BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 8)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN :TOÁN Thời gian làm : 150 phút (Đề thi gồm câu, trang)  Bài 1:(2điểm) Cho biểu thức: A =   x + x +3 +  x   + + 1 x x − 27   1.1) Rút gọn A 1.2) Tính giá trị A x = +2010 Bài 2:(2điểm) 1) Cho phương trình: x − 6x − m = (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12 − x2 = 12  x + y = x 2.2) Giải hệ phương trình:   y + x = y Bài 3:(2 điểm) 3.1) Tìm số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đồng thời điều kiện : 1 + + =1 a b c b2 a2 + ≥ a+ b a b a − b + c = a − b + c 3.2) Cho a, b>0 Chứng minh rằng: Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O), (P, N hai tiếp điểm) Chứng minh MN = MP = MA.MB Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vuông Chứng minh tâm đường tròn qua điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động đường thẳng d Bài (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô màu xanh, đỏ, tím Chứng minh tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đôi khác màu -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN :TOÁN Thời gian làm : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu 1.1 1.2 Đáp án   x   + + 1 ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠  x  x + x + x − 27     x + x +  3    +  x + x + ( x − )( x + x + 3)   3x      x + x +  ( x − 3) + = =  ÷ ÷ ÷ ÷ 3x  ( x − 3)( x + x + 3)   x− A =  + 3 2.1 = ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ nên x = +2010 (TMĐK) Thay x = +2010 vào A ta có: A = Điểm 1 = = x− 3 + 2010 − 2010 Để phương trình có nghiệm ∆/ ≥ ⇔ m ≥ −9 (*)  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 =    Mặt khác ta có  x1 x2 = −m ⇔  x1 x2 = −m ⇔  x1 x2 = −m ⇔ m = −8 TM   x = 2   x1 − x2 = 12  x1 − x2 = ĐK (*) Vậy m = - 2.2) Giải hệ phương trình  x + y = x   y + x = y 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 0,5 0.25 0.5 0.25 (1) (2) Trừ vế phương trình ta có: x − y = x − y ⇔ ( x − y )( x + y − 1) = x = y x = y ⇔ ⇔  x + y −1 = x = 1− y 0.25 0.25 Ta có: x = y x = y ⇔ x =  x ( x − 3) = x = *)  Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) x = 1− y x = 1− y x = 1− y ⇔ ⇔ ( *)   2 2 x + y = x 2 − y + y = (1 − y )  y − y +1 = *)  Vì phương trình y − y + = vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Trang 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 3.1 0.25 0,25 Có a − b + c = a − b + c ⇔ a − b + c + b = a + c ⇔ a − b + c + b(a − b + c ) + b = a + c + ac a = b ⇔ b(a − b + c) = ac ⇔ (a − b)(b − c ) = ⇔  b = c Nếu a = b a , c dương Ta có 0,25 1 + + = ⇔ + = ⇔ 2c + a = ac ⇔ (a − 2)(c − 1) = a b c a c Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau : a − = a = = b 1)  ⇒ c − = c = a − = 2)  ⇒ a =c =3=b c − = Nếu b = c b,c dương Ta có 0,25 1 1 + + = ⇔ + = ⇔ 2a + b = ab ⇔ (b − 2)(a − 1) = a b c a b Vì a,b,c nguyên dương nên ta có trường hợp sau : b − = 1)  ⇒a =b=3=c a − = b − = b = = c 2)  ⇒ a − = a = Vậy cặp số nguyên dương (a;b;c) thỏa mãn (3;3;3) (2;4;4)và (4;4;2) 3.2 b2 a2 Cho a, b>0 Chứng minh rằng: + ≥ a+ b a b b a b2 a2 Xét hiệu: + − a− b= a+ b − a− b a b a b b a b a = ( a − a ) + ( b − b )= a ( -1) + b ( -1) a b a b b−a a−b (a − b) a − b (a − b) (a − b)( a − b) = = + = a b ab ab = Vậy: 0,25 0.25 0.25 0.25 ( a − b )2 ( a + b ) ≥ với a, b > ab b2 a2 + ≥ a + b với a, b > a b Trang 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) 4.1 D 0.25 N A E B L M d I H d' O P Ta có: MN = MP (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tam giác MAN MNB đồng dạng MA MN = ⇔ MN = MP = MA.MB MN MB Để MNOP hình vuông đường chéo OM = ON = R Suy ra: 4.2 Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O qua điểm D, cắt (d) M Chứng minh: Từ M vẽ tiếp tuyến MN MP Ta có MN = MO − ON = R , nên Tam giác ONM vuông cân N Tương tự, tam giác OPM vuông cân P Do MNOP hình vuông Bài toán có nghiệm hình OM = R > R 0.5 0.25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 4.3 + Ta có: MN MP tiếp tuyến (O), nên M, N, O, P nằm 0,5 đường tròn đường kính OM Tâm trung điểm H OM Suy tam giác ba điểm M, N, P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm H + Kẻ OE ⊥ AB , E trung điểm AB (cố định) Kẻ HL ⊥ (d ) 0,25 HL // OE, nên HL đường trung bình tam giác OEM, suy ra: HL = OE (không đổi) + Do đó, M động (d) H cách dều (d) đoạn không đổi, nên H chạy đường thẳng (d') // (d) (d') qua trung điểm đoạn OE cố định Trang 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tô đỉnh A, B, C, D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân 0,5 +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, trường hợp tồn tam giác cân, có đỉnh tô màu đôi khác màu 0,5 Hết - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2 điểm): a) Cho x = + ; y = − Không dùng bảng số máy tính, tính giá trị biểu thức A = x + y5 b) Cho A = x xy + x + + y yz + y + + z zx + z + Câu 2(2 điểm): Trang Biết xyz=4, tính A BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) a) Giả sử phương trình: x2+ax+b = có hai nghiệm x1, x2 phương trình :x2+cx +d = có hai nghiệm x3, x4 Chứng minh rằng: 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) mx − y = (với m tham số) Tìm m để hệ phương trình cho 2 x + my = b) Cho hệ phương trình:  −2015m + 14m − 8056 x ; y ( ) có nghiệm thỏa mãn hệ thức: x + y − 2014 = m +4 Câu 3(2điểm): Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn số nguyên tố chia hết cho P −5 P = a + b2 a) Giả sử số nguyên x,y thỏa mãn ax − by chia hết cho P Chứng minh hai số x,y chia hết cho P  x −1   − 2x x  b) Cho x > 1; y > , chứng minh: ( x − 1)3 + + ÷ ÷ + ≥ 3  y  y  x −1 y  Câu 4(3 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC = AB Tia Cx vuông góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường tròn đường kính DE có dây cung cố định Câu 5(1 điểm): Trong thi giải toán có 31 bạn tham gia Mỗi bạn phải giải Cách cho điểm sau: làm điểm, làm sai không làm bị trừ điểm, điểm thấp bạn điểm (không có điểm số âm) Chứng tỏ có bạn có số điểm - Hết - Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi làm tròn đến 0,25 Câu Đáp án a) (1 điểm) Tính x + y = xy = Tính x2 + y2= 22 Và x3 + y3 = 90 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686 b) (1 điểm) Câu ĐKXĐ x,y,z ≥ Kết hợp xyz=4 ⇒ x, y, z > 0; xyz = 2đ Nhân tử mẫu hạng tử thứ hai với x , thay mẫu hạng tử thứ ba A= 0,25 xyz ta x xy + x + + xy + xy + x + z ( z x + + xy 0,25 ) =1 Suy Câu 2đ 0,25 A = ( A>0) a) ( điểm) VT = 2[x12+x1(x3+x4)+x3x4][ x22+x2(x3+x4)+x3x4] =2(x12- cx1+d) (x22- cx2+d)( theo Vi ét) 0,25 0,5 =2[x12x12- c x1x2(x1+x2)+d(x12+ x22)+c2x1x2- cd(x1+x2)+d2] =2[b2+abc+d(a2-2b)+c2b+acd+ d2] =2(b-d)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd VP = 2(b-d)2- a2(b-d)+c2((b-d)+ a2(b+d)+c2(b+d)+2ac(b+d) =2(b-d)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd Vậy VT = VP (đpcm) Trang 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) b) (1 điểm) Dùng phương pháp thế, ta có: mx −  mx − y=   mx − y = y =    ⇔ ⇔  mx − 2 x + my =  2x + m =5 2 x + my =    0,25 2m + 10  mx −  x= y =    m +4 ⇔ ⇔ ,∀m ∈ R ( m + ) x=2m+10  y = 5m −   m2 +  2m + 10  x =   m2 + ,∀m ∈ R Nên hệ có nghiệm nhất:  m − y =   m2 + 0,25 −2015m + 14m − 8056 Thay vào hệ thức: x + y − 2014 = m2 + Ta được: −2014m + m − 8050 −2015m2 + 14m − 8056 = m2 + m2 + ⇔ −2014m + m − 8050 = −2015m + 14m − 8056 m =1 