BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 9)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm : 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức: A = ( x+2 x x −1 + + ): x x −1 x + x +1 1− x a) Rút gọn biểu thức A tính giá trị A x = − b) Tìm x để A đạt GTLN Câu (2.0 điểm) a) Giải phương trình: 3x2 + 2x = x2 + x + − x  x + y + x + y = 18 b) Giải hệ phương trình :   x ( x + 1) y ( y + 1) = 72 Câu (2.0 điểm) a) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho :  abc = n −  cba = ( n − ) với n số ngun lớn b) Cho x,y,z > xyz = Chứng minh rằng: + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Câu (3.0 điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P nằm đường tròn b) CMR: Tứ giác CMPO hình bình hành CM.CN = 2R2 c) Khi M di chuyển đoạn AB P di chuyển đâu ? Câu (1.0 điểm) Cho mét bµn cê vua 8x8 Hái r»ng qu©n m· cã thĨ ®i níc ®Çu tiªn tõ « díi cïng bªn tr¸i vµ kÕt thóc ë « trªn cïng bªn ph¶i hay kh«ng? Víi ®iỊu kiƯn nã ph¶i ®i qua tÊt c¶ c¸c « trªn bµn cê vµ mçi « chØ ®i qua ®óng mét lÇn Hết Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm trang) Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm điểm tối đa Câu Đáp án a (1 điểm) Điều kiện xác định: ≤ x ≠ A = = Câu điểm x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) x x −1 x −1 Điểm 0.25 0.5 ( x − x + 1)2 = ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + Với x = − = ( − 1) ⇒ x = − Ta có: A = 0.25 2 = − + −1 +1 − b (1điểm) A= 2 ≤ =2 3 (0,5) Dấu “ =’’ xảy ⇔ x = ⇔ x = ( x + )2 + + 4 Vậy giá trị lớn A x = Câu 2 điểm a) điểm Với điều kiện x2 + x ≥  x < -1 x ≥ Ta đặt: y = x + x , y ≥  x2 + x = y2 Phương trình cho: 3x2 + 2x = x + x + − x Trở thành: 3y2 – y – = 0, y ≥  y= => x = Vậy phương trình có nghiệm: x1,2= u = x ( x + 1) v = y ( y + 1) 0.75 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 b) Đặt :  u + v = 18 ⇒ u ; v nghiệm phương trình : uv = 72 Ta có :  X − 18 X + 72 = ⇒ X = 12; X = Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) u = 12 u = ;  ⇒ v = v = 12 0.5  x ( x + 1) = 12  x ( x + 1) = ⇒  ;   y ( y + 1) =  y ( y + 1) = 12 Câu điểm 0.25 Giải hai hệ ta : Nghiệm hệ : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hốn vị a) điểm  abc = 100a + 10b + c = n − 1(1) Viết  cba = 100c + 10b + a = n − 4n + 4(2) 0.25 Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – M 99 (3) Mặt khác : 100 ≤ n − ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n − ≤ 119 (4) Từ (3) (4) => 4n – = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc = 675 0.5 0.25 b) điểm x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x + y ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy xyz = 3xy + x3 + y 3xy = = xy xy yz + y3 + z3 ; = = xy yz yz  1  S = 3 + + ≥3 ÷  xy ÷ yz zx   Câu điểm x2 y z + z + x3 zx ; = = yz zx zx =3 C M O B N E P D Trang 3 zx 0.5 Hình vẽ: A 0.5 F BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) a) 1.0 điểm Tam giác OMP vng M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP Tam giác ONP vng N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP Vậy