Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 10)

Xuân Đức 66 Đề số 13 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-2009 Thời gian 150 phút Bài 1: a.Cho 0b a > > thỏa mãn: 2 2 3 4a b ab+ = . Tính: a b A a b = + b. Cho 0x y> > ; thỏa mãn: 2 2 3 3 10x y xy+ = Tính : x y B x y = + Bài 2: a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 3 y+xy 3 -3x 2 -3y 2 =17 b. Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho 1 2 2 4 + + yx x là số nguyên dơng. Bài 3: a.Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 2 3 8 6 2 1 x x x x + + b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2 4 2 1 x x x+ + Bài 4: Cho tam giác ABC, một đờng thẳng song song với đờng thẳng, BC cắt AB, AC lần lợt tại D và E. Một điểm P thuộc cạnh BC. CMR: Diệm tích tam giác DPE không lớn hơn 1 4 diện tích tam giác ABC. DE ở vị trí nào thì diên tích tam giác DPE lớn nhất. Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA Xuân Đức 66 Đáp án: Bài 1: a. Ta có: 2 2 3 4a b ab+ = 2 2 2 2 3 4 0 3 3 0a b ab a ab b ab + = + = ( )(3 ) 0a b a b = ta có: 0b a b> < Do đó: 3 0 3a b b a = = thay vào a b A a b = + ta đợc a b A a b = + 3 2 1 3 4 2 a a a a a a = = = + Vậy 1 2 A = b. Ta có: 0x y> > ; do đó x y B x y = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 6 3 ( ) 2 3 6 3 x y x xy y x xy y x y x xy y x xy y + + = = = + + + + + (*) Thày 2 2 3 3 10x y xy+ = vào (*) ta đợc: 4 1 1 16 4 2 xy B xy = = = Vậy 1 2 B = Bài 2: a. phơng trình: x 3 y + xy 3 - 3x 2 - 3y 2 = 17 (x 2 + y 2 )(xy - 3) = 17 = 17.1 Do x,y nguyên dơng nên x 2 + y 2 >1 2 2 2 2 17 ( ) 2 17 ( ) 25 3 1 4 4 x y x y xy x y xy xy xy + = + = + = = = = Xuân Đức 66 = = = = = = = = = =+ = =+ -4y -1x hoặc 4y 1x hoặc 1 4 1 4 4 5 4 5 y x y x xy yx xy yx Kết luận: = = 4y 1x hoặc = = 1y 4x hoặc = = 1y 4x hoặc = = 4y 1x b. Đặt 1 2 2 4 + + yx x = a Với a là số nguyên dơng thì x 4 + 2 = a(x 2 y + 1) x 2 (x 2 - ay) = a - 2 (1) Xét 3 trờng hợp sau : TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x 2 (x 2 - y) = - 1 = = 11 1 2 y x = = 2 1 y x TH2: Nếu a = 2 thì từ (1) có x 2 (x 2 - 2y) = 0, suy ra x 2 = 2y nên có nghiệm x = 2k, y = 2k 2 với k là số nguyên dơng TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), có a 2 > 0 và (a 2) chia hết cho x 2 nên a 2 x 2 a x 2 + 2 > x 2 Từ đó 0 < x 2 - ay < x 2 - x 2 y 0. Điều này không xảy ra Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là : Xuân Đức 66 (1; 2) và (2k; 2k 2 ) với k là số nguyên dơng. Bài 3: a. Có A = 2 )1( 1 1 2 3 2 )1( 1)1(2)12 2 (3 + = ++ x x x xxx (1/2 điểm) Đặt y = 1 1 x => A = y 2 2y + 3 = (y 1) 2 + 2 2 (1/2 điểm) => min A = 2 => y = 1 1 1 1 = x => x = 2 Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm) b. Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x 2 ta đợc: M = 1 2 1 2 1 ++ x x (1/2 điểm) M đạt giá trị lớn nhất khi 2 1 2 x x + nhỏ nhất => 2 1 2 x x + = 2 => x = 1 Vậy M lớn nhất bằng 1 / 3 khi x = 1 Bài 4: Kẻ đờng cao AH = h AH cắt DE tại M. Đặt AM = x Ta có DE//BC (GT) Suy ra ADE ABC : Do đó: DE AM BC AH = x h = (1) ( tỉ số đồng dạng bằng tỉ số đờng cao của hai tam giác đồng dạng) Ta có: .( ) . DPE ABC S DE h x S BC h = (2) (Ta có đờng cao của DPE hạ từ đỉnh P xuống DE luôn = HM = h x vì DE//BC) Từ (1) và (2) ta có: 2 .( ) .( ) . DPE ABC S x h x x h x S h h h = = Ta có: 2 ( )x h x x h x+ (vì 0; 0x h x> > ) Mà: Tổng x h x h + = không đổi Do đó tích ( )x h x lớn nhất khi x h x= 2 h x = Đặt 2 ( )x h x A h = 2 ( ) 1 2 2 4 h h h h = Vậy diên tích của 1 4 DPE ABC S S = lớn nhất khi DE là đờng trung bình của ABC j N P D E x M H CB A Xu©n §øc 66 Bµi 5: + Cã S ABC = 2 1 BC . AA’ (1/2 ®iÓm) + Cã S HBC = 2 1 BC . HA’ (1/2 ®iÓm) + Cã S HAC = 2 1 AC . HB’ (1/2 ®iÓm) + Cã S HAB = 2 1 AB . HC’ (1/2 ®iÓm) + AA' HA' ABC S HBC S = ; BB' HB' ABC S HAC S = ; CC' HC' ABC S HAB S = (1/2 ®iÓm) => 1 ABC S ABC S ABC S HAB S HAC S HBC S == ++ VËy 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA (1/2 ®iÓm) A B C C' B' A' H . Xuân Đức 66 Đề số 13 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-20 09 Thời gian 150 phút Bài 1: a.Cho 0b a > >. AA HA Xuân Đức 66 Đáp án: Bài 1: a. Ta có: 2 2 3 4a b ab+ = 2 2 2 2 3 4 0 3 3 0a b ab a ab b ab + = + = ( )(3 ) 0a b a b = ta có: 0b a b> <