BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm : 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu1 (2 điểm) Rút gọn biểu thức: Cho x = 3 + + x + x −1 + x − x −1 P= 125 − 27 x + 2x −1 − x − 2x −1 −3 + + với x ≥ 125 27 Chứng minh x số ngun Câu (2 điểm) 1.Giải phương trình: x - + - x + 10x = x + 27 x + + y ( x + y ) = y ( x + 1)( x + y − 2) = y b) Giải hệ phương trình: Câu (2 điểm) a Chứng minh với n ngun dương ta có: A = 5n (5n + 1) − 6n (3n + 2n ) chia hết cho 91 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x + y ≤ b Cho số x,y thỏa mãn Chứng minh : 2x2 +y2 ≤ Câu (3,0 điểm): Cho nửa đường tròn (O;R), BC đường kính Điểm A di động nửa đường tròn (A khác B C) Kẻ AH vng góc với BC H Gọi I K thứ tự hình chiếu H AB AC a) Chứng minh: BI AB3 = CK AC b) Chứng minh điểm B, I, K, C thuộc đường tròn c) Xác định vị trí điểm A nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn Câu (1.0 điểm) Cho A số ngun dương Biết mệnh đề sau P,Q,R có mệnh đề sai Tìm A? P="A+51 bình phương số tự nhiên" Q="A có chữ số tận 1" R=" A-38 bình phương số tự nhiên" Hết Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Câu 1 (1 điểm) Đáp án (2 điểm) P= P= P= P= (1 điểm) x + x −1 + x − x −1 P= Rút gọn biểu thức: P= Biểu điểm x + 2x −1 − x − 2x −1 0,25 2( x − + x − + + x − − x − + 1) 2x −1 + 2x −1 + − 2x −1 − 2x −1 +1 ( ( x − + 1) + ( x − − 1) ) ( x − + 1) − ( x − − 1) 2 ( x −1 +1 + 2x −1 +1 − ( x −1 −1 ) 0,25 2x −1 −1 ) ( x ≥ nên x −1 +1 + x −1 −1 2x −1 +1 − 2x −1 +1 x − ≥ x − ≥ 1) 2.2 x − = 2x − 2 a = 3+ 9+ 125 125 vµ b = −3 + + 27 27 a − b = vµ a.b = x3 = - 5x ⇔ (x − 1)(x + x + 6) = Mµ x + x + > 0(do ).Suy x = 1.VËy x ∈ Z Câu (1 0,25 0,25 3 3 x = a − b ⇒ x = a − b − 3ab(a − b) Th× với x ≥ 0,25 0.25 0.25 0.25 (2 điểm) Xét phương trình: ⇔ x - + - x + 10x = x + 27 x - + - x = x - 10x + 27 Trang 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) điểm) ĐKXĐ: ≤ x ≤ Chứng minh vế trái x - + - x ≤ 0,25 Dấu “=” xảy ⇔ x = (1 điểm) Chứng minh vế phải x - 10x + 27 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = 0,25 Khẳng định phương trình có nghiệm x = 0,25 x + + y ( x + y ) = y Giải hệ phương trình: (I) ( x + 1)( x + y − 2) = y (I) x +1 y + ( x + y) = ⇔ x +1 ( x + y − 2) = y ( y ≠ ) Đặt x2 + =u y x + y = v 0,25 u + v = u (v − 2) = Hệ phương trình trở thành: Từ (1) suy ra: u = − v , vào (2) ta được: (4 − v)(v − 2) = ⇔ v − 6v + = , giải tìm v = 0,25 x2 + = y Vậy ta giải hệ: (*) x + y = Từ (*) suy x + = − x ⇔ x + x − = ⇒ x1 = 1; x2 = −2 0,25 ⇒ u = 4−3 =1 Khi x1 = ⇒ y1 = Khi x2 = −2 ⇒ y2 = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (1;2), (-2;5) Câu (2 điểm) Viết A= (25n − 18n ) − (12n − 5n ) (1 n n n n điểm) Có (25 − 18 )M(25 − 18) (12 − ) M(12 − 5) => AM7 Viết (25 − 12 ) − (18 − ) n n n 0,25 0,25 0,25 n Có (25n − 12 n ) M(25 − 12) (18n − 5n ) M(18 − 5) 0,25 => AM13 Vì (7;13)=1=> A chia hết cho 7.13 hay A chia hết cho 91 Trang 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) (1 điểm) 2x + xy ≤ 2x 0 ≤ x ≤ y ≤ Có => 2x + y ≤ ( y − x ) y ≤ y − x Cộng vế ta có 2x2+y2 ≤ x+y 2 => (2x + y ) ≤ ( x + y ) = ( 0,25 0,25 2x + y ) 2 1 ≤ + 1÷( 2x + y ) 2 => 2x2 +y2 ≤ 0,25 0,25 điểm A I M K O B H C N ˆ = 900 a Vì A∈ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có AB = BH BC => AB = BH BC AC = CH BC => AC = CH BC Lại có BH = BI BA, ⇒ Câu CH = CK CA AB BI BA.BC AB BI = => = AC CK CA.BC AC CK b Chứng minh tứ giác AKHI hình chữ nhật Gọi M giao điểm AH IK, N giao điểm đường trung trực IK BC Chứng minh AO vng góc với IK, từ suy tứ giác AMNO hình bình hành Do MA = ON = MK Chứng minh hai tam giác BON NMI Suy NI = NB = NK =NC Trang 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Vậy điểm B, I ,K, C thuộc đường tròn a +b+c+d ÷ (*) c + Dễ dàng chứng minh : abcd ≤ 0,25 0,25 Dấu “=” xảy a = b = c = d + Đặt HB = x , < x < 2R => HC = 2R - x Chứng minh : HA = x.(2R − x) Ta có: HA.HB = x x(2R − x) = (2R − x)x 0,25 HA.HB có giá trị lớn ⇔ (2R − x)x có giá trị lớn ⇔ x.x.x(2R – x) có giá trị lớn x x x (2R − x) có giá trị lớn 3 x Áp dụng (*) với a = b = c = x x x x x x R4 Ta có : (2R − x) ≤ + + + (2R − x) ÷ = 3 3 3 16 x Do tích HA.HB có giá trị lớn ⇔ = (2R − x) ⇔ x = R ⇔ Câu (1 điểm) Và xác định vị trí điểm A nửa đường tròn AC =R Nếu mệnh đề Q => A+51 tận 2=> P sai Khi A-38 có tận => R sai Vậy Q mệnh đề sai P,Q Ta có A+51 = x2 A-38=y2 => 89 = x2-y2 (x-y)(x+y)=1.89 0,25 0,25 0,25 x − y = => x = 45 x + y = 89 0,25 => A + 51 = 452 = 2025 => A = 1974 0,25 0,25 * Chú ý: Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm câu, 01trang) Câu (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: A = ( x − 50 − x + 50 ) x + x − 50 với x ≥ 50 b) Cho x + = Tính giá trị biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 Câu (2,0 điểm): 4x 3x + =6 a) Giải phương trình 2 x − 5x + x − 7x + x + y + xy = 16 x + y = 10 b) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh sau: Câu (2 điểm) a) Tìm tất nghiệm ngun x, y phương trình x + x + x + = y b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: Câu (3,0 điểm) a +1 b +1 c +1 + + ≥3 + b2 + c2 + a Cho ba đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) ( O ) (kí hiệu ( X ) đường tròn có tâm điểm X) Giả sử ( O1 ) , ( O2 ) tiếp xúc ngồi với điểm I ( O1 ) , ( O2 ) tiếp xúc với ( O ) M , M Tiếp tuyến đường tròn ( O1 ) điểm I cắt đường tròn ( O ) điểm A, A ' Đường thẳng AM cắt lại đường tròn ( O1 ) điểm N1 , đường thẳng AM cắt lại đường tròn ( O2 ) điểm N a) Chứng minh tứ giác M N1 N M nội tiếp đường thẳng OA vng góc với đường thẳng N1 N b) Kẻ đường kính PQ đường tròn ( O ) cho PQ vng góc với AI (điểm P Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) AM khơng chứa điểm M ) Chứng minh PM , QM khơng nằm cung ¼ song song đường thẳng AI , PM QM đồng quy Câu (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tơ màu, điểm tơ màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu —Hết— ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câ Ý u 1 1,0 điểm Ta có : A2 = ( Nội dung trình bày Điểm ) (x+ 0,25 x - 50 - x + 50 ( = ( 2x - x - 50 )( ) A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50 A2 ( )( x - 50 x + x - 50 A = x - x + 50 ) ) ) 0,25 A = 100 Nhưng theo giả thiết ta thấy A = ( x - 50 - x + 50 Trang ) 0,25 x + x - 50 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) x − = − ⇒ ( x − 2) = ⇒ x2 − 4x + = B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013 B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013 1,0 điểm Nhận xét x = khơng nghiệm phương trình Với x ≠ , phương trình cho tương đương với: + =6 6 x −5+ x −7+ x x Đặt t = x − + phương trình trở thành x + =6 ( 1) ( t ≠ 0; t ≠ −2 ) t+2 t ( 1) ⇔ 4t + 3t + = 6t + 12t ⇔ 6t + 5t − = Giải phương trình ta t1 = −3 ; t = ( thỏa mãn ) −3 −3 ⇔ x − 11x + 12 = ta có x − + = x Giải phương trình ta x1 = ; x = ( thỏa mãn ) 2 Với t = ta có x − + = ⇔ 3x − 23 x + 18 = x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với t1 = Giải phương trình ta x = 0,25 23 + 313 23 − 313 (thỏa ; x4 = 6 mãn) Vậy phương trình cho có bốn nghiệm : x1 = ; x = ; x3 = 23 + 313 23 − 313 ; x4 = 6 x + y + xy = 16 x + y = 10 (I) ( x; y ≥ ) Trang 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Đặt S= x + y ; P = S + 4P = 16 ( II) S 2P = 10 xy ( S ≥ 0;P ≥ ) hệ (I) có dạng 0,25 S = Giải hệ ( II) đối chiếu điều kiện ta P = 0,25 Khi x; y nghiệm phương trình t2 – 4t + =0 Giải phương trình ta t1 = 3; t2 = 0,25 x = x = ; y = y = Từ suy hệ phương trình cho có hai nghiệm 0,25 Tìm số ngun x, y thỏa mãn phương trình: 3a x3 + x + 3x + = y 3 Ta có y − x = x + 3x + = x + ÷ + > ⇒ x < y (1) 4 3 0,25 2 15 ( x + 2) − y = x + x + = x + ÷ + >0 16 3b ⇒ y < x +2 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y ngun suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x = từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn tốn (1 ; 2), (-1 ; 0) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 + b2 + c + a2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: + b2 ≥ 2b nên: a +1 b ( a + 1) b (a + 1) ab + b = ( a + 1) − ≥ ( a + 1) − = a +1− 2 1+ b b +1 2b ⇔ Tương tự ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 a +1 ab + b ≥ a +1− 1+ b b +1 bc + c ≥ b +1− (2) 1+ c c +1 ca + a ≥ c +1− (3) 1+ a 0,25 Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: 0,25 Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) a +1 b +1 c +1 a + b + c − ab − bc − ca + + ≥3+ (*) 2 1+ b 1+ c 1+ a Mặt khác: 3(ab + bc + ca) ≤ ( a + b + c ) = ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≥0 a +1 b +1 c +1 + + ≥ (đpcm) + b2 + c + a2 Dấu "=" xảy a = b = c = 0,25 Nên (*) ⇔ P A N1 O O1 M1 I Q M2 A' N2 O2 S 2,0 điểm +) Ta có AM AN1 = AM AN = AI ⇒ ∆AN1 N đồng dạng với ∆AM M · N N + ·AM M = 1800 hay tứ giác suy ·AN1 N = ·AM M ⇒ M 1 2 M N1 N M nội tiếp +) Ta có ·AN1 N = ·AM M = ·AOM tam giác AOM cân O nên · · AO = 180 − AOM M · AO = 900 ⇒ OA ⊥ N N Do ta ·AN N + M 2 1 1,0 điểm Gọi S giao điểm PM QM Ta có O, O2 , M thẳng hàng O2 I song song với OP · M = POM · O2 IM cân O2 , tam giác ⇒ IO 2 (1) Mặt khác tam giác Trang 10 0,5 0,5 0,5 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN:TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm tròn Câu Đáp án (2,0 điểm) Điể m a.