ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 CÁC CẤP

MÃ KÍ HIỆU [ *****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 05 01 trang) Bài (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 3   6+2 −4 − 12 − ÷ 1.1 A =  ÷ 3  2  1.2 B = +7 − −7 Bài (2,0 điểm) 2.1 Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện: 2x + 2xy + 2x + y + z + y = 2yz Chứng minh rằng: −1 ≤ y − 2z ≤ 2.2 Giải hệ phương trình sau: x + 3y  x + x + y2 =    y − y − 3x =  x + y2 Bài (2,0 điểm) 3.1 Tìm số dư phép chia số nguyên S = a b + b a cho 5, a = 22 gồm 2015 chữ số 2, b = 33 gồm 2016 chữ số (viết hệ thập phân) 3.2 Cho ba thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ ab + bc + ca a b + b2 c + c2 a · Bài (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD với BAD < 900 Đường phân giác góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD O khác C Kẻ đường thẳng (d) qua A vuông góc với CO Đường thẳng (d) cắt đường thẳng CB, CD E F 4.1 Chứng minh ∆OBE = ∆OCD 4.2 Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac CEF 4.3 Gọi giao điểm OC BD I Chứng minh: IB.BE.EI = ID.DF.FI Bài ( 1,0 điểm) Cho tứ giác có diện tích 1cm Lấy 2012 điểm thuộc miền tứ giác để với đỉnh ta 2016 điểm, điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác có điểm lấy từ 2016 điểm cho có diện tích không biểu thức sau: C = a + b + c + vượt cm 4026 MÃ KÍ HIỆU [ *****] Bài (2,0 (2,0 ĐÁP ÁNĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm …… trang) Đáp án 1.1 (1,0 điểm) … A =- 1.2 ( 1,0 điểm) … B=1 2.1 ( 1,0 điểm) 2x + 2xy + 2x + y + z + y = 2yz ( Điểm 1,0 điểm 1,0 điểm ) ⇔ 2x + ( y + 1) x + y − 2yz + z + y = (*) D ' = - y + 2yz - 2z + Vì x, y z thoả mãn điều kiện đề phương trình (*) có nghiệm Û D ' ³ Û - £ y - 2z £ 2.2 ( 1,0 điểm) Điều kiện x + y ¹ Với x = tìm y = Với y = 0, hệ phương trình vô nghiệm Xét x ≠ 0, y ≠ Hệ phương trình cho trở thành:  xy + 3y 3y −  xy + = 3y x = 2xy + = 3y  2  x +y 2y    ⇔ ⇔ xy − 3x     xy − xy − 3x =  xy − x + y =  y − y − 3x =  2   x + y2 x +y 3y −  x = 2y ⇔ 4y + 5y − = (*)  Từ (*) y = ± Với y = x = (loại) Với y = -1 x = (nhận) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) là: (0; 1), (3; - 1) 3.1 ( 1,0 điểm) HS chứng minh S = a b + b a 2b + 3a số dư chia cho Có b = 33 = 4k + 1; 24 = 16 chia cho dư nên 2b = 2.24k chia dư Tương tự có 3a = 32.34q chia dư (k,q N*) Suy 2b + 3a chia dư + = => S chia dư 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (3,0 điểm) 3.2 ( 1,0 điểm) Có 3( a + b + c ) = ( a + b + c) ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + a b + a c + b c + b a + c a + c b Lại có a + ab ³ 2a b; b3 + bc ³ 2b c; c3 + ca ³ 2c a Suy a + b + c ³ a b + b c + c a 0,25 điểm 9- ( a + b + c ) ab + bc + ca 2 = a + b + c + a + b2 + c2 2( a + b2 + c ) 2 2 Nên P ³ a + b + c + 2 0,25 diểm Đặt x = a + b + c , chứng minh x ≥ x x 3 + - ³ + - = Từ P ³ + 2x 2 2 Tìm được: Đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 điểm 0,25 điểm 4.1 (1,5 điểm) · · Có được: BCO = DCO Þ OB = OD · · · (cùng bù với ODF ) EBO = ODC · · ∆CEF cân C => CEF = CFE · · AB//CD => CFE = BAE 0,25điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2 (3,0 điểm) (1,0 điểm) Suy ∆ABE cân B => BE = BA = CD => ∆OBE = ∆OCD 4.2 (0,5 điểm) Có OE = OC (∆OBE = ∆OCD) OE = OF (OC trung trực AB) => OE = OF = OC => O tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF 4.3 (1,0 điểm) Có được: BC = DF IB CB DF = = Þ IB.BE = ID.DF ∆BCD có CI đường phân giác nên ID CD BE Có IE = IF Suy đpcm Xét tứ giác ABCD có diện tích cm2 Với điểm thứ M, ta có tam giác chung đỉnh M đôi điểm chung Với điểm thứ hai N phải điểm nằm trong tam giác Nối N với điểm tam giác tạo nên tam giác chung đỉnh N, số tam giác điểm chung với tam giác tang thêm tam giác chứa điểm N Số tam giác điểm chung lúc + Tương tư với 2010 điểm lại, cuối số tam giác đôi điểm chung + + 2010.2 = 4026 Tổng diện tích 4026 tam giác cm 2, nên tồn cm tam giác có diện tích không vượt 4026 0,25điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm