Đề thi Học sinh giỏi và Đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2005 – 2006 HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi : Anh Văn lớp 9 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) Bài 1: (4 điểm) a) Cho 0; 1a b≥ ≥ . Chứng minh ( ) 1 2 1a b a b+ + ≥ + − .Đẳng thức xảy ra khi nào? b) Tìm giá trò của x để biểu thức : A = 2 2 2 5 2 1 x x + + có giá trò lớn nhất? Tìm giá trò lớn nhất đó? ĐÁP ÁN: Câu a:(2,0 điểm) ( ) 1 2 1a b a b+ + ≥ + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 0 1 1 1 0 a a b b a b ⇔ − + + − − − + ≥ ⇔ − + − − ≥ với b ≥ 1;a ≥ 0; ( điều này luôn đúng) 1,5đ Dấu bằng xảy ra ⇔ 1 0 1 2 1 1 0 a a b b  − = =   ⇔   = − − =    0,5đ (Học sinh có thể dùng BĐT Cô- Si để c/m) Câu b:(2,0 điểm) A = 2 2 2 2 1 4 4 1 2 1 2 1 x x x + + = + + + . 0,5đ A có giá trò lớn nhất ⇔ 2 4 2 1x + lớn nhất ⇔ 2x 2 +1 nhỏ nhất 0,5đ mà 2x 2 +1 nhỏ nhất = 1 khi x=0.Vậy khi x =0 0,5đ thì A có giá trò lớn nhất và giá trò lớn nhất đó là A =1 + 4/1=5 0,5đ Bài 2: (4,0 đ) 1/ Cho A = 1+2+3+…… + 2004+2005 +2006 a/ Tính A (1,0 đ) b/ Nếu thay tổng của hai số hạng bất kỳ ( chọn trong tổng A)ø bằng hiệu của hai số hạng đó thì tổng mới của A là số lẻ hay số chẵn (1,0 đ) 2/ Chứng minh rằng số tự nhiên : A = 1.2.3………2003.2004 (1+ 1 1 1 1 + + .+ + 2 3 2003 2004 ) chia hết cho 2005 (2,0 đ) Đáp án và biểu điểm 1: a/ ( 1,0 đ) Ta có : A = 2006 (2006 1) 1003 . 2007 2 + = = 2013021 ĐỀ CHÍNH THỨC b/ ( 1,0 đ) Với hai số a, b bất kỳ thì tính chẵn lẻ của tổng và hiệu giống nhau. Ta có:  a = 2p ; b = 2q ⇒ a + b = 2( p + q) ; a – b = 2( p – q): Chẵn  a = 2p + 1 ; b = 2q + 1 ⇒ a + b = 2(p + q + 1); a – b = 2(p – q): Chẵn  a = 2p ; b = 2q + 1 ⇒ a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) – 1 :lẻ  a = 2p + 1 ; b = 2q ⇒ a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) + 1: lẻ Như vậy khi ta thay một tổng bởi hiệu của chúng thì tính chẵn lẻ của tổng A không đổi A = 2013021 là số lẻ nên tổng A mới là một số lẻ 2/ ( 2,0 đ) Ta có: C = (1+ 1 1 1 1 + + . + + 2 3 2003 2004 ) = (1+ 1 2004 ) +( 1 1 + 2 2003 ) + ……+ +( 1 1 + 1002 1003 ) = 2005 1 1 1 ( . ) 2004 2 . 2003 1002 . 1003 + + + = 2005. k ( 1,0 đ) B = 1.2.3………2003.2004 mà 1.2.3………2003.2004 1 1 1 ( . ) 2004 2 . 2003 1002 . 1003 + + + ∈ N ⇒ B . k ∈ N A = B. 2005 k M 2005 ⇒ ĐPCM ( 1,0 đ) Bài 3 : (4 đ) Cho hệ phương trình :      =+ = − + − 2 1 1 yx m x y y x 1. Giải hệ phương trình khi 2 = m 2. Tìm các giá trò của m để hệ phương trình vô nghiệm Đáp án :( 4 điểm ) 1. Khi m = 2, ta có hệ      =+ = − + − 2 2 1 1 yx x y y x . Hệ này có nghóa khi : x>1 : y>0 (0,25đđ) Đặt 0 1 〉= − t y x (3) Ta có : ( ) ( ) 010122 1 1 2 2 =−⇔=+−⇔=+⇔ ttt t t 1 =⇔ t (tho ) (0,75đđ)ả ( ) 111 1 1 1 3 =−⇔=−⇔= − ⇔= − ⇔ yxyx y x y x (0, 5đđ) Giải hệ phương trình               − = + = ⇔ =+ =− 2 12 2 12 2 1 y x yx yx ( thoả) (1) (2) Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là :        − = + = 2 12 2 12 y x (0,5đ) 2. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được 2 1 . 1 2 1 1 = − − ≥ − + − x y y x x y y x v i x>1 ; y>0 (1đ )ớ Vậy : 2 1 1 ≥ − + − x y y x (0,5đđ) . Nên m < 2 hệ phương trình đã cho vô nghiệm ( 0,5đ) Bài 4: (4 điểm) AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R) a) Chứng minh rằng: EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = 4R 2 (2 điểm) b) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD (2 điểm) HD chấm: a) Vẽ đường kính AOF suy ra góc ABF = 1 vuông ⇒ BF // CD ⇒ CB = DF p dụng đlý Pi-ta-go: EB 2 + EC 2 = BC 2 = DF 2 EA 2 + ED 2 = AD 2 ⇒ EA 2 + EB 2 + EC 2 + ED 2 = DF 2 + AD 2 = AF 2 = 4R 2 b) Ta có ∠E 3 = ∠A = ∠D ⇒ ∠D = ∠E 3 và ∠E 1 = ∠E 2 mà ∠E 3 + ∠E 2 = 1 vuông ⇒ ∠D + ∠E 1 = 1 vuông ⇒ ĐPCM Bài 5 (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M(C và D là các tiếp điểm khác H). a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi. c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi. Giải (0,5 điểm). Hình vẽ đúng. a) (1,5 điểm). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : 00 18090.2 ˆ 2) ˆˆ (2 ˆˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ===+=+⇒ = = BMAAMHBMHCMHDMH AMHCMH BMHDMH ⇒ C, M, D thẳng hàng. Hình thang ABDC có O là trung điểm của AB, M là trung điểm của CD nên OM là đường trung bình, suy ra OM // AC, mà AC ⊥ CD nên OM ⊥ CD. Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) (1 điểm). AC + BD = AH + BH = AB không đổi. c) (1 điểm). OM là đường trung bình của hình thang ACDB nên OM // BD, suy ra OM ⊥ CD MOI ∆ vuông tại M, MH ⊥ OI ⇒ OH.OI = OM 2 không đổi (vì OM bằng bán kính của đường tròn tâm O). A C M D O H B I . PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2005 – 2006 HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi : Anh Văn lớp 9 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) Bài 1: (4 điểm). 2004 ) chia hết cho 2005 (2,0 đ) Đáp án và biểu điểm 1: a/ ( 1,0 đ) Ta có : A = 2006 (2006 1) 1003 . 2007 2 + = = 2013021 ĐỀ CHÍNH THỨC b/ ( 1,0 đ) Với