BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 2)

S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN :TON Thi gian lm bi : 150 phỳt ( thi gm cõu, trang) Cõu (2,0 im) Cho biu thc P = + x x : ữ ữ vi x 0, x ữ x +1 x x x + x x ữ a) Rỳt gn biu thc P b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc M = P x nhn giỏ tr nguyờn Cõu (2,0 im) a) Gi x1, x2 l nghim ca phng trỡnh x2 + 2015x + = x3, x4 l nghim ca phng trỡnh x2 + 2016x + = Tớnh giỏ tr ca biu thc: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) b) Tỡm cỏc s x, y, z bit x + y + z 2( x + y + z 2) + 11 = Cõu (2,0 im) a) Cho n l s t nhiờn ln hn Chng minh rng n + n l hp s b) Cho s a, b, c tha a b c Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 1 + + ữ a+1 b+1 c+1 B = (a+b+c+3) Cõu (3 im) Cho ng tron (O; R) va ng thng d khụng i qua O ct ng tron (O) tai hai iờm A va B T mụt iờm M y trờn ng thng d va ngoai ng tron (O) ve hai tiờp tuyờn MN va MP vi ng tron (O) (M, N la hai tiờp iờm) a Chng minh rng MN = MP = MA.MB b Dng vi tri iờm M trờn ng thng d cho t giac MNOP la hinh vuụng c Chng minh rng tõm cua ng tron nụi tiờp va tõm cua ng tron ngoai tiờp tam giac MNP lõn lt chay trờn hai ng cụ inh M di ụng trờn ng thng d Cõu (1,0 im) Hai ngi chi trũ chi nh sau: Trong hp cú 311 viờn bi, ln lt tng ngi ly k viờn bi, vi k {1; 2; 3} Ngi thng l ngi ly c viờn bi cui cựng hp bi ú a) Hi ngi th nht hay ngi th hai thng v chin thut chi th no thng? b) Cng hi nh cõu trờn, bi thay 311 viờn bi bng n viờn bi, vi n l s nguyờn dng? Ht B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH ( S 1) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN: Toỏn (Hng dn chm gm trang) Chỳ ý: Cõu Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a im bi thi c tớnh theo thang im 10 ỏp ỏn a.( im) x x P= + : ữ ữ ữ ữ x +1 x x x + x x = im x + x +1 x : ữ ữ x +1 x ( x + 1)( x 1) 0,25 x + x +1 x +1 x = : x +1 ( x + 1)( x 1) (2im) 0,25 x + x + ( x + 1)( x 1) = x +1 ( x 1) x + x +1 x + x +1 x +1 = x x x+2 = x x+2 Vy P = vi x 0, x x = 0,25 0,25 b ( im) Ta cú M = P x = M nguyờn thỡ x+2 x+2 x+ x x= = x x x +2 =1 + x x 0,25 phi cú giỏ tr nguyờn x Mt khỏc x l s nguyờn (tho iu kin x 0, x ) thỡ x hoc l s nguyờn (nu x l s chớnh phng) hoc l s vụ t (nu x khụng l s chớnh phng) l s nguyờn thỡ x khụng th l s vụ t, ú x s nguyờn, suy x - l c ca Trang x phi l 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Ta xột cỏc trng hp: +) x - = x = x = 16 Z v tho KX +) x - = -3 x = - < (loi) +) x - = x = x = Z v tho KX +) x - = -1 x = x = Z v tho KX Vy vi x = 16; x = hoc x = thỡ biu thc M = P nguyờn x nhn giỏ tr a.(1 im ) Chng t hai phng trỡnh cú nghim Cú: x1x2 = ; x3x4 = ; x1+x2 = -2015 ; x3 + x4 = -2016 Bin i kt hp thay: x1x2 = 1; x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 - ( x2+ x1)2 (2im) Thay x1+x2 = -2015; x3 + x4 = -2016 c : 20162 - 20152 =2016+2015 =4031 b.(1 im ) x + y + z 2( x + y + z 2) + 11 = (2) KX x 0; y 1; z 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (2) x x + y y + z z + 11 = x x + 1+ y y + + z z + = 0,25 ( x 1) + ( y 2) + ( z 3) = 2 ( x 1) = x = x =1 ( y 2) = y = y = ( z 3) = z = z = x = (thoả mãn điều kiện) y = (thoả mãn điều kiện) z = 11 (thoả mãn điều kiện) 0,25 0,25 Vy x = 1; y =5; z = 11 a.