Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 9 có đáp án (đề 12)

Xuân Đức 66 Đề số 15 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-2009 Môn Toán 9. Thời gian 120 phút B i 1 :a. CMR: 3 6n n M với n Z b. Cho ( 6 2 5 6 2 5 ) : 20x = + + . Hãy tính giá trị của biểu thức: 5 2009 ( 1)P x x= + B i 2 : Giải hệ phơng trình : =++ =++ =++ 27 1 111 9 zxyzxy zyx zyx Bài 3: Cho 1,1 yx Chứng minh. xy yx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Bài 4: Cho ABC . Có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC , r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . CMR: 6IA IB IC r+ + B i 5 : Cho nhọn ã xAy , B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao cho AB < AC, điểm M di động trong góc xAy sao cho MB MA = 2 1 Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Xuân Đức 66 Đáp án Bài 1: a. Có: 3 2 ( 1) ( 1). .( 1)P n n n n n n n= = = + Vì n, n+1 là hai số nguyên liên tiếp nên 2PM * Nếu 3 3n PM M * Nếu n chia cho 3 d 1 thì ( 1) 3 3n P M M * Nếu n chia cho 3 d 2 thì ( 1) 3n + M Vậy 3PM mà (2, 3) = 1 6P M b. Có: ( 6 2 5 6 2 5 ) : 20x = + + = ( 5 1 5 1) : 20 1+ + = Do đó: 5 2009 2009 (1 1 1) (1 1 1) 1P = + = + = Bài 2: Giải hệ phơng trình ( ) ( ) =++ =++ =++ 327 )2(1 111 19 xzyzxy zyx zyx ĐKXĐ : .0,0,0 zyx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zyx xz zy yx xz zy yx xzzyyx zxyzxyzyx zxyzxyzyx zyx zxyzxyzyx zxyzxyzyx zyx == = = = = = = =++ =++++ ++=++ =++ ++=++ =+++++ =++ 0)( 0)( 0)( 0)()()( 02)(2 27 281 812 81 2 2 2 222 222 222 222 222 222 2 Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3. Xuân Đức 66 Bài 3: Ta có: xy yx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 2 2 1 1 2 0 1 1 1x y xy + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1111 22 ++ + ++ xyy yxy xyx xyx ( ) ( ) 01 2 xyyx đúng vì 1 xy Bài 4: Kẻ ; ( ;BK AI CH AI K H AI kéo dài ) Ta có 2 . . . AIB S r AC r c AI BK = = = (1) 2 . . . ACI S r AC r b AI CH = = = (2) Từ (1) và (2) suy ra: r.c + r.b = AI.BK + AI.CH ( ) ( )r b c AI BK CH + = + (3) Mà BK CH BC a + = (4) Từ (3) và (4) suy ra: r ( ) .b c a AI+ b c AI a r + (*) Chóng minh tơng tự ta đợc: a c BI b r + (2*); a b CI c r + (3*) Từ (*); (2*) và (3*) ta có: AI BI CI b c a c a b b a c a c b r r r a b c a b a c b c + + + + + + + = + + + + + ữ ữ ữ (4*) áp dụng BĐT Cosi cho hai số dơng ta đợc: 2 . 2 . 2 . 2 2 2 6 b a c a c b b a c a c b a b a c b c a b a c b c + + + + + + + = + + = ữ ữ ữ (5*) Từ (4*) và (5*) suy ra: 6 6 AI BI CI AI BI CI r r r r + + + + (ĐPCM Dấu đẳng thức sảy ra khi ABC là tam giác đều. B i 5 : Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho: AD = 4 1 AB. Ta có D là điểm cố định Mà AB MA = 2 1 (gt) do đó MA AD = 2 1 (0,25 điểm) Xét tam giác AMB và tam giác ADM có MâB (chung) AB MA = MA AD = 2 1 (0,25 điểm) Do đó AMB ADM => MD MB = AD MA = 2 => MD = 2MD (0,25 điểm) Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC (0,25 điểm) Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC (0,25 điểm) S r r r H K I C B A Xu©n §øc 66 * C¸ch dùng ®iÓm M. - Dùng ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh 2 1 AB - Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = 4 1 AB (0,25 ®iÓm) M lµ giao ®iÓm cña DC vµ ®êng trßn (A; 2 1 AB) y x D M C B A . Xuân Đức 66 Đề số 15 Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2 Năm học: 2008-20 09 Môn Toán 9. Thời gian 120 phút B i 1 :a. CMR: 3 6n. định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất. Xuân Đức 66 Đáp án Bài 1: a. Có: 3 2 ( 1) ( 1). .( 1)P n n n n n n n= = = + Vì n, n+1 là hai