Kẻ đường kính BM của O.. Gọi I là giao điểm của BM và DE, K là giao điểm của AC và HM.. a/ Chứng minh rằng: Các tứ giác AEDC và CMID là các tứ giác nội tiếp.. Vẽ đường tròn đi qua M và t
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HƯƠNG THỦY KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 2008 - 2009
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4điểm)
a/ Chứng minh rằng:
3 2 2
3 2
+ +
+
+
3 2 2
3 2
−
−
−
= 2 b/ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình sau:
1
y
1 x
1 2
2 + = (1) và x 2 −1+ y 2 −1 = xy+2 (2)
Câu 2: (6 điểm)
a/ Tìm nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình: (x 2 + 4y 2 + 28) 2 = 17(x 4 + y4 + 14y2 + 49) b/ Tìm n ∈ Z để n + 26 và n – 11 đều là lập phương của số nguyên dương
c/ Cho biểu thức A = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 3002 Tìm giá trị x và y để A đạt min
Câu 3: (2điểm)
Giải hệ phương trình: x 3 y 2 5
(x 3)(y 2) 6
Câu 4: (4 điểm) Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với hai đường cao AD và CE cắt nhau tại trực tâm H Kẻ đường kính BM của (O) Gọi I là giao điểm của BM và DE, K là giao điểm của AC và HM
a/ Chứng minh rằng: Các tứ giác AEDC và CMID là các tứ giác nội tiếp
b/ Chứng minh rằng: OK ⊥ AC
Câu 5: (4 điểm) Cho ∆ABC nội tiếp (O) và một điểm M bất kỳ trên đường thẳng BC (M ≠
B và C) Vẽ đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B; vẽ đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là P
Chứng minh rằng: P ∈ (O) và đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên BC
Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN TOÁN HSG HUYỆN 2008 - 2009 Câu 1: a/ (2 đ) Để ý rằng 2 + 3 = 4 2 3
2
+ = ( 3 1) 2
2
+ Tương tự thì 2 – 3 = ( 3 1) 2
2
−
Vế trái:
3 2 2
3 2
+ +
+
+
3 2 2
3 2
−
−
−
2 ( 3 1) : 2
+
2 ( 3 1) : 2
−
) 3 3
3 2 3
3
3
2
(
2
−
− + +
) 3
9
3 3 3 3 2 6 3 3 3 3 2 6 ( 2
−
−
− +
+
− +
2: Vế phải b/ (2đ) Điều kiện: x 2≥ 1; y2≥ 1; xy + 2 ≥ 0 Từ phương trình (1) ta có x 2 + y 2 = x 2y2 (3).
Bình phương hai vế phương trình (2) ta có x2 – 1+ y 2 – 1 + 2 x 2 −1 y 2 −1 = xy + 2 hay
x2 + y 2 +2 x 2 y 2 −( x 2 +y 2 )+1 – xy – 4 = 0 (4) Thay (3) vào (4) ta có PT: (xy) 2 – xy – 2 = 0
⇔ (xy – 2)(xy + 1) = 0 ⇔ xy – 2 = 0 hoặc xy + 1 = 0.
* Nếu xy – 2 = 0 ⇔ xy = 2 thì thay vào (3) ta có được: x2 + y 2 = 4 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 4
⇔ (x + y)2 = 8 ⇔ x + y = ±2 2 Giải hệ
=
±
= +
2 xy
2 2 y x
⇔
=
=
2 y
2 x
hoặc
−
=
−
=
2 y
2 x
Các giá trị x; y tìm được đều thỏa điều kiện nên được chọn
* Nếu xy + 1 = 0 hay xy = – 1 thì thay vào (3) ta có được x 2 + y 2 = 1 ⇔ (x + y)2 – 2xy = 1
⇔ (x + y) 2 = – 1 < 0: Vô lý.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (x; y) = ( 2 ; 2 ) và (– 2 ; – 2 ).
Câu 2
a/ (2điểm) Biến đổi tương đương PT đã cho: (*) ⇔ [x 2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2]
⇔ x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2 ⇔ 16x 4 – 8x 2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0
⇔ [4x 2 – (y 2 + 7)]2 = 0 ⇔ 4x 2 – y 2 – 7 = 0 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7 (1)
Vì x; y ∈ N nên 2x – y ≤ 2x + y và 2x + y ≥ 0, chúng đều có giá trị nguyên nên suy được
=
−
=
+
1
y
x
2
7
y
x
2
⇔
=
=
3 y
2 x
Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là: (2; 3)
Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski để có:
[1x 2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ (1 2 + 42)[x4 + (y2 + 7)2 ] hay [x 2 + 4(y2 + 7)]2 ≤ 17[x 4 + (y2 + 7)2], dấu bằng xảy ra (tức là có PT (*)) khi 4x2 = y 2 + 7 ⇔ (2x – y)(2x + y) = 7 Làm tiếp như trên b/(2 điểm) n + 26 = a 3 và n – 11 = b 3 với a > b ∈ N* ⇒ a3 – b 3 = 37⇔ (a2 + ab + b 2 )(a – b) =
37 Ta có số 37 là số nguyên tố và do a > b ∈ N* nên (a 2 + ab + b 2 ) > (a – b) và là các số tự
Trang 3nhiên ⇒
−
+
+
1
= b a
37
= b ab
⇔
−
−
−
b
= 1 a
0
= 2 1 a
a 2
⇔ a = 4 và b = 3 (còn a = – 3 và b = – 4 bị loại) Thay vào đẳng thức n + 26 = a 3 hoặc n – 11 = b 3 ta có n = 38.
c/ (2điểm) Biến đổi biểu thức A = (x 2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) – x – y + xy + 1 + 2009
= (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + 2009 = [(x – 1) +
2
1
(y – 1)] 2 +
4
3
(y – 1)2 + 2009
Có [(x – 1) +
2
1
(y – 1)] 2 ≥ 0 và
4
3
(y – 1)2 ≥ 0 ∀x; y nên Amin = 2009 khi (y – 1)2 = 0
và [(x – 1) +
2
1
(y – 1)] 2 = 0 ⇔ x = 1 và y = 1 Vậy A min = 2009 khi (x; y) = (1; 1)
Câu 3 (2đ) Để sử dụng định lý Viét đảo ta cần biến đổi hệ phương trình thành tổng và tích:
−
=
−
+
=
−
+
+
6 ) 2 y
)(
3
x
(
5 2 y
3
x
⇔
<
− +
=
− +
=
− + +
0 ) 2 y )(
3 x (
6 2 y 3 x
5 2 y 3 x
Xem x+3 và y−2 là hai nghiệm của PT:
X2 – SX + P = 0 tức là: X2 – 5X + 6 = 0 X1 = 2; X2 = 3 Vậy ta có hai hệ PT sau:
(I)
<
− +
=
−
=
+
0 ) 2 y )(
3
x
(
3 2
y
2 3
x
và (II)
<
− +
=
−
= +
0 ) 2 y )(
3 x (
2 2 y
3 3 x
.
*Giải hệ (I): Hệ (I) ⇔
−
=
−
= +
3 2 y
2 3 x
hoặc
=
−
−
= +
3 2 y
2 3 x
⇔
−
=
−
=
1 y
1 x
hoặc
=
−
=
5 y
5 x
*Giải hệ (II): Hệ (II) ⇔
−
=
−
= +
2 2 y
3 3 x
hoặc
=
−
−
= +
2 2 y
3 3 x
⇔
=
=
0 y
0 x hoặc
=
−
=
4 y
6 x
Vậy hệ PT đã cho có 4 nghiệm là: (–1; –1); (– 5; 5); (0; 0); (– 6; 4)
Câu 4 a/ Theo giả thiết: · AEC ADC= · = 900 Tứ giác AEDC có hai đỉnh kề D và E cùng nhìn đoạn AC dưới một góc 900 nên nội tiếp đường tròn ⇒ ·BAC = ·BDE (cùng bù với
·EDC ), mà ·BAC = ·BMC (góc nội tiếp cùng chắn »BC) Vậy ·BDE = ·BMC nên tứ giác DIMC nội tiếp đường tròn b/ BM là đường kính của (O) nên ·BAM = ·BCM = 90 0 (chắn nửa đường tròn) Suy ra HC // AM (cùng ⊥ AB) và HA // CM
(cùng ⊥ BC) nên AMCH là hình bình hành ⇒ K là trung điểm của đường chéo AC Vậy OK ⊥ AC (quan hệ đường kính và dây cung)
K H
I
M
D
E
O
A
Trang 4Câu 5 Trước hết cần chứng minh P ∈ (O) với mọi vị trí M Xét các trường hợp:
*Điểm M thuộc cạnh BC: Do AB tiếp xúc với đường tròn (BPM) nên ·BPM = ·ABC (vì
cùng chắn ¼ BM ) Do AC tiếp xúc với đường tròn (CPM) nên ·CPM = ·ACB (chắn ¼ CM ). Suy ra ·BAC + ·BPC = Â + µ µ B C+ = 180 0 nên tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn
Qua ba điểm A, B, C chỉ xác định được một đường tròn (O) nên P ∈ (O).
P N
P
O
O A
M
* Điểm M thuộc tia Bx là tia đối của tia BC (hoặc M thuộc tia Cy là tia đối của tia CB)
Chứng minh tương tự có ·PBA = ·PMC (chắn »PB ) và ·PCA = ·PMC (chắn »PC ) nên
·PBA = ·PCA Hai đỉnh kề B và C của tứ giác ACBP cùng nhìn đoạn PA dưới những góc bằng nhau nên nội tiếp đường tròn Suy ra P ∈ (O)
Gọi N là giao điểm của đường thẳng PM với (O) thì trong cả hai trường hợp ta đều có:
·ANP = ·ACP (chắn »AP ) và ·ACP = ·NMC ⇒ ·ANP = ·NMC , chúng ở vị trí so le nên
AN // BC Do ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O) cho trước và AN // BC với N ∈ (O) nên điểm
N cố định Vậy PM đi qua điểm N cố định.