Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 7)

Xuân Đức 66 Đề số 9 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-2009 Thời gian 150 phút Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức 2 2 2( 1) 1 1 x x x x x P x x x x + = + + + 1. Rút gọn P 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 3. Tìm x để biểu thức 2 x Q p = nhận giá trị là số nguyên Bài 2: (4 điểm) 1. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 6 1 14 x y z xy yz zx x y z + + = + = + + = 2. Giải phơng trình: 2 2 3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + Bài 3: (3 điểm) 1. Tích của 4 số nguyên dơng liên tiếp có phải là một số chính phơng không? 2. Tìm tất cả các số nguyên dơng n để: 2 ( 9 2) ( 11)n n n+ +M Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm (O). Tia phân giác trong của góc A cắt đờng tròn tâm (O) tại điểm M. 1. Đờng phân giác ngoài của góc A cắt đờng tròn tâm (O) tại N. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng. 2. Giả sử đờng phân giác ngoài góc A cắt đờng thẳng BC tại E. Chứng minh: ã ã AMO CEA= 3. Trên cạnh AC lấy D tùy ý (khác A và C). Đờng thẳng BD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai F. Đờng thẳng qua A vuông góc với AB và đờng thẳng qua F vuông góc với FC cắt nhau tại P. Chứng tỏa P, D, O thẳng hàng. Bài 5: (4 điểm) 1. Giả sử x, y, z là các số thực thõa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh rằng: 2 2 2 3x y z+ + 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 2 2 ( 1)( 1) x y x y P x y + = Trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1. Xuân Đức 66 Hớng dẫn chấm: Bài 1: (3 điểm) Mỗi ý 1 điểm: Ta có: 2 2 2( 1) 1 1 x x x x x P x x x x + = + + + 2( 1)( 1) ( 1)( 1) (2 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + = + + + 1x x= + 2. 2 1 3 3 1 ( ) ( 0; 1) 2 4 4 P x x x x x= + = + > min 3 4 P = khi 1 4 x = 3. 2 2 2 1 1 1 x Q M x x x x = = = + + với 0; 1x x> Ta có: 1 1 1M x x = + > (BĐT Cauchy) Suy ra: 0 < Q < 2 vì Q nguyên nên Q = 1 Suy ra: 7 3 5 2 x = Bài 2: (4 điểm) mỗi ý 2 điểm Câu1. Giải hệ PT: 2 2 2 6 1 14 x y z xy yz zx x y z + + = + = + + = Ta có: 2 2 2 2 ( ) 2( )x y z x y z xy yz zx+ + = + + + + 11xy yz zx + + = 11 ( )zx xy yz = + ( ) 6 5 x z y xy yz + + = + = Ta có: x+z và y là nghiệm của PT: 2 6 5 0t t + = 1 2 1; 5t t = = Do đó : 1 5 y x z = + = hoặc 5 1 y x z = + = Với y = 5 và x + z = 1 thì hệ vô nghiệm Với y = 1 và x + z = 5 thì hệ có nghiệm (x, y, z) là (2; 1; 3) và (3; 1; 2) Câu 2. Giải PT: 2 2 3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + Đặt: 2 1 ( 1)x t t+ = > 2 ( 3) 3 0t x t x + = Ta có: 2 2 ( 3) 12 ( 3) 0x x x = + = Nên PT có hai nghiệm: t = x; t = 3 Với t = x thì 2 1x x+ = PT vô nghiệm. Với t = 3 thì 2 1 3x + = giải ra đợc : 2 2x = Bài 3: (3 điểm) mỗi ý 1,5 điểm Xuân Đức 66 Câu 1 : giải sử ta có 4 số nguyên dơng liên tiếp: n; n + 1; n + 2; n + 3 Có: P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 2 2 2 2 2 ( 3 )( 3 2) ( 3 ) 2( 3 )n n n n n n n n+ + + = + + + Do đó: 2 2 2 2 ( 3 ) ( 3 1)n n P n n+ < < + + Suy ra P không thể là số chính phơng Câu 2: Ta có: 2 9 2 11n n n+ +M Mà 2 11 11 (2 2) 11n n n n n+ + + +M M Mà (2 22) 11 20 11 9n n n n+ + + =M M Vậy: n = 9 thì : 2 9 2 11n n n+ +M (đpcm) . Xuân Đức 66 Đề số 9 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-20 09 Thời gian 150 phút Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức. phơng Câu 2: Ta có: 2 9 2 11n n n+ +M Mà 2 11 11 (2 2) 11n n n n n+ + + +M M Mà (2 22) 11 20 11 9n n n n+ + + =M M Vậy: n = 9 thì : 2 9 2 11n n n+ +M