Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng kỹ năng tính tích phân các hàm số hữu tỉ để giải một số bài toán trong đề thi đại học và đề thi HSG

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG KỸ NĂNG TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ THI HỌC SINH GIỎI” A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong kỳ thi,việc đối mặt với toán xác định nguyên hàm tính tích phân hàm số việc thường xuyên đòi hỏi học sinh phải có kỹ định xử lý toán này, kỳ thi ĐH thi HSG Dạng toán xác định nguyên hàm tính tích phân hàm số vấn đề rộng phức tạp.Để giúp học sinh tiếp cận cách dễ dàng với vấn đề thường giáo viên chia vấn đề thành phân dạng nhỏ với phương pháp giải đặc trưng tương ứng Trong viết này, không chủ ý phân chia dạng toán tính tích phân hàm số mà sâu vào việc phân tích sử dụng số kỹ tính tích phân công cụ hữu hiệu để xử lý số toán tính tích phân đề thi HSG thi Đại học Khuôn khổ quy định viết không 20 trang, dự kiến viết chủ đề theo hệ thống viết lôgic, cụ thể: Năm học 2012-2013 viết “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng kỹ tính tích phân hàm số hữu tỉ để giải số toán đề thi Đại học đề thi HSG” Những năm học tới viết “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp đổi biến số để giải số toán tích phân hàm số chứa thức đề thi Đại học đề thi HSG” Tiếp theo “Những kỹ quan trọng việc sử dụng phương pháp tích phân phần để giải toán tích phân” Cuối “Một vài ứng dụng tích phân toán học phổ thông” Hệ thống viết giúp cho giáo viên học sinh Trình luyện thi Đại học bồi dưỡng HSG B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý thuyết *Sử dụng công thức bản: dx  x  ln x  C dx  ln x  a  C  xa u '( x)dx  ln u ( x)  C  u ( x) dx x  arctan C  x  a2 a a II Vận dụng Ở xin giới thiệu tích phân bất định(tức toán tìm họ nguyên hàm hàm số) Đối với tích phân xác định dạng, ta việc thay cận vào có kết tương ứng Một số toán mở đầu: 1.1.Sử dụng kỹ tách mẫu số chứa nhân tử đồng bậc ta dễ dàng tính tích phân bất định sau dx ( x  5)  ( x  2) 1   dx   (  )dx ( x  2)( x  5) ( x  2)( x  5) x2 x5 x2 C = ln x5 A1   dx ( x  9)  ( x  3)   dx ( x  3)( x  6)( x  9) ( x  3)( x  6)( x  9) 1  (  )dx ( x  3)( x  6) ( x  6)( x  9) A2     ( x  6)  ( x  3) ( x  9)  ( x  6)   dx 18   ( x  3)( x  6) ( x  6)( x  9)   ( x  3)( x  9) 1 1 1 (    ) dx  ln C 18  x  x  x  x  18  x  6 dx x( x  7)  ( x  8)( x  1)   dx ( x  1) x( x  7)( x  8) 15 ( x  1) x( x  7)( x  8) 1  (  )dx 15  ( x  8)( x  1) x( x  7) ( x  8)  ( x  1) ( x  7)  x   dx   dx 135 ( x  8)( x  1) 105 x( x  7) 1 1 1  (  ) dx  (  )dx 135  x  x  105  x x  x 1 x  ln  ln C 135 x  105 x7 A3   x5 dx d ( x6 ) A4   12  x  3x   ( x  1)( x  2) ( x  1)  ( x  1) 1   d ( x )  (  )d ( x ) 6  ( x  1)( x  2) x  x 1 x6   ln  C x 1 1.2.Dùng kỹ tách mẫu số chứa nhân tử khác bậc ta dễ dàng tính tích phân bất định sau dx 1 x  ( x  3) B1    dx   dx 2 x  3x x( x  3) x( x  3) 1 x   d ( x  3) dx     dx   dx       3 x 3 x  3 x 3 x  11 x2     ln x   ln x   C  ln  C 3 x  dx 1 ( x  4)  x B2     dx   dx 4 x  20 x x( x  4) 20 x( x  4)  1 d ( x  4)       dx    ln x  ln x    C   20  x x   20   x4  ln  C 80 x  B3   dx d (3 x  2)  (3 x  2)(9 x  12 x  7)  (3 x  2) (3 x  2)  11 Đặt t = 3x-2 ta có: dt t  (t  11) 1 t dt  B3     dt    dt    t (t  11) t (t  11)  t  11 t   d (t  11) dt           ln t  11  ln t  t  11 t  3  C  t  11  ln C t2 Vậy (3x  2)2  11 B3  ln C (3x  2)2 2.Bài tập vận dụng nâng cao 2.1.