Gọi D, E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC.. Tính BC và diện tích tứ giác BCED.. Hớng dẫn chấm Toán 9.
Trang 1Trờng THCS Thị Trấn Neo Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9
Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1: (2 điểm)
a, Rút gọn biểu thức : 3 2 2
1 5
2 5 2
+
− +
+
b, Chứng minh rằng: 2 2+ 3 là số vô tỉ
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thức A= 2x+2 2x−1− 2x−2 2x−1
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm x để A< 2
Bài 3: (2 điểm)
a, Cho x+y+z = 0 và x, y, z khác 0
z y x
1 1 1 1 1 1
2 2
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = 5x2 + 4y2 + 18x - 12y - 4xy - 1990
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH Gọi D, E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC
a, Chứng minh: AD.AB = AE.AC
b, Biết BH = 2− 3 ; CH = 2+ 3 Tính BC và diện tích tứ giác BCED
Bài 5: (1,5 điểm)
Tính cotg750 mà không dùng bảng số và máy tính
Hớng dẫn chấm Toán 9
Trang 2Đặt m =
1 5
2 5 2
5
+
− +
2 2
3 − Tính đợc: m2 = 2 nên m = 2
n = 2−1
Đáp số: 1
0,5 0,5
1b, * Giả sử 2 2+ 3 không là số vô tỉ, suy ra tồn tại số hữu tỉ a để
a = 2 2+ 3
khi đó
4
11 6
2
−
= x là số hữu tỉ điều này vô lí (vì 6 là số vô tỉ)
* Chứng minh 6là số vô tỉ
0,5 0,5
2a,
2b,
* Điều kiện:
2
1
≥
x
* Kết quả rút gọn: Nếu x≥ 1 thì A = 2
Nếu 1
2
1 ≤x≤ thì A = 4x−2
A < 2 khi 1
2
1 ≤x≤
0,25 0,5 0,5 0,75 3a,
+ + +
=
zx yz xy
z y x z
y x
1 1 1 2 1 1 1
2 2 2
2
1 1 1
z y x
z y
z y x
2 2 2
2 2 2
1 1 1
) (
2 1 1 1
+ +
=
+ + + + +
=
suy ra ĐPCM
0,25 0,25 0,5
3b, Q = (x-2y+3)2 + (2x+3)2 - 2008 ≥ - 2008 với mọi x,y
Q = - 2008 khi x = - 1,5 và y = 0,75
Giá trị nhỏ nhất của Q là -2008, đạt đợc khi x = - 1,5 và y = 0,75
0,5 0,25 0,25
4a,
H D
E
Trang 3- Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB.
4b, - Tính đợc BC = BH + CH =
3
2 + + 2 − 3= 6
- Tính đợc SBCED =SABC−SADE =5126
1 1
5 Xét tam giác ABC có Â = 900, AC = 1 , BC = 2
suy ra AB = 3 và góc B = 300, kẻ phân giác BD Theo tính chất
đ-ờng phân giác:
2 3
1 = − +
= +
+
=
=
BC AB
DC AD BC
DC AB
AD
tg150 = cotg750 =
AB
AD = 2− 3
0,5
0,5
C