(1im ) Vi n l s t nhiờn ln hn thỡ n cú dng: n = 2k hoc n = 2k + 1, vi k l s t nhiờn ln hn Trang 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) + Xột trng hp n = 2k, ta cú n + n = (2k ) + k ln hn v chia ht cho Do ú trng hp n = 2k thỡ n + n l hp s + Xột trng hp n = 2k+1, tacú: 0,25 n + n = n + k.4 = n + (2.4 k ) = ( n + 2.4 k ) n k = (n + 2.4 k ) (2.n.2 k ) = ( n + 2.4 k + 2.n.2 k )( n + 2.4 k 2.n.2 k ) (2im) = (n2 + 4k + 4k + 2.n.2k )(n2 + 4k + 4k - 2.n.2k ) = (n2 + 2.n.2k + 22k + 22k )(n2 2.n.2k + 22k + 22k) = [( n+2k)2 + 22k ][(n 2k)2 + 22k ] Vi n l s t nhiờn ln hn v k l mt s t nhiờn ln hn Thỡ mi tha s [( n +2k)2 + 22k ] v [(n 2k)2 + 22k ]u ln hn hoc bng Do ú trng hp n = 2k+1 thỡ n + n cng l hp s Vy vi n l s t nhiờn ln hn thỡ n + n l hp s b.(1im ) 0,25 0,25 t x=1+c, y=1+b, z=1+a a b c = >1 z y x x y z x x y y z z + + + + + y z x z x y x y x y x y x y x + +1 ữ1 ữ + y z y z y z y z z z y z y z y z y z + +1 ữ1 ữ + y x y x y x y x x x y z y x z x x y y z z x z + + + + + + + + + + + ữ+ y z y x z x y z x z x y z x x t = t => t z x z t + 2t 5t + (2t 1)(t 2) + =t+ = = + = + z x t t 2t 2t (2t 1)(t 2) x z + Do t 2t z x A + + = 10 Khi ú A= (x+y+z)( + + )=3+ + 0,25 0,25 0,25 Ta thy a=b=0 v c=1 thỡ A=10 nờn giỏ tr ln nht ca A l 10 0,25 Trang B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) (3im) a.(0,75im ) Ta co: MN = MP (Tinh chõt cua tiờp tuyờn ct nhau) Chng minh c tam giac MAN va MNB ụng dang 0,5 0,25 MA MN = MN = MP = MA.MB Suy ra: MN MB b (1 im) MNOP la hinh vuụng thi ng cheo OM = ON = R Dng iờm M: Ta dng hinh vuụng OACD, dng ng tron tõm O i qua iờm D, ct (d) tai M Chng minh: T M ve tiờp tuyờn MN va MP Ta co MN = MO ON = R , nờn Tam giac ONM vuụng cõn tai N Tng t, tam giac OPM cung vuụng cõn tai P Do o MNOP la hinh vuụng Bai toan luụn co nghiờm hinh vi OM = R > R c.(1,25im) + Ta co: MN va MP la tiờp tuyờn cua (O), nờn MNOP la t giac nụi tiờp ng tron ng kinh OM Tõm la trung iờm H cua OM Suy tam giac cõn MPQ nụi tiờp ng tron ng kinh OM, tõm la H + Ke OE AB , thi E la trung iờm cua AB (cụ inh) Ke HL (d ) thi HL // OE, nờn HL la ng trung binh cua tam giac OEM, suy ra: HL = OE (khụng ụi) + Do o, M i ụng trờn (d) thi H luụn cach dờu (d) mụt oan khụng ụi, nờn H chay trờn ng thng (d') // (d) va (d') i qua trung iờm cua oan OE a .(0,5 im) * Ngi th nht ly viờn bi cũn 308 viờn bi l bi s ca * Ngi th hai ly 1, hoc viờn bi * Ni th nht ly 3, hoc viờn s cũn li l bi ca (1im) * C tip tc nh vy thỡ ngi ly cui cựng phi l ngi th nht b.(0,5 im) Trang 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Vi n viờn bi * Nu n l bi ca thỡ ngi th hai thng * Nu n khụng phi l bi s ca 4, vi cỏch lm nh trờn thỡ ngi th nht thng 0,25 0,25 -Ht - S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm cõu, 01trang) Bi : (2,0 im) a) Rỳt gn biu thc: A= 10 + 30 2 : 10 2 b) Tớnh giỏ tr ca biu thc M = x3 6x vi x = 20 + 14 + 20 - 14 Bi : (2,0 im) a) Cho phng trỡnh: x 6x m = (Vi m l tham s) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2 tho x12 x2 = 12 1 x + y + x + y = b) Gii h phng trỡnh: xy + = xy Bi : (2,0 im) a) Cho cỏc s thc dng a,b,c,x,y,z khỏc tho x yz y zx z xy = = a b c a bc b ca c ab = = Chng minh rng x y z b) Cho x, y, z l ba s thc dng v x + y + z Chng minh rng: x2 + 1 + y + + z + 82 y z x Trang B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Bi ( 3,0 im) Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC; < 900), mt ng trũn (O) tip xỳc vi AB, AC ti B v C Trờn cung BC nm tam giỏc ABC ly mt im M ( M B;C ) Gi I; H; K ln lt l hỡnh chiu ca M trờn BC; CA; AB v P l giao im ca MB vi IK, Q l giao im ca MC vi IH a) Chng minh rng tia i ca tia MI l phõn giỏc ca gúc HMK b) Chng minh PQ // BC c) Gi (O1) v (O2 ) ln lt l ng trũn ngoi tip MPK v MQH Gi D l trung im ca BC; N l giao im th hai ca (O1),(O2 ) Chng minh rng M,N,D thng hng Bi ( 1,0 im) Cho 100 s t nhiờn a1 , a2 , , a100 tha iu kin: 1 + + + = 19 a1 a2 a100 Chng minh rng 100 s t nhiờn ú, tn ti hai s bng - HT - P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 2) Bi Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN: TON (Hng dn chm gm 04 trang) Bi gii Cõu a 1im 10 + 30 2 : = 10 2 2( 1) + 6( 1) + 3 + 3 = = 2 2 2( 1) = b 1im im 3+1 31 = 2 t u = 20 + 14 ; v = 20 14 Ta cú x = u + v v u + v3 = 40 u.v = (20 + 14 2)(20 14 2) = Trang 0,5 0,5 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) x = u + v x3 = u + v + 3uv(u + v) = 40 + 6x hay x3 x = 40 Vy M = 40 0,25 0,25 2im a 1im phng trỡnh cú nghim / m (*) Mt khỏc ta phi cú b 1im iu kin: xy0 x1 = x1.x2 = m m = 8(TM DK *) x = 1 x + y + x + y = 2[xy(x+y)+(x+y)]=9xy (1) (2) 2(xy) -5xy+2=0 xy + = xy Gii (2) ta c: 2im x1 + x2 = x1 + x2 = x1.x2 = m x1.x2 = m x1 x2 = 12 x1 x2 = xy=2 (3) xy= (4) 0,2 0,5đ 0,2 0,25 0.25đ Thay xy = vo (1) ta c x + y = (5) x = x + y = y = T (5) v (3) ta c: x = ( tho K) xy = y = Thay xy = vo (1) ta c x + y = 2 (6) x = y = x + y = T (6)v(4) ta c: (tho K) xy = x = y = Vy h ó cho cú nghim l: 1 ( x; y ) = (1; 2), (2; 1), 1; ữ, ;1 ữ 2 Trang 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) a 1im x yz y zx z xy = = a b c a b c a2 = = = x yz y xz z xy x x yz + y z bc a bc = (1) y z xy xz + x yz x( x + y + z 3xyz ) Tuongtu : im 0,5 b2 ac = 2 = 2 y y xz + x z x z x y yz + xy z b ac (2) y ( x + y + z 3xyz ) Tuongtu : c2 ab = 2 = 2 Z xyz + x y x y x z y z + xyz c ab (3) z ( x3 + y + z 3xyz ) 0,25 T (1) (2) (3) ta co PCM b 1im 1 1 (1.x + )2 (12 + 92 )( x + ) x + (x + ) y y y y 82 1 1 ( y + ); z + ( z + ) z 82 z x 82 x 9 81 S (x + y + z + + + ) (x + y + z + ) x y z x+ y+ z 82 82 0,25 0,25 0,25 TT : y + = 80 ( x + y + z + ) + 82 x + y + z x + y + z 82 0,25 A O2 N K H O1 M P Q E E' B I D Trang O 0,25 C B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Hình vẽ 0,25 ã a) Chng minh tia i ca tia MI l phõn giỏc ca HMK Vỡ ABC cõn ti A nờn ãABC = ãACB Gi tia i ca tia MI l tia Mx Ta cú t giỏc BIMK v t giỏc CIMH ni tip a 0,75im ã ã IMH = 1800 ãACB = 1800 ãABC = IMK ã ã ã ã KMx = 1800 IMK = 1800 IMH = HMx ã Vy Mx l tia phõn giỏc ca ca HMK b) T giỏc BIMK v CIMH ni tip 0,25 0,25 0,25 ã ã ã ã KIM = KBM ; HIM = HCM ã ã ã ã ã PIQ = KIM + HIM = KBM + HCM 3im b 1,0im ẳ ã ã M KBM ( cựng bng sd BM ) = ICM ẳ ã ã ( cựng bng sdCM ) HCM = IBM ã ã ã PIQ = ICM + IBM ã ã ã Ta li cú PMQ + ICM + IBM = 1800 tng3gúc tam giỏc) 0,25 ã ã PMQ + PIQ = 1800 Do ú t giỏc MPIQ ni tip ẳ ã ã ( cựng bng sd PM ) MQP = MIK ã ã ã M MIK ( vỡ cựng bng KBM ) = MCI ã ã PQ// BC MQP = MCI S S c Gi E; Eln lt l giao im ca NM vi PQ v BC Ta cú PE2 = EM EN ( vỡ PEM NEP ) QE2 = EM EN ( vỡ QEM NEQ ) PE2 = QE2 ( vỡ PE;QE >0) PE = QE Xột MBC cú PQ // BC ( c/m b) nờn: c 1,0im EP EQ = ( nh lớ Ta Lột) E ' B E 'C M EP = EQ EB = EC ú E D Trang 10 0,25 0,25 0,25 0,25đ 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) < a +1 a ữ < a a ( a + a ) 1 < (a + 1) + (a 1) a a < 2a a a 4(a 1) < 2a ữ a (vỡ2a > 0< 0.25 0.25 1 , a 2a > 0, a 1) a a a2 0.25 Cõu 4.1 (1 im) A B' C' O 0.25 B A' C Qua A k ng thng vuụng gúc vi AF ct DC ti G Chng minh c ABR = ADG ( g.c.g) AE = AG Xột AGF vuụng