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc hàm bậc ta tính tích phân bất định sau: C1   dx d ( x  1)  x  ( x  1) ( x  1)  3( x  1)  3 Đặt t = x-1 , ta có dt (t  3t  3)  (t  3t ) dt t 3 C1     dt  (  dt ) t (t  3t  3) t (t  3t  3)  t  t  3t  dt 2t  3 dt  (   dt   ) t t  3t  t  3t  dt 2t  3 dt  (   dt   ) t t  3t  t  3t  dt d  t  3t  3 dt  (     ) 3 t t  3t  (t  )  1 t2 2t   ( ln  arctan )C t  3t  3 Vậy 1 ( x  1) 2( x 1)  C1  ( ln  arctan ) C ( x  1)  3( x  1)  3 x2  x  1 2x 1  ln  arctan )C x  x 1 3 C2   dx d ( x  1)  x   ( x  1) ( x  1)  3( x  1)  3 Đặt t = x+1 ,tương tự ta có 1 ( x  1) 2( x  1)  C2  ( ln  arctan )C ( x  1)  3( x  1)  3 x2  x  1 x 1  ln  arctan )C x  x 1 3 xdx xdx ( x  x  1)  ( x  1)2 dx C3     x   ( x  1)( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1)    1 x 1  dx x  dx  (  )dx      dx    x 1 x  x   x 1 x  x  ( x  )2    4 1 2x 1  (ln x   ln x  x   arctan ) C 3 x2  x  1 2x 1  ln  arctan )C x  x 1 3 Biến đổi tương tự ta có xdx xdx 1 ( x  x  1)  ( x  1)2 dx C4     x   ( x  1)( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1)  1 2x 1 (ln x   ln x  x   arctan )C 3 1 x  x  1 2x 1  ln  arctan )C x  x 1 3 x dx d ( x3  1) C5      ln x3   C x 1 x 1 x dx d ( x3  1) C6      ln x3   C x 1 x 1 2.2.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc hàm bậc ta tính tích phân bất định sau: dx dx ( x  1)  ( x  1) D1      dx 2 x  ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)  1 1 x 1 (  ) dx  ln  arctan x  C 2  x 1 x 1 x 1 xdx d ( x2 ) D2     x  ( x  1)( x  1) 1 1 x2 1  (  )d ( x )  ln C x 1 x 1 x 1 1 d ( x  ) x 1 x x D3   dx   dx   1 x 1 x  ( x  )  ( 2) x x 1 (x  )  1 x2  x  x  ln C  ln C 2 (x  1)  2 x2  x 1 x 1 d ( x  ) x 1 x x D4   dx   dx   1 x 1 x  ( x  )  ( 2) x x x2 1  arctan C x dx ( x  1)  ( x  1)dx D5      ( D4  D3 ) x 1 x 1 1 x2 1 x2  x     arctan  ln   C  2 x 2 x  x 1  1 dx ( x  1)  ( x  1) D6    dx x  x2   x4  x2   1 x2  x2 1   dx  dx  x  x    x  x2  1     2  1 x x   dx   dx   ( x2  )  ( x  ) 1  2 x x   1   d ( x  ) d ( x  )  1 x x      ( x  )  ( 3)  ( x  )   x x    1  x  x    1 1 x x   arctan  ln C 2 x     x   x2 1 x2  x   arctan  ln C x x  x 1 2.3.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc hàm bậc ta tính tích phân bất định sau: dx dx ( x3  1)  ( x3  1) E1      dx x  ( x  1)( x3  1)  ( x3  1)( x3  1)  dx dx         (C1  C2 )  x  x  1  ( x  x  1)( x  x  1) 2x 1 2x 1    ln  (arctan  arctan )  C 12 ( x  x  1)( x  x  1) 3  x3dx x d ( x ) E2    x   x6  Đặt t = x2 ta có tdt tdt (t  t  1)  (t  1) dt E2      t  (t  1)(t  t  1) (t  1)(t  t  1)    1 t 1  dt 2t  dt  (  )dt      dt    t 1 t  t 1  t 1 t  t 1 (t  )    4 1 2t   (ln t   ln t  t   arctan )C x4  2x2  1 x2   ln  arctan )C 12 x  x 1 3 x dx ( x  x  1)  ( x  1)  E3    dx x 1 ( x  1)( x  x  1) dx dx dx   2 x 1 x  x 1 x 1 ( x  x  1)( x  x  1)  ln 12 ( x  x  1)( x  x  1)  2x 1 2x 1 x2 1  (arctan  arctan  arctan )C 3 x x4 1 ( x  1)( x  1)dx ( x  1)dx E4   dx   x 1 ( x  1)( x  x  1)  x  x  1 x2  dx  (x  ) 1 x 1  d (x  (x  ) x )  ( 3) x x  1 x  3x  x  ln C  ln C x  3 x2  3x 1 x x4  ( x  x  1)  x dx x2 E5   dx  dx   dx x 1 ( x  1)( x  x  1) x   x6  dx d ( x3 )     arctan x  arctan( x3 )  C x 1 x 1 dx ( x  1)  ( x  1) E6     dx  ( E5  E4 ) x 1 x6  1 1 x  3x    arctan x  arctan( x )  ln C  3 x  3x   Tương tự ta tìm x dx ( x  1)  ( x  1) E7     dx  ( E5  E4 ) x 1 x6  1 1 x  3x    arctan x  arctan( x )  ln  C  3 x  3x   2.4 Sử dụng phương pháp hệ số bất định phương pháp gán giá trị đặc biệt Dạng 1: Mẫu thức tích nhị thức bậc Ví dụ 1: x2  5x  dx Tìm : F1   x  x2  2x Nhận xét: x3 + x2 - 2x =x(x-1)(x+2) Cách 1:Dùng phương pháp hệ số bất định Giả sử x2  5x  A B C    , x x3  x  x x x  x   x  x   A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1) , x (*)  x  x   ( A  B  C ) x  ( A  B  C ) x  A , x  A   2 A      A  B  C  5   B  2 A  B  C    C   Cách 2:Dùng phương pháp gán giá trị đặc biệt Thay x=0 vào (*) ta có A  Thay x=1 vào (*) ta có B  2 Thay x=-2 vào (*) ta có C  Khi x2  5x  3 dx dx dx F1   dx    x 1   x  x  x2  2x 2 x  ln x  ln x   ln x   C 2 Ví dụ 2: x3  dx Tìm : F1   x  5x2  Nhận xét: x4 - 5x2 +4 =(x-1)(x+)(x+2)(x-2) 10 Giả sử x3  A B C D     , x x  5x  x  x  x  x   x  x   A( x  4)( x  1)  B( x  1)( x  2)  C ( x  4)( x  1)  D( x  1)( x  2) , x (*) Thay x=1 vào (*) ta có A  1 Thay x=2 vào (*) ta có B  Thay x=-1 vào (*) ta có C  Thay x=-2 vào (*) ta có D  Vậy x3  F2   dx x  5x  dx dx dx dx        x 1 x  x 1  x  1   ln x   ln x   ln x   ln x   C 6 Dạng 2: Mẫu thức đa thức có nghiệm bội Ví dụ 1: 3x  3x  dx Tìm : F3   x  3x  Nhận xét: x3 - 3x + =(x-1)2(x+2) Giả sử 3x  3x  A B C    , x x3  3x  ( x  1) x  x   x3  3x   A( x  2)  B( x  1)( x  2)  C ( x  1) , x (*) Thay x=1 vào (*) ta có A  Thay x=-2 vào (*) ta có C  11 Thay x=0 vào (*) ta có B  Vậy 3x  3x  F3   dx x  3x  dx dx dx 3  3     ln x   ln x   C   ( x  1) x 1 x  x 1 Ví dụ 2: 4x  F  dx Tìm  ( x  x  3) Nhận xét: (x2 – 4x + 3)2 = (x-1)2(x-2)2 Giả sử 4x  A B C D     , x ( x  x  3) x  ( x  1) x  ( x  3)  x   ( A  C ) x  (7 A  B  5C  D) x  (15 A  B  7C  D) x  (9 A  B  3C  D), x A  C  A  7 A  B  5C  D  B      15 A  B  7C  D  C  3 9 A  B  3C  D   D  Vậy F4   4x  3 dx  (     x  ( x  1)2 x  ( x  3)2 )dx ( x  x  3) 2     3ln x    3ln x    x 1 x 3  Dạng 3: Mẫu thức tích hai đa thức bậc Ví dụ 1: x2  dx Tìm F5   x  x2  12 Nhận xét: x4 + x2 + =(x2+1)2-x2 = (x2 + x + 1)(x2 – x +1) x2  Ax  B Cx  D   , x 2 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x   ( Ax  B)( x  x  1)  (Cx  D)( x  x  1), x  x   ( A  C ) x  ( A  B  C  D ) x  A  B  C  D  x  B  D, x A   A  C   A  B  C  D   B      A  B  C  D  C   B  D   D   Vậy x2  1  1  F5   dx    dx x  x2    x2  x  x2  x     1 d (x  ) d (x  )   x x     2 3  ( x  )2  ( )2   (x  )  ( )  2 2  2x 1 2x 1  (arctan  arctan )C 3 Ví dụ 2: x2 1 dx Tìm F6   x 1 Nhận xét: x4 + =(x2+1)2-2x2 = (x2 + x + 1)(x2 – x +1) x2 1 Ax  