kẻ tiếp tuyến chung Ax... Ghi chú: Học sinh làm các khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 1Phòng GD&ĐT Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1: (1đ)
Cho hàm số y= f(x) = 2
2
3
x
1) Hãy tính f(-3), f(- 3), f(
3
2 ) 2) Các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số đã cho:
A( 2; 3), B(-2; -6) , C ( - ;43
2
1
), D ( ;43
2
1
)
Câu 2: (2đ)Xét biểu thức:
P = + +
+
−
−
−
1 2
2 1
2
x x
x x
x
2 2
1
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x <1 thì P > 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Câu 3:(1,5đ)
Giải hệ phơng trình :
= +
=
−
xy y x
xy x
y
5 3
4
Câu 4: (1,5đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đờng thẳng có phơng trình:
(d1): y= 4
2
1x+ ; (d2): y = 2; (d3): y = ( k+1).x + k Tìm k để cho ba đờng thẳng đã cho đồng quy
Câu 5:(3đ) Cho hai đờng tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung
Ax Đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) tại B,C (≠ A) Cắt Ax tại M Kẻ đờng kính BD,CE của (O1), (O2)
a/ Chứng minh : MB = MC
b/ Chứng minh: tam giác O1MO2 vuông
c/ Chứng minh: B,A,E và C,A,D thẳng hàng
d/ I là trung điểm của DE Chứng minh: đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (I O1O2)
Câu 6: (1đ) Chứng minh Bất đẳng thức:
a4+b4 ≥ a3 b + ab3 với mọi a, b
………Hết………
Trang 2UBND Huyện thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng GD&đt Năm học 2007 - 2008
Hớng dẫn chấm Môn :Toán Lớp 9 Câu1: (1đ)
a) f(-3) = 13,5 ; f(- 3) = 4,5 ; f(
3
2 ) =13 (0,5đ) b) Thay toạ độ các điểm vào hàm số sẽ thấy toạ độ của các điểm A, C, D thoả mãn vậy ba điểm A,C,D thuộc đồ thị hàm số đã cho (0,5đ)
Câu2: (2đ)
a)Rút gọn P = + +
+
−
−
−
1 2
2 1
2
x x
x x
x
2 2
1
+
+
− +
−
−
2 ) 1 (
2 )
1 )(
1 (
2
x
x x
x
x
2
) 1
= ( 1 )( 1 ) 2
) 1 )(
2 ( ) 1 )(
2 (
+
−
− +
− +
−
x x
x x
x x
2
) 1 ( −x 2 (0,25đ) =x−(x x−−12)(−x x−+1)x +2
2
) 1 ( −x 2 = x( 1 − x). (0,5đ) b) Với 0 < x<1 thì x> 0 và x< 1 hay 1- x > 0 (0,25đ)
a) P = -x + x = -
4
1 4
1 2
1 2
≤ +
đẳng thức xảy ra khi x =
2
1
Do đó giá trị lớn nhất của P là 0,25
Câu 3: (1,5đ) Nhận xét: x= 0; y= 0 là nghiệm của Hử (0,25đ)
Nếu x ≠ 0 thì y ≠ 0 , chia cả hai vế cho xy ta đợc hệ:
= +
=
− 5 3 4
1 1 1
x y
y x
(0,25đ)
Đặt 1 = u
y ta có hệ phơng trình bậc nhất với hai ẩn số u và v: (0,25đ)
Trang 3
=
+
=
−
5
v4
3
1
v
u
u
= + +
+
=
⇔
5 4v 1) 3(v
1 v
u
⇔
=
+
= 2 7v
1 v
u
⇔
=
= 7
2 v 7
9
u
(0,25đ)
Do đó ta có
=
=
7
2 1 7
9 1
y
x
vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm (x;y) =
2
7
; 9
7 ( );
0
; 0
Câu 4: (1,5đ) Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và(d2) là nghiệm của hệ:
4
2 48
2 24 2 1
2 2
4 2
1
x
y x
y x
y y
xy
(0,75đ)
Ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy khi đờng thẳng d3 đi qua
điểm (- 4;2) (0,25đ)
⇔ 2= (k+1)(-4)+ k ⇔-4k - 4+ k=2 ⇔3k= -6 ⇔k= -2 (0,5đ)
Câu 5: (3đ)
Ghi GT,KL vẽ hình đúng (0,5đ)
a/
=
=
MA
MC
MA
MB
(t/c tiếp tuyến)
b/ ∆ vuông MAO1= ∆ vuông MBO1
Trang 4⇒ ∠O1MA = ∠O1MB (1)
tơng tự ∠O2MA = ∠O2MC (2)
Từ (1) và (2) ⇒O1MO2= 900 (0,5đ)
c/ Ta có: AB// O2M (3) ( vì cùng ⊥MO1)
BE // MO2(4) ( vì O2M là đờng trung bình của ∆CBE)
Từ (3) và (4) ⇒B, A, E thẳng hàng
d/ Gọi O là trung diểm của O1O2 ⇒OI =12 (R1+ R2) ⇒đờng tròn (IO1O2) có tâm
Kẻ OH vuông góc với BC ⇒ OH =
2
1
(R1+ R2) ( vì OH là đờng trung bình của của hình thang BCO2O1) ⇒d tiếp xúc (IO1O2) tại H (0,5đ)
Câu 6:
a4+b4 ≥ a3 b + ab3
⇔a4+b4 - a3 b - ab3 ≥ 0 (0,25đ)
⇔a3(a-b)-b3 (a-b) ≥ 0 (0,25đ)
⇔(a-b) (a3-b3) ≥ 0
⇔(a-b)(a-b) (a2+ab+b2) ≥ 0 (0,25đ)
4
3 ) 2 (
2
2 b b
a ≥ 0 đúng với mọi a,b
vậy Bất đẳng thức đợc c/m (0,25đ)
……….Hết………
Ghi chú: Học sinh làm các khác đúng vẫn cho điểm tối đa