ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

PHềNG GD& T OAN HNG TRNG THCS TY CC THI HC SINH GII LP NM HC 2014 - 2015 Môn: Toán CHNH THC (Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề) Cõu 1: ( im ) 1) Cho biu thc: A = ( x x ): 1+ x 4x 1 x 4x + x +1 a/ Rỳt gn A b/ Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A t giỏ tr nguyờn c/ Tớnh giỏ tr ca A vi x = 49(5 + 2)(3 + + )(3 + 2 ) 2) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn abc cú ch s cho : abc = n vi n l s nguyờn ln hn cba = n ( ) Cõu 2: ( im ) 1) Gii phng trỡnh sau: x + + x = x + + x 1 2) Cho x, y, z l ba s tha món: x y.z = v x + y + z = + + x 2013 2014 2015 Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = ( x 1) ( y 1) ( z 1) y z Cõu 3: ( im ) 1) Tìm nghim nguyờn ca phng trỡnh : x2 + xy + y2 = x2y2 2) Cho a, b v c l cỏc s thc khụng õm tha a + b + c = Chng minh rng ab bc ca + + c +1 a +1 b +1 Cõu 4: ( im ) Cho O l trung im ca on thng AB Trờn mt na mt phng b AB v hai tia Ax, By vuụng gúc vi AB Trờn tia Ax ly im C, trờn tia By ly im D cho gúc COD = 900 K OH vuụng gúc vi CD ti H a) Chng minh CD l tip tuyn ca ng trũn tõm O ng kớnh AB; b) Chng minh AC.BD = AB ; c) Nờu cỏch xỏc nh v trớ im C trờn tia Ax din tớch tam giỏc COD bng din tớch tam giỏc AHB Cõu 5: ( im ) Tìm nghiệm nguyên dng phơng trình : x2+2y2 +2xy +3y- = Ht hớng dẫn chấm môn toán Nm hc: 2014 - 2015 Cõu im x x : ữ ữ 1+ x 4x 1 x 4x + x +1 a/Cho biu thc A= 1- 0,5 K: x 0; x ; x x ữ x + : A= 1- x + x + (2 x 1) x ữ x + ( ) ( ) x x + x + (2 x + 1) A=1(2 x + 1)(2 x 1) x Cõu 1.1 (4 ) 0,5 0,5 x x +1 x +1 = = x x x 1 x b/ Tỡm x Z A nguyờn A Z Z x (2) x Do x 0; x 1; x Z x = 0,5 A=1- Vy x=0 thỡ A cú giỏ tr nguyờn c/Vi x= 49(5 + 2)(3 + + )(3 + 2 ) x=-7 49(5 + 2)(5 2) = = 49 x = Vy A = 0,5 0,5 2 = 2.7 13 (1) Cõu 1.2 (2 ) 0,5 abc = 100a + 10b + c = n Vit c cba = 100c + 10b + a = n 4n + (2) 0,5 T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n => 4n + 99 (3) Mt khỏc : 100 n 999 101 n 1000 11 n 31 39 4n 119 T (3) v (4) => 4n = 99 => n = 26 0,5 (4) 0,5 Vy s cn tỡm abc = 675 x + + x = x + + x (K: < x < ) Cõu 2.1 (2) x + = a + x + = a ( a , b 0) t x = b x = ab 0,5 Thay vo phng trỡnh ó cho ta cú: 0,5 a + + ab = 3a + b a + ( b 3).a ( b 2) = ( a 1)( a + b 2) = a = a + b = Vi a = x + = x = (tha món) Vi 0,5 a + b = x +1 + x = x +1+1 x + x2 = x2 = x = 0,5 (tha món) Vy phng trỡnh cú nghim nht x = 0,5 1 T x + y + z = x + y + z x + y + z = xy + yz + zx = xy + yz + xz ( vỡ xyz = ) xyz Xột tớch ( x 1) ( y 1) ( z 1) = ( xy x y + 1) ( z 1) = 0,5 xyz xy xz yz + x + y + z = xy xz yz + x + y + z = Cõu 2.2 (2) Cõu 3.1 (2) x = x = y = y = z = z = Ln lt thay x = hoc y = hoc z = vo biu thc P ta u c P = 0,5 0,5 - -0,25 2 x y 4x *Với x y ta có: 2 x y y x y (x + y ) = x + y +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 0,25 + xy * Vậy x y - Với x =2 thay vào phơng trình ta đợc + 2y + y2 = 4y2 0,25 2 2 2 hay 3y2-2y -4 =0 Phơng trình nghiệm nguyên - Với x =-2 thay vào phơng trình ta đợc - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 Phơng trình nghiệm nguyên - Với x =1 thay vào phơng trình ta đợc + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phơng trình ta đợc - y + y2 = y2 hay 1- y = y =1 - Với x = thay vào phơng trình ta đợc y =0 Thử lại ta đợc phơng trình có nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hc sinh phỏt biu v CM bt ng thc ph sau: - Vi x; y l cỏc s thc dng bt k ta cú: 0,25 11 + ữ (1) ng thc x+ y x y xy v ch x = y Cõu 3.2 (1) Tht vy: Vỡ x; y l cỏc s thc dng theo BT Cụsi ta cú 0,25 11 1 1 + ữ + ữ xy =4 x+ y x y xy x y ( x + y) - p dng BT (1) ta cú: ab ab ab 1 = + ữ (1 ) c +1 ( c + a) + ( c + b) c +a c +b Tng t 0,25 bc bc 1 ca ca 1 + + ữ(2 ); ữ (3 ) a +1 a + b a + c b +1 b + a b + c Cng v vi v ca ba ng thc trờn ta c: ab bc ca ab + ca ab + cb cb + ca a + b + c + + + + = ữ= c +1 a +1 b +1 b + c c+a a +b 4 ng thc xy v ch a = b = c = 0,25 0,5 Cõu (6) a) Vỡ Ax AB; By AB nờn Ax, By l tip tuyn ca ng trũn (O) Gi M l trung im ca CD => OM l ng trung bỡnh ca hỡnh thang 1,5 ACDB => OM //AC => gúc ACO = gúc MOC ( So le trong) (1) Li cú: OM l trung tuyn thuc cnh huyn ca tam giỏc vuụng COD => OM = MC => tam giỏc OMC cõn ti M => gúc COM = gúc MCO (2) T (1) v (2) suy gúc ACO = gúc MCO => tam giỏc ACO = tam giỏc HCO (cnh huyn - gúc nhn) => OH = OA => H thuc ng trũn tõm O => CD l tip tuyn ca ng trũn tõm O ng kớnh AB b) Theo tớnh cht hai tip tuyn ct ta cú AC = CH; BD = DH CH.DH = OH2 => AC.BD = c) SCOD = S AHB => AB OH = ( HK AB; K thuc AB ) HK ( Vỡ tam giỏc COD ụng dng vi tam giỏc BHA) => OH = HK => K trung O => H l im chớnh gia ca na ng trũn O => AC = AB AB vy im C thuc tia Ax cho AC = thỡ SCOD = S AHB 2 1,5 0,5 1,0 1,0 Cõu (1 ) Biến đổi phơng trình x2+2y2 +2xy +3y- = (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= (y+4)(y-1) =-(x+y)2 - y y thuộc Z nên y { 4;3;2;1;0;1} Sáu cặp (x;y) thỏa mãn phơng trình (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) V ỡ x; y nguyờn dng nờn x=1 v y=3 0,25 0,25 0,25 0,25 ... a = n 4n + (2) 0,5 T (1) v (2) ta cú 99 ( a c ) = 4n => 4n + 99 (3) Mt khỏc : 100 n 99 9 101 n 1000 11 n 31 39 4n 1 19 T (3) v (4) => 4n = 99 => n = 26 0,5 (4) 0,5 Vy s cn tỡm abc... x 0; x 1; x Z x = 0,5 A=1- Vy x=0 thỡ A cú giỏ tr nguyờn c/Vi x= 49( 5 + 2)(3 + + )(3 + 2 ) x=-7 49( 5 + 2)(5 2) = = 49 x = Vy A = 0,5 0,5 2 = 2.7 13 (1) Cõu 1.2 (2 ) 0,5 abc = 100a +... Ht hớng dẫn chấm môn toán Nm hc: 2014 - 2015 Cõu im x x : ữ ữ 1+ x 4x 1 x 4x + x +1 a/Cho biu thc A= 1- 0,5 K: