tuyển tập 50 đề thi HSG Toán lớp 8

50 đề bồi dỡng Toán 8 đề 1 (43) Câu 1: Cho x = 2 2 2 2 b c a bc + ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a + Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phơng trình: a, 1 a b x+ = 1 a + 1 b + 1 x (x là ẩn số) b, 2 2 ( )(1 )b c a x a + + + 2 2 ( )(1 )c a b x b + + + 2 2 ( )(1 )a b c x c + + = 0 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Câu 3: Xác định các số a, b biết: 3 (3 1) ( 1) x x + + = 3 ( 1) a x + + 2 ( 1) b x + Câu 4: Chứng minh phơng trình: 2x 2 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Câu 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đờng cao xuất phát từ B và C Đề 2 (44) Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn: a b c c + = b c a a + = c a b b + Tính giá trị M = (1 + b a )(1 + c b )(1 + a c ) Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x 4 7x 3 + ax 2 + 3x +2 Chia hết cho y(x) = x 2 x + b Câu 3: Giải PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 1 50 đề bồi dỡng Toán 8 b, 4x 2 + 4y 4xy +5y 2 + 1 = 0 Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó. Câu 5: Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho: AD = EC = DE = CB. a, Nếu AB > 2BC. Tính góc à A của ABCV b, Nếu AB < BC. Tính góc à A của HBCV . đề 3 (45) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a 3 + b 3 + c 3 3abc b, (x-y) 3 +(y-z) 3 + (z-x) 3 Câu 2: Cho A = 2 2 2 (1 ) 1 x x x + : 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 x x x x x x + + + a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= - 1 2 c, Tìm x để 2A = 1 Câu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x 2 + y 2 + z 2 b, Tìm giá trị lớn nhất của P = 2 ( 10) x x + Câu 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < a a b+ + b b c+ + c c a+ < 2 b, Cho x,y 0 CMR: 2 2 x y + 2 2 y x x y + y x Câu 5: Cho ABCV đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 2 50 đề bồi dỡng Toán 8 a, Tính số đo các góc ACMV b, CMR: AM AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR MNPV đều. đề 4 (46) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a 8 + a 4 +1 b, a 10 + a 5 +1 Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A = 2 2 2 1 b c a+ + 2 2 2 1 c a b+ + 2 2 2 1 a b c+ b, Cho biểu thức: M = 2 2 3 2 15 x x x + + Rút gọn M + Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên. Câu 3: a, Cho abc = 1 và a 3 > 36, CMR: 2 3 a + b 2 + c 2 > ab + bc + ca b, CMR: a 2 + b 2 +1 ab + a + b Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x 2 + 2xy + y 2 - 2x + 2y +1 b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a 3 + b 3 + c 3 + a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a+b) Câu 5: a, Tìm x,y,x Z biết: x 2 + 2y 2 + z 2 - 2xy 2y + 2z +2 = 0 b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3 Câu 6: Cho ABCV . H là trực tâm, đờng thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D. a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành. b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc à A và à D của tứ giác ABDC. Đề 5 (47) Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 3 50 đề bồi dỡng Toán 8 Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x 2 x +2) 2 + (x-2) 2 b, 6x 5 +15x 4 + 20x 3 +15x 2 + 6x +1 Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị của A = a 4 + b 4 + c 4 b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x 2003 + y 2003 + z 2003 Biết x,y,z thoả mãn: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + + + = 2 2 x a + 2 2 y b + 2 2 z c Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR: 1 a + 1 b 4 a b+ b, Cho a,b,c,d > 0 CMR: a d d b + + d b b c + + b c c a + + c a a d + 0 Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E = 2 2 2 2 x xy y x xy y + + + với x,y > 0 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = 2 ( 1995) x x + với x > 0 Câu 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy 4x = 35 5y b, Tìm nghiệm Z của PT: x 2 + x + 6 = y 2 Câu 6: Cho ABCV M là một điểm miền trong của ABCV . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A, B, C là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: ABAB là hình bình hành. b, CMR: CC đi qua trung điểm của AA Đề 6 (48) Câu 1: Cho a x y+ = 13 x z+ và 2 169 ( )x z+ = 27 ( )(2 )z y x y z + + Tính giá trị của biểu thức A = 3 2 2 12 17 2 2 a a a a + Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 4 50 đề bồi dỡng Toán 8 Câu 2: Cho x 2 x = 3, Tính giá trị của biểu thức M = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 2 Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3) b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = 1 x + 1 y Câu 4: a, Cho 0 a, b, c 1 CMR: a 2 + b 2 + c 2 1+ a 2 b + b 2 c + c 2 a b, Cho 0 <a 0 <a 1 < < a 1997 CMR: 0 1 1997 2 5 8 1997 a a a a a a a + + + + + + + < 3 Câu 5: a,Tìm a để PT 4 3x = 5 a có nghiệm Z + b, Tìm nghiệm nguyên dơng của PT: 2 x x y z+ + + 2 y y x z+ + + 2 z z x y+ + = 3 4 Câu 6: Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc ã MAB cắt BC tại P, kẻ phân giác góc ã MAD cắt CD tại Q CMR PQ AM đề 7 (49) Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn: 2 2 2 2 b c a bc + + 2 2 2 2 c a b ac + + 2 2 2 2 a b c ab + = 1 Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1. Câu 2: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất A = 3 3 1 1x y+ + + 3 3 1 1y z+ + + 3 3 1 1z x+ + Câu 3: Cho M = a 5 5a 3 +4a với a Z Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 5 50 đề bồi dỡng Toán 8 a, Phân tích M thành nhân tử. b, CMR: M M 120 a Z Câu 4: Cho N 1, n N a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n = ( 1) 2 n n + b, CMR: 1 2 +2 2 + 3 2 + +n 2 = ( 1)(2 1) 6 n n n+ + Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: x 2 = y(y+1)(y+2)(y+3) Câu 6: Giải BPT: 2 2 2 1 x x x + + + > 2 4 5 2 x x x + + + - 1 Câu 7: Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3 CMR: a 2 + b 2 + c 2 5 Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 15 0 cắt AD tại E CMR: BCEV cân. đề 8 (50) Câu 1: Cho A = 3 2 3 2 2 1 2 2 1 n n n n n + + + + a, Rút gọn A b, Nếu n Z thì A là phân số tối giản. Câu 2: Cho x, y > 0 và x+y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - 2 1 x )(1 - 2 1 y ) Câu 3: a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác CMR: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab+bc+ca) b, Cho 0 a, b , c 1 Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 6 50 đề bồi dỡng Toán 8 CMR: a + b 2 +c 3 ab bc ca 1 Câu 4: Tìm x, y, z biết: x+yz = y+z-x = z+x-y = xyz Câu 5: Cho n Z và n 1 CMR: 1 3 + 2 3 +3 3 + +n 3 = 2 2 ( 1) 4 n n+ + Câu 6: Giải bất phơng trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5 Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94. Câu 8: Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN CMR: AK = BC đề 9 (51) Câu 1: Cho M = a b c+ + b a c+ + c a b+ ; N = 2 a b c+ + 2 b a c+ + 2 c a b+ a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0 b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không? Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2 CMR: 2 a b c+ + 2 b a c+ + 2 c a b+ 1 Câu 3: Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z Câu 4: a, Tìm các số nguyên x để x 2 2x -14 là số chính phơng. b, Tìm các số ab sao cho ab a b là số nguyên tố Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 7 50 đề bồi dỡng Toán 8 Câu 5: Cho a, b, c, d là các sô nguyên dơng CMR: A = a a b c+ + + b a b d+ + + c b c d+ + + d a c d+ + không phải là số nguyên. Câu 6: Cho ABCV cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP CMR: BC PC Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x 2 + 2 1 x + 2 4 y = 4 (x 0) Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất đề 10 (52) Câu 1: Cho a, b, c > 0 và P = 3 2 2 a a ab b+ + + 3 2 2 b b bc c+ + + 3 2 2 c c ac a+ + Q = 3 2 2 b a ab b+ + + 3 2 2 c b bc c+ + + 3 2 2 a c ac a+ + a, CMR: P = Q b, CMR: P 3 a b c+ + Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0 Câu 3: CMR x, y Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y 4 là số chính phơng. Câu 4: a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m 2 + n 2 = m + n + 8 b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x 2 y = (x 2 +1)(x 2 +y 2 ) Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 2 4 3 1 x x + + Câu 6: Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 8 50 đề bồi dỡng Toán 8 Cho x = 2 2 2 2 b c a ab + ; y = 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a + Tính giá trị: M = 1 x y xy + Câu 7: Giải BPT: 1 x a x < (x là ẩn số) Câu 8: Cho ABCV , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC Đề 11 (53) Câu 1: Cho x = a b a b + ; y = b c b c + ; z = c a c a + CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z) Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = 4 2 2 1 ( 1) x x + + Câu 3: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1 CMR: b+c 16abc b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau: 2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1 3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3 Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m 2 1 Câu 5: a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x 2 + y 2 + z 2 = xyz b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phơng. Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó. Câu 7: Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 9 50 đề bồi dỡng Toán 8 Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC CMR: E, O, F thẳng hàng. đề 12 (54) Câu 1: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 d 1 f(x) chia cho x-4 d 8 f(x) chia cho (x+3)(x-4) thơng là 3x và d Câu 2: a, Phân tích thành nhân tử: A = x 4 + 2000x 2 + 1999x + 2000 b, Cho: 2 2 2 x yz y zx z xy a b c = = CMR: 2 2 2 a bc b ca c ab x y z = = Câu 4: CMR: 1 9 + 1 25 + + 2 1 (2 1)n + < 1 4 Với n N và n 1 Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = 2 2 2 2 x xy y x y + + + (x0; y0) Câu 6: a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x 2 + 4x = 19 3y 2 b, CMR phơng trình sau không có nghiệm nguyên: x 2 + y 2 + z 2 = 1999 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đờng vuông góc AB, AD tại E, F. a, CMR: CF = DE; CF DE b, CMR: CM = EF; CM EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui đề 13 (55) Câu 1: Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 10 [...]... abc > 0 CMR: Cả 3 số đều dơng Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 10x10 +10 Câu 5: Với giá trị nào của A thì PT: Lê Anh Tuấn 35 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 2 x a + 1 = x + 3 có nghiệm duy nhất Câu 6: Cho VABC đờng thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có SVDEF không lớn hơn 1 SVABC 4 b, Xác định vị trí D, E để SVDEF lớn nhất Đề 45 (88 ) Câu 1: a, Cho 1... điểm của IA, IB, IC a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm Lê Anh Tuấn 20 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 đề 25 (67) Câu 1: Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau Câu 2: Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng... ME, MF là trung tuyến của VAMB;VAMC đề 35 (77) Câu 1: a, Cho các số a, b, c là 3 số khác nhau CMR: ba ca a b 2 2 2 + + = + + (a b)(a c) (b c)(b a) (c a )(c b) a b b c c a b, Tìm x, y, z biết: x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz Câu 2: Giải PT: x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + = + 58 57 56 55 Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất Lê Anh Tuấn 28 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 A= 1 1 1 + 3 3 + 3 (x, y, z > 0;... 2 + 2 2 b +c c +a a +b b+c c +a a +b Câu 6: Cho VABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Từ M vẽ góc 450, hai cạnh của góc cắt AB, AC tại E, F a, Xác định vị trí của E, F để SVMEF đạt giá trị lớn nhất Lê Anh Tuấn 32 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 b, SVMEF lớn nhất là bao nhiêu? đề 41 (83 ) Câu 1: a, Cho a+b+c = 0 CMR: ( ab bc c a c a b + + )( + + )=0 c a b a b bc c a b, CMR với mọi x, y... PT: 2x-5y-6z =4 Câu 7: Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ VBCF đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ VABE đều CMR: D, E, F thẳng hàng Đề 14 (56) Câu 1: x x y y2 1 x 2 ):( 3 + ): Cho A = ( 2 2 y + xy x + xy x xy x+ y y Lê Anh Tuấn 11 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 a, Tìm TXĐ của A b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0 Câu 2: a, Giải PT: x4 + 2x3 2x2 + 2x - 3... số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số đề 26 ( 68) Câu 1: Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 Tính: x y x+ y Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn: abc = 1 và a b c a2 c2 b2 + + = + + b2 c2 a 2 c b a CMR: Có ít nhất 1 phân số là bình phơng của một trong 2 số còn lại Câu 3: Lê Anh Tuấn 21 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 BPT: 16+5x > 3+11 và 7x 3... vuông ABCD có cạnh là 1, trên AB, AD lấy M,N sao cho 0 ã MCN = 45 Tính chu vi VAMN đề 27 (69) Câu 1: Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 (x-4)2 a, Rút gọn A = M N b, CMR: Nếu x chẵn A tối giản Câu 2: Tìm số có 4 chữ số abcd thỏa mãn: Lê Anh Tuấn 22 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 7 38( bcd +b+ d) Câu 3: CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 1 Câu 4: Cho số chính phơng M gồm... abc(a+b+c) Lê Anh Tuấn 23 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 b, CMR: Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác thì: a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc) Câu 5: Cho x, y thoả mãn: x2+y2 = 4+xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = x2+y2 Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1 Trên AB, AD lấy P, Q sao cho VAPQ cân có chu vi là 2 a, CMR: PQ + QD = PQ ã b, CMR: PCQ = 450 Đề 29 (71) Câu 1: Cho A = 4bc a 2 4ca... CMR: 0 a, b, c 4 3 Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x1) Lê Anh Tuấn 14 Trờng THCS Vĩnh Khúc 50 đề bồi dỡng Toán 8 Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của PT: xy xz yz + + =3 z y x Câu 7: ã Cho VABC biết đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc BAC thành 3 phần bằng nhau Xác định các góc của VABC Đề 18 (60) Câu 1: a 2 bc b 2 ac c 2 ab + + Rút gọn: M = (a + b)(a + c) (b + a )(b + c) (a + c)(a + b) Câu... cho 4 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng, 2 mệnh đề sai: a, A chia hết cho 5 c, A + 7 là số chính phơng b,A chia hết cho 23 d, A 10 là số chính phơng Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD CMR: AD.BC + DC.AB AC.BD Câu 6: Cho VABC , O là điểm nằm trong tam giác ABC, đờng thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh của VABC tại A1, B1, C1 OA OB OC Tìm vị trí của O để: P = OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất 1 1 1 Đề 38 (80 ) Câu 1: . AD tại E, F. a, CMR: CF = DE; CF DE b, CMR: CM = EF; CM EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui đề 13 (55) Câu 1: Lê Anh Tuấn Trờng THCS Vĩnh Khúc 10 50 đề bồi dỡng Toán 8 a, Rút gọn: A = (1- 2 4 1 )(1- 2 4 3 ). (x 2 -x+1)(x 4 -x 2 +1)(x 8 -x 4 +1)(x 16 -x 8 +1)(x 32 -x 16 +1) Câu 2: a, Tìm số nguyên dơng n để n 5 +1 chia hết cho n 3 +1 b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax 3 +bx 2 +c chia hết cho x+2 và chia cho x 2 -1 thi d. a 2 + b 2 + c 2 5 Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 15 0 cắt AD tại E CMR: BCEV cân. đề 8 (50) Câu 1: Cho A = 3 2 3