sinh gặp khó khăn, lúng túng toán nêu Tuy nhiên sau thầy giáo rõ sai lầm thường gặp, phân tích tỉ mỉ, cẩn thận để chọn lựa phương pháp phù hợp, hướng em học sinh đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu em học sinh giải cẩn thận số toán nguyên hàm, tích phân sách giáo khoa Giải Tích lớp 12 số toán đề thi Đại học, cao đẳng năm gần em thận tìm trình bày lời giải giải 11 mà tốt số lượng chất lượng lớn tập nguyên hàm, tích phân 2.3.2 Hiệu thực nghiệm Sáng kiến áp dụng năm học 2014 – 2015 trường THPT Yên Định Bài kiểm tra hai đối tượng học sinh lớp 12A7(có 44 học sinh) không áp dụng sáng kiến này; lớp 12A6 (có 43 học sinh) áp dụng sáng kiến cho kết sau: Xếp loại Giỏi Khá Tb Yêú Đối tượng 12A6 25,5% 44% 30,5% 0% 12A7 10,5% 19,5% 65% 5% Sau triễn khai thực sáng kiến học sinh học tập tích cực, hứng thú đặc biệt giải toán nguyên hàm, tích phân, em giải toán nguyên hàm, tích phân thận trọng hiểu rõ chất vấn đề không rập khuôn cách máy móc trước Đó việc thực phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 12 3.1 Kết luận Sáng kiến tập trung nghiên cứu số sai lầm học sinh giải toán nguyên hàm, tích phân có ý nghĩa quan trọng trình dạy – học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu, hiểu biết chưa thực thấu đáo thân Từ em học sinh phát huy tính chủ động, độc lập sáng tạo, lực tư duy, suy nghĩ sáng tạo, trau thêm kiến thức nguyên hàm, tích phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập để chuẩn bị hành trang kiến thức để em học sinh tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia đạt kết cao thời kỳ đẩy mạnh việc “Đổi toàn diện Giáo Dục phổ thông” 3.2 Kiến nghị Hiện trường THPT Yên Định đẵ có số sáng kiến kinh nghiệm mà đẵ nghiên cứu số năm gần đây, có số sách tham khảo Tuy nhiên sách tham khảo viết sai lầm chủ đề toán học hạn chế, chưa nhiều Vì vậy, nhà trường cần quan tâm nữ việc trang bị thêm tài liệu tham khảo đặc biệt tài liệu viết sai lầm thường gặp giải toán Việc học sinh đọc tài liệu viết sai lầm giải toán hạn chế Do nhà trường cần tuyên truyền, tổ Toán cần có buổi ngoại khoá tuyên truyền để học sinh hiểu thêm, từ em chủ động đến thư viện, mua thêm tài liệu đọc để góp phần thêm, trang bị thêm kiến thức toán học phổ thông cho thân Từ em tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm thân tự làm, không chép người khác Yên Định, ngày 26 tháng năm 2016 Người viết SKKN Thiều Thanh Hải Xác nhận BGH trường THPT Yên Định …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 (NXBGD – 2008) Sách giáo khoa Giải tích 12 (NXBGD – 2000) Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXBGD) Phương pháp giải toán Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội - 2005) Sai lầm phổ biến giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – NXBGD – 2003) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán (Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG 14 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………… Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 15 ... phục sai lầm học sinh phổ thông giải toán nguyên hàm, tích phân, từ đề hướng khắc phục sai lầm đó, để góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán trường phổ thông nói chung giải toán nguyên hàm,. .. giáo dục phổ thông” nhận thấy rõ yếu điểm học sinh Vì vậy, mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: Một số sai lầm phổ biến việc giải toán nguyên hàm, tích phân hướng khắc phục 1.2... gia toán Nguyên hàm, Tích phân thiết nghĩ thiếu, học sinh THPT toán nguyên hàm, Tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính Nguyên hàm, Tích phân số kỹ