Tìm tất cả các giá trị m để d3 cắt cả hai tia AB và AC.. 1,0đ Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đờng tròn o và D là diểm nằm trên cung BC không chứa điểm A.. Trên tia AD lấy đ
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh hoá
Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lam sơn (35)
Năm học : 2006-2007
Môn thi: Toán - (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1 (1,0đ).Rút gọn biểu thức:
A=
n m
mn n
m n m
n m
Câu 2.(0,5đ) Rút gọn biểu thức:
1
2 4
3
x x x
x x x
Câu 3 (1,0đ).Cho phơng trình: x2 - 2(m+1)x + m – 4 = 0
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình
C/m rằng:A =x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m
Câu 4 (1,0đ) Tìm a để hệ sau vô nghiệm:
3 2 3 1
a ay ax ay x
Câu 5.(1,,0đ) Giải hệ phơng trình:
2 3 2
x
xy y x
Câu 6 (1,5đ).Cho các đờng thẳng (d1) : y=2x+2;
(d2) : y=-x+2;
(d3) : y=mx (m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị m để d3 cắt cả hai tia AB và AC Trong đó A,B,C lần
l-ợt là giao điểm của d1với d2;d1với ox; của d2 với ox
Câu 7 ( 1,0đ )
Chứng minh rằng ( n3 + 17n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Câu 8 ( 1,0đ )
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đờng tròn ( o ) và D là diểm nằm
trên cung BC không chứa điểm A Trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC
Chứng minh tam giác ABE bằng tam giác CBD
Câu 9 ( 1,0 đ )
Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC giả sử góc BPC
bằng 1350 Chứng minh rằng 2PB2 + PC2 = PA2
Câu 10.( 1,0 đ )
Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD ( Tức là hình chóp có đáy ABCD là
hình vuông và chân đờng cao trùng với tâm của đáy ) Tính diện tích xung
quanh và thể tích hình chóp biết rằng SA = AB = a
Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trờng THPT Thọ Xuân 4
Hớng dẫn chấm thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn
Năm học 2006-2007
1
Ta có
n m n
m
n m n
m
mn n
m n
m
mn n
m
n m n
m
n m n m n
m
n m n m
n m
2 2
2
2 2
) (
2 2
)(
(
Vậy A = m n m n 2 ( m n)
0,5đ
0,25đ 0,25đ
2
1
2 4
3
x x x
x x x
Trang 2= (x2 – 5x - 1) + 5 1
1
x
=
1
1
x
0,5đ
3
0 4
19 2
1 5
) 4 ( ) 1 (
2 2
2 '
nêm phơng trình luôn có 2 nghiệm x1, x2
áp dụng định lí Viet ta có
4
) 1 ( 2
2
1
2 1
m x x
m x
x
Vậy A = x1x2 2x1x2 2 (m 1 ) 2 (m 4 ) 10
Suy ra A không phụ thuộc vào m Đ P C.M
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
4 Từ phơng trình x + ay = 1
Thế x = 1 – ay vào phơng trình ax – 3 ay = 2a + 3
Ta đợc a ( 1 – ay ) – 3ay = 2a + 3
3 2 3
2
a a y ay a
3 )
3 ( 2
a a y a ( 1 )
Hệ vô nghiệm phơng trình (1) vô nghiệm
0 3
0 ) 3 ( 2
a
a a
3 0
a a
a=0
0,25đ 0,25đ 0,5đ
5 Đặt S = x + y, P = x.y ĐK S2 – 4P0
Ta đợc hệ
2 ) 3 ( 2
3 2
2
3
2
S P P
S
P S
) ( 7 4
) (
1 2
4 2 3 0
8 2
3 2
Loai P
S
man Thoa P
S
S
S S P S
S
S P
Với
1
1 1
.
2 1
2
y
x y
x
y x P
S
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
6
Toạ độ A là nghiệm hệ ( 0 ; 2 )
2
2 2
A x
y
x y
Toạ độ B là nghiệm hệ ( 1 ; 0 )
0
2 2
B y
x y
Toạ độ C là nghiệm hệ ( 2 ; 0 )
0
2
C y
x y
Tia AB nằm bên trái oy nên ( d3 ) cắt tia AB khi và chỉ khi hoành độ
giao điểm của d3 và d1 âm hay 0 2
2
2
m
Tơng tự ( d3) cắt tia AC khi và chỉ khi 0
1
2
m
1
m Do đó ( d3 ) cắt cả hai tia AB và AC
2
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Trang 37 n3 + 17n = n3 – n + 18 = n( n2 – 1 ) + 18 n
Ta có 18n 6
n(n2 – 1) = n ( n – 1 ) ( n + 1 ) 2 n N
n(n-1)(n+1) 3 n N
6 ) 1 )(
1
n n n n N
Vậy ( n3 + 17n ) 6 n N
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
8 Ta có: AE = CD (theo giả thiết) A
AB = CB (gt)
BAE = BCD (cùng chắn cung BD) E
Suy ra rABE = rCBD (c-g-c) B C
D
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
9 Lấy một diểm P’ khác phía với A D
P đối với bờ AB
sao cho rBPP’ vuông cân tại B P’
Ta có rBPC = rBP’A (c-g-c)
BP’A = 135o P
Do BP’P = 45o nên PP’A = 90o B C
Theo định lí Pitago PA2 = AP’2+P’P2 = PC2 + 2PB2
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
10 Gọi H là tâm của hình vuông ABCD
2
2
SH= SA 2 AH2 =a22 SSAB
= 4
3 2
a
; S ABCD
= a2;
Sxq=4.SSAB= a2 3
VSABCD =
3
1
SH.SABCD =
3
1
2
2
a a2 =
6 2 3
a
S
Hình vẽ đúng -đẹp
D C
H
A B
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
T T
Trang 4Së GD&§T Thanh ho¸