m = ⇔ m − 7m + = ⇔ ( m − 1) ( m − ) = ⇔ 0,25 Kết luận: để hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: m = −2015m + 14m − 8056 m = m2 +  a) ( điểm) Đặt P=8k+5 ( k số tự nhiên) x + y − 2014 = 0,25 0,25 Câu ( ax ) k + − ( by ) k +  M( ax − by ) ⇒ a k + x 8k + − b k + y k + MP Ta có 2đ   ⇒ ( a k + + b k + ) x8 k + − b k + ( x8k + + y k + ) MP Trang 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) Mà a k + + b4 k + = ( a ) b < P ⇒ x k +4 k +1 + ( b2 ) k +1 0,25 Ma + b = P + y 8k +4 MP ( *) -Nếu hai số x,y có số chia hất cho P từ (*) ta suy số thứ hai chia hết cho p - 0,25 Nếu hai không chia hết cho P , theo định lý Fec- ma ta có x8k +4 ≡ y 8k +4 ≡ 1( mod P ) ⇒ x k +4 + y 8k +4 ≡ ( mod P ) mâu thuẫn với (*) Vậy hai số x,y chia hết cho P b) ( điểm) x > 1; y > ⇔ x − > 0; y > ⇔ x −1 > 0; > 0; > ( x − 1) y y 0,25 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ −2 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) x −1 3 (1) 0,25  x −1   x −1   x −  3( x − 1) −2  ÷ +1+1 ≥ 33  ÷ 1.1 ⇔  ÷ ≥ y  y   y   y  1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ − y y y y (2) (3) Từ (1); (2); (3):  x −1  1 3( x − 1) + −6+ + ÷+ 3≥ ( x − 1)  y  y x −1 y y  x −1  1 − x + 3x − 2x x ⇔ + + = 3( + ) ÷+ 3≥ ( x − 1)  y  y x −1 y x −1 y Hình vẽ Trang 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) a) ( điểm): Tính giá trị DC.CE theo a · · · Ta có: EBC ); ·ACD = ECB = ·ADC (Cùng bù với góc KBC = 90o 0,25 ⇒ ∆ACD ∆ECB đồng dạng với nhau(g-g) 0,25 ⇒ 3đ DC AC = ⇒ DC.CE = AC.BC BC EC 0,25 0,25 a 3a 3a ⇒ DC.EC = AC BC = Do AB = ; BC = 4 b) (1 điểm): Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ S∆BDE = BC DE ⇒ S ∆BDE nhỏ DE nhỏ Ta có: DE = DC + EC ≥ DC EC = 0,25 3a = a ( Theo chứng minh phần a) Dấu " = " ⇔ DC = EC = a 2 ⇒ S( BDE ) nhỏ 3a D thuộc tia Cx cho a CD = 0,5 0,25 c) (1 điểm): Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường tròn đường kính DE có dây cung cố định Gọi giao điểm đường tròn đường kính DE với đường Trang 10 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN:TOÁN Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi 10 điểm Bài Đáp án Điểm (1 điểm) x + y ≠ x ≠ − y   Điều kiện 1 − y ≠ ⇔  x ≠ −1 1 + x ≠ y ≠   P= (2 điểm) (2 điểm) x (1 + x ) − y (1 − y ) − x y ( x + y ) = x + xy – y ( x + y )(1 − y )(1 + x ) + ĐK : 0,5đ + Rút gọn : 0,5đ 2.(1điểm) P = ⇔ x + xy − y = ⇔ x( y + 1) = y + điểm  y ≠ −1  ⇔ y+2 x = y + = + y +  x, y ∈ Z nên y+1 ước => y = ; Ta (x ; y) = (2 ;0) ; (0 ;-2) + Biểu diễn x theo y : 0,5đ + Tìm x, y : 0,5đ x = − m 1.(1 điểm ) Phương trình (1) ⇔   x + 2( m + ) x + 4m − = (a ) Ta xét trường hợp : TH1: m > x = – m < Xét pt (a) có ∆' = = m + 10 > 0∀m Phương trình(a)luôn có hai nghiệm phân biệt x1 x2  x1 x = 4m − > Theo hệ thức Viét ta có  =>x1 < 0, x2 < (không  x1 + x = −2( m + 2) < tm) TH2 : m = phương trình có nghiệm x = 0, x = -8 (không tm) TH3: m < , x = – m > Mà x1x2=4m – < nên x1< < x2 Vậy m < phương trình có nghiệm dương nghiệm âm TH : 0,5đ + TH : 0,25đ + TH : 0,25đ 2 2 ( x + y ) x + y = 15 (1) ( x + y ) x + y = 15 (3) ⇔ 2.(1 điểm )   ( x − y ) x − y = (2) 5( x + y )( x − y ) = 15 (4) ( ( ( ) ) ) điểm điểm Trừ theo vế (3) (4) ta : ( x + y ) [ x + y − 5( x − y ) ] = ⇔ x + y − 5( x − xy + y ) = (vì x + y ≠ theo1) 0,5đ 0,25đ Trang 36 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) (2 điểm ) 2 x − y = x = y ⇔ ⇔ ( x − y )( x − y ) = ⇔  x − y =  y = 2x + Với x = 2y , thay vào (2) ta y = 1=> x = + Với y = 2x , thay vào (2) ta x = 1=> y= Vậy hệ pt cho có hai nghiệm (2 ;1) ; (1 ;2) 0,5đ + 0,25đ + 0,25đ 1.(1 điểm ) Với số lẻ 1,3,5,7, ,2n – ước lẻ lớn thân số Với số chẵn : = 2.1 ; = 2.2 ; = 2.3 ; ;2n = 2.2n-1 nên tổng ước lẻ lớn số chãn : 2,4,6, 2n tổng ước lẻ lớn số 1,2, 3, ,2n-1= S(n-1) Vậy S(n) = +3 + +7+ +(2n – )+ S(n – ) 4n + Ta chứng minh S (n) = (1) 0,25đ điểm 0,25đ Với k số lẻ : 1,3,5,7, ,2k – 1ta có : + + 5+ + + 2k – 1= k2 (2) (2) với k = 1, giả sử (2) với k = m tức : + + 5+ + + 2m – 1= m2 =>1 + + 5+ + + 2m – + 2m + 1= (m+1)2 => (2) với k = m+1 Vậy (2) với k ∈ N *  2n − +   + S (n − 1) = n−1 + S (n − 1) (3) => S (n) =    0,5đ Xét CT (1) Với n = 1, n = (1) Giả sử (1) với n = k Ta chứng minh (1) với n = k + 4k + Theo (3), k + k +1 + Vậy (1) với n = k+1 => S (k + 1) = k + S (k ) = k + = 3 (1) với n Thật : S (k ) = 0,25đ 1điểm (1 điểm )Từ Gt => a − > 0, b − > 0, c − > Áp dụng BĐT Cô si cho số dương ta có : a b c abc + + ≥ 33 b −1 c −1 a −1 a −1 b −1 c −1 a ≥ 4( a − > 0) Có a − ≥ ⇒ a ≥ a − ⇒ a −1 b c ≥4 , ≥4 Tương tự : b −1 c −1 abc a b c ⇔ ≥ 64 Vậy + + ≥ 12 a −1 b −1 c −1 b −1 c −1 a −1 ( ( ) )( ( )( ( ) )( ) )( ) 0,25đ 0,5đ 0,25đ điểm 1.0,5điểm Trang 37 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) (3 điểm ) 0,25đ Có ∠BKH = 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đt) Tứ giác BCHK có ∠BCH + ∠BKH = 180 nên tứ giác BCHK nội tiếp 2.(1điểm ) Chứng minh ∆ACH đồng dạng với ∆AKB (g-g) AH AC R = ⇒ AH AK = AC AB = R = R AB AK (1,5đ) Tam giác MAB vuông M , có MC ⊥ AB nên MC = AC.CB 0,25đ 0,5đ 0,5đ 3R 3R , MN = 2MC = 3R ⇒ MC = Tam giác MCB vuông C nên MB2 = MC2 + MB = = 3R2 = 0,5đ  MB = MN = NB = 3R => MNB Trên KN lấy điểm I cho KI = KB => tam giác KIB tam giác  BI = BK ∆BIN = ∆BKM (c − g − c ) ⇒ NI = MK Do đo KM + KN + KB = 2KN KM + KN + KB lớn 2KN lớn ⇔ KN lớn ⇔ KN đường kính đường tròn (O) ⇔ K điểm cung MB Khi KM + KN + KB = 4R 0,5đ 0,5đ 1,5điểm (1điểm ) Sắp xếp số cho theo thứ tự tăng dần : ≤ a1 < a < a3 < < a700 Bổ sung thêm số + + 9( i = 1,2, ,700) lập bảng sau 3 699 700 a1 a1+3 a1+9 a2 a2+3 a2+9 a3 a3+3 a3+9 a699 a699+3 a699+9 a700 a700+3 a700+9 Bảng gồm 2100 số tự nhiên , số xi bảng thỏa mãn ≤ x1 ≤ 2006 + = 2015 ( i=1,2,3,4, , 2100), có số Mặt khác số dòng đôi khác , số cột đôi khác Vì tồn hai số a i+ x = aj +y với x, y ∈ { o;3;9} i,j ∈ {1;2;3; ;700} a1 − a j = y − x ⇔ a1 − a j = y − x ∈ { 0;6;9} -Hết - Trang 38 0,5đ 0,5điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN:Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 5câu,1.trang) Bài (2,0 điểm) 1.Tính giá trị biểu thức: A = x + x − x + với x = + + + − + − − − 2 1 CMR: Nếu ax = by = cz + + = x y z ax + by + cz = a + b + c Bài (2,0 điểm) 1.Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 + 2( m – )x – m2 = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 x1 − x2 = Giải phương trình x + ( x + 1) ( x +1 + 2 = x + x +1 + ) Bài (2,0 điểm) 1.Tìm số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đồng thời (x -1) + y - 2z = x + y + z – số nguyên tố Cho số thực a, b, c dương chứng minhrằng : a3 a3 + ( b + c) + b3 b3 + ( c + a ) + c3 c3 + ( a + b ) ≥1 Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn » không chứa D lấy F AB, AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC (F ≠ B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N (N ≠ F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P (P ≠ A) · a) Giả sử BAC = 600 , tính DE theo R b) Chứng minh AN.AF = AP.AM Trang 39 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) c) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vuông góc F đường thẳng BD, BC Các đường » để biểu thức thẳng IH CD cắt K Tìm vị trí F cung BC BC BD CD + + đạt giá trị FH FI FK nhỏ Bài (1,0 điểm) Cho lưới ô vuông kích thước x 7, ô vuông điền số - Kí hiệu tích cá số hàng thứ i bj tích số cột thứ j ( ≤ i , j ≤ ) Chứng minh : a1 + b1 + a2 + b2 + ….+ a7 + b7 ≠ Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán CÂU PHẦN ĐIỂM NỘI DUNG Đặt a = + + + - + , a > a2 = + − 1,0điểm Câu1 2,0 điểm 5+ = 4+ 6− = 4+ ( ) −1 = 3+ ⇒ a = 3+ 5 +1 −1 6+ 6− − −1 = −1 ⇒ x = 3+ − 3− −1= − −1 = 2 2 0,25 x = − ⇒ x2 + x − = 0,25 B = 2x3 + 3x2 – 4x + B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + = 0,25 b) Chứng minh rằng: Nếu ax = by = cz 1,0điểm 0,25 1 + + = x y z ax + by + cz = a + b + c Đặt: ax = by = cz = t Ta có: ax + by + cz = 1 t t t + + = t + + = (1) x y z x y z Trang 40 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) Mặt khác: t = x a = y3 b = z c 0,5  1 1 Suy ra: a + b + c = t  + +  = t (2) x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 3 3 0,25 x + ( m − ) x − m = ( m tham số) Ta có ∆ ' = ( m − ) + m 2 ( m − ) ≥ ⇒ ∆ ' = ( m − ) + m2 ≥ Do   m ≥ ( m − ) =  m = ⇒ => m ∈ Φ Dấu = xảy  m =  m =  Vậy ∆ ' = ( m − ) + m > ∀m Suy phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x2 0,25  x1 + x2 = − 2m Theo viet ta có :   x1.x2 = − m Để x1 − x2 = ⇒ ( x1 − x2 ) = 36 ⇔ x12 + x2 − x1 x2 = 36 (1) 0,25 Do x1.x2 = −m ≤ ⇔ x1.x2 = − x1.x2 0,25 Câu 2,0 điểm 1,0 điểm  x1 + x2 =  x1 + x2 = −6 2 Thay vào (1) ⇒ x1 + x2 + x1 x2 = 36 ⇔ ( x1 + x2 ) = 36 ⇔  - Nếu : x1 + x2 = ⇒ - 2m = ⇔ m = -1 - Nếu : x1 + x2 = −6 ⇒ - 2m = - ⇔ m =5 Với m = - 1, thay vào ta có phương trình x − x − = có ∆ ' = 10 > Phương trình có nghiệm x1 < x2 x2 = + 10 x1 = − 10 Khi : − 10 − + 10 = −6 (KTM) Với m = 5, thay vào ta có phương trình x + x − 25 = có ∆ ' = 34 > Phương trình có nghiệm x1 < x2 x2 = −3 + 34 x1 = −3 − 34 Khi : −3 − 34 − −3 + 34 = (TM) Vậy m = Trang 41 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ( ) x + ( x + 1) x + + 2 = x + x + + (1) ĐKXĐ: x ≥ −1 Đặt: y = x + 1; z = Khi (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) Chứng minh (2) ⇔ (x+y)(x+z)(z+x) = b) 1,0 ®iÓm Với: x + y = ⇔ x + x +1 = ⇔ x +1 = −x ⇒ x = 1− 0.25 0.25 ( Thỏa mãn) Với: x + z = ⇔ x + = ⇔ x = − ( không thỏa mãn) Với: y + z = ⇔ 0.25 x + + = - vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x = 1− 0.25 Ta có ( x + y + z − 1)3 = [ ( x − + y + z )] = ( x − 1)3 + y + 3( x − 1) y ( x − + y )  + z + 3( x − + y ) z + 3( x − + y ) z a) 1.0 điểm Câu 2,0 điểm = z + 3( x − 1) y ( x − + y ) + 3( x − + y ) z + 3( x − + y ) z M 0,25 ( (x -1) + y = 2z ) ⇒ ( x -1 + y + z) chia hết cho Vì x − + y + z nguyên tố nên x − + y + z = 0.25 Vai trò x, y, z nên không tính tổng quát, giả sử : x − ≤ z ≤ y ⇒ = x − + y + z ≥ 3( x − 1) ⇒ x − ≤ ⇒ x − ∈ { 1;0} Với x − = ⇒ y = z y + z = , suy không tồn y, z số b) 1,0 ®iÓm tự nhiên thỏa mãn Với x − = ⇒ + y = z y + z = Tìm y = z = Đáp số x = 2; y = z = Ta có: x +1 + x2 − x +1 x2 + x + = ( x + 1) ( x − x + 1) ≤ = 2 Với x số dương Trang 42 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) Dấu “ =” xảy x = x = 0,25 Biến đổi: a3 a3 + ( b + c) ⇒ = a3 a + ( b + c) 3 b+c 1+  ÷  a  ≥ 2 b+c  ÷ +2  a  = 2a ( b + c) 2a a2 ≥ = (1) 2b + 2c + 2a b + c + a 2 + 2a 0,25 Tương tự ta có: b3 b3 + ( c + a ) c3 c3 + ( a + b ) b2 ≥ 2 (2) b + c + a2 0,25 c2 ≥ 2 (3) b + c + a2 Từ (1); (2) (3) suy ra: a3 a3 + ( b + c) b3 + b3 + ( c + a ) c3 + c3 + ( a + b ) ≥1 0,25 Dấu “ = ” xảy a = b = c Vẽ hình (1 trường hợp) A N 0,25 D Câu 3,0 điểm E a) 1,0 ®iÓm P I B O H M C K F Trang 43 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) · Sđ BAC = b) 1,0 ®iÓm » 1800 − sd DE » = 600 ⇒ sd DE 0,25 · Suy EOD = 600 nên tam giác OED 0,25 suy ED = R 0,25 ·APE = ·ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ·ABM = ·ADE (Cùng bù với góc EDC) Suy ra: ·ABM = ·APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM AE AM = ⇒ AE AB = AM AP (1) Nên AP AB Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF AE AF = ⇒ AE AB = AN AF (2) AN AB 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) suy ra: AN.AF = AP.AM c) 1,0 ®iÓm Xét I nằm B, D( Nếu I nằm B,D vai trò K với DC I với BD) · · · Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK ( FBD ), = FCK · suy tứ giác CKFH nội tiếp nên FKC = 900 DK BH = Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên: FK FH CK BI = Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên: FK FI DC BH BI = − Suy ra: FK FH FI DC BD BH BD BI BH ID + = + − = + FK FI FH FI FI FH FI ID HC DC BD BH HC BC = + = + = Mà suy ra: FI FH FK FI FH FH FH Vậy Câu 1,0 điểm BC BD CD BC BC BD CD + + = + + nên nhỏ FH lớn FH FI FK FH FH FI FK F trung điểm cung BC Ta có = = - ; bj = bj = - , với ≤ i , j ≤ i , j ∈ N Giả sử a1 + b1 + a2 + b2 + ….+ a7 + b7 ≠ sai , suy a1 + b1 + a2 + b2 + ….+ a7 + b7 = số hạng tổng có số số – , : Trang 44 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) a1 b1 a2 b2 … a7 b7 = 17 ( - )7 = - Mặt khác : a1 a2.a7 b1 b2 b7 vế tích số bảng Ta nhận mâu thuẫn nên có đpcm Lưu ý: học sinh giải theo cách khác cho đủ số điểm ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN:Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 5câu,1.trang) Câu ( 2.0 điểm) a) Cho A = − − x  (1 + x )3 + (1 − x )    − 1− x2 Tìm x biết A ≥ b) Tính giá trị biểu thức: B = a +1 a4 + a + − a2 Trong a nghiệm phương trình x + x − = Câu ( 2.0 điểm) a) Chứng minh phương trình ax + bx + cx − 2bx + 4a = 0(a ≠ 0) (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1.x2 = 5a = 2b + ac b) Giải phương trình: x − x − 1000 + 8000 x = 1000 Câu ( 2.0 điểm) Trang 45 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) a) Chứng minh viết số x = ( 3+ ) 200 dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy b) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a + b + c ) + 2abc ≥ 52 Câu ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AC BD vuông góc với Điểm M thay đổi cung nhỏ BC (M khác B C) điểm N thay đổi cung nhỏ CD cho góc Dây AM cắt dây BC E, dây AN cắt dây CD F · · · MAN = MAB + NAD a) Chứng minh ta có: ·AEB = ·AEF b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định c) Đặt góc MAB = α, tính diện tích tam giác AEF theo R α Câu ( 1.0 điểm) Trên bàn có 2013 viên bi gồm 669 bi xanh, 671 bi đỏ, 673 bi vàng Thực thuật toán sau: Mỗi lần lấy viên bi khác màu đặt thêm viên bi có màu lại Hỏi nhận trạng thái mà bàn lại viên bi màu không ? Hết Trang 46 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 10 ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán Chú ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, phù hợp với kiến thức chương trình học hai Giám khảo chấm thi thống việc phân bố điểm cách giải đó, cho không làm thay đổi tổng điểm (hoặc ý) nêu hướng dẫn này./ Câu Đáp án Câu a) A xác định khi: –1 ≤ x ≤ điểm Ta có: A = ( Điểm 0.25 )2 ( ) 1− x − 1+ x  + x + − x  − − x     2 − − x2 = Do A ≥ ( 1− x − 1+ x 1+ x + 1− x ) =  2x ≤ x ≤ − 2x − ≤ x ≤ 1 ⇔ x≥ 2 1 Khi –1 ≤ x ≤ − x ≥ ⇔ x ≤ − 2 1 ≤ x ≤1 Vậy A ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ − 2 2 Khi ≤ x ≤ 0.25 2x ≥ Trang 47 0.5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) b) Phương trình x + x − = có ac = - < nên có hai nghiệm phân biệt với a nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a + 2a − = (1) Vì a > nên từ (1) có : ( 1− a) 1− a −a − 2a + a a2 = = = ⇒ a4 = 2.2 2 S a +1 = a + a +1 − a = ( a + 1) ( a4 + a + + a2 ) a4 + a + − a4 = ( a + 1) a4 + a +1 + a2 a + a +1− a 4 0.25 0.25 = a4 + a + + a2 − 2a + a 1− a − 2a + a + 8a + − a = + a +1 + = + = 8 2 2 0.5 