O, M, N, P thuộc đường tròn đường kính OP 0.5 0.5 b) điểm MP//OC (vì vng góc với AB) · · (hai góc đồng vị) NMP = NCD · · (hai góc đáy tam giác cân ONC) ONC = OCN · · (hai góc nội tiếp chắn cung NP) NMP = NOP · · Suy MNO ; đó, OP//MC = NOP Vậy tứ giác MCOP hình bình hành ∆CND : ∆COM(g.g) Nên Câu điểm OC CM = hay CM.CN = OC.CD = 2R2 CN CD c) điểm Vì MP = OC = R khơng đổi Vậy P chạy đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chạy đoạn AB nên P chạy EF thuộc đường thẳng song nói Ta tơ bàn cờ xen kẽ màu đen trắng bàn cờ vua nước qn mã đường chéo hình chữ nhật 2x3 Do “ bình đẳng màu “ nên khơng tính tổng qt ta giả sử bên trái có màu trắng Từ cách mã ta nhận thấy sau nước mã sang khác màu với mà đứng Vì sau số lẻ nước mã màu đen , sau số chẵn nước mó màu trắng Trở lại tốn ta thấy từ bên trái lên bên phải cần 63 nước Vì bên phải cần mang màu đen Điều vơ lý Vậy qn mã khơng thể từ bên trái nên bên phải u cầu đầu -Hết - Trang 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2 điểm) x − 3x + 3x − x + 2015 a.Cho x – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x − x − 3x − 3x + 2015 b Cho biểu thức: P = − x + ( − x ) − x + − x − ( − x ) − x với x ∈  −1; 1 Tính giá trị biểu thức P với x = −1 2016 Câu (2 điểm) a Cho ba số thực a, b, c cho phương trình ax2+bx+c=0 có nghiệm thuộc đoạn [0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức P = (a − b)(2a − b) a(a − b + c) b Giải phương trình sau: x − x + 36 = x + Câu (2 điểm) a Chứng minh khơng tồn cặp giá trị ngun (x; y) thỏa mãn: x − y = 2015 b Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn: abc + bcd + cda + dab = a + b + c + d + 2016 2 2 Chứng minh rằng: ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) ≥ 2016 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H điểm di động đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB · · a Chứng minh HKM = 2AMH b Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE c Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình tròn có bán kính chứa khơng 50 điểm Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm - Điểm thi Câu Đáp án Điểm a (1 điểm) (2 Ta có: x2 – x – = ⇒ x2 – x = ⇒ (x2 – x)3 = ⇒ x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1,0 Mặt khác: x2 – x – = ⇒ x2 = x + ⇒ x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + ⇒ P = b (1 điểm) + + 2015 2016 = =1 + 2015 2016 ( ) ( Ta có: + ) ( − x ) + ( − x ) − x = x − 2x + + ( − x ) − x + − x = 1 − x + − x    +) ( − x ) − ( − x ) − x = 1 − x − − x    Suy : ) P = − x + − x2 + − x − − x2 0.5 = 1− x + 1− x + 1− x 1− x − 1+ x Vì x = −1 ⇒ 1− x > 1+ x 2016 ⇒ P = 2(1− x)   2017 ⇒ P = 1 + ÷=  2016  2016 (2 điể m) a (1,25 điểm) b  x + x = −  a Gọi nghiệm pt x1 , x2 Theo Viét ta có :  x x = c  a Trang 0.5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) b b b c (1 + x1 + x2 )(2 + x1 + x2 ) x + x22 + x1 + x2 P = (1 − )(2 − ) : (1 − + ) = = 2+ a a a a + x1 + x2 + x1 x2 + x1 + x2 + x1 x2 Khơng tính tổng qt giả sử x1 ≤ x2 2 từ giả thiết x1 ; x2 ∈ [ 0;1] ⇒ x1 ≤ x1 x2 ≤ x2 ≤ 1; + x1 + x2 + x1 x2 > x12 + x22 + x1 + x2 x1 x2 + + x1 + x2 ≤ = suy P ≤ Dẫn tới + x1 + x2 + x1 x2 + x1 + x2 + x1 x2 b P=3 x1 = x2 = suy a = c = − Vậy MaxP=3 b (0,75 điểm) ĐKXĐ: x ≥ −4 ( x − x + 16) + (3 x + − x + 4.4 + 16) = ⇔ ( x − 4) + ( 3x + − 4)2 = ⇔ x − = 3x + − = ⇔ x = 4(tm) a (1 điểm) x − y = 2015 ⇔ x = y + 2015 ⇒ x lẻ, đặt x = 2k + 1;(k ∈ Z ) thay vào ta có: y = 4k + 4k − 2016 ⇔ y = 2k + 2k − 1008 (1) ⇒ y chẵn, y = 2t ; (t ∈ z ) Thay x; y vào (1) biến đổi: 2t = k (k + 1) − 504 (2) (2 điể m) Xét thấy VT (2) ln chẵn; VP (2) số lẻ k(k+1) chẵn (Tích số ngun liên tiếp) Vậy dấu “=” (2) khơng thể xẩy ⇔ Khơng tồn cặp số ngun (x; y) thỏa mãn: x − − y = 2011 b (1 điểm) Ta có: 2016 = ( abc + bcd + cda + dab − a − b − c − d ) 2 2 = ( ( ab − 1) ( c + d ) + ( cd − 1) ( a + b ) ) ≤ ( ab − 1) + ( a + b )  ( cd − 1) + ( c + d )  = ( a 2b + a + b + 1) ( c d + c + d + 1) = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) 2 2 Suy ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) ≥ 2016 a (1 điểm) Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax (O) Ta có (2 điể m) ¶ = 1O ¶ = sđ ¼ A AM 1 2 (1) Có Ax // MH (cùng vng góc với OA) (2) ¶ =M ¶ ⇒A 1 ¶ =K ¶ (cùng chắn MH ¼ ) Tứ giác MHOK nội tiếp ⇒ O 1 Trang (3) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ¶ = 1K ¶ hay HKM · · Từ (1), (2), (3) ta có M = 2AMH 1 b (1 điểm) Có tứ giác AOMD nội tiếp (4) ¼ ¶ = sđ ¼ ; O ¶ ¶ A BM = O2 = sđ BM 2 ¶ =O ¶ ⇒ tứ giác AMGO nội tiếp (5) ⇒A 1 Từ (4), (5) ta có điểm A, D, M, G, O nằm đường tròn ¶ =D ¶ =D ¶ ⇒G ⇒ ∆OGF ∆ODE đồng dạng OG GF ⇒ = hay OD.GF = OG.DE OD DE c (1 điểm) Trên đoạn MC lấy điểm A’ cho MA’ = MA ⇒ ∆AMA' ( ¶ =A ¶ = 600 − BAA' · ⇒A ) ⇒ ∆MAB = ∆A'AC ⇒ MB = A'C ⇒ MA + MB = MC Chu vi tam giác MAB MA + MB + AB = MC + AB ≤ 2R + AB Đẳng thức xảy MC đường kính (O) => M điểm cung AM => H trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R + AB AB R= ⇒ AB = R 2 Giá trị lớn chu vi tam giác MAB 2R + AB = (2 + 3)R Gọi I giao điểm AO BC ⇒ AI = Xét điểm A hình tròn (C1) có tâm A, bán kính (2 điể m) C C1 A B C2 - Nếu tất 98 điểm lại nằm (C1) hiển nhiên tốn Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (C1) Ta có: AB > (1) Vẽ hình tròn (C2) tâm B, bán kính + Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình tròn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C khơng thuộc hai hình tròn nói Suy ra: AC > BC > (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết) Chứng tỏ C∈ (C1) C∈ (C2) Như 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo ngun tắc Dirichle phải có hình tròn chứa khơng 50 điểm -Hết ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu 01 trang) Câu (2 điểm) a) Cho a = 3+ 5+ + 3− 5+ Chứng minh rằng: a2 -2a – = b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = Tính giá trị biểu thức: A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc Câu (2 điểm) Giải phương trình sau: a) x − x + − x + + x + = b) Cho a,b,c số thỏa mãn hai điều kiện sau: 00 nên a = + Do (a-1) = hay a -2a-2=0 b (1 điểm) + A = a (4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc a + b + c + abc = ⇔ 4a + 4b + 4c + abc = 16 ⇒ a (4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) = a (2 a + bc ) = a (2 a + bc ) = 2a + abc Trang 10 0.5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) bán kính DK = 3 R Câu:5 Ta đặt sáu số a1,a2,a3,a4,a5,a6 vào đỉnh lục giác (1,0 số số chẵn liên tiếp xếp theo chiều kim đồng hồ nên a1,a2 điểm) số chẵn liên tiếp ;a3,a4 số chẵn liên tiếp a5,a6 số chẵn liên tiếp ( a2- a1) +( a4 – a3) + (a6 –a5) =6 Do lần ta cộng với cạnh số ngun lên hiệu số hai đỉnh ln Do ,sau lần đổi ta khơng thể có số kề có hiệu khơng, tức khơng tồn số đỉnh lục giác Hết ĐỀ SỐ Trang 29 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9-Năm học 2015-2016 MƠN: Tốn Thời gian làm : 150 phút ( Đề thi gồm câu,01 trang) C©u (2 ®iĨm): a/ TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: P = 14 + + 14 − b/ Rút gọn biểu thức x −9 x + x +1 − − víi x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x−5 x +6 x − 3− x C©u (2 ®iĨm): a)Cho pt x2 – 2(m +2)x +m +1 = (1) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) tìm giá trị m để x1 ( − 2x ) + x ( − 2x ) = m ( x1 , x2 nghiệm phương trình (1)) b) Giải hệ phương trình  x − + − x = y − y + 11   x + y + z = C©u (1 ®iĨm): a)Tìm tích ba số a, b, c biết tổng chúng, tổng bình phương chúng tổng lập phương chúng b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ≤ t ≤ chứng minh a b c + + ≥ t +1 b + c − ta c + a − tb a + b − tc Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R,hai đường kính AB CD vng góc với nhau.Gọi E điểm cung nhỏ AD.Nối EC cắt OA M,EB cắt OD N a)Chứng minh :bốn điểm E,M,O,D thuộc đường tròn b)Chứng minh :AM.ED= OM.EA OM ON + đạt giá trị nhỏ AM DN Câu 5( 1điểm )2.Năm người thợ tên : Da, Điện, Hàn, Tiện Sơn làm nghề khác trùng với c)Xác định vị trí điểm E để tổng : tên tên người khơng có tên trùng với nghề Tên bác thợ da trùng với nghề anh vợ vợ bác có anh em Bác Tiện khơng làm thợ sơn mà lại em rể bác thợ hàn Bác thợ sơn bác thợ da anh em họ Hãy cho biết bác Da bác Tiện làm nghề gì? Hết Trang 30 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ ) LỚP 9-Năm học 2015-2016 MƠN: Tốn Trang 31 C©u §¸p ¸n a/ 14 + + 14 − = ( ) ( §iĨm ) 3+ + 3− BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) 0,5 3+ + 3− = 3+ +3− = 0,5 b/ x −9 x + x +1 x −9 x + x +1 − − = − + x −5 x +6 x − − x ( x − 2)( x − 3) x −2 x −3 C©u = (2 ®) x − − ( x + 3)( x − 3) + (2 x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) = = 0,5 0,5 x− x −2 ( x − 2)( x − 3) ( x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) = x +1 x −3 a)Tìm giá trị m để : x1 ( − 2x ) + x ( − 2x1 ) = m nghiệm phương trình (1) ( x1 , x2 Ta có x1 ( − 2x ) + x ( − 2x1 ) = m ⇔ x1 − 2x 1x + x − 2x 1x = m 0,25 ⇔ (x1 + x ) − 4x1x = m (*) Để phương trình cho có hai nghiệm ∆ ' > ∆ ' =  − ( m + )  − ( m + 1) = m + 4m + − m − = m + 3m + 2 9  3 = (m + 2m + ) + (4 − ) =  m + ÷ + > 0∀m 4  2 ∆ ' > ∀m nên phương trình có hai nghiêm x1 , x2 theo hệ thức Viet 2m +   x1 + x2 =  x + x = 2m + ⇔ thay vào(*)ta được:   x1.x2 = m +  x x = m +  2m + − 4(m + 1) = m ⇔ 2m + − 4m − = m  m=0 m = ⇔ m − 4m = ⇔ m ( m − 1) = ⇒  ⇒ m − =  m = m = Vậy  phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn m =1 0,25 0,25 0,25 x1 ( − 2x ) + x ( − 2x1 ) = m b)Đk ≤ x ≤ x − +1 x −1 = 2 − x +1 − x − x = (4 − x).1 ≤ = 2 x −1 + − x =2 Nên ( x − + − x ≤ Mà y2 - 6y + 11 = ( y-3)2+ ≥ Trang 32 Ta có x − = ( x − 2).1 ≤ x − + − x = y − y + 11 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN:TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm câu, 1trang) Bài (2 điểm) 1.1 Rút gọn biểu thức: A= 1+ + 3+ + 1− − 3− 1.2 Lập phương trình bậc ba với hệ số ngun nghiệm phương trình Bài (2 điểm) Trang 33 + BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) 2.1 Giả sử phương trình bậc hai x + ax + b + = có hai nghiệm ngun dương Chứng minh a + b hợp số 2.2 Giải phương trình (ẩn số x, y, z) xy yz xz x2 + y2 + z2 = = = 2 ay + bx bz + cy cx + az a + b + c Bài (2 điểm) 1945 3.1 a tổng chữ số ( 29 ) b tổng chữ số a c tổng chữ số b Tìm c 1 3.2 Cho số dương x, y, z thỏa mãn + x + + y + + z ≥ Tìm giá trị lớn P= xyz Bài (3 điểm) Cho đường tròn (O, R) đường kính AB cố định C điểm cố định nằm A, O Điểm M di động đường tròn (O, R) 1) Tìm vị trí điểm M (O, R) tương ứng lúc độ dài CM lớn nhỏ 2) Gọi N điểm đường tròn (O, R) cho góc MCN 90 Gọi K trung điểm MN Chứng minh M di động KO 2+ KC2 khơng đổi 3) Chứng minh M di động (O, R) K di động đường tròn cố định tâm I trung điểm CO Bài (1 điểm) Tìm tất số ngun tố x để tổng ước tự nhiên x số phương ……………… Hết………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN:TỐN Câu (2,0 đ) 3.1 (1 điểm) (2 ) 1945 = 85835 < 105835 nên a có khơng q 5835 chữ số a< 9.5835=52515 b tổng chữ số a nên b< 5.+9.4=41 c tổng chữ số b c< 4+9=13 Trang 34 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) mặt khác ( 29 ) 1945 ≡ 8(mod 9) nên b ≡ 8(mod 9); c ≡ 8(mod9) nên c=8 y z yz ≥ + ≥2 x +1 y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) x z 0,25 0,25 0,25 xz Tương tự y + ≥ x + + z + ≥ ( x + 1)( z + 1) y x yx ≥ + ≥2 z +1 y +1 x +1 ( y + 1)( x + 1) 0,25 Nên P = xyz ≤ 0,25 Giá trị lớn P= 0,125 x=y=z=0,5 Câu (2,0 đ) M K N A 0,25 0.25 B C O 1) ta có CM ≤ CO+OM=CO+OB=CB 0.25 nên CM lớn CB (khơng đổi) O thuộc CM tức M ≡ B Mặt khác CM ≥ OM-OC=OA- OC =AC Nên CM nhỏ AC M ≡ A 2) Xét VMCN CK = 0,5 vng /C , CK đường trung tuyến nên 0,5 MN = KM Vì K trung điểm dây cung MN nên OK ⊥ MN 0,5 Xét VOKM vng K nên OK + KM = OM = R khơng đổi 3) Gọi I trung điểm CO xét VKCO vẽ KH vng góc vơi CO VCKH vng H nên CK = KH + CH Xét VKOH vng H nên KO = KH + OH Trang 35 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ⇒ CK + KO = KH + CH + OH = 2( KI − HI ) + (CI − HI ) + (OI + IH ) = KI + ⇒ R = KI + ⇒ KI = CO 2 CO ⇒ KI = (2 R − CO ) R − CO 2 KI khơng đổi I cố định nên K thuộc (I) bán kính Câu (1,0 đ) R − CO 2 ta giải pt: n2= x4+ x3+ x2 +x+1 (n ngun dương, x số ngun tố) Viết lại 4n2= 4x4+4 x3+4 x2 +4x+4= (2x2+x)2+ x2 +4x+4= (2x2+x+1)2 - x2 +2x+3 Vì x2 +4x+4= 2x2+(x+2)2>0 nên 4n2> (2x2+x)2 Nếu - x2 +2x+3 < 4n2 b > a − a 2b + ab − 6b3 = Tính giá trị biểu thức B = a − 4b b − 4a Câu (2 điểm) a) Giải phương trình x ( x + 2) = − x