Sở GD - ĐT Thanh Hoá
đề thi vào lớp 10 lam sơn (37)– Môn : Toán Thời gian: 150 phút
Bài 1: ( 1điểm )
Rút gọn
1 2
1 4 4 1 4 1 2
1
−
+
−
−
−
−
−
+
=
m
m m m
m
m A
Bài 2: ( 2 điểm )
Giải
= +
+
−
=
− + +
4013 2006
2007
4013 2007
2006
y x
y x
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Cho x2 + 2mx+ 4m= 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn | x1 - x2 | =1
Bài 4: ( 1,0 điểm )
Tìm các số nguyên a, b, c thảo mãn
a2 +b2 +c2 + 3 <ab+ 3b+ 2c
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Cho a,b,c dơng thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng:
2
3 3
2 2 2 2 2
+
+ +
+
c a
c
b c
b a
Bài 6: ( 3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD trên AB lấy điểm P nằm giữa A và B nối CP cắt DA tại I Đờng vuông góc với CP tại C cắt AB tại K
a Tính góc CIK
b Gọi M là giao điểm của AC và BD; N là trung điểm IK
Chứng minh M , B, N thẳng hàng
c Chứng minh IK = 2CK Tính PI theo a và x với AB=a; BP=x
d Từ P hạ PQ vuông góc với IK ( Q∈ IK) Chứng minh P di động trên AB thì Q di
động trên một đờng tròn cố định
Trang 2Sở GD - ĐT Thanh Hoá
đáp án và thang điểm đề thi vào lớp 10 lam sơn–
Điều kiện: ( )( )
>
−≤
⇔
≠−
≥−
+
2 1 2
1 0
1 2
0 1 21 2
m
m m
m
Nếu m>12 :
1 2
1
=
− +
− +
−
− +
−
m A
0,25
Nếu
2
1
−
≤
1 2
1 2
−
+
=
m
m
Điều kiện
≥
≥
2007
2007
y
Hệ phơng trình suy ra: x+ 2006 + y− 2007 = x− 2007 + y+ 2006
⇔ (x+ 2006 )(y− 2007 ) = (x− 2007 )(y+ 2006 )
⇔ x= y
0,5
Từ
=
=
− +
+
y x
y
x 2006 2007 4013
⇒ x+ 2006 − y− 2007 = 1
0,75
⇒
=
−
− +
=
− +
+
1 2007 2006
4013 2007
2006
y x
x
x
⇒ x=y= 4026043
0.5
Yêu cầu bài toán ⇔
=
−
≥
∆
1
0
2 1
,
x
= +
−
≥
−
1 2
0 4
2 2 2 1
2 1
2
x x x x m
Trang 3⇔ ( )
=
−
−
≥
−
0 1 16 4
0 4
m
m
m
⇔
2
5
8 +
=
m
0,5
VËy
2
5
8 +
=
m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n x1−x2 = 1 0,25
Do a,b,c∈Z nªn : a2 + b2 + c2 + 4 ≤ ab + 3b + 2c
2
3 2
2 2
2
≤
− +
− +
0.25
⇔
=
−
=
−
=
−
0 2
0 1 2
0 2
c b
b a
⇔
=
=
=
1 2 1
c b a
0,5
Do a2 + b2 + c2 = 1 nªn ( 2)
2 2
2
a a
a c
b
a
−
=
−
=
2 2 2
3
2 3
1 1
2 1
=
≤
Suy ra ( ) 274
1 2 2
2 −a ≤
3 3
2
1 −a2 ≤
a (2)
0,25
2
2
3 3
a c
b
2
3
3 2 2 2
2 2 2 2 2
+
+ +
+
c a
c
b c
b
0,25
DÊu “=” x¶y ra ⇔
−
=
−
=
−
=
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
c c
b b
a a
⇔
3
1
=
=
=b c a
0,25
a Do gãc ICK = gãc IAK = 1V ⇒ tø gi¸c ACKI néi tiÕp
⇒ gãc CIK = gãc CAK = 450
VËy gãc CIK = 450
0,25
D C M
A
P B K
I .Q N
Trang 4Do BA = BC ⇒ B nằm trên đờng trung trực của AC
∆IKA và ∆ICK vuông; IN = KN
CN
AN IK
CN
IK
AN
=
⇒
=
=
⇒
2
1
2
1
à N nằm trên trung trực của AC
à B, N, M nằm trên trung trực của AC nên B,N,M thẳng hàng
0,25
0,25
0,25
CIK
CI=CK à IK = 2CK
API
BP
AP PC
hay
x
x a x a
PI =( − ) 2 + 2
0,25 0,25 0,5
PQI
tiếp
0
/\
0
/\
/\
45
=
PAQ
à AQ là đờng phân giác /\
PAI .
Vậy P di động trên AB thì Q di động trên đờng thẳng cố định AQ là
đờng phân giác của góc /\
PAI
0,25 0,5
0,25