(1,0 điểm) 2x + x − x (2x + x − 1) x − x A =1+ ( − ) 1− x 1− x x x −1 = + (2x + x − 1)( x x ( x − 1) − ) (1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x + x) (2 x − 1) 0,25 = + (2 x − 1)( x + 1)( =1+ ( 1+ x + x − x − x x ( x − 1) ) (1 − x )(1 + x )(1 + x + x) (2 x − 1) (2 x − 1)( x + 1) x ( x − 1) (1 − x )(1 + x )(1 + x + x)(2 x − 1) x x + x +1− x x +1 = = x + x +1 x + x +1 x + x +1 x +1 A= x + x +1 =1− Để A = 6− 0,25 x +1 6− = x + x +1 ⇔ 6x + x + − x − 6x − = 5x + 0,25 ⇔ x − x + x − 6x +1 − = ⇔ − x( − 1) + x ( − 1) − ( − 1) = ⇔ ( −1)(− x + x −1) = ⇔ −x + x −1 = ⇔ x = x + ⇔ 6x = x2+2x+1 ⇔ x2 - 4x + = ⇔ (x – 2)2 = ⇔ x − = x−2 = − Trang 39 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ⇔ x = + Vậy: x = + x =− 3+2 x = − + A = 6− b (1,0 điểm) Ta chứng minh : A > x +1 2 > hay x + x +1 ⇔ x +1 3x + − 2x − x − − >0 ⇔ >0 x + x +1 x + x +1 ⇔ x − x +1 ( x − 1) >0 ⇔ >0 x + x +1 x + x +1 0,25 0,25 Vi x ≠ nên ( x − 1) > với x Vì x + x + = ( x + ) + > với x ( x − 1) > với x ⇒ x + x +1 Vậy A > 0,25 0,25 với x thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ( 1,0 điểm) Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = 1x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3x2x4-x3x4)= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 (1,0 điểm) - ĐKXĐ : x, y, z ≥ Từ (1) ⇒ (x + y + z)2 = 36 (2,0 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36 điểm) ⇔ 18 + 2(xy + yz + zx) = 36 ⇔ xy + yz + zx = (4) Từ (3) Trang 40 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ⇒ ( x + y + z ) = 16 ⇔ x + y + z + 2( xy + yz + zx ) = 16 ⇔ xy + yz + zx = 0,25 ⇔ ( xy + yz + zx ) = 25 ⇔ xy + yz + zx + 2( xy z + yz x + zx y ) = 15 ⇔ xyz ( x + y + z ) = ⇔ xyz = (3) Từ (1), (4), (5) ta có hpt : x + y + z = xy + yz + zx = xyz = (3) (4) (5) ( x > 0) x (4) ⇔ xy+ yz + zx + x = + x Từ (5) ⇒ yz = ⇔ x( x + y + z ) + yz = + x ⇔ x + = + x ⇔ x3 − x + x − = x ⇔ ( x − 1) ( x − 4) = x = ⇔ Thế vào hpt ta hệ pt có nghiệm : x = (1; 1; 4) ; (1; 4; 1) (4; 1; 1) (1,0 điểm) Xét n = A = khơng phải ngun tố; n = A = ngun tố 0,25 0,25 0,25 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0,25 Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n +1 0,25 Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + 0,25 Vậy A chia hết cho n + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = (1,0 điểm) Ta có: a + 2ab + b a − 2ab + b a+b − ab = − ab = (2,0 ÷ 4 điểm) = ( a − b) ≥ 0, ∀a, b ∈ R 0,25 Trang 41 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) 2 a+b Vậy: ÷ ≥ ab, ∀a, b ∈ R ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab, ∀a, b ∈ R Dấu đẳng thức xảy a = b Theo kết ta có: ( a + b + c) = a + ( b + c ) ≥ 4a ( b + c ) mà a + b + c = (giả thiết) nên: ≥ 4a ( b + c ) ⇔ b + c ≥ 4a ( b + c ) (vì a, b, c khơng âm nên b + c khơng âm) Nhưng: ( b + c ) ≥ 4bc (khơng âm) Suy ra: b + c ≥ 16abc 0,25 0,25 a = b + c 1 ⇔b=c= , a= b=c Dấu đẳng thức xảy khi: 0,25 Hình vẽ:(Khơng cho điểm hình vẽ ) M E I F A (3,0 điểm) O H B C D O/ N a (1,0 điểm) · · Ta có AEB = CFD = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Vì EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’), nên: OE ⊥ EF O’F ⊥ EF => OE // O’F · · · · => EOB (góc đồng vị) => EAO = FO'D = FCO' Do MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN · Hay ENF = 900 µ =N µ = F$ = 90O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E b (1,0điểm) Trang 42 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD · · Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN = INF · · » = FDC = sđ FC Mặt khác, đường tròn (O/): IFN · · => FDC = HNC Suy ∆FDC đồng dạng ∆HNC (g – g) · · => NHC = DFC = 90O hay MN ⊥ AD c (1,0 điểm) · · Do MENF hình chữ nhật, nên MFE = FEN · · » = EAB = sđ EB Trong đường tròn (O) có: FEN · · => MFE = EAB Suy ∆MEF đồng dạng ∆MDA (g – g) ME MF = => , hay ME.MA = MF.MD MD MA Với k đặt bi = + k – aj = (ai + k) – (aj + k) = bi – bj (*) Do ta chọn k cho bn + = an + + k = 3n chuyển xét dãy số: ≤ b1< b2 < < bn+2 = 3n Xét hai trường hợp: 1) Nếu tồn j cho n < bj < 2n ta có: n < bn+2 – bj < 2n ⇒ n < an + + k – aj – k < 2n ⇒ n < ai– aj < 2n ( 1,0 2) Nếu khơng có số bj thuộc [n + 1; 2n – 1] số b1, b2,…, điểm) bn+1 có mặt thành phần n cặp số: (1, 2n), (2, 2n+1), … , (n, 3n – 1) Mặt khác n + > n nên tồn số bi, bj (j < i) thuộc cặp, chẳng hạn (t, 2n + t – 1) hay n < bi – bj = 2n + t – – t = 2n – < 2n Theo (*) từ cặp số bi, bj thoả mãn n < bi – bj < 2n tồn cặp ai, aj thoả mãn: n < ai– aj < 2n -Hết - Trang 43 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN:Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 5câu,1.trang) Câu (2.0 điểm): a) Rút gọn biểu thức P = ( 1− x x 1− x + x) : (1 − x ) Tính giá trị biểu thức P x = −1 64 b) Cho a = − + + Chứng minh (a − 3) − 3a số ngun Câu (2.0 điểm) : a) Giải phương trình: x − x − + 16x = x + y + xy = b) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: x + y + xy = Câu (2.0 điểm): a) Cho a + 2a + (a ∈ N) đồng thời hai số phương Chứng minh a chia hết cho 24 b) Cho a, b ≥ thỏa mãn : a + b = Chứng minh rằng: ab(a + b)2 ≤ 64 Dấu xảy nào? Câu 4(3.0 điểm) :Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh: a) AEF tam giác cân b) DO ⊥ OE c) D, A, O, E nằm đường tròn Bài ( 1.0 điểm) Cho 100 số tự nhiên a1 , a2 , , a100 thỏa mãn điều kiện: 1 + + + = 19 a1 a2 a100 Chứng minh 100 số tự nhiên đó, tồn hai số Trang 44 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN: Tốn (Hướng dẫn chấm gồm trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm - Điểm thi Đáp án Câu a Rút gọn P = ( – x )2 Trục thức mẫu ta có x = + 1 Thay vào tính P= (2điểm) Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b a = − + + ⇒ a3 = 3a +4 ⇒ a(a2 - ) = ⇒ a2 - = : a (vì a>0) 64 thay vào rút gọn ta có (a − 3) − 3a = ∈Z 2 (2điểm) a Gi¶i ph¬ng tr×nh x - x - + 16x = §KX§: x ≥ − 0,25 16 Khi ®ã ph¬ng tr×nh ⇔ x2 - x = 2( + 16x + 1) ) ⇔ + 16x = 4y2 -4y + ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*) §Ỉt: + 16x + = 2y ( y ≥ y − y = 4x ⇒ (x − y)(x + y + 3) = Ta cã: x − x = 4y x = y ⇔ x + y + = (lo¹i v× x ≥ - vµ y ≥ ) 16 Víi x = y thay vµo (*) ⇒ x2 - x = 4x ⇔ x2 - 5x = ⇔ x(x - 5) = x = (tho¶ m·n) ⇔ x = (lo¹i) Trang 45 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt lµ: x = x + y + xy = ( x + y ) − xy = ⇔ b.Ta cã : x + y + xy = ( x + y ) + xy = x + y = ⇒ (x + y)2 + (x + y) – 12 = ⇔ x + y = −4 0,25 0,25 0,25 NÕu x + y = x = x + y = x + y = y = ⇒ HƯ ®· cho ⇔ ⇔ ⇔ x = x + y + xy = xy = y = 0,25 NÕu x + y = -4 x + y = −4 ⇒ HƯ ®· cho ⇔ xy = (hƯ v« nghiƯm) VËy hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm (x; y) = (0; 3), (3; 0) 0,25 Trang 46 (2 điểm) a) Đặt a + = k2, 2a + = m2 , (k, m ∈ N) Vì 2a + lẻ nên m2 lẻ ⇒ m lẻ ⇒ m = 2t + 1, (t ∈ N) 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ⇒ 2a + = (2t + 1)2 ⇒ a = 2t(t + 1) số chẵn ⇒ a + lẻ ⇒ k2 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ k = 2n + 1, (n ∈ N) 0,25 Do từ a + = k2 ⇒ a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1) M (1) Mặt khác: k2 + m2 = a + + 2a + = 3a + ≡ 2(mod 3) ⇒ k ≡ m ≡ 1(mod 3) ⇒ m − k = a ≡ 0(mod 3) hay aM3 (2) 0,25 0,25 Từ (1) (2) ⇒ aM(3.8) , (vì (3; 8) = 1) Vậy a chia hết cho 24 b) Do giả thiết a, b ≥ 0; a + b = nên: ab(a + b)2 ≤ 64.ab(a + 64 0,25 b)2 ≤ 64ab(a + b)2 ≤ ( a + b ) 64ab(a + b)2 ≤ (a+b+2 ab )4 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta được: (a+b+2 ab ) ≥ (a + b).2 ab 0,25 => (a+b+2 ab )4 ≥ (2 (a + b).2 ab )4 = 64.ab(a+b)2 (đpcm !) 0,25 Dấu = xảy a+b = ab a = b = 1/4 (3 điểm) : a) Ta c/m AO phân giác góc FAE nên AO trục đối xứng góc FAE AO đường thẳng chứa đường kính (O) nên AO trục đối xứng đường tròn (O) F giao điểm AB với (O) Hình đối xứng F giao điểm AC với (O), điểm E F E đối xứng qua AO Vậy AEF tam giác cân · · · · = 2DFO , EOI = 2EFO b) Ta c/m được: DOI · · Suy DOE = 2DFE = 90 hay DO ⊥ OE F A O 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 D I a) Lấy I trung điểm DE E B Trang 47 C H K ta có ID = IA = IE = IO Vậy D, A, O, E nằm đường tròn tâm I bán kính DE/2 0,5 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) -Hết ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN:Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm câu, trang) Câu (2điểm) 1.Cho x= 2 +1−1 − + 1−1 Tính giá trị biểu thức : A= (x4- x3-x2+2x-3)2016 Chứng minh có ax3 = by3 = cz3 1 + + = : x y z ax + by + cz = a + b + c Câu (2điểm) Cho phương trình x2-2mx+m2-m-6=0 ( m tham số) a)Với giá trị m phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 cho x1 x2 18 + = x2 x1 b)Với giá trị m phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 cho x1 + x2 = 2.Giải hệ phương trình : 3xy = ( x + y ) 5yz = ( y + z ) 4zx = ( z + x ) Câu (2điểm) 1.Tìm số tự nhiên n để n+18 n-41 số phương Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + b + c + c + a = 2015 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2015 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Câu (3điểm) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I trung điểm BC ,N trung điểm EF a.Chứng minh điểm E,F ln nằm đường tròn cố định đường tròn (O) thay đổi b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) K Chứng minh :EK song song với AB Trang 48 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) c.Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đường thẳng cố định đường tròn(O) thay đổi Câu (1điểm) Một bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh số ngun Chứng minh cắt bìa thành sáu phần có diện tích diện tích phần số ngun ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 10) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN:Tốn (Hướng dẫn chấm gồm5 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi khơng làm tròn Câu Đáp án Điể m 1.1(1điểm) x= 2 + 1−1 = − = + − 1− ( +1−1 ) +1+1 2 + − 12 2 = 2 + A = (x4- x3-x2+2x-3)2016 ( A = −2 −2 + 2 −3 0,25 0,25 ) 2016 0,25 0,25 A =1 1.2 (1điểm) Đặt (2điểm ) 0,25 Trang 49 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) A = ax + by + cz = ax by3 cz + x y z 0,25 1 1 = ax + + ÷( vi ax = by =3 cz ) x y z = ax = x a A => a = x 0,25 Tương tự 0,25 A A b = ;3 c = y z => a + b + c = A A A + + = x y z 1 1 A + + ÷ x y z => a + b + c = A 2.1 (1điểm) a) Để phương trình x − 2mx + m − m − = có hai nghiệm ∆ ' = m − ( m − m − ) = m + ≥ ⇔ m ≥ −6 (1) Với điều kiện (1) ( x + x ) − x1 x2 = 18 x1 x2 18 x + x22 18 + = ⇔ = ⇔ x1 x2 ≠ x2 x1 x1 x2 x1 x2 4m − ( m − m − ) 0,25 khác -2 khác 3) b)Với điều kiện (1) 0,25 18 m2 + m + ⇔ = ⇔ = ( m ≠ −2; m ≠ 3) m2 − m − m2 − m − ⇔ m − 8m − 48 = ⇔ m1 = −4; m2 = 12 (thoả mãn điều kiện (1) x1 + x2 = ⇔ x12 + x2 + x1 x2 = 64 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 = 64 (2) m ≥ −6 + Nếu x1 x2 dấu x1 x2 ≥ ⇔ m − m − = m + m − ≥ ( )( ) ⇔ −6 ≤ m ≤ −2 m ≥ (3) Khi (2) ⇔ ( x1 + x2 ) = 64 ⇔ 4m = 64 ⇔ m = ±4 ( thoả mãn điều kiện (3)) +Nếux1vàx2tráidấuthì (2điểm x x < ⇔ m − m − = ( m + ) ( m − 3) < ⇔ −2 < m < (4) ) Khi (2) ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 64 ⇔ 4m − ( m − m − ) = 64 ⇔ m + = 16 ⇔ m = 10 (Khơng thoả mãn điều kiện (4) Trang 50 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Vậy để x1 + x2 = m = ±4 2.2 (1điểm) + Hiển nhiên hệ có nghiệm x = y = z = 0,25 x + y 1 = xy x + y = 2 y+ z 1 = ⇔ (II) + = + Với xyz ≠ (I) viết lại: yz y z z + x 1 = + = zx z x 0,25 Cộng ba phương trình hệ (II) theo vế ta được: 1 11 1 11 ⇔ + + = 2 + + ÷= (*) x y z x y z 0,25 Trừ phương trình (*) cho phương trình hệ (II) theo vế ta lần 0,25 lượt có : x = 1, y = 2, z = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) (1; 2; 3) 3.1(1điểm) Để n+18 n- 41 hai số phương ⇔ n + 18 = p n − 41 = q ( p, q ∈ N) ⇒ p − q = ( n + 18 ) − ( n − 41) = 59 ⇔ ( p − q ) ( p + q ) = 59 p − q = p = 30 ⇔ Nhưng 59 số ngun tố nên p + q = 59 q = 29 2 Từ n + 18 = p = 30 = 900 suy n = 881 Thay vào n - 41 ta 882 − 41 = 841 = 292 = q với n = 881 n+18 n- 41 hai số phương 0,25 0,25 0,25 0,25 3.2(1điểm) Ta có 2( a + b ) ≥ ( a + b) a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + Suy b + c + c + a + a + b ≥ ( b2 + c2 ) ( c2 + a2 ) ( c2 + a2 ) (2điểm ) Đặt x = b + c , y = c + a , z = a + b , y + z − x2 z + x2 − y x2 + y − z + + suy VT ≥ 2x 2y 2z Trang 51 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ( z + x) ( x + y)2 ( y + z ) ≥ − x ÷+ − y ÷+ − z ÷ 0,25 2 x 2y 2z ( z + x) ( x + y)2 ( y + z ) ≥ + x − x + + y − y + z − z ÷ ÷ ÷+ 2 x 2y 2z ≥ ( 2( y + z ) − x ) + ( 2( z + x) − y ) + ( 2( x + y − z ) 2 0,25 1 2015 (x + y + z) = Suy VT ≥ 2 2 0,25 (3điểm ) 4.a(1điểm) Chứng minh điểm E,F ln nằm đường tròn cố định đường tròn (O) thay đổi Ta có, · · AFB = BCF ⇒ ∆ABF : ∆AFC AF AB ⇒ = ⇒ AF2 = AB.AC AC AF ⇒ AF = AB.AC khơng đổi ⇒ AE = AF = AB.AC Vậy, E F nằm đường tròn tâm A cố định bán kính khơng đổi R = AB.AC 4.b (1điểm) Chứng minh :EK song song với AB · · Tứ giác AEOF nội tiếp ⇒ AEF = AOF · · Tứ giác AOIF nội tiếp ⇒ AOF = AIF · · Do đó, AIF = AEF 1· · · · = EOF = AOF = AEF Mặt khác, EKF · · Nên AIF = EKF ⇒ EK / /BC 4.c (1điểm) Trang 52 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Gọi D giao điểm EF với AC Tứ giác ONDI nội tiếp Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI, ta có: MD = MI Lại có, AD AN ∆ADN : ∆AOI ⇒ = AO AI AN.AO AF2 AB.AC ⇒ AD = = = AI AI AI (khơng đổi) ⇒ D cố định Vậy K ln nằm đường trung trực đoạn ID 5.(1điểm) Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác vng ABC, c cạnh huyền Ta có a + b = c ; a, b, c ∈ N* , diện tích tam giác ABC S = ab 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12 + Chứng minh abM3 Nếu a b đồng thời khơng chia hết cho a + b chia dư Suy số phương c chia dư 2, vơ lý + Chứng minh abM4 - Nếu a, b chẵn abM4 - Nếu hai số a, b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ Lúc c lẻ Vì c chẵn c M4 , lúc a + b khơng thể chia 0,25 hết cho Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h ∈ N Ta có : 2 b = ( 2h + 1) − ( 2k + 1) = ( h − k ) ( h + k + 1) = ( h − k ) ( h − k + 1) + 8k ( h − k ) M8 Suy bM4 => abM4 Vậy ab chia hết cho 12 Do đó,nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành phần nhau, nối 0,25 điểm chia với C tam giác ABC chia thành tam giác, tam giác có diện tích ab số ngun 12 Hết - Trang 53 [...]... + =( ) ( )9 OM ON OP AM BN CP Cú: Bi 5 (1 im) Nhn xột: 1+2+3+ + 199 7+ 199 8= 199 9. 499 l mt s l do ú khụng tn ti cỏch t du (+ hoc du - ) cho tng ca dóy tớnh bng 0 Thy vy, gi s tn ti mt cỏch t du so cho tng ca chỳng bng 0 Gi S(+) l tng cỏc s c t du + Gi S(-) l tng cỏc s c t du Ta cú S(+)+S(-)=0 => S(+)- S(-) +2S(-)=0 => 1+2+3+ + 199 7+ 199 8 + 2S(-)=0 Hay 199 9. 499 + 2S(-) =0 khụng xy ra do 199 9. 499 l s l cũn... Gi A l kt qu ca dóy tớnh suy ra A>=1 Do ú Amin=1 Vi cỏch t du nh sau: A=(+1-2+3-4+ +99 7 -99 8) - 99 9 +1000-1001+1002+ - 199 7+ 199 8 =- 499 +500 =1 Trang 19 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) S 5 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TOAN Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 05cõu,01 trang) Cõu 1 (2,0 im) a.Cho x y z l cỏc s thc dng tha món iu kin :... Vỡ n + S(n) = 199 4 => n < 199 4 => n khụng cú quỏ 4 ch s , do ú S(n) 4 .9= 36 5 (1 im => n 195 8 Vy 195 8 n 199 4 n = 19ab Vỡ n + S(n) = 199 4 => 11a+2b=84 Vỡ 0 2b 18 => 6 a 7 => a= 6 ; b =9 Vy n= 196 9 Chỳ ý: Hc sinh cú th lm cỏch khỏc, nu ỳng vn cho im ti a Ht Trang 31 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) S 7 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9- Nm hc 2015-2016... 2 x1 x2 = m + 1 = ( 2m + 1) 4 ( m 2 + 1) > 0 m > 2 Trang 33 0 25 0.25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = ( 2m + 1) 3 ( 2m + 1) ( m 2 + 1) 3 3 Gi thit ta cú x13 + x23 = 9 2m3 9m 2 2 = 9 2 m = 1 (2 im) Gii phng trỡnh v kt hp iu kin cú x 2 + xy 2 y 2 = 0 (1) 2.Gii h phng trỡnh: 2 (2) xy + 3 y + x = 3 2 2 (1) ( x y ) + y ( x y ) =... 99 (a-c)=4n 5 4n 5M 99 (3) 2 Trang 13 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) Mt khỏc: 100 n 2 1 99 9 101 n 2 1000 11 n 31 39 4n 5 1 19 (4) T (3) v (4) suy ra n = 26 Vy abc = 675 3.2 1 1 1 + + + ... +1000-1001+1002+ - 199 7+ 199 8 =- 499 +500 =1 Trang 19 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016... 11 0,5 0,5 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu... điểm (1) cba = 100c + 10b + a = n − 4n + (2) Từ (1) (2) ta có 99 (a-c)=4n – ⇒ 4n − 5M 99 (3) Trang 13 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Mặt khác: 100 ≤ n − ≤ 99 9 ⇔ 101