ti A cú AD l ng cao nờn ta cú 1 + = ú thay AG = AE ta c 2 AG AF AD 1 + = (pcm) 2 AE AF AD 0.25 0.25 0.25 Cõu 4.2 (1 im) Gi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB Ta cú: S + SAA'B S AA' SAA'C S = = AA'B = AA'C = OA' SOA'C SOA'B SOA'C + SOA'B S1 BB' S CC' S = ; = Tng t ta cú OB' S2 OC' S3 Trang 45 0.25 0.25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) => 1 S S S 9S AA' BB' CC' = =9 + + = + + = S + + ữ S S1 + S + S3 S OA' OB' OC' S1 S2 S3 S1 S2 S3 Du = xy S1 = S2 = S3 Hay O l trng tõm ca tam giỏc ABC 0.25 0.25 Cõu 4.3 (1 im) T giỏc BDEC cú din tớch nh nht 1 2 2 AB AB AB = (AD2 AD + )+ 2 2 AB AB AB = (AD ) + AB2 AB2 Vy SBDEC = SABC SADE = AB2 khụng i 8 Do ú SBDEC = AB2 D, E ln lt l trung im AB, AC Ta cú: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB AD)= (AD2 AB.AD) 0.25 0.25 0.25 0.25 Xột tt c cỏc s cú dng abcd gm ỳng s 1, 2, 3, Trc ht ch s a c chn ch s 1, 2, 3, Khi ú ch s b c chn ch s cũn li v ch s c c chn ch s sau ó chn a v b, ú cú tt c 4.3.2 = 24 s gm ch s 1, 2, 3, Xột mt hng no ú ca 24 s, thỡ s ln cú mt mi ch s hng ú l nh nhau, nờn mi ch s cú mt ( hng ú) l 24:4 = ln T ú tng cỏc ch s mi hng l 6( +2 + + 4) = 60 Tng ca 24 s ( khụng cú phn thp phõn) gm ch s ( hng) l 60.60.1000 + 60.100 + 60.10 + 60 = 66660 Khi tớnh tng cỏc s cú k ch s ( k = 1,2,3) phn thp phõn, ta phi lựi du phy sang trỏi k ch s, ngha l tng phi gim i 10 ln, 100 ln, 1000 ln, ú tng tt c cỏc s thp phõn c lp l : 6666 + 666,6 + 66,6 = 7399,2 -Ht Trang 46 0.25 0.25 0.25 0.25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) S THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN:Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 5cõu,1.trang) Bi 1(2.0 im) Cho biu thc P = x x x2 x ( x x +1 )+ x +3 x 1.1 Rỳt gn P 1.2 Tỡm giỏ tr nh nht ca P v giỏ tr tng ng ca x Bi (2.0 im) 2.1 Chng minh rng nu tớch mt nghim ca phng trỡnh x + ax + = (1) vi mt nghim ca phng trỡnh x + bx + = (2) l nghim ca phng trỡnh x + abx + = (3) thỡ 1 =2 (vi a, b khỏc 0) ab a b 2 x + y + xy + = y 2.2 Gii h phng trỡnh sau: ( x + 1)( x + y 2) = y 2 Bi 3(2.0 im) 3.1 Tỡm tt c cỏc s nguyờn t p, q cho tn ti s t nhiờn m tha : pq m2 + = p + q m +1 3.2 Cho cỏc s khụng õm a; b; x; y tha cỏc iu kin sau: a 2016 + b2016 v x 2016 + y 2016 Chng minh rng: a1976 x 40 + b1976 y 40 Bi (3.0 im) 4.1 Cho ba ng trũn ( O1 ) , ( O2 ) v ( O ) Gi s ( O1 ) , ( O2 ) tip xỳc ngoi vi ti im I v ( O1 ) , ( O2 ) ln lt tip xỳc vi ( O ) ti M , M Tip tuyn ca ng trũn ( O1 ) ti im I ct ng trũn ( O ) ln lt ti cỏc im A, A ' ng thng AM1 ct li ng trũn ( O1 ) ti im N1 , ng thng AM ct li ng trũn ( O2 ) ti im N a Chng minh rng t giỏc M N1 N M ni tip v ng thng OA N1 N b K ng kớnh PQ ca ng trũn ( O ) cho PQ vuụng gúc vi AI (im P nm Trang 47 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) AM khụng cha im M ) Chng minh rng nu PM , QM khụng song song thỡ trờn cung ẳ cỏc ng thng AI , PM v QM ng quy 4.2 Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm O, mt im I chuyn ng trờn cung BC khụng cha im A (I khụng trựng vi B v C) ng thng vuụng gúc vi IB ti I ct ng thng AC ti E, ng thng vuụng gúc vi IC ti I ct ng thng AB ti F Chng minh rng ng thng EF luụn i qua mt im c nh Bi 5(1.0 im) Tt c cỏc im trờn mt phng u c tụ mu, mi im c tụ bi mt mu xanh, , tớm Chng minh rng ú luụn tn ti ớt nht mt tam giỏc cõn, cú nh thuc cỏc im ca mt phng trờn m nh ca tam giỏc ú cựng mu hoc ụi mt khỏc mu HT Trang 48 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH ( S ) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN: Toỏn Bi ỏp ỏn 1.1 ( 1.0 im) - KX : x 0, x Vi x 0, x thỡ x x P= (2.0 im) ( )+ x 0.5im x +3 x2 x x +1 x x x x x = x +1 x x +1 x x+8 x x x + x 24 = = x +1 x +1 x ( )( ( ) ( )( ( )( )( im ) ( ) ( )( )( x +3 x +1 ) ) x +1 x 0.5im ) 1.2 (1.0 im) Vi x 0, x thỡ (2.0 im) x+8 = x +1 9 22 ( x + 1) = = x +1 x +1 giỏ tr nh nht ca P = x = ( tha kx) 0.5im 2.1 (1.0 im) + Gi x1 l nghim ca phng trỡnh (1) x2 l nghim ca phng trỡnh (2) x1 x2 l nghim ca phng trỡnh (3) Theo nh lớ Viet: 025im P= x +1+ = a x1 x2 + = b x2 x1 x2 + = ab x1 x2 x1 + (4) (5) (6) + Nhõn (4) vi (5) x1 x2 + x12 x2 + = 4a b x2 x1 x x x x + + = ab + = 2ab x2 x1 x1 x2 x2 x1 (7) (4) x1 + ữ = a x2 0.5im x12 + = a2 2 x1 Trang 49 (8) 0.5 im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) x2 + = b (5) x2 + ữ = b x2 x2 2 2 (6) x1 x2 + 2 = a b x1 x2 (9) x + = (a 2)(b 2) ữ 2 ữ x1 x2 x2 x + + 22 = ab 2a 2b + x2 x1 Nhõn (8) vi (9): x1 + 2 + x1 x2 + x1 x2 2 a b + 4a b = a b 2a 2b + 2 2 2 2 0.25im 2a b + a + b = 1 2 =2 ab a b 2.2.( 1.0 im) x +1 = + Vi y = Hpt tr thnh: (vụ nghim) ( x + 1)( x 2) = x2 + y + ( x + y) = + Vi y H tr thnh (1) ( x + 1)( x + y 2) = y a + b = x2 + , b = x + y thay vo hpt(1) ta c y a(b 2) = + Gii c: a = 1, b = x2 + =1 + Vi a = 1, b = y x + y = Gii c nghim ca h: ( x; y) = (1; 2) hoc (x;y)=(-2;5) + Vy h cú nghim: ( x; y ) = (1; 2) hoc (x;y)=(-2;5) 0.25im 0.25im t a = 0.25im 0.25im 3.1 (2.0 im) (2.0 im) 2(m + 1) p = q + Nu thỡ p = = 2m + m +1 m +1 + Do m l s t nhiờn v p l s nguyờn t nờn 4M( m + 1) m = 0; m = 1; m = p = 2; p = + Nu p q thỡ pq v p + q l nguyờn t cựng vỡ pq ch chia ht cho cỏc c nguyờn t l p v q cũn p + q thỡ khụng chia ht cho p v khụng chia ht cho q Gi r l mt c chung ca m2 +1 v m+1 Trang 50 0.25im 0.25im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Cú m + Mr => [ (m + 1)( m 1) ] Mr (m 1)Mr (m + 1) (m 1) Mr 2Mr r = hoc r = + ) r = suy p + q = m + 1, pq = m + p, q l hai nghim ca 0.25im phng trỡnh x (m + 1) x + m + = vụ nghim = 3m + 2m = ( m 1) (2m + 2) < + ) r = suy pq = m + v 2( p + q) = m + p, q l hai 0.25im 2 nghim ca phng trỡnh x ( m + 1) x + m + = vụ nghim = 7m + 2m = (m 1)2 (6m + 6) < Vy b cỏc s nguyờn t (p; q) cn tỡm l ( p; q ) = (2;2); ( p; q) = (5;5) 3.2 (1.0 im) + p dng BT Cụ si cho 1976 s a 2016 v 40 s x 2016 Ta cú 1976.a + 40.x ( 1976 + 40 ) 2016 Tng t 2016 2016 ( a 2016 ) ( x 2016 ) 1976.b 2016 + 40 y 2016 2016 2015 b ( 1976 + 40 ) ( + T (1) v (2) ta cú: ( 1976 ) ( ) 40 = a1976 x 40 1976 ( y 2016 ) 40 ) = b1976 y 40 1976 a 2016 + b 2016 + 40 x 2016 + y 2016 2016.(a1976 x 40 + b1976 y 40 ) (3) Vỡ a 2016 + b 2016 v x 2016 + y 2016 2016 2016 2016 2016 Nờn 2016 1976 ( a + b ) + 40 ( x + y ) (4) T (3) v (4): 2016 2016.(a1976 x 40 + b1976 y 40 ) (a1976 x 40 + b1976 y 40 ) Du = xy v ch a1976 = x 40 ; b1976 = y 40 (2.0 im) Trang 51 0.5im 0.5im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) P A N1 O O1 M1 I A' O2 N2 Q M2 S a)+ Ta cú AM1 AN1 = AM AN = AI AN1 N ng dng vi AM M ã N N + AM ã M = 1800 ãAN1 N = ãAM M M 1 2 t giỏc M N1 N M ni tip + Ta cú ãAN1 N = ãAM M = ãAOM v tam giỏc AOM cõn ti O ã ã AO = 180 AOM nờn M ã ã AO = 900 OA N N Do ú ta c AN1 N + M 1 b)+ Gi S l giao im ca PM v QM Ta cú O, O2 , M thng hng v O2 I song song vi OP ã M = POM ã IO (1) Mt khỏc tam giỏc O2 IM cõn ti O2 , tam giỏc 2 0.5im 0.5im 0.5im ã IM = OPM ã OPM cõn ti O v kt hp vi (1) ta c O 2 suy P, I , M thng hng Tng t ta cú Q, I , M thng hng + Do PQ l ng kớnh ca ng trũn ( O) suy 0.5im ã Q = PM ã Q = 900 PM I l trc tõm ca tam giỏc SPQ suy AI i qua S hay ba ng thng AI , PM , QM ng quy 4.2 (1.0 im) Trang 52 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) B F O 0.25im K I A 0.5im E C ã ã + Khi BAC = 900 BIC = 900 F trựng vi B, E trựng vi C lỳc ú EF l ng kớnh EF i qua im O c nh ã ã + Khi BAC < 900 BIC > 900 Gi K l im i xng ca I qua EF ã ã ã (cựng bự BIC ) EIF = EAF ã ã (Do I v K i xng qua EF) EKF = EIF ã ã EKF = EAF AKFE ni tip ã ã ằ ) (1) (cung chn KF KAB = KEF ã = KEF ã (Do K v I i xng qua EF) (2) IEF ã = BIK ã ã (cựng ph KIE ) (3) IEF ã ã T (1), (2), (3) KAB = BIK AKBI l t giỏc ni tip K (O) M EF l ng trung trc ca KI E, O, F thng hng ã ã + Khi BAC > 900 BIC < 900 chng minh tng t (1.0 Vy ng thng EF luụn i qua im O c nh (1.0 im) Trang 53 0.25im B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Xột ng giỏc u ABCDE, ta nhn thy ba nh bt kỡ ca ng giỏc luụn to thnh mt tam giỏc cõn Do ú tụ nh A, B, C, D, E bng mu xanh, v tớm s xy hai kh nng sau: +) Nu tụ nh A, B, C, D, E bi ba loi mu ó cho thỡ tn ti 0.5im nh cú mu khỏc v to thnh mt tam giỏc cõn +) Nu tụ nh A, B, C, D, E bi nhiu nht mu thỡ cú ớt nht nh cựng mu v to thnh mt tam giỏc cõn Vy, mi trng hp luụn tn ti ớt nht mt tam giỏc cõn, cú 0.5im nh c tụ bi cựng mt mu hoc ụi mt khỏc mu Ht S 10 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP - Nm hc 2015-2016 MễN:Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm cõu, trang) Cõu ( 2im) Khụng s dng mỏy tớnh, chng t Tớnh giỏ tr ca biu thc P = Cõu ( 2im) Cho phng trinh: x2 2(m-1)x + 2m-5 = (1) (m la tham sụ) a Chng minh phng trinh (1) luụn co hai nghiờm phõn biờt vi moi m b Tim m phng trinh (1) co hai nghiờm x 1,x2 thoa man: x1 < < x2 Trang 54 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Gii h phng trỡnh sau Cõu ( 2im) Tỡm cỏc s nguyờn t x, y cho Cho a, b, c l cỏc s dng tha chng minh rng Cõu (3 im) Cho dõy cung BC trờn ng trũn ( O), im A chuyn ng trờn cung ln BC Hai ng cao AE, BF ca tam giỏc ABC ct ti H a Chng minh CE.CB =CF.CA b AE kộo di ct ng trũn ti H Chng minh H v H i xng vi qua BC Cho tam giỏc nhn ABC Xỏc nh v trớ im M nm tam giỏc ABC cho AM.AB + BM.CA + CM.AB t giỏ tr nh nht Cõu ( 1im) Trờn mt phng ta cho a giỏc li cú 12 cnh Cú bao nhiờu tam giỏc m cỏc nh ca nú l nh ca a giỏc li? -Ht P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 10) Lp - Nm hc 2015 - 2016 MễN:Toỏn (Hng dn chm gm5 trang) Cõu ỏp ỏn Cõu 1.1 Ta cú (1 im) im Suy 0,5 Tng t ta cng chng minh c Do ú Trang 55 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) M 0,25 nờn Cõu 1.2 (1 im) P = Suy P3 = ( )3 0,5 Vy P3 = 140 -3P ú P l nghim ca pt : P3 - 3P 140 = ( P2 + 5P + 28)( P- 5) = P = Vỡ P2 + 5P + 28 > Vy =5 Xột phng trỡnh x 2(m-1)x + 2m - = (1) Cõu 2.1a Cú a = 0; = m2 -2m + - 2m + = (m-2)2 + > vi mi m 0,5im Vy phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit vi mi m Cõu 2.1b t x - = y x = y+2 0,5im Khi ú pt (1) cú dng (y+2)2 - 2(m-1)(y+2) + 2m = y2 + (6-2m)y + - 2m = (2) (1) cú nghim x1 , x2 thoa man: x1 < < x2 (2) cú nghim y1 , y2 thoa man: y1 < < y2 3-2m < m > 1,5 0,5 0,5 0,5 Vy m > 1,5 thỡ pt (1) cú nghim x1 , x2 thoa man: x1 < < x2 Cõu 2.2 1im 0,25 iu kin Cng pt trờn vi ta c 4x +4y + 4z = ( + -1) + ( + 1) +( -1)2 = tha k Vy h ph ó cho cú nghim nht => => (x-1)(x+1) = Do nờn (x-1)(x+1) (*) Trang 56 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) m , suy x v x + cú cựng tớnh chn, l Kt hp vi (* )ta c x v x + l hai s chn liờn tip Do ú (x-1)(x+1) => => => => y M y l s nguyờn t , ú y = , suy x = Vy x= , y = +) Vi x, y > 0, ta cú 4xy (x + y)2 x+y x+y 4xy 11 + ữ x+y x y Du = xy x = y p dng kt qu tờn ta cú Cõu 3.2 1im 0,25 0,25 0,25 1 1 1 11 1 + + + ữ = + + ữ ữ(1) 2a + b + c 2a b + c 2a 4b c a 2b 2c 1 1 + + Tng t : ữ (2) a + 2b + c 2a b 2c 1 1 + + ữ (3) a + b + 2c 2a 2b c 0,25 T (1), (2) v (3) suy : 1 11 1 + + + + ữ=1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4a b c a = b = c a=b=c= Du = xy 1 a + b + c = 0,25 0,25 a Hs v ỳng hỡnh A H 0,25 O E C B I H' Xột Cõu 4.1 im Do ú 0,75 0,25 b Trang 57 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Do ú => BC l trung trc ca on thng HH Vy H v H i xng qu BC Gi I l im i xng ca O qua BC, ta cú I c nh Theo tớnh cht i xng ta cú IH = OH M OH = R, ú IH = R => I l im c nh Vy H thuc ng trũn c nh tõm I, bỏn kớnh R Tam giỏc ABC nhn, M l im nm tam giỏc, ni A vi M V , AM ct BC ti I Ta cú 0,5 0,25 , suy Vy Tng t cú BM.CA Cõu 4.2 im 0,25 , CM.AB 0,25 Do ú AM.AB + BM.CA + CM.AB AM.AB + BM.CA + CM.AB = 0,25 0,25 Du = xy M l trc tõm ca tam giỏc ABC Khi M l trc tõm ca tam giỏc ABC thỡ AM.AB + BM.CA + CM.AB t giỏ tr nh nht Gi A1, A2, A3,,A12 l cỏc nh ca a giỏc li Vỡ a giỏc ó cho l a giỏc li nờn bõt nh bt kỡ no ca a giỏc cng to thnh mt tam giỏc Cõu im Kớ hiu AiAjAk l tam giỏc cú cỏc nh l nh ca a giỏc li Trong ú i,j, k = 1,2, 3, , 12( i,j,k ụi mt khỏc nhau) nh Ai cú 12 cỏch chn A1, A2, A3,,A12 nh Aj cú 11 cỏch chn A1, A2, A3,,A11 Sau ó chn AiAj thỡ nh Ak cú 10 cỏch chn A1, A2, A3,,A10 Nh vy cú 12.11.10 = 1320 cỏch chn tam giỏc AiAjAk Vi cỏch chn trờn mt tam giỏc AiAjAk c vit ln Do ú s tam giỏc cú c l 1320 : = 220 tam giỏc 0,25 0,5 0,25 Lu ý: Hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng cho im ti a -Ht - Trang 58 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Trang 59 [...]... Ta cú cỏch t du l 1 = (+1-2+3-4+ +99 7 -99 8) -99 9+10001001+1002+ - 199 7+ 199 8 1 = - 499 + 500 Trang 22 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) S 5 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TOAN Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 05cõu,01 trang) Cõu 1 (2,0im) a) Chng minh ng thc: b) Cho a = 3 2 - 3+ 3 2+ 0 5 3 29 12 5 = cotg45 3 Chng minh rng... tip trong tam giỏc BCD 2 Nhn xột : 1+2+3+4++ 199 7+ 199 8 = 199 9. 499 l mt s l do ú khụng tn ti cỏch t du cng hoc tr cho tng ca dóy tớnh bng 0 Tht vy gi s tn ti mt cỏch t sao cho kt qu l 0 Gi S(+) l tng ca cỏc s trong dóy c in du + S(-) l tng ca cỏc s trong dóy c in du Ta cú S(+) + S(-) = 0 => S(+) - S(-) + 2S(-) = 0 (1+2+3+4++ 199 7+ 199 8) +2S(-) = 0 => 199 9. 499 +2S(-) = 0 vụ lớ vỡ 2S(-) l s chn Gi A l kt... 3 2 (t 2)( 7t 22t 12) 8 = + 6t (1 + t ) 2 3 0,25 M (t 2)( 7t 2 22t 12) 0 t (0; 2] 6t (1 + t ) 2 (t 2)( 7t 2 22t 12) 8 8 1 + t (0; 2] 2 6t (1 + t ) 3 3 2 Du "=" xy ra khi v ch khi t = 2 hay a = b = c 8 Vy giỏ tr nh nht ca P l khi a = b = c 3 -Ht - Trang 17 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) S 4 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TON Thi gian... Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a im bi thi 10 -Ht - Trang 29 0,25đ B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) S 6 THI HC SINH GII THNH PH LP 9 Nm hc 2015 2016 MễN : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) ( thi gm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1( 2,0 im): a) Cho a = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 Tớnh giỏ tr ca biu thc: a 4 4 a 3 + a 2 + 6a + 4 a 2 2a + 12 9. .. (1,0 im) Cho dóy s 1,2,3,4,, 199 7, 199 8 Hóy in vo trc mi s du + hoc - cho cú c mt dóy tớnh cú kt qu l s t nhiờn bộ nht Hết - P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 3) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN: TON (Hng dn chm gm 1 trang) Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im - im bi thi. 10 Chỳ ý: - Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii, nu hc sinh lm cỏch khỏc m ỳng thỡ... (1), (2), (3) suy ra a + 1 2 2 + + (2) 1+ 2 2014 + 2015 = 2 2015 1 < 89 (3) 2015 1 1 + + < 89 Trỏi vi gi thi t a2 a2015 Vy trong 2015 snguyờn dng ú tn ti ớt nht 2 s bng nhau Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im tng ng vi biu im ó cho - im chm ca tng phn c chia nh n 0,25 im ca ton bi l tng im ca cỏc phn v khụng lm trũn s Ht - S 7 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9- Nm... tha món 2 Ht P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 3) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN:TON HC (Hng dn chm gm 2 trang) * Mi cỏch lm khỏc nu ỳng vn cho s im theo biu im / Cõu 1 ỏp ỏn i m a (1 im) a (b 1) Ta cú: a; b; x > 0 a + x > 0 (1) Xột a x = 2 0 (2) b +1 Ta cú a + x > a x 0 a + x a x 0 (3) T (1); (2); (3) P xỏc nh 2 Trang 12 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) (2 im)... tròn Tính bán kính của đờng tròn đó theo R c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AKB theo R khi M,N thay đổi nhng vẫn thoả mãn điều kiện của bài toán Cõu 5 (1,0im) Tớnh s cỏc ụ nh nht phi quột sn trờn mt bng cho bt kỡ vựng no ú trờn bng ny cng cha ớt nht 4 ụ ó quột sn Ht PHấ DUYT CA BAN GIM HIU NGI RA Trang 24 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) P N THI CHN HC SINH GII... a + + a 1 + 2 + + 100 1 2 100 0,25 0,25 0,25 < 2 100 1 = 19 Kt qa ny trỏi vi gi thit Vy tn ti bng nhau trong 0,25 100 s ó cho Ghi chỳ: - Hng dn ch trỡnh by mt trong cỏc cỏch gii Mi cỏch gii khỏc nu ỳng vn cho im ti a theo tng cõu, tng bi S 3 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TON HC Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 05 cõu 01 trang) Cõu 1 (2 im): a+x+ ax 1 2ab + Xột biu... PHN 1) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 5) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN:TON (Hng dn chm gm 04 trang) Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a - im bi thi l tng im cỏc phn khụng lm trũn Cõu 1 ỏp ỏn im a (1,0 im) 5 3 29 12 5 = ( 5 3 2 5 3 = 5 62 5 = 5 =1 ( ) 5 1 = cotg450 Trang 25 ) 2 0,25 0,25 2 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) (2,0 im) b (1,0 im) a = ... + 99 x x + 99 x x + 99 x + + = 99 98 97 x + 99 x x + 99 x x + 99 x = + + 96 95 94 x + 99 x x + 99 x x + 99 x 1+ 1+ = 99 98 97 x + 99 x x + 99 x x + 99 x = 1+ 1+ 96 95 94 x + 99 x... + 99 x 100 x + 99 x 100 x + 99 x 100 + + = 99 98 97 x + 99 x 100 x + 99 x 100 x + 99 x 100 = + + 96 95 94 ( x + 99 x 100)( 1 1 1 + + )=0 99 98 97 96 95 94 ( x + 99 x 100) = 0(vỡ... (1+2+3+4++ 199 7+ 199 8) +2S(-) = => 199 9. 499 +2S(-) = vụ lớ vỡ 2S(-) l s chn Gi A l kt qu ca dóy tớnh => A 1v ú minA = Ta cú cỏch t du l = (+1-2+3-4+ +99 7 -99 8) -99 9+10001001+1002+ - 199 7+ 199 8 = - 499 + 500