x + Trang 39 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9)  x3 = x + y b) Giải hệ phương trình   y = y + x Câu (2 điểm) a) Tìm số ngun dương x, y thỏa mãn phương trình xy + xy + x = 32 y b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab + 6bc + 2ac = abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = Câu (3 điểm) 4ab 9ac 4bc + + a + 2b a + 4c b + c Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường tròn cho D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD Chứng minh tam giác EMF tam giác cân Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi M di chuyển cung BD Câu (1 điểm) Lấy điểm miền tứ giác để với đỉnh ta điểm, điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác 1, chứng minh tồn tam giác có đỉnh lấy từ điểm cho có diện tích không vượt 10 Tổng quát hoá toán cho n giác lồi với n điểm nằm miền đa giác ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 10 ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN: Tốn Chú ý: • Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm • Điểm thi tổng điểm câu làm khơng làm tròn Câu Đáp án a.(1 điểm) Trang 40 Điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) A= − − x2 = − − x2 = ( 1− − x2 )( )( ( + x + − x − − x2 − 1− x ( ) 0.25 1+ x + 1− x 1+ x + 1− x ) ) 0.25 ( 1− = ) ( + 1− x ) 1− x2 = 2x = x 0.25 0.25 b.(1điểm) a − a 2b + ab − 6b = ⇔ (a − 2b)(a + ab + 3b ) = (*) Vì a > b > ⇒ a + ab + 3b > nên từ (*) ta có a = b Vậy biểu thức B = B= a − 4b 16b − 4b = b − 4a b − 64b 0.25 12b −4 = −63b 21 0.25 Câu a.(1điểm) (2 đ) t2 Đặt t = x x + ⇒ t = x + x ⇒ x x + = 2  t = −4 t = − t ⇔ t + 2t − = ⇔  ta phương trình t = ( ) ( ) 0.25 0.25  x < x < x x + = − ⇔ ⇔ Với t = -4 ta có  2 x + 2x − =  x + x = 16 x < ⇔ ⇔x=− x = 0.25  x > x > x x + = ⇔ ⇔ Với t =2 ta có  2 x + 2x − = 2 x + x =  x > ⇔ ⇔x= − Kết luận nghiệm phương trình  x = − 0.25 ( ( ) ) b.(1điểm) 3 2 2 Từ hệ ta có x (2 y + x) = y (2 x + y ) ⇔ ( x − y ) ( xy + x + y ) = x = y ⇔ ( x + y )3 ( x − y ) = ⇔  x = − y 0.25 0.25 * Với x = y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( − 3; − ) * Với x = - y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 1; −1 );( −1;1 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; );( − 3; − );( −1;1 );( 1; −1 ) Câu a.(1điểm) (2 đ) 0.25 0.25 xy + xy + x = 32 y ⇔ x ( y + 1) = 32 y Trang 41 0.25 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) Do y ngun dương ⇒ y + ≠ ⇒ x = 32 y ( y + 1) Vì ( y, y + 1) = ⇒ ( y + 1) ∈ U (32) mà 32 = 25 ⇒ ( y + 1) = 22 ( y + 1) = 24 (Do ( y + 1) > ) *Nếu ( y + 1) = 22 ⇒ y = 1; x = *Nếu ( y + 1) = 24 ⇒ y = 3; x = Vậy nghiệm ngun dương phương trình là: x =  y =1 0.25 0.25 0.25 x = y =  b.(1điểm) Từ gt : 2ab + 6bc + 2ac = abc a,b,c > c a b  x, y , z > 1 đặt x = , y = , z = ⇒  a b c 2 z + x + y = 4ab 9ac 4bc = + + + + Khi C = a + 2b a + 4c b + c x + y x + z y + z ⇒C = + 2x + y + + 4x + z + + y + z − (2 x + y + x + z + y + z ) 2x + y 4x + z y+z Chia hai vế cho abc > ⇒ + + = 0.25 0.25 2       = − x + 2y ÷ +  − 4x + z ÷ +  − y + z ÷ + 17 ≥ 17  x + 2y ÷  4x + z ÷   y + z    Khi x = ,y = z = C = 17 0.25 0.25 Vậy GTNN C 17 a =2; b =1; c = E D Câu (3 đ) I H A F C M 0,50 O B · a)Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · hay FMB = 900 · · · Mặt khác FCB = 900 (giả thiết).Do FMB + FCB = 1800 · · · Suy BCFM tứ giác nội tiếp ⇒ CBM = EFM ( 1) (vì bù với CFM ) Trang 42 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) · · = EMF Mặt khác CBM ( ) (góc nội tiếp; góc tạo tiếp tuyến dây cung · · ¼ ) Từ (1) (2) ⇒ EFM chắn AM = EMF 0,25 Suy tam giác EMF tam giác cân E · · · (Có thể nhận EMF nên suy EMF cân) = MBA = MFE 0,25 · DIF · = ( 3) b)Gọị H trung điểm DF Suy IH ⊥ DF DIH · ·DIF · tiếp góc tâm Trong đường tròn ( I ) ta có: DMF góc nội ·DMF = DIF (4) chắn cung DF Suy · · · · DMA Từ (3) (4) suy DMF = DIH hay = DIH · · » ) Trong đường tròn ( O ) ta có: DMA (góc nội tiếp chắn DA = DBA · · Suy DBA = DIH Vì IH BC vng góc với EC nên suy IH // BC Do · · · · DBA + HIB = 180o ⇒ DIH + HIB = 180o ⇒ Ba điểm D, I, B thẳng hàng · · » = ABD = sđ AD c) Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng1⇒ ABI » khơng đổi Mà C cố định nên D cố định ⇒ sđ AD Do góc ABI có số đo khơng đổi M thay đổi cung BD Câu Nối điểm tạo thành tam giác đôi chung nhiều cạnh (1 đ) ,phủ vừa kín tứ giác.Tổng góc tam giác tổng góc tứ giác cộng với lần 3600 nên 3600+4.360 =10.1800.Vậy có 10 tam giác mà tổng diện tích nên tồn tam giác có diện tích không vượt 10 Tổng quát :Ở miền đa giác lồi n-cạnh (n ≥ )có diện tích lấy n điểm ,trong điểm thẳng hàng Khi tôn tam giác có đỉnh lấy từ 2n đỉnh cho có diện tích không vượt 3n − -Hết Trang 43 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 [...]... mt s chớnh phng Ht P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 8 ) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN:TON Cõu 3 (2,0 ) 3.1 (1 im) (2 ) 9 194 5 = 85835 < 105835 nờn a cú khụng quỏ 5835 ch s a< 9. 5835=52515 b l tng ch s ca a nờn b< 5. +9. 4=41 c l tng ch s ca b thỡ c< 4 +9= 13 Trang 34 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) mt khỏc ( 29 ) 194 5 8(mod 9) nờn b 8(mod 9) ; c 8(mod9) nờn c=8 1 y z yz + 2... Trang 30 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH ( S 7 ) LP 9- Nm hc 2015-2016 MễN: Toỏn Trang 31 Câu Đáp án a/ 14 + 6 5 + 14 6 5 = ( ) 2 ( Điểm ) 2 3+ 5 + 3 5 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) 0,5 3+ 5 + 3 5 = 3+ 5 +3 5 = 6 0,5 b/ 2 x 9 x + 3 2 x +1 2 x 9 x + 3 2 x +1 = + x 5 x +6 x 2 3 x ( x 2)( x 3) x 2 x 3 Câu 1 = (2 đ) 2 x 9 ( x + 3)(... 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) S 8 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN:TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 5 cõu, 1trang) Bi 1 (2 im) 1.1 Rỳt gn biu thc: A= 1+ 5 2 + 3+ 5 + 1 5 2 3 5 1.2 Lp mt phng trỡnh bc ba vi cỏc h s nguyờn trong ú nghim ca phng trỡnh Bi 2 (2 im) Trang 33 3 2 + 3 4 l B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) 2.1 Gi s phng... nh lc giỏc u bng nhau Ht S 7 Trang 29 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9- Nm hc 2015-2016 MễN: Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt ( thi