ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

SỞ GD&ĐT TỈNH HẢI DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NINH GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Năm học 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ninh Giang, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Câu 1: (3.0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 4 A= − 9−4 9+4 B= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 (với x >2) 4 − +1 x x Câu (2.0điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x + 5y + 3xy = a2 b2 c2 a+b+c + + − ≥0 2) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: b+c c+a a+b Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) (4 x − 1) x + = x + x +  x2 = y +  b)  y = z + z2 = x +  Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D đoạn OB Đường trung trực đoạn AD cắt (O) C cắt AD H Đường tròn đường kính BD cắt BC E.Chứng minh rằng: a) AC song song với DE b) HE tiếp tuyến đường tròn đường kính BD Câu (1,0 điểm) · Cho tam giác ABC có BAC=105 Đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt K cho KB = KC Kẻ đường cao AH (H ∈ BC) Chứng minh HA = HB -Hết Cán coi thi không cần giải thích thêm Họ tên thí sinh : Số báo danh : Chữ ký giám thị : Chữ ký giám thị : HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG MÔN TOÁN * Học sinh làm cách khác phải cho điểm tối đa * Điểm toàn làm tròn đến 0,25 điểm CÂU NỘI DUNG A= ( 5−2 ) − ( 5+2 ) ( = = )( ) x−2−4 x−2 +4 + x−2+4 x−2 +4 B= − ( x−2 −2 ) x2 − x + x2 + (  x −2    x  x−2 −2 + x−2 +2 ĐIỂM 0,25đ  1  = 2 −  5−2 5+2 + 2  5−2  + 2− + 2  = = 2.4 = = 2   5−2 5+2  = THANG ) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0.25đ x−2 +2 x−2 x = x−2 −2 + x−2 +2 x−2 x 0.5đ Nếu x ≥ A= 2x x − = x−2 2x x−2 0.5đ Nếu x < A= 2− x−2 + x−2 +2 4x = x−2 x−2 x 0.5đ 1) Ta có : 2x + 5y + 3xy = => 6x + 15y + 9xy = 24 => (3x+5)(3y+2) = 34 Xét trường hợp kết luận pt cho vô nghiệm nguyên dương a2 b2 c2 2) Do a,b,c > ⇒ > 0; >0 ; >0 b+c c+a a+b áp dụng BĐT cô-si cho hai số dương ta có 0,5đ 0.5đ a2 b+c a2 b + c + ≥2 = a (1) b+c b+c Tương tự b2 c+a b2 c + a + ≥2 =b c+a c+a (2) c2 a+b c2 a + b + ≥2 = c (3) a+b a+b Cộng vế (1),(2) (3 ) ta a2 b2 c2 a+b+c+a+a+b + + + ≥a+b+c b+c c+a a+b a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b Dấu "=" xảy a = b = c 0,25 0.25đ 0.25đ 0.25đ 1) (4 x − 1) x + = x + x + (*) Đặt x + = a => a ≥ (*) => (4x-1).a = 2a2 + 2x - 0,25đ ⇔ (2a − 1)( a − x + 1) =  a = 0,5 ( Loai ) ⇒  a = x − 1(1) (1)=> 0,25đ  x = ( Loai )  x ≥ 0,5 ⇒ x + = x − =>  2 x = x + = x − x +   Thử lại (*) có x = nghiệm 0.25đ 0.25đ 2)  x2 = y +  y = z + z2 = x +  Do vai trò x, y, z nên không tính tổng quát, ta giả sử: x ≥ y ≥ z ⇒ x2 − ≥ y − ≥ z − Kết hợp với hệ cho suy ra: y ≥ z ≥ x => x = y = z 0.5đ => x = y = z = -1 x = y = z =2 Thử lại 0.25đ Vậy hệ có hai nghiệm (x,y,z) = {(-1; -1; -1);(2; 2; 2)} Vẽ hình theo yêu cầu chung đề C 0.25đ K E 0,25đ A H O D I B · a) Ta có ·ACB = DEB =900 nên AC// DE 0,75đ b) Gọi K trung điểm CE, I trung điểm BD Có HK đường trung bình hình thang ACED => HK vuông góc với CE => ∆ CHE cân H µ Có E ¶ =B µ B µ +C µ = 900 => Eµ1 =C 1 µ ¶ · => E1 +E = 90 => HEI = 90 Vậy HE tiếp tuyến đường tròn đường kính BD 0,5đ 0,25đ 0.25đ A D M K B H · · · Ta có MA = MH = MC => MHC = MCH = 2BCK C · · · · Mà BK = CK => BCK = KBC ⇒ MHC = KBC · · · Lại có MHC = KBC + KMH => ∆ BHM cân H => HM = HB 0.25đ Giả sử HA > HB (1) Ta có: ·ABH > BAH · · · => BAH < 450 => HAC > 600 => ·AMH < 600 => AH < HM => AH < HB (Mâu thuẫn với (1)) Tương tự chứng minh AH HK vuông góc với CE => ∆ CHE cân H µ Có E ¶ =B µ B µ +C µ = 90 0 => Eµ1 =C 1 µ ¶ · => E1 +E = 90 => HEI = 90 Vậy HE tiếp tuyến đường tròn đường kính BD 0,5đ 0,25đ 0.25đ A D M K B... nghiệm (x,y,z) = {(-1; -1; -1);(2; 2; 2)} Vẽ hình theo yêu cầu chung đề C 0.25đ K E 0,25đ A H O D I B · a) Ta có ·ACB = DEB =90 0 nên AC// DE 0,75đ b) Gọi K trung điểm CE, I trung điểm BD Có HK