Phân tích sai lầm thường gặp trong giải toán nguyên hàm tích phân và cách khắc phục

Trang MỤC LỤC MỤC LỤC Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Phạm vi nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Mục tiêu nghiên cứu Phần nội dung 2.1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp thực 2.4 Nội dung cụ thể Những kiến thức liên quan Nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm Tích phân a Định nghĩa tích phân b Tính chất tích phân c Phương pháp tính tích phân Những sai lầm học sinh tính nguyên hàm cách khắc phục a Sai lầm vận dụng định nghĩa nguyên hàm b Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm Những sai lầm học sinh tính tích phân cách khắc phục 5.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải a Sai lầm nhớ nhằm công thức nguyên hàm b Sai lầm không vận dụng định nghĩa tích phân c Sai lầm nhớ nhằm tính chất tích phân d Sai lầm đổi biến số 5.2 Những lỗi biến đổi mà học sinh thường mắc phải a Sai lầm thực sai phép biến đổi đại số b Sai lầm thực đổi biến số V Kết C Kết luận kiến nghị Kết luận Đề xuất kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 3 4 5 7 9 9 10 10 10 11 11 11 12 13 14 16 16 17 18 20 20 20 22 Trang Đề tài: “PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Môn Toán chia thành nhiều phân môn nhỏ, có “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” Trong năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, thân nhận thấy rút kinh nghiệm từ sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải học làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải toán cụ thể Học sinh trường đa phần học sinh trung bình, yếu Có số học sinh khá, giỏi Nên việc làm hay mắc sai lầm không đáng có giải Toán nhiều, nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức, chí có em thuộc công thức vận dụng sai, thực trang chung học sinh trường, dẫn đến kết kiểm tra không cao Do đề tài quan tâm là: Nhằm giúp học sinh khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần trung bình, yếu có số giỏi, giúp em tránh sai sót không đáng có Trong giảng dạy thường hay đưa sai lầm mà học sinh khóa trước để lưu ý cho em biết tránh sai lầm kiểu tương tự Đặc biệt trước sau kiểm tra nhắc để học sinh lưu ý Khi trả kiểm tra thường sai lầm tồn đọng cách khắc phục Phép tính tích phân phần quan trọng Giải tích nói riêng Toán học nói chung, đối tượng nghiên cứu trọng tâm giải tích mà hỗ trợ đắc lực nghiên cứu lý thuyết phương trình, tính Trang diện tích, thể tích… hình phức tạp mà phương pháp khác không giải Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì trình tính tích phân học sinh thường mắc sai lầm dẫn đến lời giải sai Với hy vọng giúp học sinh khắc phục nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức nguyên hàm – tích phân, từ giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt kết cao giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết cao trình học tập môn Toán nói chung 1.2 Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống tránh sai lầm thường gặp giải toán, để đạt kết cao học toán nguyên hàm tích phân đạt kết cao trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: cố mặt kiển thức, kỷ giải toán Tích phân cách logic Từ phát huy hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú cho em 1.3 Đối tượng nghiên cứu Tôi đồng nghiên cứu học sinh khối 12 năm 2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 năm 2016-2017– Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống 1.4 Phạm vi nghiên cứu Phân tích dạng toán nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trình giải toán Giải tích 12 Trang PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Khi giảng dạy môn Toán Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, nhận thấy học sinh thường bế tắc mắc nhiều sai lầm giải toán tính nguyên hàm – tích phân Các lỗi giống không xảy lớp giảng dạy mà lớp khác đồng nghiệp Thông qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Những kiến thức nguyên hàm tích phân kiến thức hoàn toàn mẻ học sinh hình thành nhiều liên quan đến kiến thức đạo hàm, em dựa vào công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, nhiên đa phần em hay nhầm lẫn hai loại công thức Những em có lực học trung bình, yếu bị mắc sai lầm không giải phần kiến thức dù em có nắm kiến thức nguyên hàm tích phân bế tắc thực lời giải Còn với đa phần em có học lực khá, giỏi tâm lí chung gặp toán nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm phương pháp vội vàng trình bày lời giải, tìm đáp số, thấy kết gọn, đẹp yên tâm mà quên thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra điều kiện, kiểm tra phép tính…Vì sai sót xảy điều tất yếu Kinh nghiệm cho thấy việc phát lỗi sai người khác dễ việc phát lỗi sai khó Trong trình dạy phần kiến thức này, cho em chủ động tự làm theo lối tư logic riêng mình, để em theo dõi nhận xét lời giải từ phát lỗi sai từ phân tích để em hiểu chất vấn đề khắc phục sai sót tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, lúc sai lầm học sinh dễ khiến em thấy nhàm chán, hứng thú học tập Vì vậy, vận Trang dụng linh hoạt tiết dạy có gợi ý cần thiết hỗ trợ cho em tìm kiếm lời giải Một khó khăn mà gặp trình giảng dạy việc dạy học phân hóa theo đối tượng học sinh Ở lớp mà nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, đa số, lại phận học sinh khá, giỏi Nên giáo án, ví dụ tập phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên ưu tiên em diện trung bình yếu sau nâng cao lên toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu Thêm nữa, với vai trò môn học nòng cốt, môn Toán nhà trường xếp thêm tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình có hội để thực đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Phân tích sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục a Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải như: - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai chất công thức; - Đổi biến số không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai tính toán nhầm kỹ tính toán chưa thục b Những lỗi biến đổi mà học sinh thường mắc phải như: - Hàm số không liên tục sử dụng công thức NewtơnLeibnitz; - Đổi biến số t = u(x) u(x) hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số gặp khó khăn đổi cận (không tìm giá trị xác)…; Trang - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) phần Giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: 3.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng; - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải 3.2 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp cách khắc phục - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, lô gic ; - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân - Cách khắc phục: Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính chất nguyên hàm tích phân 3.3 Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh; - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy hình động liên quan trực tiếp tới giảng (ví dụ ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay) Trang 3.4 Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ môn học đảm bảo mức dộ như: - Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai lầm thường mắc phải giải toán nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập 3.5 Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức bản; - Phân dạng tập phương pháp giải; - Đưa tập tương tự - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Nội dung cụ thể Những kiến thức liên quan 4.1 Nguyên hàm a Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F' ( x ) = f ( x ) với x thuộc K b Định lí: * Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) +C nguyên hàm f(x) K * Ngược lại, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x)+C với C số Kí hiệu họ nguyên hàm f(x) ∫ f ( x ) dx Trang Khi đó: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C (C: số) c Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx (k số khác 0) d Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng công thức tính nguyên hàm số hàm thường gặp α ∫ x dx = x α+ +C α +1 α ∫ (ax + b) dx = 1 (ax + b)α+1 +C a α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C x x ∫ e dx = e + C ax +b ax + b e dx = e +C ∫ a amx +n mx +n a dx = +C ∫ m ln a ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C 1 dx = ∫ cos2 (ax + b) a tan(ax + b) + C 1 ∫ sin (ax + b) dx = − a cot x + C x ∫ a dx = ax +C lna ∫ cos x.dx = sin x + C ∫ sin x.dx = − cos x + C ∫ cos x dx = ∫ (1 + tan x)dx = tan x + C x dx = ∫ (1 + cot x)dx = − cot x + C ∫ sin 4.2 Phương pháp tính nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Định lí: Nếu ∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C t = u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục ∫f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) +C b Phương pháp nguyên hàm phần Trang Định lí: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K ∫ u ( x ) v' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u' ( x ) v ( x ) dx Hay viết gọn ∫ udv = uv − ∫ vdu 4.3 Tích phân a Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a ; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a ; b] Hiệu số F(b) − F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a ; b]) hàm số f(x), b kí hiệu ∫ f ( x ) dx a b Khi đó: ∫f ( x )dx = F ( x ) a b a = F ( b ) −F ( a ) (Công thức Newton – Leibnitz) b Tính chất tích phân Tính chất 1: Tính chất 2: b b a a ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx b b b a a a ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx b Tính chất 3: (k số) c b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a a với a < c < b c c Phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f ( x ) liên tục [ a; b ] Giả sử hàm số x = ϕ ( t ) có đạm hàm liên tục [ α; β] cho a = ϕ ( α ) , b = ϕ ( β ) a ≤ ϕ ( t ) ≤ b với t ∈ [ α; β] b β a α Khi đó: ∫ f ( x )dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ' ( t ) dt Trang 10 * Phương pháp tích phân phần Từ phương pháp tính nguyên hàm phần, ta có định lí sau Định lý: Nếu u = u ( x ) v = v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục [ a; b ] b b ∫ u ( x ) v' ( x ) dx = ( u ( x ) v ( x ) ) − ∫ u' ( x ) v ( x ) dx b a a b a b Hay viết gọn ∫ u.dv = uv a − ∫ vdu b a a 4.4 Những sai lầm học sinh tính nguyên hàm cách khắc phục a Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm Ví dụ Tính nguyên hàm I = ∫ ( 3x + 1) dx * Lời giải có sai lầm: I = ∫ ( 3x + 1) dx = ( 3x + 1) +C * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng công thức ∫ x α dx = thức ∫ (ax + b)α dx = x α+1 + C với α +1 α ≠ – thay công (ax + b)α+1 + C với α ≠ – a α +1 * Lời giải đúng: ( 3x + 1) ( 3x + 1) I = ∫ ( 3x + 1) dx = +C = +C 18 6 Hoặc cách giải khác Đặt u = x + ⇒ du = 3dx ⇒ dx = du u6 => I = ∫ u du = + C 3 ( 3x + 1) Thay u=3x+1 vào ta I= 18 +C *Khắc phục: Yêu cầu học sinh thuộc hiểu để vận dụng công thức b Sai lầm vận dụng định nghĩa nguyên hàm Trang 11 Ví dụ Tính nguyên hàm: I = ∫ ( x − 1) dx ( ) 2 * Lời giải có sai lầm: I = xdx − 3dx = x + C − ( 3x + C ) = x − x ∫ ∫ * Phân tích: Học sinh viết chung số C cho phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: ( ) I = ∫ xdx − ∫ 3dx = x + C1 − ( 3x + C2 ) = x − 3x + C với C = C1 – C2 Ví dụ Tính nguyên hàm ∫ tan xdx * Lời giải có sai lầm: I = ∫ tan xdx = ∫ sin x dx cos x sin x   dx u = du = cos x ⇒  cos x Đặt   dv = sin xdx  v = cos x ⇒I = cos x s inx sinx cos x + ∫ dx = + ∫ dx =1 + I ⇔ I = + I ⇒ = cos x cos x cos x (Vô lý) * Phân tích: Học sinh viết chung số C cho phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: I = ∫ tan xdx = ∫ sinx dx cosx Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du I =∫ − du = − ln u + C Thay u= cosx vào ta được: I = − ln cos x + C u Ví dụ Tính nguyên hàm ∫ x sin xdx u = x du = dx ⇒ dv = sin xdx v = cos x * Lời giải có sai lầm:  ⇒ I = x cos x − ∫ cos xdx = x.cos x − s inx + C * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Các em nhầm kiến thức nguyên hàm đạo hàm, em hay nhầm lẫn hai loại công thức Trang 12 u = x du = dx ⇒ dv = sin xdx v = − cos x * Lời giải đúng:  ⇒ I = − x cos x + ∫ cos xdx = − x.cos x + sinx + C * Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm sinx cosx Để phân biệt khác đạo hàm nguyên hàm sinx cosx ( ) a) I = ∫ x − x + dx * Các tập tương tự: b) I = ∫ ( − x ) dx ∫ c) I = cot x.dx I = ∫ x.cos x.dx d) Những sai lầm học sinh tính tích phân cách khắc phục 5.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải a Sai lầm nhớ nhầm công thức nguyên hàm Ví dụ Tính tích phân I = ∫ x + 1dx 3 0 1 x + 1.d ( x + 1) = = x +1 * Lời giải có sai lầm: I = ∫ x + 1dx = ∫ * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm nhiều liên quan đến kiến thức đạo hàm, em hay nhầm lẫn hai loại công thức * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc bảng nguyên hàm hàm số Giúp em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm nguyên hàm tìm xem có hàm số cho? * Lời giải đúng: I = ∫ 3 14 x + 1dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = ( x + 1) = 3 0 Ví dụ Tính tích phân I = ∫ ( 2x − 1) dx * Lời giải có sai lầm: I = ∫ ( 2x − 1) ( 2x − 1) dx = 5 = Trang 13 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm hàm hợp, dùng α ∫ x dx = * Lời giải đúng: I = ∫ ( 2x − 1) x α+ 1 (ax + b)α+1 + C thay ∫ (ax + b)α dx = +C α +1 a α +1 ( 2x − 1) dx = 2.5 = (Có thể hướng dẫn em giải cách khác: Đặt t = 2x − ) * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc bảng nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp bảng nguyên hàm hàm hợp tưng ứng với u = ax + b Giúp em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm nguyên hàm tìm xem có hàm số cho? * Các tập tương tự: Tính tích phân sau a) I = ∫ b) I = ∫ x + 4dx −2 d) I = ∫ 1 dx x−3 ( 2x − 1) c) I = ∫ ( 2x + 1) dx dx − 3x e) I = ∫ dx b Sai lầm không vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ Tính tích phân I = dx ∫ ( x + 1) −3 * Lời giải có sai lầm : I = ∫ −3 dx ( x + 1) −1 −1 = = − = −1 x + −3 2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y = * Lời giải đúng: Hàm số y = ( x + 1) ( x + 1) không xác định x = −1 ∈ [ −3;1] không xác định x = −1 ∈ [ −3;1] suy hàm không liên tục [ −3;1] , nên không sử dụng công thức Newton – Leinbitz cách giải Trang 14 * Cách khắc phục: Yêu cầu em nhớ định nghĩa tích phân Giúp em tạo b thói quen: Khi tính ∫ f (x)dx cần ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục a đoạn [a, b] không? Nếu có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho, không kết luận tích phân không tồn * Các tập tương tự: Tính tích phân sau dx a) I = ∫ (x − 4)4 1 b) J = ∫ x(x − 1) dx c) K = −2 ∫ −1 ( x −1) dx c Sai lầm nhớ nhầm tính chất tích phân x Ví dụ Tính tích phân I = ∫ xe dx 1 1 x2 e −1 I = xe dx = xdx e dx = ( e x ) = ( e − 1) = * Lời giải có sai lầm : ∫0 ∫0 ∫0 2 x x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” quy tắc nguyên hàm tích thay sử dụng công thức tích phân phần * Lời giải đúng: I = ( xe x ) 1 − ∫ e x dx = e − e x = e − e + = 0 * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc tính chất nguyên hàm tích phân Giúp em tổng quát hoá dạng toán sử dụng phương pháp tích phân phần Cách làm: Biểu diễn f ( x ) dx dạng u.dv = u.v'dx - Chọn u cho du dễ tính - Chọn dv cho dễ tính v = ∫ dv - Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm phần sau ∫ P ( x) e u dv x dx P(x) e x dx ∫ P ( x ) cos xdx P(x) cosx.dx ∫ P ( x ) sin xdx ∫ P ( x ) ln xdx P(x) sinx.dx lnx P(x)dx Trang 15 * Các tập tương tự: Tính tích phân sau π a) I = ∫ x ln xdx b) π I = ∫ ( 2x −1) sin xdx −1 cos x c) I = ∫ ( x + e ) sin xdx d Sai lầm đổi biến số 3x dx x3 + Ví dụ Tính tích phân I = ∫ * Lời giải có sai lầm: Đặt u = x + ⇒ du = 3x dx ⇒I = du = ln | u ||10 = ln1 − ln 0 u ∫ * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến không đổi cận * Lời giải đúng: Đặt u = x + ⇒ du = 3x dx u (0) = 1, u (1) = ⇒ I = ∫ 1 du = ln | u ||12 = ln u Ví dụ 10 Tính tích phân I= π x sin xdx c os ∫ * Lời giải có sai lầm: Đặt u = cos x ⇒ du = sinx π u (0) = 1, u ( ) = ⇒I = ∫ u4 u du = |1 = − 4 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu nhầm, nhiều em quyên không ghi dx vào * Lời giải đúng: Đặt u = cos x ⇒ du = − s inxdx π u (0) = 1, u ( ) = ⇒I =− ∫ 1 u du = Ví dụ 11 Tính tích phân I = ∫ − x dx u4 1 |0 = 4 Trang 16 * Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint ⇒ dx = costdt ⇒I=∫ 1 1 + cos2t t sin 2t 1 − sin t cos t.dt = ∫ cos t.dt = ∫ dt = ( + ) = + sin 2 4 0 2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến không đổi cận * Lời giải đúng: Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0;x = ⇒ t = π ⇒I=∫ π π π π + cos2t t sin 2t π − sin t cos t.dt = ∫ cos t.dt = ∫ dt = ( + ) = 2 4 0 * Cách khắc phục: Yêu cầu em thực tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số (đổi biến đổi cận) Khi gặp tích phân dạng b I = ∫ c2 − x dx , tích phân tồn thông thường ta tính tích phân cách a đặt x = c.sint( x = c.cost) đổi cận, chuyển tính tích phân theo t Ví dụ 12 Tính tích phân I = ∫ dx ( 2x + 1) * Lời giải có sai lầm: Đặt t = 2x + Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 3 dt t −4 20 ⇒I=∫ = = t − 81 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực đổi biến số học sinh quên không tính vi phân dt * Lời giải đúng: Đặt t = 2x + ⇒ dt = 2dx ; Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 3 dt t −4 10 ⇒I=∫ 5= = 2t − 81 * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc bước thực phương pháp đổi biến số Giúp em tạo thói quen kiểm tra lại làm, kiểm tra kết phép tính gần máy tính bỏ túi Trang 17 * Các tập tương tự: Tính tích phân sau dx b) I = ∫ 1+ x2 a) I = ∫ − x dx π π π 3 e) I = ∫ ( ln x ) dx x d) I = ∫ sin x.e cos x dx c) I = ∫ sin xdx f) I = cos xdx ∫ + sin x Trên số sai lầm điển hình học sinh mắc phải tính tích phân, sai lầm đơn giản phần lớn rơi vào trường hợp em có học lực trung bình trở xuống em học mắc phải tính cẩu thả Đôi gặp phải tình em bị áp lực tâm lí làm dẫn tới trạng thái không kiểm soát hành vi thân Trong nhóm sai lầm dạng số kiểu lỗi khác tính toán trình bày tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân biểu thức tích phân, viết biến biểu thức tích phân…Để khắc phục sai lầm đó, biện pháp nêu, người giáo viên cần giúp em học sinh rèn luyện đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì đặc biệt khắc phục điểm yếu tâm lí làm 5.2 Những lỗi biến đổi mà học sinh thường mắc phải a Sai lầm thực sai phép biến đổi đại số 2 Ví dụ 13 Tính tích phân I = ∫ 4x − 4x + 1dx * Lời giải có sai lầm: I = ∫ 4x ( 2x − 1) − 4x + 1dx = ∫ ( 2x − 1) dx = ∫ ( 2x − 1) dx = 2 2 2 =2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai ( 2x − 1) = 2x − với x ∈ [ 0; 2] thay dùng ( 2x − 1) = 2x − với x ∈ [ 0; 2] * Lời giải đúng: 2 I = ∫ 4x − 4x + 1dx = ∫ 0 ( 2x − 1) 2 0 dx = ∫ 2x − 1dx = ∫ ( − 2x ) dx + ∫ ( 2x − 1) dx = + = 4 Trang 18 * Cách khắc phục: Yêu cầu em lưu ý gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng: 2n f ( x )  2n dùng phép biến đổi 2n f ( x )  2n = f ( x) ( n ≥ 1, n nguyên) Khi ta phải xét dấu hàm số f(x) đoạn [a, b] dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các tập tương tự: Tính tích phân sau π a) I = ∫ − sin 2xdx b) I = ∫ x − 2x + 1dx 0 b Sai lầm thực đổi biến số π sin x Ví dụ 14 Tính tích phân I = ∫0 − cos x dx * Lời giải có sai lầm: ⇒I= π ∫ 2sin x.cos x dx − cos x Đặt u = cosx ⇒ du = -sinxdx π u(0) = 1, u( ) = 0 2u 1 ⇒ I = −∫ du = − ∫ ( − ) du = (ln | + u | − ln | − u |) |10 = − ln 2−u 2+u 4−u 1 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi sử dụng công thức công thức 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C * Lời giải đúng: ⇒I= π ∫ 2sin x.cos x dx − cos x ∫ x dx = ln x + C thay Trang 19 Đặt u = cosx ⇒ du = -sinxdx π u(0) = 1, u( ) = 0 2u 1 ⇒ I = −∫ du = − ∫ ( − ) du = (ln | + u | + ln | − u |) |10 = ln 2−u 2+u 4−u 1 Hoặc cách khác Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx π u(0) = 1, u( ) = 0 ⇒I =− 1 du = ∫1 − u ∫1 u − du = ln u − = ln − ln = ln * Các tập tương tự: Tính tích phân sau π cos xdx a) I = ∫ − sin x π b) I = ∫ tan x dx cos x (1 − tan x) * Cách khắc phục: Yêu cầu học sinh hiểu vận dụng công thức, tránh chủ quan, nóng vội Trên số sai lầm mà học sinh mắc phải tính tích phân, sai lầm khó phát em học sinh Những sai lầm phần lớn xuất phát từ thiếu chắn kiến thức cộng với thói quen làm thường gặp “tình thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả Đôi gặp phải tình em bị áp lực tâm lí làm dẫn tới trạng thái không kiểm soát hành vi thân Để khắc phục sai lầm đó, biện pháp nêu, người giáo viên cần phải giúp em học sinh rèn luyện đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì đặc biệt khắc phục điểm yếu tâm lí làm Giáo viên nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “tự phản biện” làm để phát hạn chế tối đa sai lầm mắc phải Kết Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Trước kết thực tế học sinh, thân trăn trở suy Trang 20 nghĩ: làm để học sinh đạt kết tốt giải loại toán này? Tôi bắt đầu hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải Sáng kiến áp dụng năm học 2013-2014; 2014-2015; 20152016 Được phân tích kỹ, chi tiết cho đối tượng học sinh qua tiết ôn tập, tự chọn, phụ đạo Kết kiểm tra tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) đối tượng học sinh lớp khóa cụ thể sau: Xếp loại Năm học Tổng số HS Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 2012-2013 70 13% 20% 37% 19% 11% 2013-2014 70 17% 23% 40% 11% 9% 2014-2015 73 14% 21% 38% 16% 11% So sánh với kết kiểm tra tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) đối tượng học sinh khóa trước chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bảng khảo sát kết học tập khóa trước cụ thể sau: Xếp loại Năm học Tổng số HS Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 2010-2011 75 7% 13% 26% 29% 25% 2011-2012 72 11% 15% 29% 25% 20% Trang 21 Nhận thấy kết số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều số học sinh đạt điểm yếu, giảm rỏ rệt Hy vọng em có nhiều thành công kỳ thi tới Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau - Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến tính tích phân - Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến Tích phân - Thiết kế cách thức dạy học ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Qua thực tế giảng dạy thân trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có kĩ giải toán Tích phân Vấn đề thấy học sinh khá, giỏi hứng thú giáo viên nêu sai lầm mà học sinh chưa nghĩ đến Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm cách khắc phục cho học sinh giải toán Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo Trang 22 loại để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc giải toán để em tránh sai lầm không đáng có làm tập Mặc dù thân cố gắng nhiều điều viết không tránh khỏi sai sót Tôi mong nhận góp ý đồng nghiệp, bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Phan Văn Ngà DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuẩn kiến thức kỹ toán 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 Nâng cao (Nhà xuất giáo dục) Phương pháp giải toán Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Trang 23 ... nguyên hàm, tích phân cách khắc phục a Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải như: - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai chất công thức; -. ..Trang Đề tài: “PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số,... Những sai lầm học sinh tính nguyên hàm cách khắc phục a Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm Ví dụ Tính nguyên hàm I = ∫ ( 3x + 1) dx * Lời giải có sai lầm: I = ∫ ( 3x + 1) dx = ( 3x + 1) +C * Nguyên