Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 42

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN (26) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2 điểm) Cho (x + 3 2 + x )(y + 3 2 + y ) = 3 Hãy tính giá trị của biểu thức P = x + y ( Đề thi TS vào lớp 10 chuyên ĐHTH năm học 1995 – 1996) Câu II (2 điểm) Giải phương trình: ) 1 ( 2 2 + + x x x = 1 (Tự ra) Câu III (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên y xx x 3 32 1 =+++ (Đề thi HSG quốc gia toàn quốc bảng A năm 1992) Câu IV (1 điểm) Chứng minh rằng ∀ x, y ∈R*, ta có: )(34 2 2 2 2 y y y x x y y x +≥++ (Đề thi QG chọn HSG Toán lớp 9 năm 1995) Câu V (3 điểm) Cho tia Ax, một điểm E khác điểm A, E∈Ax. Từ E, vẽ tia Ey. Hai điểm C và d phân biệt, khác điểm E, cho trước trên tia Ey. Một điểm B chạy trên tia Ex. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau ở M, AD và Bc cắt nhau ở N. 1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt tia Ey tại một điểm F cố định 2. Hãy xác định một vị trí của điểm B trên tia Ex sao cho các tam giác MCD và NCD có diện tích bằng nhau (Đề thi TS vào lớp 10 chuyên Toán ĐHSP HN năm 1993) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu I 2 điểm Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x - 3 2 + x ) ta được: -3(y + 3 2 + y ) = 3(x - 3 2 + x ) (1) Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x - 3 2 + x ) ta được: -3(x + 3 2 + x ) = 3(y - 3 2 + y ) (2) Cộng (1) và (2) theo vế với vế ta nhận được: 6(x +y) = 0, suy ra x + y = 0 Vậy E = x + y = 0 0.5 điểm 0.5 điểm 1 điểm Câu II 2 điểm ĐK: x ≠ 1 Pt đang xét ⇔ ) 1 ( 2 2 + + x x x + 01 1 2 2 =− + x x ⇔ 2 )1 1 ( 2 = + + x x ⇔       −=+ + =+ + 21 1 21 1 x x x x Giải (2) vô nghiệm vì có biệt thức âm. Vậy phương trình có 2 nghiệm là nghiệm của (1), đó là: 2 12212 1 −−− = x ; 2 12212 2 −+− = x ; 0.25 điểm 1 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm Câu III 2 điểm Câu IV 1 điểm Ta có: 0 4 3 ) 2 1 ( 1 2 2 >+ + = + + x xx 0 10 29 ) 10 11 ( 55117 2 2 >+ + = ++ x xx nên ( xx x 32 1 +++ ) – ( 1 2 ++ x x ) < xx x 32 1 +++ < ( xx x 32 1 +++ )+(5 711 2 ++ x x ) Do đó, ⇒<< + )2( 33 3 xy x )1( 33 + = xy . Thay vào phương trình ban đầu ta có: xx x 32 1 +++ = )1( 33 + = xy ⇒ x(x + 1) = 0 ⇒    = = 1 0 x x Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (0; 1) và (-1; 0) Bất đẳng thức cần chứng minh =⇔ P 0)(34 2 2 2 2 ≥+−++ y y y x x y y x Đặt z = y y y x + , ta có: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −=+⇒++= z x y y x x y y x z Thay vào P ta được: P = z z 342 2 −+− = )2)(1(23 2 −−=+− zzz z Vì x, y ≠ 0 theo giả thiết ta có: • Với x, y trái dấu thì y y y x , cùng âm do đó z = y y y x + < 0 Từ đó )2)(1( −−= zzP < 0 (Vì 2 thừa số đều âm) • Với x, y cùng dấu thì y y y x , cùng dương do đó z = 2 ≥+ y y y x Từ đó z 02 ≥− ; z – 1 > 0, suy ra )2)(1( −−= zzP ≥ 0 với mọi x, y ∉ R*. Đẳng thức chỉ xảy ra khi y y y x = với x, y cùng dấu. Từ đó suy ra x = y. 0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Câu V 3 điểm Bài này học sinh phải vẽ hình mới chấm điểm 1. Dùng định lý Mê-nê-la-uyt (Xem hình) Trong tam giác CDA có: MA MC ND NA FD FC MC MA NA ND FD FC =⇒= 1 (1) Trong tam giác CAD có: AM AC BD BM ED EC AC AM BM BD ED EC =⇒= 1 (2) Trong tam giác ADN có: AM AC BD BM ED EC CA CM BM BD ND NA =⇒= 1 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: ED EC FD FC ED EC FD FC =⇒= 1: . Vậy F cố định. 2. Ta sẽ chứng minh rằng nếu EA = EB thì MN // AB. Thật vậy, giả sử rằng EA = EB mà đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại P. Khi đó ta cũng dùng định lý Mê-nê-la-uyt tương tự trên lần lượt cho các tam giác ABC, ABM, CBM thì được 1 == EB EA PB PA , vô lý Từ MN // AB, suy ra FM = FN và hai tam giác MCD và NCD có diện tích bằng nhau. Vậy một vị trí thích hợp của B trên tia Ex là điểm thỏa mãn đẳng thức EB = EA 0.5 điểm 0.5 điểm 0.75 điểm 0.75 điểm x M N A B E P D F C . NCD có diện tích bằng nhau (Đề thi TS vào lớp 10 chuyên Toán ĐHSP HN năm 199 3) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP. (Đề thi HSG quốc gia toàn quốc bảng A năm 199 2) Câu IV (1 điểm) Chứng minh rằng ∀ x, y ∈R*, ta có: )(34 2 2 2 2 y y y x x y y x +≥++ (Đề thi QG chọn HSG