a + 6a + − a a + − a + = + = = 2 2 2 2 Câu a) Nếu phương trình (*) có hai nghiệm x ; x đa thức bậc bốn vế trái phương 2 điểm trình phân tích : ( ( ) ax + bx + cx − 2bx + 4a = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ax + mx + n = )( = x − px + ax + mx + n 2 ) (vì x1.x2 = p = x1 + x2 ) 0.25 = ax + ( m − ap ) x + ( a − mp + n ) x + ( m − pn ) x + n (1)  n = 4a  m − pn = −2b (2)  Đồng thức hai vế phương trình ta :  (3)  m − ap = b  a − mp + n = c (4) Giải hệ phương trình ta 5a = 2b + ac b) Đặt + 8000 x + = y ⇒ + 8000 x = y − ⇒ + 8000 x = y − y + ⇒ y − y = 8000 x ⇒ y − y = 2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình:  x − x = 2000 y (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy   y − y = 2000 x x − x − y + y = 2000 ( y − x ) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) − ( x − y ) + 2000 ( x − y ) = (2) ⇔ ( x − y ) ( x + y − + 2000 ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1999 ) = Từ hệ phương trình (1) 2 2 suy ra: x + y − ( x + y ) = 2000 ( x + y ) ⇒ 2001( x + y ) = x + y > ⇒ x + y > Nên x + y + 1999 > Do từ (2) suy x − y = hay x = y Thay vào hệ (1) ta x − x = 2000 x ⇒ x ( x − 2001) = ⇒ x = x = 2001 Nhưng x = không nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Trang 48 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) Câu a) Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện: < y < 0,1 điểm x + y số tự nhiên có tận (2) Ta chọn y = ( 3− Mặt khác: x + y = ( ) 200 Ta có < 3+ ) 200 + ( (1) 0.25 − < 0,3 nên < y < 0,1 3− ) 200 ( = 5+2 ) 100 ( + 5−2 ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n Do a + b = 10, a.b = nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn),tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10).Do Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) 0 Ta có S0 = (5 + ) + (5 - ) = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh b) Ta có: abc ≥ (−a + b + c )(a − b + c )(a + b − c ) = (6 − 2a) ( − 2b ) ( − 2c ) ( ab + bc + ac ) 16  36 − ( a + b + c )  2 ⇔ 2abc ≥ −48 +   ⇔ ( a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1)   0.5 0.25 0.5 ⇔ abc ≥ −24 + 0.5 a +b +c ≥ (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh ( a − 2) Câu 3điểm + ( b − 2) + ( c − 2) ≥ ⇔ 2 2 a)Trước hết từ giả thiết suy ∠MAN = 450 Gọi DB, cắt AN, AM P, Q Chứng minh được: ABEP ADFQ tứ giác nội tiếp => ∠EPF = ∠EQF = 900 => tứ giác PQEF nội tiếp Từ CM ∠AEB = ∠APB = ∠AEE => ∠AEB = ∠AEF a) Kẻ AH ⊥ EF (H∈EF) Chứng minh ∆AEH = ∆AEB => AH=AB Suy EF tiếp xúc với đường tròn cố định (A;a) với a =AB=R b) Ta chứng minh SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD Tính SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R R tgα = R2 tgα SAFD = = R2 tg(450-α) Suy SAEF = R2.(tgα + tg(450-α)) Chú ý: Có thể tính theo cách khác: * SAEF = (1/2).AF.EP = = SAEF = (R2/ cosα.cos(450-α)) Câu * Hoặc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2 (1 − tgα ) + (1 − tg ( 45 − α )) đáp số cho điểm tối đa Gọi X(n); D(n); V(n) la số viên bi xanh, đỏ, vàng tương ứng sau thao tác thứ n Dễ thấy Trang 49 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) điểm đại lượng: X(n) – D(n); D(n) – V(n); V(n)- D(n) đại lượng bất biến theo môdun Từ suy nhận trạng thái mà bàn lại viên bi màu -Hết - Trang 50 0.5 [...]