SKKN một số giải pháp khắc phục sai lầm của học sinh khi giải bài toán nguyên hàm và tích phân

Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục MỤC LỤC A Phần mở đầu Lý chọn đề tài Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu B Phần nội dung Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Thực trạng vấn đề nghiên cứu Giải pháp thực Nội dung cụ thể 4.1 Những kiến thức liên quan 4.1.1 Nguyên hàm 4.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm 4.2 Tích phân 4.2.1 Định nghĩa tích phân 4.2.2 Tính chất tích phân 4.2.3 Phương pháp tính tích phân 4.3 Những sai lầm học sinh tính nguyên hàm cách khắc phục 4.3.1 Sai lầm vận dụng định nghĩa nguyên hàm 4.3.2 Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm 4.4 Những sai lầm học sinh tính tích phân cách khắc phục 4.4.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 4.4.1.1 Sai lầm nhớ nhằm công thức nguyên hàm 4.4.1.2 Sai lầm khơng vận dụng định nghĩa tích phân 4.4.1.3 Sai lầm nhớ nhằm tính chất tích phân 4.4.1.4 Sai lầm đổi biến số 4.4.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải 4.4.2.1 Sai lầm thực sai phép biến đổi đại số 4.4.2.2 Sai lầm thực đổi biến số Kết C Kết luận kiến nghị Kết luận Đề xuất kiến nghị Tài liệu tham khảo Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 1 2 3 6 8 8 9 10 10 10 10 11 12 13 14 14 15 17 18 18 19 20 Trang Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục Đề tài: “CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TỐN NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Mơn Tốn chia thành nhiều phân mơn nhỏ, có phân mơn: Giải tích tốn học hay cịn gọi Giải tích Giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, ngun hàm, tích phân Phép tốn giải tích "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất "động" tính chất "tĩnh" Đại số Phép tính tích phân phần quan trọng Giải tích nói riêng Tốn học nói chung, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm giải tích mà cịn hỗ trợ đắc lực nghiên cứu lý thuyết phương trình, lý thuyết hàm số Ngồi phép tính vi phân sử dụng nhiều ngành khoa học khác Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Nó giải pháp hữu hiệu mơ hình tốn học cụ thể Học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng thường gặp khó khăn giải tập chuyên đề Những người học làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải toán cụ thể Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải ngun hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? Vì q trình tính tích phân học sinh thường mắc sai lầm dẫn đến lời giải sai Với hy vọng giúp học sinh khắc phục Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức ngun hàm – tích phân, từ giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt kết cao giải tốn ngun hàm – tích phân nói riêng, đạt kết cao q trình học tập mơn Tốn nói chung Tơi vui lịng giới thiệu đến đồng nghiệp người yêu Toán sáng kiến kinh nghiệm: “Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục” Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm q trình tính tốn chương III – Giải tích 12 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A2 12A8 – Trường THPT Kiên Lương Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn tích phân nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt là: Tìm phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hoàn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải tốn Tích phân Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em Mặc dù tham khảo lượng lớn tài liệu tham khảo để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm lực thời gian có hạn mong đóng góp đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm có ý nghĩa thiết thực nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn trường phổ thơng Giúp em tránh sai lằm thường gặp giải toán nguyên hàm – tích phân kỳ thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục B PHẦN NỘI DUNG Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Chương trình tốn Trung học phổ thông cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ kiến thức tích phân ứng dụng tích phân Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối chương trình q ngắn học sinh khơng có điều kiện luyện tập nhiều, mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK SBT cung cấp số lượng ví dụ, tập nguyên hàm tích phân đề thi vào Đại học, CĐ lại phong phú, đa dạng hóc búa Do học sinh trung bình, yếu, hoang mang gặp tốn tính Tích phân dù bản, học sinh khá, giỏi lo lắng gặp Tích phân nâng cao, tâm lí dẫn tới em bế tắc mắc sai lầm giải toán Năm học 2012 – 2013, giảng dạy mơn Tốn lớp 12A2 12A8 trường THPT Kiên Lương, nhận thấy học sinh thường bế tắc mắc nhiều sai lầm giải tốn tính ngun hàm – tích phân Các lỗi giống không xảy lớp tơi giảng dạy mà cịn lớp khác đồng nghiệp G.Polya viết "Con người phải biết học từ sai lầm thiếu sót mình" Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Những kiến thức nguyên hàm tích phân kiến thức hồn tồn mẻ học sinh hình thành nhiều liên quan đến kiến thức đạo hàm, em dựa vào cơng thức đạo hàm để hình thành cơng thức ngun hàm, đa phần em hay nhầm lẫn hai loại công thức Các kiến thức biến đổi đại số, học sinh học từ bậc THCS em có lực học trung bình, yếu bị gốc phần kiến thức dù em có nắm kiến thức ngun hàm tích phân bế tắc thực lời giải Còn với đa phần em có học lực khá, giỏi Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục tâm lí chung gặp tốn nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm phương pháp vội vàng trình bày lời giải, tìm đáp số, thấy kết gọn, đẹp yên tâm mà quên thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra điều kiện, kiểm tra phép tính…Vì sai sót xảy điều tất yếu Kinh nghiệm cho thấy việc phát lỗi sai người khác dễ cịn việc phát lỗi sai khó Trong q trình dạy phần kiến thức này, cho em chủ động tự làm theo lối tư logic riêng mình, để em theo dõi nhận xét lời giải từ phát lỗi sai từ phân tích để em hiểu chất vấn đề khắc phục sai sót tổng kết thành kinh nghiệm Tuy nhiên, lúc sai lầm học sinh dễ khiến em thấy nhàm chán, hứng thú học tập Vì vậy, tơi vận dụng linh hoạt tiết dạy có gợi ý cần thiết hỗ trợ cho em tìm kiếm lời giải Một khó khăn mà tơi gặp q trình giảng dạy việc dạy học phân hóa theo đối tượng học sinh Ở lớp 12A2 nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi đa số, lại phận học sinh trung bình, yếu nên giáo án, ví dụ tập phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên ưu tiên em diện trung bình yếu sau nâng cao lên tốn mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu Thêm nữa, với vai trò mơn học nịng cốt, mơn Tốn nhà trường xếp thêm tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình tơi có hội để thực đề tài Thực trạng vấn đề nghiên cứu Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” 2.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải như: - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai chất công thức; - Đổi biến số không đổi cận; Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục - Khi đổi biến khơng tính vi phân; - Giải sai tính tốn nhầm kỹ tính tốn chưa thục 2.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như: - Hàm số không liên tục sử dụng công thức NewtơnLeibnitz; - Đổi biến số t = u(x) u(x) hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số gặp khó khăn đổi cận (khơng tìm giá trị xác)…; - Khơng nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) phần Giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: 3.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng; - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải 3.2 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ; - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề; - Phương pháp: phương pháp giải toán 3.3 Đổi phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế; - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh; Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy hình động liên quan trực tiếp tới giảng (ví dụ ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay) 3.4 Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh 3.5 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai lầm thường mắc phải giải toán nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập 3.6 Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức bản; - Phân dạng tập phương pháp giải; - Đưa tập tương tự, tập nâng cao; - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Nội dung cụ thể 4.1 Những kiến thức liên quan 4.1.1 Nguyên hàm 4.1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F'  x   f  x  với x thuộc K 4.1.1.2 Định lí: * Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) +C nguyên hàm f(x) K Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục * Ngược lại, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x)+C với C số f  x  dx Kí hiệu họ nguyên hàm f(x) � f  x  dx  F  x   C (C: số) Khi đó: � 4.1.1.3 Tính chất ngun hàm Tính chất 1: f '  x  dx  f  x   C � Tính chất 2: kf  x  dx  k � f  x  dx � Tính chất 3: � f  x  �g  x  � dx  � f  x  dx �� g  x  dx � � � (k số khác 0) 4.1.1.4 Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 4.1.1.5 Bảng cơng thức tính ngun hàm số hàm thường gặp x  x dx  C �  1 dx  ln x  C � x  x x e dx  e C � a xdx  � ax C lna cos x.dx  sin x  C � sin x.dx   cos x  C � dx  � (1  tan x)dx  tan x  C � cos x dx  � (1  cot x)dx   cot x  C � sin x (ax  b)1 (ax  b) dx  C � a 1 1 dx  ln ax  b  C � ax  b a eaxbdx  eaxb  C � a amx n mx  n a dx  C � m ln a cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C � a sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C � a 1 dx  tan(ax  b)  C � cos (ax  b) a 1 dx   cot x  C � sin (ax  b) a  4.1.2 Phương pháp tính nguyên hàm 4.1.2.1 Phương pháp đổi biến số f  t  dt  F  t   C t  u  x  hàm số có đạo hàm liên Định lí: Nếu � tục f  u  x   u'  x  dx  F  u  x    C � Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục 4.1.2.2 Phương pháp nguyên hàm phần Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  v  v  x  có đạo hàm liên tục K u  x  v'  x  dx  u  x  v  x   � u'  x  v  x  dx � udv  uv  � vdu Hay viết gọn � 4.2 Tích phân 4.2.1 Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a ; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a ; b] Hiệu số F(b) − F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a ; b]) hàm số f(x), b f  x  dx kí hiệu � a b f  x dx  F  x  a  F  b   F  a  (Công thức Newton – Leibnitz) Khi đó: � b a 4.2.2 Tính chất tích phân Tính chất 1: Tính chất 2: b b a a kf  x  dx  k � f  x  dx � b b b a a a � f  x  �g  x  � dx  � f  x dx �� g  x dx � � � b Tính chất 3: (k số) c b f  x dx  � f  x dx  � f  x dx � a a với a  c  b c 4.2.3 Phương pháp tính tích phân 4.2.3.1 Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f  x  liên tục  a; b  Giả sử hàm số x    t  có đạm hàm liên tục  ;  cho a      , b      a �  t  �b với t � ;  b  a  f  x dx  � f    t    '  t  dt Khi đó: � 4.2.3.2 Phương pháp tích phân phần Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục Từ phương pháp tính ngun hàm phần, ta có định lí sau Định lý: Nếu u  u  x  v  v  x  hai hàm số có đạo hàm liên tục  a; b  b u  x  v'  x  dx   u  x  v  x   � a b b b a b � u'  x  v  x  dx a b u.dv  uv a  � vdu Hay viết gọn � a a 4.3 Những sai lầm học sinh tính nguyên hàm cách khắc phục 4.3.1 Sai lầm vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ Chứng minh F ( x)  (1  x)e  x nguyên hàm hàm f ( x)  xe  x R Từ tìm ngun hàm hàm g ( x)  ( x  1)e  x * Lời giải có sai lầm: F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với x =>F(x) nguyên hàm hàm f(x) R g  x  dx  �  x  1 e � x dx  � xe  x dx  � e  x dx  �    x  e x  C � e  x  C � � � � � �  (1  x)e  x  e  x   xe  x * Phân tích: Học sinh viết chung số C cho phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: g  x  dx  �  x  1 e � x dx  � xe  x dx  � e  x dx  �    x  e  x  C1 � e  x  C2 � � � � � �   xe  x  C với C = C1 – C2 tan xdx Ví dụ Tính tích phân � sin x dx cos x tan xdx  � * Lời giải có sai lầm: I  � sin x � � u du  dx � � cos x Đặt � cos x � � � � dv  sin xdx v  cos x � � �I  cos x sinx cos x  � dx   I �  (Vơ lý) cos x cos x * Phân tích: Học sinh viết chung số C cho phép tính nguyên hàm Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 10 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục d  cos x  s inx dx   �   ln cos x  C cosx cosx * Lời giải đúng: I  � tan xdx  � Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 11 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục 4.3.2 Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm  2x  1 dx Ví dụ Tính tích phân I  � * Lời giải có sai lầm: I  �  2x  1  2x  1 dx  6 C * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: x n dx  Học sinh vận dụng công thức � x n 1  c với n ≠ – n 1 * Lời giải đúng: Đặt 2x + = t dt t6  2x  1  C 5 dt � dt  2dx � dx  � � 2x  dx  t  C   � 2 12 12 4.4 Những sai lầm học sinh tính tích phân cách khắc phục 4.4.1 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 4.4.1.1 Sai lầm nhớ nhằm công thức nguyên hàm Ví dụ Tính tích phân I  �x  1dx 3 1  * Lời giải có sai lầm: I  �x  1dx  �x  1.d  x  1  x 1 0 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành ngun hàm nhiều liên quan đến kiến thức đạo hàm, em hay nhầm lẫn hai loại công thức * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc bảng nguyên hàm hàm số Giúp em tạo thói quen kiểm tra cơng thức: lấy đạo hàm ngun hàm tìm xem có hàm số cho? 3 0 3 14 * Lời giải đúng: I  �x  1dx  �  x  1 d  x  1   x  1  3 Ví dụ Tính tích phân I  �  2x  1 dx * Lời giải có sai lầm: I  �  2x  1  2x  1 dx  Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương 5  Trang 12 Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm x  1 (ax  b)1  x dx   C thay � (ax  b) dx  C hàm hợp, dùng �  1 a  1  * Lời giải đúng: I  �  2x  1  2x  1 dx  2.5  (Có thể hướng dẫn em giải cách khác: Đặt t  2x  ) * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc bảng nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp bảng nguyên hàm hàm hợi tưng ứng với u  ax  b Giúp em khắc sâu thói quen kiểm tra cơng thức: lấy đạo hàm ngun hàm tìm xem có hàm số cho? * Các tập tương tự: Tính tích phân sau a) I  dx b) I  � x3 �x  4dx 2 d) I  �  2x  1 dx  3x e) I  � dx  2x  1 dx c) I  �  12 � � � � cos �  4x � dx f) I  �  4.4.1.2 Sai lầm không vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ Tính tích phân I  dx �  x  1 3 * Lời giải có sai lầm : I  dx �  x  1  3 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y  * Lời giải đúng: Hàm số y   x  1 1 1    1 x  3 2  x  1 không xác định x  1 � 3;1 không xác định x  1 � 3;1 suy hàm không liên tục  3;1 , nên không sử dụng công thức Newton – Leinbitz cách giải Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 13 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục * Cách khắc phục: Yêu cầu em nhớ định nghĩa tích phân Giúp em tạo b f (x)dx cần ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục thói quen: Khi tính � a đoạn [a, b] khơng? Nếu có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho, cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn * Các tập tương tự: Tính tích phân sau dx a) I  � (x  4)4 x(x  1) dx b) J  � 2  x e x  x dx d) L  � x 1 c) K  dx � cos x 4.4.1.3 Sai lầm nhớ nhằm tính chất tích phân xe  x dx Ví dụ Tính tích phân I  � 1 1 x2 �1 � e  xe dx  � xdx.� e dx   e x   �  1� * Lời giải có sai lầm : I  � 2 �e � 2e 0 x x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” quy tắc nguyên hàm tích thay sử dụng cơng thức tích phân phần * Lời giải đúng: I    xe x  1 � e  x dx  1  x e  e  e * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc tính chất nguyên hàm tích phân Giúp em tổng qt hố dạng tốn sử dụng phương pháp tích phân phần Cách làm: Biểu diễn f  x  dx dạng u.dv  u.v'dx - Chọn u cho du dễ tính dv - Chọn dv cho dễ tính v  � - Áp dụng cơng thức * Các tập tương tự: Tính tích phân sau x ln  x   dx a) I  � 1  b) I   2x  1 sin xdx � Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương  c) I   x  x  cos xdx � Trang 14 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục   x  ecos x  sin xdx d) I  �  e x sin xdx e) I  � Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 15 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục 4.4.1.4 Sai lầm đổi biến số Ví dụ Tính tích phân I  �1  x dx * Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint � dx = costdt 1 1  cos2t t sin 2t 1 � I  �1  sin t cos t.dt  � cos t.dt  � dt  (  )   sin 2 4 0 2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến không đổi cận * Lời giải đúng: Đặt x = sint � dx = cost.dt Đổi cận: x  � t  0; x  � t        cos2t t sin 2t  � I  �1  sin t cos t.dt  � cos 2t.dt  � dt  (  )  2 4 0 * Cách khắc phục: Yêu cầu em thực tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số (đổi biến đổi cận) Khi gặp tích phân dạng b I  �c2  x dx , tích phân tồn thơng thường ta tính tích phân cách a đặt x = c.sint( x = c.cost) đổi cận, chuyển tính tích phân theo t Ví dụ Tính tích phân I  � dx  2x  1 * Lời giải có sai lầm: Đặt x = 2x + Đổi cận: x  � t  1; x  � t  