Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
PHềNG GIO DC V O TO LM THAO THI CHN HC SINH GII LP 9 Nm hc 2012 - 2013 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Bi 1: (3,0 im): Cho x x 1 x x 1 M x x x x + = + a) Tỡm iu kin M cú ngha. b) Rỳt gn M (vi iu kin M cú ngha) Bi 2 : (4,5 im) a) Tớnh : 4 5 3 5 48 10 7 4 3A= + + + b) Gii phng trỡnh : 2 2 10 12 40x x x x + = + Bi 3. (4,0 im) a) Tỡm cỏc s nguyờn ;x y tha món: 2 2 3 2 0y xy x+ = b) Tỡm s t nhiờn n : 2012 2002 1A n n= + + l s nguyờn t. Bi 4: (3,5 im) Cho ng trũn (O;R) v mt im A ngoi ng trũn. T mt im M di ng trờn ng thng d vuụng gúc vi OA ti A. V cỏc tip tuyn MB, MC vi ng trũn (O;R), trong ú B, C l cỏc tip im. Dõy BC ct OM v OA ln lt ti H v K. a) Chng minh rng OA.OK khụng i, t ú suy ra BC luụn i qua mt im c nh. b) Chng minh rng H di ng trờn mt ng trũn c nh. Bi 5: (5,0 im ) Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cnh BC ly im M, trờn cnh CD ly im N. Tia AM ct ng thng CD ti K. K AI vuụng gúc vi AK ct CD ti I. 1. Chng minh : 222 111 ABAKAM =+ 2. Bit gúc MAN cú s o bng 45 0 , CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tớnh din tớch tam giỏc AMN. 3. T im O trong tam giỏc AIK k OP, OQ, OR ln lt vuụng gúc vi IK, AK, AI (P IK, Q AK, R AI). Xỏc nh v trớ im O 222 OROQOP ++ nh nht. Tỡm giỏ tr nh nht ú. ___________________________ Họ và tên thí sinh: . Số báo danh : Phòng thi Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2012 - 2013 MÔN: Toán Bài 1: (3,0 điểm): Cho x x 1 x x 1 M x x x x − + = − − + a. Tìm điều kiện để M có nghĩa. (1,0 đ) Để M có nghĩa, ta có: x 0 x x 0 x x 0 ≥ − ≠ + ≠ ⇔ x 0 x( x 1) 0 x( x 1) 0 ≥ − ≠ + ≠ ⇔ x 0 x 1 > ≠ b. Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ) Với x > 0, 1 ≠ ta có: 2 (x x 1)(x x) (x x 1)(x x) M x x − + − + − = − = 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x + − − − + − + − = 2 2 2x 2x x x − − 2 2 2(x x) x x − = − = 2. Vậy M = 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 : (4,5 điểm) a) (2 điểm) Tính : 4 5 3 5 48 10 7 4 3A= + + − + Ta có : ( ) 2 4 5 3 5 48 10 2 3A= + + − + ( ) 4 5 3 5 48 10 2 3A= + + − + 4 5 3 5 28 10 3A= + + − ( ) 2 4 5 3 5 5 3A= + + − ( ) 4 5 3 5 5 3A= + + − = 4 5 3 25 5 3+ + − = 4 5 3+ = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 b) (2 điểm) Giải phương trình : 2 2 10 12 40x x x x − + − = − + Điều kiện : 2 10x ≤ ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 10 4 2 10 2 .4 10 .4 2 2 2 2 x x x x x x − + − + − + − = − + − ≤ + ÷ = 4 Dấu “ = ” xảy ra 2 4 6 6 10 4 6 x x x x x − = = ⇔ ⇔ ⇔ = − = = (1) Mặt khác : ( ) ( ) 2 2 2 12 40 12 36 4 6 4 4x x x x x − + = − + + = − + ≥ Dấu “=” xảy ra 6 0 6x x⇔ − = ⇔ = (2) Kết hợp (1) và (2) Phương trình có nghiệm duy nhất là : 6x = 0,5 0,5 0,5 0.5 Bài 3. (4,0 điểm) a) (2 điểm) Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x+ − − = 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 ( ) ( 1)( 2)y xy x x xy y x x x y x x+ − − = ⇔ + + = + + ⇔ + = + + (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. 1 0 1 1 2 0 2 2 x x y x x y + = = − ⇒ = ⇔ ⇔ + = = − ⇒ = Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1)x y = − hoặc ( ; ) ( 2;2)x y = − 0,5 1,0 0,5 b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1A n n = + + là số nguyên tố. Xét 0n = thì A = 1 không phải nguyên tố; 1n = thì A = 3 nguyên tố. Xét n > 1: A = n 2012 – n 2 + n 2002 – n + n 2 + n + 1 = n 2 ((n 3 ) 670 – 1) + n.((n 3 ) 667 – 1) + (n 2 + n + 1) Mà (n 3 ) 670 – 1) chia hết cho n 3 -1, suy ra (n 3 ) 670 – 1) chia hết cho n 2 + n + 1 Tương tự: (n 3 ) 667 – 1 chia hết cho n 2 + n + 1 Vậy A chia hết cho n 2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần tìm n = 1. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. d A M K H C O B A Chỉ ra ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) => OH = OK => OA.OK = OH.OM (1) OA OM 1,0 Xét tam giác BOM vuông tại B ( ) 2 . 2OB OH OM⇒ = 0,5 Từ (1) và (2) 2 2 . R OAOK R OK OA ⇒ = ⇒ = (không đổi) 0,5 Vậy BC đi qua điểm K cố định. 0,5 Ta có góc OHK = 90 O ; OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định. 0,5 0,5 Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1. Chứng minh : 222 111 ABAKAM =+ 2. Biết góc MAN có số đo bằng 45 0 , CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN. 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P ∈ IK, Q ∈ AK, R ∈ AI). Xác định vị trí điểm O để 222 OROQOP ++ nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 1 2,0đ Ta có: )1(AIAMADIABM =⇒∆=∆ (vì …. ) Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: )2( 111 222 ADAKAI =+ (… ) và AB = AD (3) (….) Từ (1), (2), (3) 222 111 ABAKAM =+⇒ 0,5 0,5 0,25 0,75 2 2,0đ Kẻ AH vuông góc với MN )( MNH ∈ . Do CM + CN = 7 và CM - CN = 1 ⇒ CM = 4; CN = 3 ⇒ MN = 5 Ta có MNINADAHAINAMN =⇒=⇒∆=∆ MHIDAIDAMH =⇒∆=∆ mà BMMHBMID =⇒= Ta lại có : 5 ==+ MNBMDN và 1=−=−⇒+=+ CNCMBMDNDNCNBMCM ⇒ DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6 ⇒ )(155.6. 2 1 . 2 1 2 cmMNAHS AMN === ∆ 0,5 0,5 0,5 0,5 3 1,0đ Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật 222 )( 222 22222 ADAPOPOA OPOAOROQOP ≥≥ + ≥+=++ 222 OROQOP ++ nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD. 0,5 0,5 A B C D K I M H N