Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 44

Sở GD-ĐT Thanh Hóa đề thi tuyển sinh vào lớp 10 lam sơn (28) Năm học: 2006-2007 Môn: toán (Thời gian: 180 phút) Câu 1: Cho biểu thức: 1 2 )1(2 1 )1(2 1 3 2 + + + = a a aa A (với 1,0 aa ) 1. Rút gọn A. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của A? Câu2 : 1. Giả sử a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình: x 2 2x ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) ca(c+a-2b)+1=0 luôn có nghiệm. Khi đó tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm kép. 2. Giải phơng trình: 11642 2 +=+ xxxx . Câu 3: 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=(x-2).(3x 2 +x-14) với 2 3 7 x . 2. Cho hai hàm số 2 4 1 xy = và mx m y + = 2 2 . Tìm m sao cho hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. Câu 4: 1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn phơng trình: x 2 -2x+y-6 y +10=0. 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: yxxx =+++ . (có tất cả 2006 dấu căn thức). Câu 5: 1. Một hình chữ nhật có kích thớc là a,b. Hãy tìm vị trí các đỉnh của hình bình hành MNPQ ( ),,,, PDDQBNMBDAQCDPBCNABM === để diện tích của MNPQ là lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? N B C M P A D Q 2. Chứng minh rằng trọng tâm, trực tâm và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng? Ghi chú: 1, Tất cả các câu đều đợc sáng tác ( trừ câu 5.2 lấy từ cuốn Thực hành giải toán). 2, Thang điểm 10 (mỗi bài 01 điểm). §¸p ¸n Néi dung §iÓm C©u I: 1. A= )1(2 )2(2)1)(1()1)(1( 3 222 − +++++−−+− a aaaaaaa = 1 1 )1(2 )1(2 )1(2 )2(2)1(2 233 22 ++ − = − −− = − ++++− aaa a a aaa 1® 2. Do a 2 + a +1 = 4 3 4 3 ) 2 1 ( 2 ≥++ a ⇒ A≥ 4 3 4 3 1 −= − VËy minA=- 2 1 0 2 1 3 4 −=↔=+↔ aa (kh«ng tho· m·n ®iÒu kiÖn    ≠ ≥ 1 0 a a ) VËy kh«ng tån t¹i GTNN cña A. 1® C©u II: 1. x 2 –2x –ab(a+b-2c)-bc(b+c-2a) –ca(c+a-2b)+1=0 ∆’=1+ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(a+c-2b)-1 = ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b) = abc       −++−++−+ 222 b a b c a c a b c b c a 1® Nội dung Điểm = abc ++ ++ + 6 b a a b b c c b a c c a Theo bđt Côsi: 6 .6 6 =+++++ b a a b b c c b a c c a b a a b b c c b a c c a 0 pt luôn có nghiệm pt có nghiệm kép =0 a=b=c 2. 11642 2 +=+ xxxx ĐK: 42 04 02 x x x VF = (x-3) 2 + 2 0 + 2 =2 Ta c/m VF 2 thật vậy 242 + xx 2+2 4)4)(2( xx 0)3(096186186 2222 +++ xxxxxxx đúng Vậy pt 3 2116 242 2 = =+ =+ x xx xx thoã mãn điều kiện Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3. 1đ Câu III: 1. y=(x-2)(x-2)(3x+7) = 2 3 (2-x)(2-x)(2x+ ) 3 14 Do - 022 3 7 > xx , 2x+ 0 3 14 > áp dụng bđt Côsi ta có: y 5 3 3 3 3 13.4 3 26 . 18 1 ) 3 14 222( 27 1 . 2 3 = =+++ xxx Vậy maxy = 4. 27 8 3 14 22 3 13 5 3 =+= xxx 1đ 2. yêu cầu bài toán pt: mx m x += 2 24 1 2 có hai nghiệm trái dấu pt: x 2 + 2mx 8 +4m =0 có hai nghiệm trái dấu a.c = 4m 8 <0 m<2 1đ Câu IV: 1. x 2 2x + y -6 y + 10=0 1đ Néi dung §iÓm ↔ (x-1) 2 + ( )9;1();( 9 1 0)3( 0)1( 0)3 2 2 2 =→    = = ↔      =− =− ↔=− yx y x y x y 2. yxxx =+++ . Tõ pt      =+ = → kxx mx víi k,m ∈N 000)1( 2 2 2 =→=↔=→=+→      =+ = → yxmkmm kxx mx VËy pt cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt x=y=0 1® C©u V: 1. §Æt MB =BN=DP=DQ=x ta cã: S MNPQ = S ABCD - S MBN - S NAP - S PDQ - S QCM = ab –x 2 –(a-x)(b-x)=-2x 2 + (a+b)x = -2(x 2 - 222 ) 4 .(2) 4 (2) 2 (2) 2 bababa xx ba + ≤ + + + −−= + VËy max S MNPQ =2.( 2 ) 4 2 ba x ba + =↔ + 1® 2. KÐo dµi CO lÊy L sao cho OC=OL 1® L B A H G O D F C (1) Néi dung §iÓm ⇒    = ODLB ODLB 2 // → LB//AH T¬ng tù, LA//BH → LBHA lµ h×nh b×nh hµnh → LB = AH (2) Tõ (1) vµ (2) → 2 = OD HA mµ G lµ träng t©m → 2 = GD GA VËy OD AH GD GA = (*) Mµ HADADOAHOD BCAH BCOD ∧∧ =→→    ⊥ ⊥ // (**) Tõ (*) vµ (**) → ∆OGD ®ång d¹ng víi ∆HGA → AGHDGO ∧∧ = Mµ D,G A th¼ng hµng →O,G,H th¼ng hµng. . Sở GD-ĐT Thanh Hóa đề thi tuyển sinh vào lớp 10 lam sơn (28) Năm học: 2006-2007 Môn: toán (Thời gian: 180 phút) Câu 1: Cho biểu thức:. tam giác thẳng hàng? Ghi chú: 1, Tất cả các câu đều đợc sáng tác ( trừ câu 5.2 lấy từ cuốn Thực hành giải toán) . 2, Thang điểm 10 (mỗi bài 01 điểm). §¸p