3 dt t 4 20 � I  �5   t 4 81 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: : Khi thực đổi biến số học sinh quên khơng tính vi phân dt * Lời giải đúng: Đặt t  2x  � dt  2dx ; Đổi cận: x  � t  1; x  � t  3 dt t 4 10 � I  �5   2t 8 81 Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 16 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc bước thực phương pháp đổi biến số Giúp em tạo thói quen kiểm tra lại làm, kiểm tra kết phép tính gần máy tính bỏ túi * Các tập tương tự: Tính tích phân sau dx b) I  � 1 x a) I  �4  x dx   c) I  � sin xdx  3 e) I  �. ln x  dx x d) I  � sin x.e dx cos x f) I  cos xdx �  sin x Trên số sai lầm điển hình học sinh mắc phải tính tích phân, sai lầm đơn giản phần lớn rơi vào trường hợp em có học lực trung bình trở xuống em học mắc phải tính nóng vội, cẩu thả Đơi gặp phải tình em bị áp lực tâm lí làm dẫn tới trạng thái khơng kiểm sốt hành vi thân Trong nhóm sai lầm dạng số kiểu lỗi khác tính tốn trình bày tính tốn sai, viết thiếu kí hiệu vi phân biểu thức tích phân, viết biến biểu thức tích phân…Để khắc phục sai lầm đó, ngồi biện pháp nêu, người giáo viên cần giúp em học sinh rèn luyện đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì đặc biệt khắc phục điểm yếu tâm lí làm 4.4.2 Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải 4.4.2.1 Sai lầm thực sai phép biến đổi đại số 2 Ví dụ 10 Tính tích phân I  �4x  4x  1dx  2x  1 * Lời giải có sai lầm: I  �4x  4x  1dx  � 2x  1 dx  �  2x  1dx  2 2 2 2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai  2x  1  2x  với x � 0; 4 thay dùng  2x  1  2x  với x � 0; 4 * Lời giải đúng: Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 17 Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục 2 2 I  �4x  4x  1dx  � 2x  1 dx  � 2x  1dx  �   2x dx  �  2x  1dx    4 0 0 2 * Cách khắc phục: Yêu cầu em lưu ý gặp tích phân hàm vơ tỉ chứa hàm số dạng: 2n � f  x � � � dùng phép biến đổi 2n 2n � f  x � � �  f  x 2n ( n ≥ 1, n nguyên) Khi ta phải xét dấu hàm số f(x) đoạn [a, b] dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các tập tương tự: Tính tích phân sau  a) I  �1  sin 2xdx b) I  �x  2x  xdx 0  �2 � I  x   2� dx � � c) x � � 2 d) I  �tg x  cot g x  2dx  4.4.2.2 Sai lầm thực đổi biến số 1 x2 x Ví dụ 11 Tính tích phân I  � dx * Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint � dx = costdt Đổi cân: x  � t  0;x  � t  arcsin arcsin �I arcsin sin t sin t arcsin �  cos t cos t.dt  �cos t cos t.dt  �sin t.dt Đến học sinh thường lúng túng số lẻ, em khơng tìm đáp số * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa biểu thức  x thông thường ta đặt x = sint ( x = cost); ví dụ 9, làm theo cách gặp khó khăn đổi cận Cụ thể x = 1/4 ta khơng tìm xác t * Lời giải khác: Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 18 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục Đặt t = t   x � t   x � 2tdt  2xdx � xdx  tdt Đổi cận: x  � t  1; x  � t  �I 15 (1  t )( tdt)  t � 15 �(1  t 15 15 �t � 15 15 15 33 15 )dt  �  t �      192 192 �3 � * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa biểu thức  x , cân tích phân giá trị lượng giác góc đặc biệt ta tính tích phân cách đặt x =sint( x = cost) khơng ta phải tìm phương pháp khác * Các tập tương tự: Tính tích phân sau a) I  �1  x x3 b) I  � dx  Ví dụ 12 Tính tích phân I = dx x x2  dx 1  sin x * Lời giải có sai lầm: Đặt t = tg 1t2 2dt x th× dx = ; =  t  sin x (1  t ) dx 2dt �� � � 2(t  1)2dt   C  sin x (1  t) t 1   dx 2 2 �I  �      sin x tg x  tg  tg0  2 tg  khơng xác định nên tích phân không tồn * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Đạt t = tg x x x  0;   x =  tg khơng 2 có nghĩa * Lời giải đúng: Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 19 Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục �x  � d�  �  dx dx  4� �x  � � � � I� � �  tg �  �  tg  tg � �  sin x �0 � � �x  � �4 �  cos � x  � cos �  � � � 2� �2 �    * Các tập tương tự: Tính tích phân sau  dx a) I  � sin x  dx b) I  �  cos x * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t  u  x  phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục  a; b Trên số sai lầm tinh vi mà học sinh mắc phải tính tích phân, sai lầm khó phát em học sinh Những sai lầm phần lớn xuất phát từ thiếu chắn kiến thức cộng với