- Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó.. XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU NGƯỜI RA ĐỀ Vũ Ngọc Quyền.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT EAH’LEO
TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2010-2011
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
-Câu 1 : (3,5điểm)
2/ Cho a, b, c thoả mãn: a b c c b c a a c a b b
Câu 2: (3,5điểm)
1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng
2
2 2 2
x y z x y z
2/ Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2
a b c và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2
2
a b c
Câu 3: (4điểm)
1
4 2
36
y x
2/ Tìm giá trị của m để hệ phương trình 3mx y x my 25
3
m
x y
m
Câu 4: (5điểm)
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
AD AB AC
b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.
Câu 5: ( 2điểm)
Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
2
bc
Câu 6: (2điểm)
========================Hết========================
PHÒNG GIÁO DỤC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Trang 2HÀ TRUNG
TRƯỜNG THCS HÀ THÁI
-Năm học 2009-2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề
(Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang)
Câu 1
3,5điểm
1 (2điểm)
Vì 4 10 2 5 > 0; 4 10 2 5 > 0 A > 0 (1) 0,25đ
A2 = 4 10 2 5 2 ( 4 10 2 5 )( 4 10 2 5 ) 4 10 2 5 0,25đ
= 8 2 16 10 2 5
= 8 2 5 2 5 1 = 8 2 ( 5 1 ) 2
= 8 2 5 1
= 8 + 2 5 2
= ( 5 1 ) 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A = 5 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
2 (1,5điểm)
Từ gt ta có a b c 2 b c a 2 c a b 2
0,25đ suy ra a b c b c a c a b
Xét hai trường hợp
* Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a c + a = -b
P = 1 b 1 c 1 a
= ( )c
a
( a)
b
( )b
c
= abc
abc
= -1
0,25đ 0,25đ
* Nếu a + b + c 0 a = b = c
P = 2.2.2 = 8
0,25đ 0,25đ
Câu 2
3,5điểm
1 (1,5điểm)
Áp dụng BĐT Côsi ta có: x2 + y2 2xy (1)
y2 + z2 2yz (2)
z2 + x2 2zx (3)
0,25đ
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx ) 0,25đ
2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 0,25đ
0,25đ chia hai vế cho 9 ta được
2 2 2 ( )2
x y z x y z
hay
2
2 2 2
x y z x y z
0,25đ 0,25đ
2 (2điểm)
Trang 3Từ 1 1 1 2
a b c
2
1 1 1
4
a b c
12 12 12 1 1 1
a b c ab bc ca
0,25đ 0,50đ
12 12 12
2 a b c 4
mà a + b + c = abc
a b c 1
abc
0,25đ 0,25đ
12 12 12
2 4
a b c
12 12 12
2
a b c
0,25đ 0,25đ
Câu 3
4,0điểm
1 (2,5điểm)
1
4 2
36
y
1
* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có :
1
) 1 ( 4 2
) 2 ( 4
y
y x
x
1
) 1 2
( 2
) 2 2 6
y
y x
x
(2) + Với x > 2, y > 1
0 1
0 2
0 )
1 2
(
0 )
2 2
6 (
2 2
y
y x
(3)
Từ (2) và (3)
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2
6 (
2 2
y x
0 1 2
0 2 2
6
y x
1 2
2 2
6
y x
5 11
y x
Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5)
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ
0,25đ
2 (1,5điểm)
Hệ phương trình 3mx y x my 25
Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có:
(m2 + 3)x = 2m + 5 Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có 0,25đ
Trang 42 2 5
3
m x m
,
5 2 6
3
m y m
Theo đề bài ta lại có :
2
1
(*) Giải phương trình này ta được m = 4
7
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ
Câu 4
5,0điểm
1 (3,0điểm)
a (2,0điểm)
a Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = 1
2bc
bc = 2 SABC= 2 SABD + 2SADC
= AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450
= ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450
Suy ra bc = ( b + c )AD 2
2 = ( b + c ) 2
AD
2
AD
= bc
b c 2
AD =
1 1
b c
bc c b
Vậy 2 1 1
AD AB AC (đpcm)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b (1,0điểm)
Ta có bc = 2 SABC= 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 = ( b – c )AE 2
2 bc = ( b – c )AE
2
2 = ( b – c ) AE
2 2 2
AE =
1 1
b c
bc c b
Vậy 2 1 1
AE AC AB hay AD AC AB
1 1 2
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
A
Trang 52 (2,0điểm)
Kẻ AM AC, M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2 5
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC
(2 5 )2 = x.(2x + 3)
2x2 + 3x – 30 = 0
( 2x – 5)(x + 4) = 0
x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5 )2 = 64 – 20 = 44
AC = 44 = 2 11 cm AB = 2 11 cm
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Câu 5
2,0điểm
Hình vẽ
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
sinMAB = sin
2
A
= BM
AB BM = c.sin 2
A
sinNAC = sin
2
A
= CN
AC CN = b sin 2
A
Do đó BM + CN = sin
2
A
( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN BD + CD = BC = a
Vì thế sin
2
A
( b + c ) a ( vì sin
2
A
< 1)
Do b + c 2 bc nên 1 1
2
b c bc hay sin
2
A
bc
a
2 (đpcm)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
I
H M
C B
A
D N M
x
C B
A
Trang 6Câu 6
2,0điểm
Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2 x2 = 2 1 3
2
vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3)
suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3
Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5
do x2 0 nên (y2 -1)(y+2) 0 , y 2
2 y 1 hoặc y 1
do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0
Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) =( , );( , )0 1 0 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
CHÚ Ý :
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó
- Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó
XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU NGƯỜI RA ĐỀ
Vũ Ngọc Quyền