PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2011-2012 Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm trang) Mơn thi : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = + 3+ 2 3+ 2 − 3+ 2 Câu : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho ( a ∈ Z ) µ > 900 ,vẽ đường trung tuyến AM Trên AC lấy điểm D cho Câu : (1,5đ) Cho ΔABC có A BD = 2AM, BD cắt AM K Chứng minh rằng: KA = KD Câu : (1,5đ) Cho ∆ ABC vng A , đường cao AH , N hình chiếu H AC Biết AB = c, AC = b Tính HN theo b c Câu : (1,5đ ) Tìm số ngun tố P cho P +2 P +4 số ngun tố Câu :(1,5đ)Cho a b hai số thực dương thõa mãn: a2009 + b2009 = a2010 + b2010 = a2011 + b2011 Hãy tính tổng: S = a2012 + b2012 Câu : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích ( đơn vò cm2) số đo chu vi ( đơn vò cm) Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác Câu : (1,5đ) Chứng minh a2+b2+c2 = ab + ac + bc a = b = c Câu : (2đ) Chứng minh : (3a+5b, 8a+13b) = (a, b) với a, b số ngun Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 1 1 + + = Chứng minh a b c 2012 ba số phải có số 2012 Câu 11 : (2đ) Cho ∆ ABC M điểm thuộc cạnh BC (M ≠ B,M ≠ C) Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh phân số 1+ n2 + n7 khơng tối giản ( n ∈ N* ) + n + n8 - HẾT -HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : .Số báo danh Chữ ký giám thị : Chữ ký giám thị PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2011-2012 Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TỐN Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = + 3+ 2 3+ 2 − 3+2 A = + 2 ( 6) − ( + 2) 0,5đ A = + 2 − (3 + 2) = + 2 − 2 0,5đ (3 + 2)(3 − 2) = − (2 2) = 0,5đ A= Câu : (1,5đ) Chứng minh : a3 - 6a2 – 7a + 12 chia hết cho ( a ∈ Z ) A = a3 - 6a2 – 7a + 12 A = a3 – a - 6a2 – 6a + 12 0,5đ A = a(a – 1)(a+1) – 6a2 – 6a + 12 Do a(a – 1)(a+1) tích số ngun liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 0,5đ Mặt khác - 6a2 – 6a + 12 nên A 0,5đ µ > 900 ,vẽ đường trung tuyến AM Trên AC lấy điểm D Câu : (1,5đ) Cho ΔABC có A cho BD = 2AM, BD cắt AM K Chứng minh rằng: KA = KD Gọi I trung điểm DC,suy IM đường trung A bình tam giác BDC ⇒ IM//BD IM = BD D K B M I C · · * c/m ∆MAI cân M ⇒ MAI (1) = MIA · · *IM//BD ⇒ KDA (2) = MIA · · Từ (1) (2) ⇒ KAD = KDA ⇒ ∆KAD cân K ⇒ KA = KD 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu : (1,5đ) Cho ∆ ABC vng A , đường cao AH , N hình chiếu H AC Biết AB = c, AC = b Tính HN theo b c HN HC HC.AB = ⇔ HN = (1) AB BC BC AC 2 * AC = BC.HC ⇔ HC = (2) BC AC2 AB Từ (1) ,(2) ⇒ HN = BC2 *HN//AB ⇒ A N BC2= AB2 + AC2 = c2+ b2 B H C 0,5đ 0,5đ ⇒ HN = AC2 AB b c = BC2 b2 + c2 0,5đ Câu : (1,5đ ) Tìm số ngun tố P cho P +2 P +4 số ngun tố Gi¶ sư p lµ sè nguyªn tè *NÕu p = th× p + = vµ p + = ®Ịu kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn tè *NÕu p ≥ th× sè nguyªn tè p cã d¹ng: 3k, 3k + 1, 3k + víi k ∈ N* 0,5đ +) NÕu p = 3k ⇒ p = ⇒ p + = vµ p + = ®Ịu lµ c¸c sè nguyªn tè +) NÕu p = 3k +1 th× p + = 3k + = 3(k + 1) ⇒ (p + 2) M3 vµ (p + 2) > Do ®ã p + lµ hỵp sè 0,5đ +) NÕu p = 3k + th× p + = 3k + = 3(k + 2) ⇒ (p + 4) M3 vµ( p + ) > Do ®ã p + lµ hỵp sè VËy víi p = th× p + vµ p + còng lµ c¸c sè nguyªn tè 0,5đ Câu 6:(1,5đ)Cho a b hai số thực dương thỏa mãn : a2009 + b2009 = a2010 + b2010 = a2011 + b2011 Hãy tính tổng: S = a2012 + b2012 a2011 + b2011 = (a2010 + b2010)(a + b) − ab(a2009 + b2009) ⇔ 1= a + b − ab ⇔ 1− a− b+ ab = ⇔ (1− a)(1− b) = 0,5 đ 0,5 đ 1− a = ⇔ ⇔ a = 1,b = 1− b = Vậy S = 1+1 = 0,5 đ Câu : (2đ) Một tam giác có số đo diện tích ( đơn vò cm2) số đo chu vi ( đơn vò cm) Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác Ta có SABC = SOAB + SOBC + SOAC 0,5đ = +BC) đo chu vi r.AB r.BC r.AC r + + = (AB+AC 2 2 0,5đ số đo diện tích số ⇒ r (AB+AC +BC)= (AB+AC +BC) 0,5đ ⇒ r = ⇔ r = (cm) 0,5đ Câu : (1,5đ) Chứng minh a2+b2+c2 = ab + ac + bc a = b = c * a2+b2+c2 = ab + ac + bc ⇔ a2+b2+c2 - ab - ac – bc = ⇔ 2a2+2b2+2c2 - 2ab - 2ac – 2bc = ⇔ (a – b)2+ (a – c)2+ (b – c)2 = 0,5đ 0,5đ a − b = ⇔ a − c = ⇔ a = b = c b − c = 0,5đ Câu : (2đ) Chứng minh : (3a+5b,8a+13b) = (a,b) với a,b số ngun Ta có : 8a+13b = 2(3a+5b)+(2a+3b) 3a+5b = 1(2a+3b) +(a+2b) 2a+3b = 2(a+2b) – b Do đó: (8a+13b,3a+5b) = (3a+5b,2a+3b) = (2a+3b, a+2b) = (a+2b, b) = (a,b) Câu 10: (2đ ) Cho ba số a,b,c thỏa : a + b + c = 2012 + + = a ba số phải có số 2012 b c 2012 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Chứng minh 1 1 + + = a b c a+b+c a+b a+b 1 1 ⇔ + ÷+ − =0⇔ + =0 ab c(a + b + c ) a b c a+b+c Từ giả thiết ta có : 0,5đ ⇔ (a + b)c (a + b + c) + (a + b)ab = ⇔ ( a + b)[c (a + b + c) + ab] = 0,5đ ⇔ (a + b)[ca + cb + c + ab] = ⇔ (a + b)[c(a + c) + b(a + c)] = a + b = ⇔ (a + b)(b + c)(a + c) = ⇔ b + c = a + c = 0,5đ Nếu a+b =0 a + b + c = 2012 c = 2012 Nếu c+b =0 a + b + c = 2012 a = 2012 Nếu a+c =0 a + b + c = 2012 b = 2012 0,5đ Câu 11 : (2đ) Cho ∆ ABC M điểm thuộc cạnh BC (M ≠ B,M ≠ C) Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC Vẽ MN// AB, (N ∈ AC) ; Trong ∆ AMN có AM < MN+NA (1) A MN// AB ⇒ N MN MC MC = ⇔ MN = AB AB BC BC NA MB MB = ⇔ NA = AC AC BC BC B M C Từ (1) (2) (3) ⇒ AM < AB MC MB + AC BC BC ⇒ AM.BC < MC.AB + MB.AC Câu 12 : (1,5đ) Chứng minh phân số 1+ n2 + n7 khơng tối giản ( n ∈ N* ) + n + n8 0,5đ (2) (3) 0,5đ 0,5đ 0,5đ *1+ n2+ n7= 1+n+ n2+ n7- n = (1+n+ n2)+ n(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n(n3- 1) (n3+1) = (1+n+ n2)+ n(n - 1) (1+n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n(n - 1)(n3+1)] *1+ n+ n8 = 1+n+ n2+ n8- n2 = (1+n+ n2)+ n2(n6- 1) = (1+n+ n2)+ n2(n3- 1) (n3+1) = (1+n+ n2)+ n2(n - 1) (1+ n+ n2) (n3+1) = (1+n+ n2)[1+ n2(n - 1)(n3+1)] Với n ∈ N* phân số cho ước lược cho 1+ n+ n2 , (1+ n+ n2 >1) ⇒ phân số + n2 + n7 khơng tối giản + n + n8 0,5đ 0,5đ 0,5đ - HẾT -Chú ý: Nếu HS giải cách khác giám khảo phân bước tương ứng điểm ...PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2011-2012 Ngày thi : 01 tháng 12 năm 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TỐN Câu 1: (1,5đ) ) Rút gọn biểu... hai số thực dương thỏa mãn : a20 09 + b20 09 = a2010 + b2010 = a2011 + b2011 Hãy tính tổng: S = a2012 + b2012 a2011 + b2011 = (a2010 + b2010)(a + b) − ab(a20 09 + b20 09) ⇔ 1= a + b − ab ⇔ 1− a− b+... – 1)(a+1) tích số ngun liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 0,5đ Mặt khác - 6a2 – 6a + 12 nên A 0,5đ µ > 90 0 ,vẽ đường trung tuyến AM Trên AC lấy điểm D Câu : (1,5đ) Cho ΔABC có A cho BD = 2AM, BD cắt