thói quen làm thường gặp “tình thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả Đơi gặp phải tình em bị áp lực tâm lí làm dẫn tới trạng thái khơng kiểm sốt hành vi thân Để khắc phục sai lầm đó, biện pháp nêu, người giáo viên cần phải giúp em học sinh rèn luyện đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì đặc biệt khắc phục điểm yếu tâm lí làm Giáo viên nên tạo cho học sinh thói quen “tự vấn”, “tự phản biện” làm để phát hạn chế tối đa sai lầm mắc phải Kết Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nêu Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tốn tích phân Trước kết thực tế học sinh, thân trăn trở suy nghĩ: làm để học sinh đạt kết tốt giải loại tốn này? Tơi bắt đầu hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp sở đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 20 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải Sáng kiến áp dụng năm học 2012 – 2013 Đựơc phân tích kỹ, chi tiết cho đối tượng học sinh qua tiết ôn tập, tự chọn, tăng tiết Kết kiểm tra tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) đối tượng lớp 12A2 (42 học sinh) ; 12A8 (40 học sinh) sau Xếp loại Giỏi Khá Tbình Yếu 12A2 42 52,4% 9,5% 26,2% 11,9% 12A8 40 12,5% 10,0% 17,5% 60,0% So sánh với kết kiểm tra lớp 12A3 (36 học sinh), 12D3 (38 học Lớp Sĩ số sinh), 12D4 (40 học sinh) phụ trách năm học 2011 – 2012 sau: Xếp loại Giỏi Khá Tbình Yếu 12A3 36 13,9% 16,7% 33,3% 36,1% 12D3 38 7,9% 13,2% 15,8% 63,2% 12D4 40 12,5% 17,5% 35,0% 35,0% Nhận thấy kết số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều số học sinh đạt Lớp Sĩ số điểm yếu, giảm rỏ rệt Hy vọng em có nhiều thành cơng kỳ thi tới Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề khơng tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh C PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau - Chỉ số sai lầm thường gặp học sinh trình giải vấn đề liên quan đến tính tích phân Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 21 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục - Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến Tích phân - Thiết kế cách thức dạy học ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Qua thực tế giảng dạy thân trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn Tích phân nói riêng Tốn học nói chung Vấn đề thấy học sinh khá, giỏi hứng thú giáo viên nêu sai lầm mà học sinh chưa nghĩ đến Trong toán học, cịn nhiều dạng tốn mà học sinh hay mắc sai lầm giải Tơi hy vọng có điều kiện để trình bày vấn đề năm học Đề xuất – Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải tốn Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tịi sai lầm thường mắc giải toán để em tránh sai lầm làm tập Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập Kiên Lương, ngày 10 tháng năm 2013 Người viết sáng kiến Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 22 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục Hồ Tuấn Thoại Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 23 Các sai lầm thường gặp giải tốn ngun hàm, tích phân cách khắc phục DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuẩn kiến thức kỹ toán 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất giáo dục) Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao (Nhà xuất giáo dục) Sách Bài tập Giải tích 12 Nâng cao (Nhà xuất giáo dục) Phương pháp giải tốn Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) Phương pháp giải tốn Tích phân (Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán (Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) Sai lầm phổ biến giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB Giáo dục) 10 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 11 Diễn đàn giáo dục Việt Nam www.giaoducviet.net Giáo viên: Hồ Tuấn Thoại – Trường THPT Kiên Lương Trang 24 ... ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến ngun hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích. ..Các sai lầm thường gặp giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục Đề tài: “CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TỐN NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học. .. giải toán nguyên hàm, tích phân cách khắc phục trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích