SKKN "Sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục"

Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đólà: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa củatích phân hoặc phương pháp đổi biến số

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

Trang

A Phần mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Phạm vi nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Mục tiêu nghiên cứu 2

B Phần nội dung 3

1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 3

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 4

3 Giải pháp thực hiện 5

4 Nội dung cụ thể 6

4.1 Những kiến thức liên quan 6

4.1.1 Nguyên hàm 6

4.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm 7

4.2 Tích phân 8

4.2.1 Định nghĩa tích phân 8

4.2.2 Tính chất của tích phân 8

4.2.3 Phương pháp tính tích phân 8

4.3 Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục 9

4.3.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 9

4.3.2 Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10

4.4 Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 10

4.4.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 10

4.4.1.1 Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 10

4.4.1.2 Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 11

4.4.1.3 Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 12

4.4.1.4 Sai lầm khi đổi biến số 13

4.4.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải 14

4.4.2.1 Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 14

4.4.2.2 Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 15

5 Kết quả 17

C Kết luận và kiến nghị 18

1 Kết luận 18

2 Đề xuất và kiến nghị 19

Tài liệu tham khảo 20

Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và củaToán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm củagiải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lýthuyết về hàm số Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong cácngành khoa học khác như Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Nó như là một giảipháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể Học sinh lớp 12 khi ôn thi tốtnghiệp, đại học, cao đẳng thường gặp khó khăn khi giải các bài tập trong chuyên

đề này Những người mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tưtưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lýthuyết vào việc giải các bài toán cụ thể

Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đólà: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa củatích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần

mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyênhàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trongphương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tươngđương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc nhữngsai lầm dẫn đến lời giải sai Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những

nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúphọc sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyênhàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nóichung Tôi vui lòng giới thiệu đến các đồng nghiệp và những người yêu Toán

sáng kiến kinh nghiệm: “Các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích

phân và cách khắc phục”.

2 Phạm vi nghiên cứu

Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầmtrong quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12A2 và 12A8 – Trường THPT Kiên Lương

4 Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạtđược kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trongquá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối

ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chươngtrình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việcgiải các bài toán Tích phân Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiếnthức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

Mặc dù đã tham khảo một lượng lớn các tài liệu tham khảo hiện nay đểvừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm nhưng vì năng lực và thờigian có hạn rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để sáng kiến kinhnghiệm này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường, góp phần nâng cao hơnnữa chất lượng bộ môn Toán của trường phổ thông Giúp các em tránh nhữngsai lằm thường gặp trong giải toán nguyên hàm – tích phân trong các kỳ thi tốtnghiệp, đại học – cao đẳng

B PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN

Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng của tích phân Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối chương trình quá ngắn do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều, mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng

ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đề thi vào Đại học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa Do vậy học sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng cao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán.

Năm học 2012 – 2013, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12A2 và 12A8 của trường THPT Kiên Lương, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn

có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng

sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi

tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động

tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh

dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.

Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó

là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh Ở lớp 12A2 tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học sinh trung bình, yếu nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này.

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”

2.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như:

- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân;

- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;

- Đổi biến số nhưng không đổi cận;

- Khi đổi biến không tính vi phân;

- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục 2.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như:

- Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Leibnitz;

Newtơn Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và

có đạo hàm liên tục trên [a; b];

- Không nắm vững phương pháp đổi biến số;

- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác)…;

- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần

3 Giải pháp thực hiện

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thựchiện một số giải pháp như sau:

3.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm đượcbản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó;

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa,định lí;

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống

và khác nhau giữa chúng;

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

3.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ;

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề;

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3.3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế;

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh;

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảngsinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn

sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tửkết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếptới bài giảng (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thangcong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay)

3.4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng– phân tích – tổng hợp – đánh giá;

- Giáo viên đánh giá học sinh;

- Học sinh đánh giá học sinh

3.5 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp vớitừng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phảikhi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học,

tự làm bài tập

3.6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản;

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải;

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao;

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kếtquả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo

* Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.

Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là f x dx 

4.1.1.4 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K 4.1.1.5 Bảng công thức tính nguyên h m c a m t s h m àm của một số hàm ủa một số hàm ột số hàm ố hàm àm của một số hàm



2 2



4.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm

4.1.2.1 Phương pháp đổi biến số

Định lí: Nếu f t dt  F t C và t u x   là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u' x dx      F u x   C

4.2.3.1 Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f x  liên tục trên a; b Giả sử hàm số x t có đạm hàm liên tục trên  ;  sao cho a   , b    và a t b với mọi t   ; 

Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây

Định lý: Nếu u u x   và v v x   là hai hàm số có đạo hàm liên tục

trên a; b thì              

b a

u.dv uv  vdu

4.3 Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục

4.3.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm

* Lời giải có sai lầm:

F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của

* Lời giải đúng: tan sinx cos  ln cos

4.3.2 Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản

4.4 Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục

4.4.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải

4.4.1.1 Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên

quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ

bản Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên

hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ

bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợitưng ứng với u ax b  Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy

đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau

dx I

2

3 3

x 1



 không xác định tại x    1  3;1suy ra hàmkhông liên tục trên  3;1 , nên không sử dụng được công thức Newton –Leinbitz như cách giải trên

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân Giúp các em tạo

thói quen: Khi tính

b a

f (x)dx

 cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tụctrên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tínhtích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau

a)

5

4 0

dx I

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm

của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và

tích phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tíchphân từng phần

Cách làm: Biểu diễn f x dx  về dạng u.dv u.v'dx

4.4.1.4 Sai lầm khi đổi biến số

Ví dụ 8 Tính tích phân

1 2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

* Lời giải đúng: Đặt x = sint  dx = cost.dt

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân

theo phương pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận) Khi gặp tích phân dạng

b

a

I  c  x dx, nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách

đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t

Ví dụ 9 Tính tích phân

1

5 0

dx I

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương

pháp đổi biến số Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau

dx I

2

0

cos xdx I

4.4.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải

4.4.2.1 Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số

Ví dụ 10 Tính tích phân

2 2

0

I  4x  4x 1dx 

2 2

2 2

     

1

2 2

Khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối

* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau

2 0

* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint  dx = costdt

Đổi cân: x 0 t 0;x 1 t arcsin1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu

thức 1 x  2 thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 9, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận Cụ thể khi x = 1/4 ta không tìm chính xác được t

* Lời giải khác: