BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 4)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm : 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A= 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 3x + x x +1 x +2 + + với x ≥ 0; x ≠ x+ x −2 x + 1− x Tìm giá trị lớn P giá trị x tương ứng Câu ( điểm) a) Cho phương trình x2 – 2mx + m - =0 ( m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai b) Cho biểu thức P = nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x13 + x23 = 26m 3 8x y + 27 = 18 y b) Giải hệ phương trình:  2  4x y + 6x = y Câu ( điểm) a)Tìm tất số ngun dương n cho A= (n.4n + 3n ) M7 b) Cho a, b, c số thực dương, chứng minh bất đẳng thức a b3 c + + ≥ a + b2 + c2 b c a Câu ( điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt tai A B Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác A Qua M tiếp tuyến MC MD với đường tròn (O’)( C D tiếp điểm, C nằm ngồi (O)) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) P khác A, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) Q khác A Đường thẳng CD cắt PQ K Chứng minh: Tam giác BCD tam giác BPQ đồng dạng Đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP ln qua điểm cố định M thay đổi K trung điểm PQ Câu ( điểm) Cho A số ngun dương Biết ba mệnh đề sau P, Q, R có mệnh đề sai Tìm A? P = “ A + 51 bình phương số tự nhiên” Q = “ A có chữ số tận 1” R = “ A- 38 bình phương số tự nhiên” Hết -Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN :TỐN Thời gian làm : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Đáp án Điểm a) (1 điểm) 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 (2 điểm) = 2( − 1) + 6( − 1) − 2 2( − 1) 0.25 điểm = + 3 −1 2 0.25 điểm = + 3 −1 = + −1 2 0.25 điểm 0.25 điểm = b (1 điểm) Với x ≥ 0; x ≠ P= ⇔ P= 3x + x x +1 x +2 + + x+ x −2 x + 1− x 3x + x x2 −1 ( x + 2) + − ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) ⇔P= x + x −3 ( x + 2)( x − 1) x +3 x +2 ⇔ P = 1+ x +2 ⇔P= 0.5 điểm 1 ≤ x +2 1 ⇒ P = 1+ ≤ 1+ ⇒ P ≤ 2 x +2 Vậy GTLN P = x=0 a (1 điểm) 0.5 điểm Do x +2≥2⇒ Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 15 / Ta có: ∆ = m − m + = (m − ) + > ∀m (*) Vậy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với m Mặt khác ta phải có  x1 + x2 = 2m  x1 + x2 = 2m    x1.x2 = m − ⇔  x1.x2 = m −   3  x1 + x2 = 26m ( x1 + x2 ) − x1.x2 ( x1 + x2 ) = 26m (1 điểm) ⇔ 8m3 − 6m(m − 4) = 26m ⇔ 2m(m − 1)(4m + 1) = −1 ⇔ m = 0; m = 1; m = b (1 điểm) y =0 khơng nghiệm hệ chia vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2  27 8 x + y = 18  Ta có hệ   x + x =  y y2 2 x = a a + b = 18 a + b =  ⇔ Đặt  ta có hệ   a b + ab = ab = y =b   3−  3+   ; ;( x , y ) = ; Hệ có nghiệm ( x1 , y1 ) =  ÷  ÷ 2  3+ ÷ 3− ÷     a (1 điểm) Với n chẵn n=2k (2 điểm) A = 2k 42 k + 32k = (2k + 1).42 k + (16k − 9k ) M7 ⇒ k + 1M7 7t − ⇒k= ⇒ n = 14t − = 14m + ( m ∈ N ) Với n lẻ n=2k+1 A = (2k + 1).4 k +1 k +1 +3 = 2k k +1 + (4 k +1 +3 k +1 ) M7 ⇒ 2k M7 ⇒ k = 7t ⇒ n = 14m + 1( m ∈ N ) Vậy n = 14m + n = 14m + ( với n ∈ N ) A chia hết cho b.(1 điểm) Trang 0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương a3 ab có: b a3 a3 + ab ≥ ab = 2a b b b3 b3 c3 c3 + bc ≥ bc = 2b ; + ca ≥ ac = 2c c c a a Cộng vế với vế, ta được: a b3 c + + + ( ab + bc + ac ) ≥ ( a + b + c ) ( 1) b c a Tương tự: Theo Cơ- si: a + b2 b2 + c c2 + a ≥ ab; ≥ bc; ≥ ca 2 ⇒ a + b2 + c ≥ ab + bc + ca ( ) (0 25 điểm) (0 25 điểm) (0 25 điểm) Cộng vế với vế (1) (2) được: (0 25 điểm) a b3 c + + + ( ab + bc + ac ) + ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ac ) b c a a b3 c3 ⇔ + + ≥ a + b + c (đpcm) b c a Hình vẽ (3 điểm) 1.(1 điểm) · · (hai góc nội tiếp (O) chắn cung BQ) BPQ = BAQ · · (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung BD) BAD = BCD · · ⇒ BPQ = BCD · · ( tứ giác ABQP nội tiếp (O)) BQP = BAQ · · (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung CB) BAC = BDC · · ⇒ BQP = BDC Vậy tam giác BCD tam giác BPQ đồng dạng Trang 0.5 điểm 0.5 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) (1 điểm) · · · · Vì BCD = BPQ ⇒ BPK = BCK ⇒ Tứ giác BCPK nội tiếp Hay đường tròn ngoại tiếp tam giác CPK ln qua điểm cố định B (1 điểm) Tứ giác BCPK nội tiếp KQ CA · · · · ⇒ BCA = BKQ ; ⇒ CAB = KOB ⇒ ∆BAC : ∆BKQ ⇒ = ( 1) BK CB (1 điểm) CA MA ∆MCA : ∆MBC ⇒ = ( 2) CB MC KP AD ∆ABD : ∆PBK ⇒ = ( 3) BK BD AD MA ∆MAD : ∆MDB ⇒ = ( 4) BD MD Mà MD = MC( tính chất tiếp tuyến) Suy KP = KQ Nếu mệnh đề Q => A+51 tận => P mệnh đề sai Khi A – 38 tận => R khơng bình phương số tự nhiên => R mệnh đề sai Vậy Q mệnh đề sai P, Q hai mệnh đề A + 51 = x (x ∈ N) A − 38 = y (y ∈ N) Ta có ⇒ x − y = 89 ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = 1.89  x − y =1 ⇔ ⇒ x = 45  x + y = 89 ⇒ A + 51 = 452 ⇒ A = 1974 Hết Trang 0.5 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Bài (2,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị x: A= x − ( x + 6) x − 3 − − 2( x − x + 3)(2 − x ) − x + 10 x − 12 x − x − Điều kiện x ≥ , x ≠ 4; x ≠ ; x ≠ 2) Rút gọn biểu thức: B = 2+ + 2+ + 2− − 2− Bài (2,0 điểm) 1) Cho phương trình : 3a + a − 2a(a − 1) ( a tham số) − = a+x a−x x − a2 a) Giải phương trình b) Tìm giá trị ngun dương a để phương trình có nghiệm x số ngun tố 3  x − y − z = 3xyz 2) Tìm nghiệm ngun dương hệ phương trình sau:   x = 2(y + z) Bài (2,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho :  abc = n - Với n ∈ Z ; n >2  cba = (n − 2) 2) Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : 52 ≤ 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 Bài (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a N điểm cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Trên tia đối tia BA lấy điểm F cho BF = DE Gọi M trung điểm EF 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM 2) Xác định vị trí điểm N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vng ABCD Bài (1,0 điểm) Có hay không 2003 điểm mặt phẳng mà điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù ………… Hết………… Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: • Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa ứng với điểm câu biểu điểm • Điểm thi tổng điểm câu làm khơng làm tròn Bài Câu Đáp án A= 1) 6x − (x + 6) x − 3 − − 2(x − x + 3)(2 − x ) − 2x + 10 x − 12 x − x − 6x − (x + 6) x − 3 A= − − 2(2 − x )( x − 3)( x − 1) 2( x − 3)(2 − x) (2 − x )( x − 1) (2đ) 1điể m 1điểm Do x 0,25 ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ A= x − ( x + 6) x − − 3( x − 1) − 2( x − 3) 2( x − 1)( x − 3)(2 − x ) A = 6x − x x − x − − x + − x + 2( x − 1)( x − 3)(2 − x ) A = (2 x − x ) − 2( x − 3) − x( x − 3) + x ( x − 3) 2( x − 1)( x − 3)(2 − x ) A = 2) Điểm ( x − 1)( x − 3)(2 − x ) 2( x − 1)( x − 3)(2 − x) = 0,25 0,25 => ĐPCM B 2+ 2− 2+ 2− = + = + + 3− 2+ 4+2 2− 4−2 B (2 + 3)(3 − 3) + (3 + 3)(2 − 3) + + − = = (3 + 3)(3 − 3) B =1 ⇒ B = 2 3a + a − 2a(a − 1) (1) − = a+x a−x x − a2 0,25 0,25 0,5 0,25 ĐKXĐ : x ≠ ± a (2 đ) 1a) 0,5 điểm Biến đổi đưa phương trình dạng : 2ax = a2 (a +1) Với a = phương trình có dạng : 0x = Phương trình (1) có vơ số nghiệm với x ≠ Trang 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Với a ≠ ta có x = Bài Câu a(a + 1) Đáp án Điểm a(a + 1) nghiệm phương trình (1) : a(a + 1) a(a + 1) ≠ a ≠ - a (3) (2) 2 Giải(2) ta a ≠ 1, a ≠ Giải (3) ta có: a ≠ , a ≠ -3 Vậy : a = phương trình có vơ số nghiệm x ≠ Để x = 0,25 a = - ; a= phương trình vơ nghiệm a ≠ 1; a ≠ -3 a ≠ phương trình có nghiệm x= 1b) 0,5 điểm 2) điểm a(a + 1) Theo câu a: Với a = phương trình có vơ số nghiệm x ≠ (loại a >0) Với a ≠ 1; a ≠ -3 a ≠ phương trình có nghiệm x= a(a + 1) 0,25 Vì a số ngun dương a ≠ 1nên: Nếu a = x = , số ngun tố (thỏa mãn) Nếu a > a = 2k a = 2k + với k ∈ N, k > Xét a = 2k x = k(2k + 1) tích hai số tự nhiên lớn nên x hợp số (loại) Xét a = 2k +1 x = (2k +1)(k+1) tích hai số tự nhiên lớn nên x hợp số ( loại) Vậy a =2 nghiệm phương trình x = số ngun tố  x − y3 − z = 3xyz   x = 2(y + z) 0,25 (1) (2) Vì x, y, z > nên xyz > Kết hợp với phương trình (1) => x3 > y3; x3 > z3.=> x > y, x > z Do 2x > y + z hay 4x > 2( y+z) kết hợp với (2) ta có : x2 < 4x x M2 => x < x M2 mà x ∈ N* nên x =2  y3 + z = − 6yz Thay x =2 vào hệ phương trình ta được:  y + z = z =1 (vì x, y ngun dương) Vậy nghiệm ngun dương hệ phương trình là: (x;y;z) = (2;1;1) Trang 0,25 0,25 => y = 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Bài Câu 1) 1điểm Ta có : abc cba Đáp án = 100a + 10b + c = n2 - = 100c + 10b + a = (n - 2)2 Điểm 0,25 ⇒ 99(a - c) = n2 - - n2 + 4n - = 4n - 0,25 ⇒ 4n -  99 ( a - c số ngun) Lại có : 100 ≤ n2 - ≤ 999 ⇒ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31 ⇒ 39 ≤ 4n - ≤ 119 3) Vì 4n -  99 nên 4n - = 99  n = 26 0,25 ⇒ abc = 675 (2 đ) 0,25 Gọi p nửa chu vi tam giác ABC ta có : p-a= 2) điểm a+b+c b + c-a > - a = 2 Tương tự p - b > ; p - c > Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si cho số dương p -a; p -b; p -c ta có: (p –a) +(p - b) + (p –c) 0,25 ≥ 3 (p − a)(p − b)(p − c)  3p - (a + b + c)  => < (p-a)(p-b)(p-c) ≤     Vì a + b + c = nên bất đẳng thức trở thành : < p3 - p2(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) - abc ≤ 0,25 < 33 - 32.6 + 3(ab + bc + ca) - abc ≤ (a + b + c) - (a + b + c ) - abc ≤ 36 - (a + b + c ) ⇔ 27 < - abc ≤ 28 ⇔ < 27 - 54 + ⇔ 54 < 108 - 3(a2 + b2 + c2) - 2abc ≤ 56 ⇔ - 54 < - 3(a2 + b2 + c2) - 2abc ≤ -52 ⇔ 52 ≤ 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 ( ĐPCM ) Dấu " = " xảy ⇔ a = b = c = Chứng minh ∆ BCF = ∆ DCE (c.g.c) Trang 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) · ·  CF = CE v DCE Mà = BCF · · · · · DCE + ECB = 900 ⇒ BCF + ECB = 900 => ECF = 900  ∆ ECF vng cân C Có M trung điểm EF nên CM đường trung tuyến vừa đường cao, phân giác, trung trực (3đ) 1) Bài Câu Đáp án 0,25 Điểm E M B A N x F 1) 1,5 điểm D C · · => ECM = 450 , mà ACB = 450 ( ABCD hình vng) 0,5 · ACE = ·BCM (1) Mặt khác theo tính chất đường trung tuyến tam giác vng ta có: MA = MC ( = EF ) => M ∈ trung trực AC mà BD trung trực đoạn thẳng AC =>M, B, D thẳng hàng 0,25 0,25 · · => MBC = EAC = 1350 (2) Từ (1) (2) => ∆ ACE ∽ ∆ BCM (g.g) Đặt BN =x => AN = a –x SACFE = SACE + SECF = 2) 1,5 điểm Tính AE: Có ⇒ 1 CD.AE + CE 2 0,25 AE AN = ( AN// DC) ED DC AE a−x a(a − x) = ⇔ AE = AE + AD a x a4 Ta có: CE = CD + DE = a + (a + AE) = a + x 2 2 Trang 10 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) a) Cho phương trình x2 – 6x –m =0 ( m tam số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12 − x22 = 12    2 x 1 + ÷=   x+ y b) Giải hệ phương trình:   y 1 −  =  ÷   x+ y  Câu (2 điểm) a) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a 2+a=3b2+b Chứng minh 2a+2b+ số phương b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 + b2 + c2 + a Câu (3 điểm) Cho ba đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) ( O ) (kí hiệu ( X ) đường tròn có tâm điểm X) Giả sử ( O1 ) , ( O2 ) tiếp xúc ngồi với điểm I ( O1 ) , ( O2 ) tiếp xúc với ( O ) M , M Tiếp tuyến đường tròn ( O1 ) điểm I cắt đường tròn ( O ) điểm A, A ' Đường thẳng AM cắt lại đường tròn ( O1 ) điểm N1 , đường thẳng AM cắt lại đường tròn ( O2 ) điểm N Chứng minh tứ giác M N1 N M nội tiếp đường thẳng OA vng góc với đường thẳng N1 N Kẻ đường kính PQ đường tròn ( O ) cho PQ vng góc với AI (điểm P nằm AM khơng chứa điểm M ) Chứng minh PM , QM khơng song song cung ¼ đường thẳng AI , PM QM đồng quy Câu (1 điểm) Tất điểm mặt phẳng tơ màu, điểm tơ màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu Hết Trang 12 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN:TỐN HỌC Câu Đáp án Điểm .(1 điểm) A= 4+2 + 4−2 3 + + −1 = = 2 điểm (1 điểm) x + x x −1 x2 − x x + x −1 B= + + x x− x x−x x điểm x +1 x + x +1 −x + x −1 ⇔B= + + x x x x +1 ⇔B= +2 x Do x > 0; x ≠ Suy x + > x x +1 x ⇒B= +2> +2 x x ⇔B>4 (2 điểm) 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 1 điểm Để phương trình có nghiệm ∆/ ≥ ⇔ m ≥ −9 (*) 0,5 điểm Mặt khác ta phải có  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 =     x1 x = − m ⇔  x1 x = −m ⇔  x1 x = −m ⇔ m = −8 TM ĐK (*)   x = 2   x1 − x2 = 12  x1 − x2 = 0,5 điểm (1 điểm) Giải hệ phương trình    2 x 1 + ÷=   x+ y   y 1 −  =  ÷   x+ y  ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ Với x=0, y=0 khơng nghiệm hệ phương trình Với x ≠ 0, y ≠ 0, ta có: Trang 13 0,25điểm 0,25điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 1    2= + + = x (1 + ) =    x y x+ y   x+ y x  ⇔ ⇒   y (1 − ) = 1 − =  = −   x + y y  x + y x y x+ y ⇒ = − ⇒ x + xy − y = ⇒ ( x − y )( x + y ) = x + y 4x y + ⇒2= ⇒ x = 1(tm x ≠ 0) Với x=y, ta có = x x x (x,y)=(1 ;1) nghiệm hệ *)Vì x ≥ 0; y ≥ nên x = -9y ( loại) Vậy hệ cho có nghiệm (x,y) = (1;1) 0,25điểm 0,25điểm a.(1 điểm) 2a + a = 3b + b ⇔ ( a − b ) (2a + 2b + 1) = b (*) 0,25điểm ( a − b ) Md ⇒ ( a − b ) ( 2a + 2b + 1) Md ⇒ b Md ⇒ b Md a + b + M d ( )  Mà ( a − b ) Md ⇒ a Md ⇒ ( 2a + 2b ) Md ( 2a + 2b + 1) Md ⇒ 1Md ⇒ d = 0,25điểm * Gọi d ước chung (a-b, 2a+2b+1) ( d ∈ N )  Thì  0,25điểm Do (a-b, 2a+2b+1) = Từ (*) ta a - b 2a +2b +1 số phương Suy 2a +2b +1 số phương 0,25điểm b.(1 điểm) Vì a,b,c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy , ta có: + b ≥ 2b nên (2 điểm) b ( a + 1) b ( a + 1) a +1 ab + b = ( a + 1) − ≥ ( a + 1) − = ( a + 1) − 2 1+ b 1+ b 2b a +1 ab + b ⇔ ≥ ( a + 1) − ( 1) 1+ b 0,25điểm Tương tự ta có: b +1 bc + c ≥ ( b + 1) − ( 2) 1+ c c +1 ca + a ≥ ( c + 1) − ( 3) 1+ a Cộng vế với vế (1),(2),(3) ta được: a + 1az b + c + a + b + c − ab − bc − ac + + ≥ 3+ ( *) 2 1+ b 1+ c 1+ a a + b + c − ab − bc − ac ≥0 Mặt khác: ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) = ⇒ a +1 b +1 c +1 + + ≥ ( dpcm ) Do ( *) ⇔ + b2 + c + a Dấu “=” xảy a=b=c=1 Hình vẽ Trang 14 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) P A N1 O M1 O1 I O2 A' N2 Q M2 S (2 điểm) +) Ta có AM AN1 = AM AN = AI ⇒ ∆AN1 N đồng dạng với (3 điểm) 0,5 điểm ∆AM M · N N + ·AM M = 1800 hay tứ giác 0,5 điểm suy ·AN1 N = ·AM M ⇒ M 1 2 M N1 N M nội tiếp 0,5 điểm +) Ta có ·AN1 N = ·AM M = ·AOM tam giác AOM cân O nên · · AO = 180 − AOM M · AO = 900 ⇒ OA ⊥ N N 0,5 điểm Do ta ·AN1 N + M 1 2 (1 điểm) Gọi S giao điểm PM QM Ta có O, O2 , M thẳng hàng O2 I song song với OP · M = POM · O2 IM cân O2 , tam giác ⇒ IO 2 (1) Mặt khác tam giác · IM = OPM · OPM cân O kết hợp với (1) ta O 2 suy P, I , M thẳng hàng Tương tự ta có Q, I , M thẳng hàng · Q = PM · Q = 900 Do PQ đường kính đường tròn ( O ) suy PM ⇒ I trực tâm tam giác SPQ suy AI qua S hay ba đường thẳng AI , PM , QM đồng quy (1 điểm) (1 điểm) Trang 15 0,5 điểm 0,5 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác 0,5 điểm ln tạo thành tam giác cân Do tơ đỉnh A, B, C, D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tơ đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tơ đỉnh A, B, C, D, E nhiều màu có 0,5 điểm đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, trường hợp ln tồn tam giác cân, có đỉnh tơ màu đơi khác màu Hết ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm câu, trang) Câu (2điểm) 1.1 Cho biểu thức :  x +1   xy + x xy + x x +1  A= + + 1÷: 1 − − ÷  xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷     a) Rút gọn A b) Biết 1 + = , Tìm giá trị lớn A x y 1.2 Tính giá trị biểu thức P P = x 2013 + x 2011 + 2006 với x = + 2 − + + 18 − − Câu (2 điểm) 2.1 Cho phương trình :y2 +my + p = có hai nghiệm y1, y2 Xác định m p để 1 + y1 nghiệm phương trình + y2 5 x + y + xy = 26 2.2 Giải hệ phương trình  3x + (2 x + y )( x − y ) = 11 Câu (2 điểm) 3.1 Tìm tất số ngun tố p có dạng p = a 2+b2 +c2 với a; b; c số ngun dương cho a4 + b4 +c4 chia hết cho p Trang 16 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 3.2 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3 + 3a + 3b + 3c + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + b2 1+ c2 + a2 Câu ( điểm) Cho điểm A , B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi ln qua B C (O khơng thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (1 điểm) Mỗi vng đơn vị bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) ghi số ngun dương khơng vượt q 10 Hai số ghi hai chung cạnh hai chung đỉnh bảng hai số trùng Chứng minh có số ghi 17 lần -HẾT - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 4) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN: TỐN Câu Đáp án Điểm 1.1 a) Câu  (2 điểm) A =     xy + x xy + x x +1 x +1  + + 1÷:  − − ÷ ÷ xy − xy + ÷  xy + 1 − xy    Điều kiện xác định : x > 0; y>0; xy ≠ Rút gọn P = xy 0,5 đ b) Áp dụng BĐT Cơ Si cho hai số dương , ta có 1 + ≥2 x y 1 =2 x y = A => A ≤ xy Suy A ≤ dấu “=” xảy x = y =1/9 Trang 17 0,5đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 1.2 x = + 2 − + + 18 − − Có 18 − = ( − ) = − = − 2 + + − = + = ( + 1) = +1 x = + 2 − − − = + 2 − − = + − − x = + ( − 1) − = + − − = + − x = ( + 1) − = +1 − = +1− = 0,75đ Với x = 1.Ta có P = 3.12013 + 5.12011 + 2006 = + + 2006 = 2014 Vậy với x = P = 2014 0,25đ Câu 2.1 y2 + my + p = (2 điểm) Phương trình (*) có hai nghiệm ⇔ m2 – 4p ≥ ⇔ m2 ≥ 4p Giả sử y1, y2 hai nghiệm phương trình y1+ y2 = - m; y1.y2 = p ⇒ + ( y1 + y2 ) 1 2−m + = = + y1 + y2 + ( y1 + y2 ) + y1 y2 p − m + ⇒ 1 = + y1 + y2 p − m + Do 1 nghiệm phương trình (*) nên + y1 + y2  = −m (1)   p − m +1   = p (2)   p − m +1 0,25đ 0,5đ Từ (1) (2) suy : p(2 – m) = - m (3) Nếu m = ⇒p.0 = -2 ( vơ lý) Nếu m ≠ ⇒ p = m : (m – 2), thay vào (2) ta được:  m  m − m + 1÷ = ⇔ − m ( m − 4m + ) = ( m − )  m−2 m−2 m = ⇔ ( m − 1) ( m − 2m − ) = ⇔  m = ± Trang 18 0,25đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Thử lại - Với m = p = - thỏa mãn điều kiện m ≥ 4p - Với m = ± thỏa mãn điều kiện m ≥ 4p  a + b = 26 2.2 Đặt 2x + y =a; x – y=b biểu diễn hệ   a + b + ab = 11   a + b = −8   ab = 19 tìm  a + b =    ab = Giải hệ cuối tìm được(x;y) ∈ { (2;1);(2; −3)} 3.1 Vai trò a; b; c bình đẳng giả sử a ≤ b ≤ c Câu (2 điểm) P= a2+b2+c2 nên (a4+b4+c4+ 2a2b2+2b2c2 +2c2a2 ) Mp Suy 2a2b2+2b2c2 +2c2a2 Mp a,b,c ngun dương nên p ≥ (2;3)=1vậy a2b2 +b2c2+c2a2 Mp Suy (a2b2 + c2p – c4) Mp suy (ab – c2) (ab+c2) Mp ab < 2ab ≤ a2+ b2 nên 1 a (b − 1) Xét a – x = ≥0 b +1 Ta có a + x > a – x ≥ ⇒ a + x − a − x ≠ Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định Rút gọn: Điểm (1) (2) (3) a 2ab a ( b + 1) ⇒ a + x = (b + 1) = 2 b +1 b +1 b +1 a 2ab a (b − 1) ⇒ a − x = b −1 a - x =a − = b +1 b +1 b +1 a a (b + 1) + b −1 b +1 b +1 + = b +1+ b −1 + ⇒ P= 3b b + − b − 3b a a (b + 1) − b −1 + b +1 b  Nếu < b < ⇒ P = + = 2b 3b 3b ⇒ P = b + = 3b +  Nếu b ≥ 3b 3b 0,25đ Ta có: a + x = a + Câu (2 điểm) 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 1.2 Xét trường hợp: 4 ⇒ P> 3b  b  2b = + +  Nếu b ≥ , a dương tuỳ ý P = b + 3b  3b  b ≥ , dấu xảy b = Ta có: + 3b 2b ≥ , dấu xảy b = Mặt khác: 3 2 Vậy P ≥ + = , dấu xảy b = 3 KL: Giá trị nhỏ P =  Nếu < b < 1, a dương tuỳ ý P = Trang 23 0,25đ 0,75đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Câu 2.1 x2 – 2mx +2m2 – = (1) ( m tham số) (2 điểm)  m2 − ( 2m − 1) >  a) Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  2m >  2m − >  ⇔ < m ⇔ m <  x1 + x2 = 2m Áp dụng định lí Vi-et ta có ⇔   x1 x2 = 2m − x13 + x 32 − x12 − x 22 = −2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) − ( x1 + x2 ) + x1 x2 = −2 ⇔ m ( 2m − 3) = ⇔ m = 2.2 Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy 6xy – 15x = 20y2 – 150 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25 (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25 = 1.25 = (-1).(-25) = 5.5 = (-5).(-5) Xét trường hợp sau: 2 y − =  x = 10 2 y − = 25  x = 58 +)  ⇔ +)  ⇔ 10 y + 25 − 3x = 25  y = 10 y + 25 − 3x =  y = 15 70   x = −10 2 y − = −1 2 y − = −25 x =  +)  ⇔ ⇔ +)  −74 10 y + 25 − x = −25 10 y + 25 − x = −1  y =  y =   70  2 y − = 2 y − = −5  x = 10 x = +)  ⇔ ⇔ +)  10 y + 25 − 3x = 10 y + 25 − 3x = −5  y =  y = Vậy (x,y)=(10;3)hoặc (x,y)=(10;0) hoặc(x,y)=(58;15) Câu 3.1 (2 điểm) Xét n > => A = 29 + 213 + 2n = 29 (1 + 24 + 2n – 9) Vì + 24 + 2n – số lẻ nên A khơng số phương Xét n = => A = 29 + 213 + 29 = 29 (1 + 24 + 1) =962 số phương Xét n < => A = 29 + 213 + 2n = 2n (2 9– n + 213 – n + 1) Vì 9– n + 213 – n + số lẻ A số phương nên 2n số phương nên n số chẵn, n ∈ N* => n ∈{2; 4; 6; 8} Thay n = 2; 4; 6; A khơng số phương Vậy với n = A số phương 3.2 Trang 24 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Học sinh phát biểu CM bất đẳng thức phụ sau: - Với x; y số thực dương ta có: 11 1 ≤  + ÷ (1) Đẳng thức 0,25đ x+ y 4 x y  xẩy x = y Thật vậy: Vì x; y số thực dương theo BĐT Cơsi ta có 0,25đ 11 1 1 1 ≤  + ÷ =4⇒ ( x + y )  + ÷ ≥ xy x+ y 4 x y xy x y - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab  1  ’ = ≤  + ÷ (1 ) c +1 ( c + a) + ( c + b) c +a c +b  Tương tự 0,25đ bc bc  1  ’ ca ca  1  ’ ≤  + ≤  + ÷(2 ); ÷ (3 ) a +1  a + b a + c  b +1  b + a b + c  Cộng vế với vế ba đẳng thức ta được: ab bc ca  ab + ca ab + cb cb + ca  a + b + c + + ≤  + + = ÷= c +1 a +1 b +1  b + c c+a a+b  4 Đẳng thức xẩy a = b = c = 0,25đ B D I O C Câu (3 điểm) H E P A F Q a) Ta có ∆ BEF vng B; có BA ⊥ EF ⇒ BA đường cao ∆ BEF nên AB2 = AE AF AE AB AE AB AE AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ AB AF 1 OA AQ (1) AB AF 2 Mặt khác tam giác AEO tam giác ABQ vng đỉnh A (2) Từ (1) (2), Suy ∆ AEO : ∆ ABQ(c.g.c) Trang 25 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) b) BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA Nối PH cắt BQ I 0,25 đ Do ∆ AEO : ∆ ABQ (câu a) Suy ·ABQ = ·AEO · Lại có ·ABQ = IPQ (góc có cạnh tương ứng vng góc) · nên ·AEO = IPQ , mà hai góc vị trí đồng vị => PH //OE Trong ∆ AEO có PE = PA (giả thiết); PH//OE suy HO = HA hay H trung điểm OA c)Ta có S BPQ = AB.PQ R = R.PQ = R ( AP + AQ ) = ( AE + AF) 2 Áp dụng BĐT Cơ si, ta được: R R ( AE+AF) ≥ AE.AF = R AB = R R = 2R 2 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Do GTLN S BPQ = 2R ⇔ AE = AF ⇔ ∆ BEF vng cân B ⇔ ∆ BCD vng cân B ⇔ AB ⊥ CD Câu (1 điểm) Vậy SBPQ đạt giá trị nhỏ 2R2 AB ⊥ CD Ta chia nhà thành kích thước 1x1 tơ đen dòng lẻ cột lẻ Ta thấy viên gạch 1x4 chiếm vng nhà chứa số chẵn các đen 2x2 nhà chứa đen Lúc đầu tất gạch lát kín nhà nên số viên gạch 2x2 có tính chẵn lẻ với đen Vì số viên gạch 2x2 bớt đơn vị, tức tính chẵn lẻ bị thay đổi, khác tính chẵn lẻ với đen Do nhà khơng lát kín Lưu ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Trang 26 0,25 đ 0,5đ 0,5đ [...]... khơng thể lát được bởi các viên gạch ấy -HẾT - Trang 22 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 5) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MƠN:TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án 1.1.Ta có: a; b; x > 0 ⇒ a + x > 0 a (b − 1) 2 Xét a – x = 2 ≥0 b +1 Ta có a + x > a – x ≥ 0 ⇒ a + x − a − x ≠ 0 Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định... phẳng đều được tơ màu, mỗi điểm được tơ bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đơi một khác màu Hết Trang 12 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MƠN:TỐN HỌC... 2x2 có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó có ít nhất 50 số còn lại khơng chia hết cho 2, cũng khơng chia hết cho 3, vì vậy chúng phải là một 0,5đ trong các số 1; 5; 7 Theo ngun lý Đich-Le có một số xuất hiện ít nhất 17 lần Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Trang 21 0,5đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI. .. ≠ 0, y ≠ 0, ta có: Trang 13 0,25điểm 0,25điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 3 1 1 3  1   2= + 1 + = 2 x (1 + ) = 3    2 x 2 y x+ y   x+ y 2 x  ⇔ ⇒   2 y (1 − 1 ) = 1 1 − 1 = 1  2 = 3 − 1   x + y 2 y  x + y 2 x 2 y x+ y 4 9 1 ⇒ = − ⇒ x 2 + 8 xy − 9 y 2 = 0 ⇒ ( x − y )( x + 9 y ) = 0 x + y 4x 4 y 3 1 2 + ⇒2= ⇒ x = 1(tm x ≠ 0) Với x=y, ta có 2 = 2 x 2 x... AI Ta có A, B, C cố định nên I cố định ⇒ AK cố định Nên Mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB ⇒ K cố định Trang 20 0,5đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) · Ta có PMQ = 90 0 ME MH = MQ DQ ∽ MP MH MH = = ∆PMH ∆MQH ⇒ MQ QH 2 DQ MP 1 ME ⇒ = MQ 2 MQ ⇒ ME = 2 MP ⇒ P là trung điểm ME Trên hình vng con kích thước 2x2 có khơng q 1 số chia hết cho 2, có ∆MHE... Vậy với n = 9 thì A là số chính phương 3.2 Trang 24 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau: - Với x; y là các số thực dương bất kỳ ta có: 1 11 1 ≤  + ÷ (1) Đẳng thức 0,25đ x+ y 4 x y  xẩy ra khi và chỉ khi x = y Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Cơsi ta có 0,25đ 1... định : x > 0; y>0; xy ≠ 1 Rút gọn được P = 1 xy 0,5 đ b) Áp dụng BĐT Cơ Si cho hai số dương , ta có 1 1 + ≥2 x y 1 1 =2 x y 1 = 2 A => A ≤ 3 xy Suy được A ≤ 9 dấu “=” xảy ra khi x = y =1 /9 Trang 17 0,5đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 1.2 x = 6 + 2 2 3 − 2 + 2 3 + 18 − 8 2 − 3 Có 18 − 8 2 = ( 4 − 2 ) 2 = 4 − 2 = 4 − 2 2 + 2 3 + 4 − 2 = 2 3 + 4 = ( 3 + 1) 2 = 3 +1 x = 6 +... 2 suy ra P, I , M 2 thẳng hàng Tương tự ta có Q, I , M 1 thẳng hàng · Q = PM · Q = 90 0 Do PQ là đường kính của đường tròn ( O ) suy ra PM 1 2 ⇒ I là trực tâm của tam giác SPQ suy ra AI đi qua S hay ba đường thẳng AI , PM 1 , QM 2 đồng quy (1 điểm) 5 (1 điểm) Trang 15 0,5 điểm 0,5 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ... 0,25đ 0,75đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 9 CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Câu 2 2.1 x2 – 2mx +2m2 – 1 = 0 (1) ( m là tham số) (2 điểm)  m2 − ( 2m 2 − 1) > 0  a) Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  2m > 0  2m 2 − 1 > 0  ⇔ 2 < m ... BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 5) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MƠN:TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án 1.1.Ta có: ... điểm) Có hay không 2003 điểm mặt phẳng mà điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù ………… Hết………… Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH... cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đơi khác màu Hết Trang 12 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CĨ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