Bài giảng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9

thi chn hc sinh gii toỏn 9 ( vũng 1) Nm hc 2007 - 2008 Thi gian 120 phỳt (De 1) I. Trc nghim : Hóy chn mt phng ỏn ỳng nht trong cỏc cõu sau: 1. Khi rỳt gn biu thc 608 + ta cú kt qu l: a. 3 + 5 b. 15 + 1 c. 5 - 3 d. Mt kt qu khỏc 2. Giỏ tr bộ nht ca biu thc: A = 12 2 ++ xx + 144 2 ++ xx + 169 2 + xx l: a. 0 b. 2 c. 3 d. Mt kt qu khỏc 3. Tp nghim ca phng trỡnh: 19 1 2 x + 5 1 x + 91 23 2 + xx = 3 l a. {1;2} b. {1;2;3} c. {2;3} d. {1} 4. hm s Y = (m- 3m)x 3 + ( m-3)x 2 + 2 x + 7 l hm bc nht thỡ giỏ tr ca m phi l: a. m = 0 b. m = o v m = 3 c. m = 3 d. vi mi m thuc R 5. im c nh m ng thng Y = mx - 2 m - 1 luụn luụn i qua khi m thay i cú to l: a. ( 1; 2 1 ) b. ( -1; 2) c. ( 1; 2 1 ) d. ( 1; 1) 6. Cho ABC vuụng ti A cú AB = 2AC, AH l ng cao. T s HB:HC l: a. 2 b. 4 c. 3 d. 9 7. Tam giỏc ABC vuụng ti A, bit AC = 16; AB = 12. Cỏc ng phõn giỏc trong v ngoi ca gúc B ct AC D v E. di DE l : a. 28 b. 32 c. 34 d. 30 8. Cho gúc tho món 0 0 < < 90 0 ta cú cỏc kt lun sau: a. sin < cos b. tg > cotg c. sin <tg d. Cha th kt lun c 9. Cho ng trũn cú bỏn kớnh 12. di dõy cung vuụng gúc vi mt bỏn kớnh ti trung im ca bỏn kớnh y l: a. 3 3 b. 27 c. 6 3 d. 12 3 10. Cho ABC cõn ti A; ng cao AH = 2; BC = 8. di ng kớnh ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l: a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 II Phn t lun Cõu 1: Rỳt gn cỏc biu thc sau: a. A = 74 + - 274 b. B = 44 22 ++ xxxx ( vi x 2) Cõu 2: Chng minh rng nu a> b> 0 thỡ: 2a 3 - 12ab + 12b 2 + 1 0 Cõu 3: Cho ABC vuụng ti A, ng cao AH. Tia phõn giỏc ca gúc HAC ct HC ti D. Gi K l hỡnh chiu ca D trờn AC. a. Chng minh ABD cõn b. Bit BC = 25 cm; DK = 6cm. Tớnh di AB. (De 2)ề thi hsg huyện 2007-2008 I.Trắc nghiệm (4điểm) Câu 1: Điều kiện của x để biểu thức 4 1 2 x có nghĩa là: a. x>2 ; b. x 2 ; c: x < - 2 ; d: x >2 hoặc x< -2 Câu 2: trong các số sau có bao nhiêu số vô tỉ: - 2 1 9 ; - 4 ; 2 )25,1( ; 3 64 1 ; 32 + - 32 a: 0 ; b: 1 ; c: 2 ; d: 3 Câu 3: Giá trị của biểu thức ( 58 85 + + 58 58 + ) : 3 3 )27(:13 là: a: - 9 338 ; b: - 2 ; c: 13 16 ; d: -6 Câu 4: Tam giác MNP có M (-1;0) , N(1;0), P (0;1) là: a: cân tại M ; b: cân tại N ; c: đều ; d: vuông cân Câu 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức: xx 52 2 + là: a: 8 25 ; b: 4 5 ; c: 4 25 ; d: 2 5 Câu 6: Có thể nói gì về số đờng tròn đi qua 3 điểm A,B,C cho trớc a: Có thể không có đờng tròn nào ; b: có ít nhất 1 đờng tròn c: Có thể có 2 đờng tròn ; d: Có thể có 3 đờng tròn Câu 7: Trong các hình sau hình nào có vô số trục đối xứng a: Hình chữ nhật ; b: Hình tròn c: Hình thoi ; d: Hình vuông Câu 8: Cho ABC. O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Nếu góc A góc B góc C thì có thể nói gì về quan hệ giữa ba đoạn thẳng OD,OE,OF a: OD OE OF ; b: OD OE OF c: OD<OF<OE ; d: OD>OF>OE Câu 9: Giá trị của biểu thức: tg + cotg = 3.Giá trị của A = Sin . cos là: a: A = 1 ; b: A = 3 ; c: A = 3 1 ; d: Một kết quả khác Câu 10: Hàm số y = (t 2 2)x + 3 đồng biến khi và chỉ khi a: t > 2 ; b: t > 2 ; c: t < - 2 ; d: t = 2 II. Tự luận (6đ) Câu 1: Cho biểu thức A = xxx xxx xxx xxx 4 4 4 4 2 2 2 2 + + a.Rút gọn A. b. Tìm x để A< 5 Câu 2: 1. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) 2(ab + bc + ca) 2. Tìm số chính phơng abcd biết ab cd = 1 Câu 3: 1. Cho ABC vuông ở A. Đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC, biết BH = 4cm, CH = 9 cm a. Tính độ dài đoạn DE b. Chứng minh AD.AB = AE.AC 2. Cho ABC vuông ở A có AB<AC và trung tuyến AM, ACB = , AMB = . Chứng minh (sin + cos ) 2 = 1 + sin (De 3)ề thi học sinh giỏi toán 9 Vòng I I. Trắc nghiệm . Hãy chọn phơng án trả lời đúng ứng với lời dẫn của mỗi câu sau: Câu 1: Giá trị của biểu thức M = 3 1325 + + 3 1325 A. Số hữu tỷ âm B. Số hữu tỷ dơng C. Số vô tỷ âm D. Số vô tỷ dơng Câu 2:Giá trị nhỏ nhất của biểu thức : y = xx + 53 là: A. 2 B. 2 2 C. 2 D. Một đáp án khác Câu 3: Giải phơng trình 5168143 =++++ xxxx ta có nghiệm là A. x = 1 B. x= 10 C. 1 x 10 D. Một nghiệm khác Câu 4: Biểu thức ( )( ) xx 2532 xác định khi : A. Không có giá trị của x B. Mọi x thuộc R C. -1,5 x 5,2 D.Một kết quả khác Câu 5: Cho P = 2007 1 . 3 1 2 1 1 1 ++++ ta có: A. P < 2007 B. 2007 < P < 2 2007 C. P > 2 2007 D.Một kết quả khác Câu 6: Đơn giản biểu thức A = ( 1 + tg 2 )( 1 sin 2 ) - ( 1 + cotg 2 )( 1 cos 2 ) ta đợc: A. A = 0 B. A = 1 C. A = cos 2 - sin 2 D. Một kết quả khác . Câu 7: Các chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5. Tam giác này là: A. Tam giác vuông B. Không phải tam giac vuông C.Tam giác đều D.Tam giác cân Câu 8: Cho x 2 + x 2 1 = 7 ( x > 0 ). Giá trị của x 5 + x 5 1 là : A. 243 B. 125 C. 123 D. Một kết quả khác Câu 9: Cho hình bình hành ABCD có BD BC ; AB = a ; A = . Diện tích hình bình hành ABCD là: A. sin cos B. a 2 sin 2 C. a 2 cos 2 D. a 2 sin cos Câu 10: Trong một tam giác, có 3 điểm sau luôn nằm trên một đờng thẳng: A.Trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đờng phân giác B.Trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đờng trung trực A. Trực tâm, giao điểm 3 đờng phân giác, giao điểm 3 đờng trung trực B. Cả A, B, C đều đúng . C. Câu 1: Cho A = 3 1 933 432 2 2 + ++ ++ xx xxxx xx x a. Rút gọn A b.Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên . Câu 2: Tìm x, y nguyên dơng sao cho : x 2 = y 2 + 13 + 2y. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có đờng cao AH. Gọi D, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA . Chứng minh rằng : a. AH . AE = 2AD . AF b. AFADAH 222 114 += De 4 Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 2008 Hãy chọn phơng án trả lời đúng? Câu1: Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: 246223 +++++ xxxx bằng: a. 3 b. 2 c. 2 + x d. Một đáp số khác Câu2: Biểu thức: 642 2 + xx xác định khi: a. Với mọi x R b. 1 x hoặc 3 x c. 31 x d. Một đáp án khác Câu3: Giá trị của biểu thức: 3232 2 + là: a. 2 b. 2 c. 1 d. Một đáp án khác Câu4: Luỹ thừa bậc 4 của 111 ++ là: a. 32 + b.3 c. 321 + d. 223 + Câu5: Cho hàm số:f(x) = 3 + ax (a 0 ) ; g(x) = ( ) 11 2 + xa ta có: a. f(x) + g(x) đồng biến b. f(x) - g(x) đồng biến c. g(x) f(x) nghịch biến Câu6: Đơn giản biểu thức: A = 2cos2 sincos22 2 22 .Ta đợc a. A = 2 1 b. A = 2 1 c. A= 2 sin d. Cả a, b, c đều sai Câu7: ABC có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. Độ dài ba cạnh của tam giác đó là: a. 4, 5, 6 b. 5, 6, 7 c. 2, 3, 4 d. Cả a, b, c đều sai Câu8: Ta có các phát biểu sau: 1) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán kính r. 2) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB 3) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn. Các phát biểu đúng là: a. Chỉ 1) b. Chỉ 2) c. Chỉ 3) d. Chỉ 1 và 2 II/ Phần tự luận: Câu1: Cho biểu thức: A = ( ) 623 22 24 2 + xx x a) Rút gọ A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu2: Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0. Chứng minh rằng: abcbccac + )()( Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến CD. a) Chứng minh rằng: CH = DK b) Chứng minh rằng: S AHKB = S ACB + S ADB c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm. d) De 5 Đề thi thử HSG khối 9 Môn thi: Toán (Thời gian 90 phút làm bài) A:Phần trắc nghiệm (3 điểm) Hãy chọn một phơng án đúng nhất trong các câu sau 1. Tính ( ) 15 35 8 + + có kết quả A:10 , B: 5 , C:4 , D: 3 2. Rút gọn biểu thức 33 257257 ++ ta đợc kết quả là A:14, B:2 , C: 1 , D:2 3 7 3. Hàm số y = ( ) 5.1 2 + xm đồng biến khi A: -1< m < 1 , B: m>-1 , C: m>1 , D: m >1 và m <-1 4. Cho hình vẽ ( cho cả 3 trờng hợp ) 1, SinB bằng a: AH AC BC AH BC AH BC AC dcb :,:,:, 2,Trong các hệ thức sau hệ thức nào không đúng a: AH 2 =BH.HC, b: AH.BC=AB.AC c: AH 2 = 22 22 . ACAB ACAB + d: AC 2 =AB.HC 3, Cho ^ C =30 0 , M là trung điểm của BC khi đó trờng hợp nào sau đây không đúng a: B = 60 0 , b: AMB đều , c: AM=AB , d: AC= 2AM B: Phần tự luận (7điểm) Bài 1: a. Tính A= )1) (1).(1( 222 1 3 1 2 1 n với n N, n 2 b. Cho x, y, z > o thoả mãn xy+ yz+ xz = 1, tính tổng B = x. 2 22 2 22 2 22 1 )1).(1( 1 )1).(1( 1 )1).(1( z yx y xz x zy zy + ++ + ++ + ++ ++ Bài 2: Chứng minh rằng : cba c ab b ca a bc ++++ , với mọi a,b,c >0 Bài 3: *1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AH, trung tuyến AM. Gọi D và E thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC a. Chứng minh AD.AB = AE.AC b. Gọi K là giao điểm của AM và DE chứng minh AK. DE = AD. AE c. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD bằng một nửa diện tích tam giác ABC *2. Dựng hành thang cân ABCD (AB CD) biết AB = BC = 3cm và AC AD De 6: Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 2008 Câu1: Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: 246223 +++++ xxxx bằng: a. 3 b. 2 c. 2 + x d. Một đáp số khác Câu2: Biểu thức: 642 2 + xx xác định khi: a. Với mọi x R b. 1 x hoặc 3 x c. 31 x d. Một đáp án khác Câu3: Giá trị của biểu thức: 3232 2 + là: a. 2 b. 2 c. 1 d. Một đáp án khác Câu4: Luỹ thừa bậc 4 của 111 ++ là: a. 32 + b.3 c. 321 + d. 223 + Câu5: Cho hàm số:f(x) = 3 + ax (a 0 ) ; g(x) = ( ) 11 2 + xa ta có: a. f(x) + g(x) đồng biến b. f(x) - g(x) đồng biến c. g(x) f(x) nghịch biến Câu6: Đơn giản biểu thức: A = 2cos2 sincos22 2 22 .Ta đợc a. A = 2 1 b. A = 2 1 c. A= 2 sin d. Cả a, b, c đều sai Câu7: ABC có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. Độ dài ba cạnh của tam giác đó là: a. 4, 5, 6 b. 5, 6, 7 c. 2, 3, 4 d. Cả a, b, c đều sai Câu8: Ta có các phát biểu sau: 4) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán kính r. 5) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB 6) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn. Các phát biểu đúng là: a. Chỉ 1) b. Chỉ 2) c. Chỉ 3) d. Chỉ 1 và 2 II/ Phần tự luận: Câu1: Cho biểu thức: A = ( ) 623 22 24 2 + xx x c) Rút gọ A d) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu2: Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0. Chứng minh rằng: abcbccac + )()( Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến CD. e) Chứng minh rằng: CH = DK f) Chứng minh rằng: S AHKB = S ACB + S ADB g) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm. P N de 1 I. Trc nghim ( Mi ý ỳng cho 0,4 im) Cõu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ỏp ỏn a c d c a b d c d C II. T lun Cõu 1: ( 2 im) a. Ta cú: 2 )17( 74 2 + =+ ( 0,25 im); 2 )17( 74 2 = ( 0,25 im) A = 2 2 1717 ++ ( 0,25 im); A = 2 2 2 = 0 ( 0,25 im) b. B 2 = x - )4)(4(244 2222 ++++ xxxxxxx ( 0,5im) B 2 = x + x + 2 4 22 + xx (0,25 im) B = )2(2 + x ( 0,25 im) Cõu 2: ( 1,5) Bt ng thc cn chng minh tng ng vi bt ng thc 2a 3 - 12b ( a-b) + 1 0 ( 0,25 im) - Trc ht ta chng minh bt ng thc: a 2 4b( a- b) (2) ( a - 2b) 2 0; (ỳng) (2) ỳng (0.25) từ (2) ⇒ 3a 2 ≥ 12b(a-b) (3) (0.25đ) Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh 2a 3 - 3a 2 + 1 ≥ 0 (4) (0.25đ) ⇔ 2a 3 – 2a 2 – a 2 + 1 ≥ 0 ⇔ 2a 2 (a - 1) – (a - 1)(a + 1) ≥ 0 ⇔ (a - 1)(2a 2 – a - 1) ≥ 0 ⇔ (a - 1)(a 2 – a + a 2 - 1) ≥ 0 ⇔ ( ) 1 − a [ ] 0)1)(1()1( ≥+−+− aaaa ⇔ ( ) ( ) [ ] 0)12(11 ≥+−− aaa ⇔ (a - 1) 2 (2a + 1) ≥ 0 đúng (vì a > 0) ⇒ (4) đúng (0.25đ) Vì 3a 2 ≥ 12b (a-b) theo (3) ⇒ 2a 3 – 12b (a-b) + 1 ≥ 2a 3 – 3a 2 + 1 ≥ 0 (theo (4)) (0.25đ) Câu 3: (2,5đ) Vẽ hình đúng (0.25đ) a) (1đ) + Vỡ ∆ AHD = ∆ AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau) (0.25đ) + Suy ra 21 ˆˆ DD = (cặp góc tương ứng) (0.25đ) + DABD ˆ ˆ 1 = (so le trong) (0.25đ) + Suy ra DABD ˆ ˆ 1 = ⇒ ∆ ABD cân tại B (0.25đ) b) (1.25đ) + Gọi cạnh AB là y ⇒ BD = y (theo (1)) (0.25đ) + Ta có: AB 2 = y 2 = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ) Hay: y 2 = 25y – 150 (0.25đ) ⇔ y 2 = 25y + 150 = 0 ⇔ (y – 10) (y – 15) = 0 (0.25đ) ⇒ AB = 10cm hoặc 15cm (0.25đ) §¸p ¸n to¸n 9 (de 2) I. Tr¾c nghiÖm (4®) C©u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 §¸p ¸n d b b d c a b b c b II. Tù luËn (6® ) C©u 1: (1,5®) §KX§: x 2 – 4x ≥ 0 ⇔ x(x-4) ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 hoÆc x ≤ 0 x - 04 2 ≠− xx x xx 4 2 −≠ x 2 ≠ x 2 - 4x ⇔ x ≥ 4 hoÆc x ≤ 0 ⇔ x ≥ 4 hoÆc x<0 x 0 ≠ a. )4( )44)(44( )4)(4( )4()4( 22 2222 22 2222 xxx xxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxx A −− −−+−+−+−−+ = −+−− −−−−+ = = xx x xxx 4 4 2.42 2 2 −= − b. A< 545 2 <−⇒ xx ⇔ 510)5)(1(054 2 <<−⇔<−+⇔<−− xxxxx KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta cã x ≥ 4 hoÆc x <0 ⇔ -1<x<0 -1 < x <5 4 ≤ x ≤ 5 VËy : §Ó A< 5 th× -1 <x<0 hoÆc 4 ≤ x ≤ 5 C©u 2: 1. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«Si ta cã 1 +b 2 ≥ 2b ⇔ a(1 + b 2 ) ≥ 2ab 1 +c 2 ≥ 2c ⇔ b(1 + c 2 ) ≥ 2bc 1 +a 2 ≥ 2a ⇔ c(1 + a 2 ) ≥ 2ac ⇒ a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) ≥ 2ab +2bc +2ac ⇒ a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) ≥ 2 (ab +bc ca) 2. abcd = n 2 (n ∈ N) abcd = n 2 100 ab + cd = n 2 100(1 + cd ) + cd = n 2 100 + 101 cd = n 2 101 cd = n 2 100 = (n-10)(n+10) ta có n<100 và 101 là số nguyên tố nên suy ra 101 = n+10 n= 91 A Thử lại abcd = 91 2 = 8281 Câu 3: (2,5đ) 1.(1,5đ) E a. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( Vì tứ giác ADHE có 3 góc vuông) D AH = DE Ta có: AH 2 = BH.CH = 9.4 =36 B C AH = 6 cm H b. Xét AHC vuông tại H có HE AC AH 2 = AE.AC (1) AHB vuông tại H có DH AB AH 2 = AD.AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AC = AD.AB 2. (1đ) (sin sin1)cos 2 +=+ 22 cossin.cos2sin ++ = 1 +sin 1 + 2cos sin1sin. += 2 cos sinsin. = (1) Chứng minh (1): Ta có: 2. BM AH BM AH BC AH BCBC AHBC BC AB BC AB ==== .2 .22 . . .2. B 2.cos AM AH BM AH == sin. ( Vì AM là đờng trung tuyến ABC ) H M C 2 cos .sin sin = Vậy: (sin sin1)cos 2 +=+ Đáp án toán 9 De 3 I. Trắc nghiệm ( 4 điểm ) Mỗi câu đúng 0.4 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án B C C D B A B C D B II. Tự luận ( 6 điểm ) Câu 1: 2 điểm . ĐKXĐ: x > 3 0.25 điểm a. A = 3 2 x với x > 3 01 điểm b. A là số nguyên khi x chia hết cho 3 x = 3k ( k N * ) x = 9k 2 (k N * ) . Vậy A nguyên khi x = 9k 2 với k là số nguyên dơng : 0.75 điểm Câu 2: ( 2 điểm ) Từ x 2 = y 2 + 2y + 13 ta có : x 2 = ( y + 1 ) 2 +12 ( x + y + 1 )(x y 1 ) = 12 Do ( x + y + 1 ) - (x y 1 ) = 2y + 2 và x, y N * nên x + y + 1 > x y 1 . Vì vậy x + y + 1 và x y 1 là hai số nguyên dơng chẵn . Mà 12 = 2 . 6 nên chỉ có một trờng hợp : x + y + 1 = 6 và x y 1 = 2. Vậy x = 4 và y = 1 Câu 3: ( 2 điểm ) Mỗi ý 01 điểm A B C H E F D a) Do AH BC ( gt ) ; BAC = 90 0 ( gt ) nên AH . BC = AB . AC (1 ) Mà BC = 2AE ( Tính chất đờng trung tuyến trong tam giác vuông ) AB = 2AD ( gt ) ; AC = 2AF ( gt ) nên (1 ) trở thành 2AH . AE = 4AD . AF Vậy AH . AE = 2AD . AF b) Xét tam giác ABC có : A = 90 0 . Đờng cao AH (gt) nên : ACABAH 222 111 += ( Hệ thức lợng trong tam giác vuông ) Hay AFADAH 222 4 1 4 11 += ( Do AB = 2AD; AC = 2AF ) Vậy AFADAH 222 114 += ( đfcm ) Dap an de 4 Đáp án và biểu diểm: I/ Phần trắc nghiệm:(4đ) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp số a b c d a b c b II/ Phần tự luận ( 6 điểm) Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A = ( ) ( ) ( )( ) 3 2 23 22 623 22 222 2 224 2 + = + = + xxx x xxx x b. (0,5đ) A = 3 6 3 2 3 2 2 = + x Dấu = xảy ra x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 6 khi x = 0. Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) ab bcabca a ca b c ab cac + = + 2 1 2 1 (1) ( ) ab acabcb b cb a c ab cbc + = + 2 1 2 1 (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: ( ) ab cac + ( ) ab cbc 1 ( ) ( ) abcbccac + (đpcm) Câu3: (3đ) a.(0,75đ) Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1) =>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD) Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2). Từ (1) và (2) => CH = DK. b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có: ( ) gcgKIFHIE = => S AHKB = S AEFB. Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB. Mà S AEFB = AB . II (vì AB = EF) nên S AHKB = AB.II (3) S ABC + S ADB = '. 2 '' 2 '. 2 '. IIAB DDCC AB ABDDABCC = + =+ (4) Từ (3) và (4) Ta có: S AHKB = S ABC + S ADB . c.(0,75đ) . Trong tam giác vuông ICO co: OI 2 = )(12915 2222 cmOIOC == S AHKB = AB. II AB. IO = 30 . 12 = 360(cm 2 ) (vì IO II ) Vậy S AHKB lớn nhất bằng 360cm 2 Dap an de 6 Đáp án và biểu diểm: I/ Phần trắc nghiệm:(4đ) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp số a b c d a b c b II/ Phần tự luận ( 6 điểm) Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A = ( ) ( ) ( )( ) 3 2 23 22 623 22 222 2 224 2 + = + = + xxx x xxx x c. (0,5đ) A = 3 6 3 2 3 2 2 = + x Dấu = xảy ra x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 6 khi x = 0. Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) ab bcabca a ca b c ab cac + = + 2 1 2 1 (1) ( ) ab acabcb b cb a c ab cbc + = + 2 1 2 1 (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: ( ) ab cac + ( ) ab cbc 1 ( ) ( ) abcbccac + (đpcm) Câu3: (3đ) a.(0,75đ) Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1) =>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD) Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2). Từ (1) và (2) => CH = DK. b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có: ( ) gcgKIFHIE = => S AHKB = S AEFB. Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB. Mà S AEFB = AB . II (vì AB = EF) nên S AHKB = AB.II (3) S ABC + S ADB = '. 2 '' 2 '. 2 '. IIAB DDCC AB ABDDABCC = + =+ (4) C OIC D B H E I D K F [...]...Tõ (3) vµ (4) Ta cã: SAHKB= SABC + SADB c.(0,75®) Trong tam gi¸c vu«ng ICO co: OI2 = OC 2 − OI 2 = 15 2 − 9 2 = 12(cm) SAHKB = AB II’ ≤ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (v× IO ≥ II’ ) VËy SAHKB lín nhÊt b»ng 360cm2 . )1).(1( 1 )1).(1( z yx y xz x zy zy + ++ + ++ + ++ ++ Bài 2: Chứng minh rằng : cba c ab b ca a bc ++ ++ , với mọi a,b,c >0 Bài 3: *1. Cho tam giác ABC vuông. cã 1 +b 2 ≥ 2b ⇔ a(1 + b 2 ) ≥ 2ab 1 +c 2 ≥ 2c ⇔ b(1 + c 2 ) ≥ 2bc 1 +a 2 ≥ 2a ⇔ c(1 + a 2 ) ≥ 2ac ⇒ a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) ≥ 2ab +2 bc +2 ac