B Cx  D   , x 2 x 1 x  2x 1 x  2x 1  x   ( Ax  B)( x  x  1)  (Cx  D)( x  x  1), x 13  x   ( A  C ) x  (  A  B  C  D) x A B   C  D x  B  D, x  A    A  C    B   A  B  C  D     A  B  C  D  C   B  D  1    D     Vậy x2 1  2x  2x   F6   dx    dx x 1   x  x  x  x    (ln x  x   ln x  x  1) x2  x   ln C x  2x 1 2.5.Kỹ thuật chồng nhị thức Ví dụ 1: Tìm (3x  5)10 dx H1   (2 x  1)12 Ta có dx  3x    3x    3x   H1        d   x  ( x  2) 11 x       x2  10 10  3x      C 121  x   11 Ví dụ 2: Tìm H2   dx (2 x  1)3 (3x  1) Ta có 14 dx dx    x  3 (6 x  3)3 (6 x  2)   (6 x  2)  6x   1  (6 x  3)  (6 x  2)   x    3324  d     6x    6x    6x      6x   H  3324. 6x  Đặt u= 6x  (u  1)5 u  5u  10u  10u  5u  H  3  du  3  du 3 u u 10    3324.  u  5u  10    du u u u    u 5u   3    10u  10 ln u     C u 2u   3 Vậy   x  3  x  2 6x   6x   H  3     10  10ln      6x   6x     x    x    6x    6x   5      6x    6x     C  IV Bài tập Chúng xin giới thiệu thêm số tập để quý đồng nghiệp tham khảo kèm theo đáp án Tính tích phân bất định sau: I1   dx ( x  5)( x  2)( x  4) Đáp số: x 5 x4 ln  ln C 63 x  18 x  15 dx x  12 x  100 I2   Đáp số: 1 x 5 x  ln  arctan   C 29 10 x  2 x dx I3   x 1 Đáp số: x2  x  1 x 1 x  ln  arctan )C x  x 1 3 I4   dx ( x  1)( x  2)2 ( x  3)3 Đáp số: x  50 x  68 ( x  1)( x  2)16  ln C 4( x  2)( x  3)2 ( x  3)17 I5   dx x( x3  1) Đáp số: 1 ln x  ln x   ln x  x  3 I6   dx x100  x Đáp số x99 ln C 495 3x99  (7 x  1)99 dx I7   (2 x  1)101 Đáp số:  x 1    900  x   100 I8   dx ( x  3)5 ( x  5)3 C Đáp số: 16 27   x  2  x   x 3  x   15  x    x 3   x 3    20      6   15ln     2     C x 5  x 5  x 5   x 5   x    x      x   I9   dx s inx.cos x Đáp số:(Hướng dẫn, đặt t =cosx đưa I  ln I10   dx  t (t  1) )  cos x 1    C  cos x cos x 3cos3 x 5cos5 x sin xdx cos3 x  s in x-1 Đáp số:(Hướng dẫn, đặt t =cosx đưa I10  t 2tdx )  t  2)  ln  cos x  ln cos x  cos x   arctan(1  cos x)  C 5 C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Khai thác toán quen thuộc, ứng dụng toán đơn giản vào việc giải toán phức tạp cách dạy học tích cực nhằm phát huy tư toán học học sinh, giúp học sinh có khả vận dụng linh hoạt kiến thức để giải dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức học sinh, từ làm cho học sinh yêu thích hăng say học tập môn toán Bằng cách thời gian qua nhà trường phân công giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10, 11, 12 bước đầu thu kết đáng khích lệ Quá trình vận dụng chuyên đề với chuyên đề khác với cách tư tương tự giúp bồi dưỡng lượng học sinh khá, giỏi làm nòng cốt cho kỳ thi học sinh giỏi đồng thời em đạt điểm số môn toán cao kỳ thi tuyển sinh Đại học Cụ thể số lượng học sinh đạt 27 điểm trở lên kỳ thi Đại học trường TPHT Lê Lợi – Thọ Xuân ngày tăng, năm học 2012-2013 xếp top trường có số lượng học sinh thi Đại học đạt điểm cao trường THPT toàn tỉnh Thanh Hóa Chúng tiến hành thống kê sau: 17 Năm học 2012- 2013, hai lớp 12A1 sĩ số 46 12A5 sĩ số 45 chương trình tổng ôn tập, sau học chuyên đề toán phần tập tương tự viết đưa cho em kiểm tra chất lượng kết sau: Đạt điểm 9-10 Đạt điểm 7-8 Đạt điểm 5-6 Đạt điểm Khi chưa học học sinh học sinh 12 học sinh 64 học sinh Đạt tỉ lệ 0% Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ 81,3% 5,5% 13,2% Chuyên đề Khi học 13 học sinh 21 học sinh 27 học sinh 30 học sinh Chuyên đề Đạt tỉ lệ 14,3% Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ 32,9% 23,1% 29,7% Đặc biệt, chuyên đề triển khai cho học sinh lớp 12 năm học 2012-2013 buổi bồi dưỡng HSG em tiếp thu tốt với tinh thần hứng thú sáng tạo cao Trên số kinh nghiệm thân rút trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân thấy chuyên đề với cách dạy thiết thực công việc dạy học, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Mặc dù cố gắng hoàn thiện viết cách cẩn thận nhất, song không tránh khỏi sai sót, mong cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ sung để chuyên đề ngày hoàn thiện hữu ích Cũng mong góp ý quý đồng nghiệp để có dịp trau dồi tích lũy kiến thức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục giao Xác nhận Hiệu trưởng Thanh Hóa,ngày 24 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết, không chép từ nguồn Lê Văn Hà 18 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 Nâng cao- NXB Giáo dục 2007 Đề thi tuyển sinh Đại học đáp án từ năm 2000 đến 2012 Phương pháp giải toán tích phân - Lê Hồng Đức – NXB ĐH Quốc Gia HN Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân- Trần Phương -NXB ĐH Quốc Gia HN 19 Mục lục Nội dung Trang A -Đặt vấn đề B - Giải vấn đề I Cơ sở lý thuyết II.Vận dụng Một số toán mở đầu: 1.1.Sử dụng kỹ tách mẫu số chứa nhân tử đồng bậc 1.2.Dùng kỹ tách mẫu số chứa nhân tử khác bậc 2.Bài tập vận dụng nâng cao 2.1.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc hàm bậc 2.2.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc hàm bậc 2.3.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc hàm bậc 2.4 Sử dụng phương pháp hệ số bất định phương pháp gán giá trị đặc biệt 2.5.Kỹ thuật chồng nhị thức III.Bài tập 14 15 C - Kết đạt học kinh nghiệm Tài liệu tham khảo 17 19 20 [...]... khoa Đại số và Giải tích 12 Nâng cao- NXB Giáo dục 2007 2 Đề thi tuyển sinh Đại học và đáp án từ năm 2000 đến 2 012 3 Phương pháp giải toán tích phân - Lê Hồng Đức – NXB ĐH Quốc Gia HN 4 Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân- Trần Phương -NXB ĐH Quốc Gia HN 19 Mục lục Nội dung Trang A -Đặt vấn đề 1 B - Giải quyết vấn đề 2 I Cơ sở lý thuyết 2 II.Vận dụng 1 Một số bài toán mở đầu: 1.1 .Sử dụng. .. tập tương tự bài viết này được đưa ra cho các em như một bài kiểm tra chất lượng kết quả như sau: Đạt điểm 9-10 Đạt điểm 7-8 Đạt điểm 5-6 Đạt điểm dưới 5 Khi chưa học 0 học sinh 5 học sinh 12 học sinh 64 học sinh Đạt tỉ lệ 0% Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ 81,3% 5,5% 13,2% Chuyên đề Khi đã học 13 học sinh 21 học sinh 27 học sinh 30 học sinh Chuyên đề Đạt tỉ lệ 14,3% Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ Đạt tỉ lệ 32,9%... những bài toán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp hơn là cách dạy học tích cực nhằm phát huy tư duy toán học của học sinh, giúp học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức cơ bản để giải các dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức của học sinh, từ đó làm cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn Bằng cách này trong thời gian qua được nhà trường phân công giảng dạy và bồi... trong kỳ thi Đại học của trường TPHT Lê Lợi – Thọ Xuân ngày càng tăng, năm học 2 012- 2013 được xếp trong top 4 trường có số lượng học sinh thi Đại học đạt điểm cao trong các trường THPT toàn tỉnh Thanh Hóa Chúng tôi đã tiến hành một thống kê sau: 17 Năm học 2 012- 2013, đối với hai lớp 12A1 sĩ số 46 và 12A5 sĩ số 45 trong chương trình tổng ôn tập, sau khi học chuyên đề này các bài toán trong phần bài tập... dụng kỹ năng tách mẫu số chứa các nhân tử đồng bậc 2 1.2.Dùng kỹ năng tách mẫu số chứa các nhân tử khác bậc 3 2 .Bài tập vận dụng nâng cao 2.1 .Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 3 4 2.2 .Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 4 6 2.3 .Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 6 8 2.4 Sử dụng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp 9 gán các giá trị đặc biệt 2.5 .Kỹ thuật chồng nhị thức III .Bài. .. dưỡng học sinh giỏi khối 10, 11, 12 bước đầu đã thu được kết quả đáng khích lệ Quá trình vận dụng chuyên đề này cùng với những chuyên đề khác với cách tư duy tương tự đã giúp tôi bồi dưỡng được một lượng học sinh khá, giỏi làm nòng cốt cho các kỳ thi học sinh giỏi đồng thời các em cũng đạt được điểm số môn toán rất cao trong kỳ thi tuyển sinh Đại học Cụ thể số lượng học sinh đạt 27 điểm trở lên trong. .. Đặc biệt, chuyên đề này đã được triển khai cho học sinh lớp 12 trong năm học 2 012- 2013 ở các buổi bồi dưỡng HSG và các em tiếp thu rất tốt với tinh thần hứng thú và sáng tạo cao Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân chúng tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân tôi thấy chuyên đề này cùng với cách dạy này rất thi t thực trong công việc dạy học, đặc biệt là... dạy học, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hiện nay Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thi n bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn không tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ sung để chuyên đề ngày càng hoàn thi n và hữu ích hơn nữa Cũng rất mong được sự góp ý của quý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hoàn thành tốt... 3  2  6x  3  2   C  IV Bài tập Chúng tôi xin giới thi u thêm một số bài tập để quý đồng nghiệp tham khảo kèm theo đáp án Tính các tích phân bất định sau: I1   dx ( x  5)( x  2)( x  4) Đáp số: 1 x 5 1 x4 ln  ln C 63 x  2 18 x  2 15 dx x 4  12 x 2  100 I2   Đáp số: 1 1 x 5 1 x  ln  arctan   C 29 10 x  5 2 2 x 3 dx I3   3 x 1 Đáp số: 1 x2  2 x  1 1 2 x 1 x  ln... số: (Hướng dẫn, đặt t =cosx đưa về I 9  ln I10   dx  t (t 2  1) ) 6 1  cos x 1 1 1    C 1  cos x cos x 3cos3 x 5cos5 x sin 2 xdx cos3 x  s in 2 x-1 Đáp số: (Hướng dẫn, đặt t =cosx đưa về I10  t 3 2tdx )  t 2  2) 2 1 6  ln 1  cos x  ln cos 2 x  2 cos x  2  arctan(1  cos x)  C 5 5 5 C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Khai thác những bài toán quen thuộc, ứng dụng những bài