... dài có hai dãy ghế xếp đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu cứ hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 7 ) Trang 31 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) LỚP 9- Năm học 2015-2016 MÔN: Toán Chú ý: - Thí sinh. .. chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8 ( bốn số) => Phải có ít nhất có hai chữ số tận cùng bằng nhau Từ hai trường hợp trên => trong mười số mới đó có hai số có cùng chữ số tận cùng Trang 25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 – Năm học 2015 – 2016 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) ( Đề thi. .. nguyên lý Dirichlet có một số xuất hiện ít nhất 17 lần Trang 30 1,0 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐỀ SỐ 7 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9- Năm học 2015-2016 MÔN: Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( Đề thi gồm 5 câu,01 trang) Câu 1 (2 điểm) a Cho Q = ( x + x 2 + 199 9 )( y + y 2 + 199 9 ) = 199 9 Hãy tính tổng S = x + y b Rút gọn biểu thức sau : M= (a+ b) - (a 2 + 1)(b... cùng nhau Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần -Hết -Trang 26 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 6) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu Đáp án Điểm 1) Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x 9  x −3 x   9 x x −3 x −2 :  + − P = 1 −   x +3 x −2 x − 9 x −2 x + 3    ... Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử x, y sao cho x − y ∈ { 3;6 ;9} Hết Trang 35 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 8 ) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MÔN:TOÁN Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa - Điểm bài thi là 10 điểm Bài Đáp án Điểm 1 (1 điểm) x + y ≠ 0 x ≠ − y   Điều... y + zx 1 + z + xy 1 + x + yz x + y + z - Hết - Trang 12 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MÔN:TOÁN HỌC Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa - Điểm bài thi làm tròn đến 0,5 Câu Đáp án a (1.0 điểm) ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1 1 (2.0 điểm) 0,25 đ P= ( x +... con bằng nhau có cạnh là 0,2 Theo nguyên tắc Đỉichlê ắt tồn tại ít nhất 3 điểm nằm trong một hình vuông con Ta có bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông Trang 20 1đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) này bằng kính 1 5 2 < 1 Suy ra 3 điểm đã cho nằm trong hình tròn có bán 7 1 7 ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm... 33177600 cách 5 ( 1đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 -Hết Trang 34 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐỀ SỐ 8 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 - Năm học 2015-2016 MÔN:TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 5 câu, 1trang) Bài 1 :(2điểm) Cho P = x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y ) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y )... (2) ⇒ VT = VP chỉ đúng khi: VT = VP = 1 Khí đó x = y = z = 1 ⇒ Trang 16 (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) - Hết - ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 3 câu, 2 trang) Câu 1 ( 2 điểm): Cho biểu thức x −1 x + 8  3 x −1 +1 1  + ) :  − P= ( ÷ 3 +... ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm - Điểm bài thi Câu Đáp án Điể m a (1 x điểm) 0,25 + có ( x+ x 2 + 199 9 )( x 2 + 199 9 − x) = 199 9 1 (… điểm) 2 (2 điểm) Từ gt suy ra ( y+ y 2 + 199 9 ) = x 2 + 199 9 − x (1) x 2 + 199 9 = y 2 + 199 9 − y (2) Cộng hai vế tương ứng của (1) và (2) ta được S = x+ y = 0 b (1 điểm) +Ta có: a2 + 1 = a2 + ab +bc +ca + ( a+b) ( a + c ) Tương tự: b2 + 1 = ... - Trang 12 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN:TOÁN HỌC Chú ý: - Thí sinh làm theo cách... minh có số ghi 17 lần -Hết -Trang 26 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 6) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng... (không có điểm số âm) Chứng tỏ có bạn có số điểm - Hết - Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 8) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2)