gm 5 cõu,01 trang) Câu 1 (2 điểm): a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 14 + 6 5 + 14 6 5 b/ Rỳt gn biu thc 2 x 9 x + 3 2 x +1 với x 0; x 4; x 9 x5 x +6 x 2 3 x Câu 2 (2 điểm): a)Cho pt x2... A1AkA2 khụng ch trong bt kỡ mt im no khỏc Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a - im bi thi: 10.0 im -Ht Trang 23 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) S 6 THI HC SINH GII THNH PH LP 9 Nm hc 2015 2016 MễN : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) ( thi gm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (2 im) a) Rỳt gn biu thc:... Suy ra n= 10 Trang 18 0.25 0.25 0.25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) Vỡ din tớch tam giỏc bng 1 nờn luụn tn ti mt tam giỏc cú din tớch khụng vt quỏ 1 10 0.25 Chỳ ý: - Thớ sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng thỡ cho im ti a - im bi thi: 10.0 im -Ht - S 5 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TOAN Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 05cõu,01 trang) Cõu 1 (2.0 im) Cho...B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) (2 i m) b(4 c)(4 a) = 2b + abc , c(4 a)(4 b) = 2c + abc Tng t 0.5 A = 2(a + b + c) + 3 abc abc = 2(a + b + c + abc ) = 8 a (1,0 im) K: x 0 Pt 2 (2 i m) (1) x + 9 x + 4 = x +1 x 5 1 = x +9 + x+4 x +1 + x x + 9 + x + 4 = 5( x + 1 + x) (2) 0.5 T (1),(2) suy ra: x + 9 = 3 x + 1 + 2 x 3 x + 1 = 9 x + 9 x + 9 ,du = xy ra khi x=0... th trong cựng mt lng ụi mt khụng tn cụng ln nhau pcm -Ht - Trang 13 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) S 4 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 3 cõu, 2 trang) Cõu 1 (2.0 im) Cho biu thc P = x 2 4x (x 1) x 2 9 + 3 x 2 + 4x (x + 1) x 2 9 + 3 a) Rỳt gn biu thc P b) Tỡm GTLN ca M = x+3 x 3 2 1 x + P(x) 2016 Cõu 2 (2.0... ) 3 1 (ab + bc + ca) 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) 9 2 2 2 1 2(ab + bc + ca) + a + b + c 1 (a + b + c)6 = = 3 (2) 9 27 9 27 T (1) (2) suy ra pcm Du = xy ra khi v ch khi a= b= c= 1 1 (1.0 im) ã ã à = KMN ã Ta cú AMD = AKD = 90 0 T giỏc AMKD ni tip D ã ã Do AMB = AHB = 90 0 T giỏc AMHB ni tip Trang 17 0.25 0.25 0.25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) 4 (3.0 im à = NMH ã à +B à = 2B à = KMN... 0; x- 1> 0; x+ 1> 0, khi ú ta cú: P= = = x 4x + 3 (x 1) x 9 2 x +3 x 3 x +3 x 3 2 x 2 + 4x + 3 (x + 1) x 2 9 (x 1)(x 3) (x 1) x 2 9 (x + 1)(x + 3) (x + 1) x 9 2 (x 1) x 3( x 3 x + 3) x + 3 1 x = (x + 1) x + 3( x + 3 x 3) x 3 x + 1 b (0.75 im) + b) Trang 15 im 0.25 0.5 0.5 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 9) (2.0 im) 2 1 x 2x + 2 1 x 1 x 4 + = + = 2 + ữ P(x) 2016 ... làm nghề gì? Hết Trang 30 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ ) LỚP 9- Năm học 2015-2016 MƠN: Tốn Trang 31 C©u §¸p... a nên b< 5. +9. 4=41 c tổng chữ số b c< 4 +9= 13 Trang 34 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) mặt khác ( 29 ) 194 5 ≡ 8(mod 9) nên b ≡ 8(mod 9) ; c ≡ 8(mod9) nên c=8 y...BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 9) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm