Để đáp ứng những việc làm cần thiết và cấp bách đó, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức bộ môn, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, đồng
Trang 1I MỞ ĐẦU.
1 Lý do chọn đề tài
Căn cứ vào tình hình thực tiễn của sự nghiệp giáo dục nói riêng và nhu cầu ngày càng phát triển của xã hội Chúng ta thấy một yêu cầu đặt ra trong sự nghiệp giáo dục hết sức cấp bách, đó là đổi mới sự nghiệp giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường Để đáp ứng những việc làm cần thiết
và cấp bách đó, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng, nâng cao kiến thức bộ môn, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, đồng thời phải luôn cải tiến phương pháp giảng dạy trên lớp để từ đó đúc rút những kinh nghiệm quý báu giúp phần nâng cao kỹ năng nghiệp vụ của bản thân Song việc qua lại để trao đổi kinh nghiệm lẫn nhau giữa các đồng nghiệp cũng có nhiều khó khăn, sáng kiến kinh nghiệm là một phương tiện tốt để giáo viên qua
đó gián tiếp trao dồi với nhau những kinh nghiệm của mình để cùng nhau làm tốt công việc mà sự nghiệp giáo dục giao phó
Đối với học sinh THCS số học là một mảng khó trong chương trình toán THCS Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải bài tập, nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập số học là ở chỗ: học sinh chỉ thu nhận kiến thức về cách giải một bài tập cụ thể nào đó nhưng kĩ năng chung về việc giải toán khác thì yếu Trong đó ý muốn cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán phải là dạy cho học sinh giải những bài tập tương đối mới, những bài giải đòi hỏi sự tìm tòi, sáng tạo trong các cách giải
Môn toán là một môn khoa học tự nhiên rất gần gũi với các em, ngoài mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản về toán học nó còn mang tính giáo dục sâu sắc tới nhân cách với đức tính cần cù, lòng say mê nghiên cứu, tính tư duy sáng tạo, giữa bài học trìu tượng với ứng dụng thực tế trong cuộc sống, tới nhiều vấn đề có tính logic giữa học với hành Trong toán học, phân số là một số dùng để đo, đếm trong thực tế là số sắp xếp thứ tự trong trục số Vì vậy học sinh phải nắm vững thứ tự của nó Quá trình dạy và học ở trường phổ thông ngoài việc hình thành kiến thức mới cho học sinh phải giúp học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đó là một việc hết sức quan trọng Học sinh lớp 6 tư duy còn hạn chế, còn chưa quen với phương pháp học mới và do đó so sánh phân số cũng là một vấn đề khó với học sinh lớp 6 Qua khảo sát việc so sánh phân số ở học sinh lớp 6 tôi nhận thấy nhiều em học sinh chỉ áp dụng máy móc, đơn thuần như:
“Quy đồng mẫu hoặc tử” để so sánh Khi phải so sánh các phân số phức tạp các
em gặp rất nhiều lúng túng, khó khăn và dẫn tới việc sắp xếp thứ tự không đúng,
đó cũng là lí do chính tôi chọn đề tài “Một số phương pháp so sánh phân số
trong dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tại trường THCS Nga Tiến, Nga Sơn”.
Trong giảng dạy, tuy SGK đã trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các bài tập thuộc các dạng nhưng vẫn chưa đủ và cũng vì ý thức
tự học, tự đọc sách của một số học sinh là chưa cao Việc làm cho học sinh khối
Trang 26 nắm phương pháp so sánh phân số và vận dụng vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọng, không thể thiếu được của người dạy toán, thông qua đó rèn luyện tư duy logic, khả năng sáng tạo cho học sinh Để làm được điều đó người giáo viên phải cung cấp cho học sinh một kiến thức cơ bản
và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về so sánh phân số
2 Mục đích nghiên cứu.
Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn Toán Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh Khơi dậy tính sáng tạo và giải toán cho học sinh Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở
rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải Giúp học sinh
hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng Học sinh giỏi.
Xuất phát từ lí do trên, tôi xin chọn đề tài “Một số phương pháp so sánh
phân số trong dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 tại trường THCS Nga Tiến, Nga Sơn” Mong rằng sẽ phần nào giải quyết được những khó khăn trong
dạy và học so sánh phân số, từ đó giúp các em học sinh chủ động hơn trong việc dùng những phương pháp này để giải các bài toán có liên quan, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh sẽ học tốt hơn, hứng thú say mê hơn với bộ môn Toán
3 Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh hiểu và vận dụng được quy tắc so sánh hai phân số cùng mẫu và không cùng mẫu, nhận biết được phân số âm, phân số dương
Học sinh có kĩ năng viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số có cùng mẫu dương để so sánh phân số
Trong khuôn khổ bài viết tôi mong rằng sẽ giúp các em học sinh nâng cao năng lực trí tuệ trong việc phát hiện vấn đề, nâng cao việc rèn kĩ năng cho học sinh so sánh có luận cứ, có hướng đi rõ ràng, khắc phục những vướng mắc trong việc dạy và thực hành làm bài tập Làm cho học sinh lựa chọn, khám phá ra hướng đi đúng, lời giải đúng và nhanh nhất trong giải toán so sánh phân số và các bài tập có liên quan
4 Phương pháp nghiên cứu.
-Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã vận dụng phương pháp nghiên cứu
đã học: Phương pháp đổi mới “Lấy người học làm trung tâm ”, đó là phương pháp tổng hợp, đánh giá
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của lý thuyết
- Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm nhiều các tài liệu có liên quan để chọn lọc những kiến thức cơ bản, trọng tâm làm tư liệu mới, chính xác nhất, học hỏi thêm những kinh nghiệm của những người đi trước để làm kinh nghiệm cho bản thân
- Phương pháp thực nghiệm, phương pháp thống kê toán học và xử lý kết quả thực nghiệm
Trang 3II NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1 Cơ sở lý luận:
Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông
Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, tiếp thu đầy đủ kiến thức, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, học tập tốt môn toán phần nào cũng đáp ứng được những yêu cầu đó
Việc học toán không phải chỉ học mình kiến thức như SGK, không chỉ làm bài tập do giáo viên đưa ra mà biết nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tổng quát hóa vấn đề và rút ra được những điều bổ ích
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài tập số học 6 một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tùy theo từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập thật tốt bộ môn
Việc bồi dưỡng kiến thức cơ bản là một công việc cực kỳ quan trọng vì kiến thức cơ bản là nền tảng quyết định đến khả năng học tập của các em, đặc biệt môn Toán càng quan trọng hơn vì lượng kiến thức của bộ môn Toán có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do đó trong quá trình dạy học cần rèn luyện giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số từ đó có cơ sở để giải các bài toán có liên quan
2 Thực trạng của vấn đề
Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các phương pháp giải, tổng hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả và khả năng khai thác bài toán của một số em còn nhiều hạn chế
Học sinh không nắm vững được những kiến thức đã học, một số học sinh không có khả năng phân tích một bài toán từ những gì đề bài yêu cầu sau đó tổng hợp lại, không chuyển đổi được từ ngôn ngữ bình thường sang ngôn ngữ số học hoặc không tìm ra phương pháp chung để giải dạng toán về phân số, từ đó cần có khả năng so sánh các cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí Nhiều học sinh một bài giải không xác định được đáp án đúng và sai Vận dụng các cách giải đó để có thể tạo ra một bài toán mới tổng quát hơn Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
Trong quá trình học tập đa số các em dễ bị mất các kiến thức cơ bản, do các em cho rằng các kiến này không quan trọng nên thường không chú trọng Trong quá trình dạy học giáo viên cần chú trọng đến việc bồi dưỡng các kiến thức cơ bản cho các em để nhằm giúp cho các em nắm vững các kiến thức Từ
Trang 4đó các em có nền tảng vững chắc và cũng là cơ sở giúp cho các em học tập một cách tốt hơn Muốn vậy, trong quá trình giải toán giáo viên có thể thông qua hệ thống câu hỏi để học sinh nắm lại các kiến thức đã học
Trong chương trình sách giáo khoa hiện hành phần so sánh được trình bày ở lớp 6 rất ít và hạn hẹp, các phương pháp đưa ra và bài tập còn hạn chế Sau khi học, đứng trước một bài toán học sinh không biết tư duy hướng giải quyết, đặc biệt là thi học sinh giỏi THCS các bài toán ngày càng có độ khó cao, chính vì vậy nhiều học sinh không thể giải quyết được loại bài toán so sánh Bằng kinh nghiệm của bản thân, cùng sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng và tư duy hướng giải quyết khi gặp các bài toán so sánh
và nhận thấy có hiệu quả cao Đây là động lực để tôi mạnh dạn viết sáng kiến này
3 Một số giải pháp
3.1 Phương pháp 1: Quy đồng mẫu
a) Phương pháp giải: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: Tử nào lớn hơn thì phân số đó lơn hơn.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh 32 và 43
Bài làm
Ta viết:
3
2
= 32..44 = 128 và 43 = 43..33 = 129
Vì 8 < 9 nên 128 < 129 hay 32 < 43 Vậy 32 < 43
Ví dụ 2: So sánh 43 và 45
Bài làm
Ta viết:
4
3
=
5
.
4
5
.
3
=
20
15
và
5
4
=
20
16 4
5
4 4 5
Vì –15 > –16 nên 2015 > 2016 hay 43 > 54 Vậy 43 > 45
Ví dụ 3: So sánh
21
14
và
72
60
Bài làm
Trước khi so sánh ta thực hiện rút gọn rồi quy đồng:
21
14
= 32 = 64 ; 7260
= 65
Vì – 4 < 5 nên 64 < 65 hay 2114 < 7260
Vậy 2114 < 7260
Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
Trang 532; 21 ; 95; 61
Bài làm
Ta có:
32 = 32..66 1218; 21 = 12..99 = 189 ; 95 = 95..22 = 1810; 61 = 16..33 = 183
Vì 183 < 189 < 1810 < 1812 nên 61 < 21 < 95 < 32
3.2 Phương pháp 2: Quy đồng tử
a) Phương pháp giải: Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu: Mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh 52 và 75
Bài làm
Ta có:
52 = 52..55= 1025 ; 75 = 57..22 = 1410
Vì 1025 < 1410 nên 52 < 75
Ví dụ 2: So sánh
4
3
và
7
6
Bài làm
Ta có:
4
3
=43.2.2 = 86 = 68
;
7
6
= 67
Vì 68
> 67
nên
4
3
>
7
6
Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
214 ; 16316 ; 1792 ; 3498
Bài làm
Nhận xét: Mẫu là các số nguyên tố cùng nhau, phức tạp hơn tử rất nhiều nên ta
có thể quy đồng tử:
21
4
=
4 21
4
4
=
84
16
;
179
2
=
8 179
8 2
=
1432
16
;
349
8
=
2 349
2 8
=
698 16
Vì 143216 < 69816 < 16316 < 8416 nên 1792 < 3498 < 16316 < 214
GV kết luận: Trong quá trình làm bài cần lưu ý khi nào sử dụng phương pháp 1 (Khi mẫu đơn giản), khi nào sử dụng phương pháp 2 (khi tử đơn giản)
Ví dụ 4: So sánh P và Q, biết: P = 20102011 + 20122011 + 20132012
và Q = 20102011 20122011 20122013
Trang 6Bài làm
Ta có: Q = 20112010 20122011 20132012
=2011 20122010 2013
+ 2011 20122011 2013
2013 2012
2011
2012
Vì:
2013 2012
2011
2010
< 20102011
2013 2012
2011
2011
< 20122011
2013 2012
2011
2012
< 20132012
Nên suy ra:
2013 2012
2011
2010
+ 2011 20122011 2013
+ 2011 20122012 2013
< 20102011 + 20122011 +
2013
2012
Hay Q < P
Ví dụ 5: Cho S =
14
3 13
3 12
3 11
3 10
3
a) So sánh S với 1
b) So sánh S với 2
Bài làm
a) Ta có:
10
3
>
15
3
;
11
3
>
15
3
;
12
3
>
15
3
;
13
3
>
15
3
;
14
3
>
15 3
Suy ra:
S = 103 113 123 133 143 153 153 153 153 153 => S > 1515 hay S > 1
b) Ta có:
11
3
< 103 ; 123 < 103 ; 133 < 103 ; 143 < 103 ; 153 < 103
Suy ra:
S = 103 113 123 133 143 103 103 103 103 103 => S < 1015 hay S < 2
Ví dụ 6: Cho A = 1 2
1
+ 2
2
1
+3 2
1
+4 2
1
+…+ 50 2
1
So sánh A với 2
Bài làm
Ta có: 2
2
1
< 11.2= 11 - 21
3 2
1
< 21.3 = 21 - 31
2
4
1
< 31.4 = 13 - 14
………
Trang 750 2
1
<
50 49
1
= 491 - 501 Suy ra: A = 1 2
1
+ 2
2
1
+3 2
1
+4 2
1
+…+ 50 2
1
< 1 2
1
+11.2+21.3+31.4 +…+
50 49 1
A < 1+ 11 - 21 + 12 - 13 + … + 491
-50
1
A < 1+1 -
50 1
A < 5099 < 2
Vậy A < 2
3.3 Phương pháp 3: Dùng số hoặc phân số làm trung gian.
a) Phương pháp giải:
* Dùng số 0 làm trung gian:
+ b a > 0 nếu a và b cùng dấu
+
d
c
< 0 nếu c và d khác dấu
Thì khi đó: b a > d c
* Dùng số 1 làm trung gian:
- Nếu
b
a
> 1;
d
c
< 1
b
a
>
d c
- Nếu b a – M = 1; d c – N = 1 mà M > N thì b a > d c
+ M, N là phần thừa so với 1 của hai phân số đã cho
+ Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
- Nếu b a + M = 1; d c + N = 1 mà M > N thì b a < d c
+ M, N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của hai phân số đã cho
+ Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn
* Dùng một phân số làm trung gian.
Nếu b a > d c ; d c > q p thì b a > q p
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh 193192 và 1918
Bài làm
Vì 193192 < 0; 1918
> 0 nên 193192 < 1918
Ví dụ 2: So sánh
9
7
và
17 19
Trang 8Bài làm
Vì 97 < 1; 1719 > 1 nên 97 < 1719
Ví dụ 3: So sánh 9897 và 20072006
Bài làm
Nhận xét: Hai phân số đều có tử nhỏ hơn mẫu nên hai phân số đều nhỏ hơn 1
Ta có:
9897 + 981 = 1; 20072006 + 20071 = 1
Vì
98
1
>
2007
1
nên
98
97
<
2007 2006
Ví dụ 4: So sánh 6737 và 677377
Bài làm
Nhận xét: Hai phân số đều có tử nhỏ hơn mẫu nên hai phân số đều nhỏ hơn 1
Ta có:
67
37
+ 6730 = 1; 677377 + 677300 = 1
Vì 6730 = 670300 mà 300670 > 677300 Nên 677377 > 6737
Ví dụ 5: So sánh 20162017 và 20152016
Bài làm
Nhận xét: Hai phân số đều có tử lớn hơn mẫu nên hai phân số đều lớn hơn 1
Ta có:
20162017 – 20161 = 1; 20152016 –20151 = 1
Vì 20161 < 20151 nên 20162017 < 20152016
Ví dụ 6: So sánh 7372 và 9958
Bài làm
- Xét phân số trung gian là 9972 , ta thấy: 7273 > 9972 và 9972 > 9958 nên 7273
> 9958
- Hoặc xét số trung gian là 5873, ta thấy: 7372 > 7358 và 7358 > 9958 nên 7273 >
99
58
Ví dụ 7: So sánh 1249 và 4713
Bài làm
Trang 9- Xét phân số trung gian là 1247 , ta thấy: 1249 < 1247 và 1247 < 1347 nên 1247
< 1347
- Hoặc xét số trung gian là
49
13
, ta thấy:
49
12
<
49
13
và
49
13
<
47
13
nên
47
12
<
47
13
Ví dụ 8: So sánh
4
n
n
và
3
2
n n
Bài làm
- Xét phân số trung gian là 3
n
n
, ta thấy: 4
n
n
< 3
n
n
và 3
n
n
< 32
n
n
nên
4
n
n
<
3
2
n
n
- Hoặc xét số trung gian là 42
n
n
, ta thấy: 4
n
n
< 42
n
n
và 42
n
n
< 32
n
n
nên
4
n
n
< 32
n
n
Như vậy ta thấy trong nhiều trường hợp phân số trung gian thường có tử là
tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ hai hoặc ngược lại.
Ví dụ 9: So sánh 129260 và 11257
Bài làm
Vì 129260 < 130260 hay 129260 < 21
11257 > 11256 hay 11257 > 21
Nên 129260 < 11257 (Số trung gian là 21 )
Ví dụ 10: So sánh 6722 và 15251
Bài làm
Vì 6722 < 6622 hay 6722 < 13
152
51
>
153
51
hay
152
51
>
3 1
Nên 6722 < 15351 (Số trung gian là 31 )
Ví dụ 11: Cho A = 2001
103
1 102
1 101
1
So sánh A với 127
Bài làm
Trang 10Ta chọn biểu thức B làm trung gian sao cho A > B, còn B
12
7
Tách A thành hai nhóm, mỗi nhóm có 50 phân số, rồi thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta được:
103
1 102
1 101
1
153
1 152
1 151
1
> 1501 50 + 2001 50 = 3141 127
Vậy A > 127
3.4 Phương pháp 4: Phương pháp nhân chéo (So sánh tích trung tỉ và tích ngoại tỉ)
a) Phương pháp giải:
Nếu b a > d c a.d > b.c (b, d 0)
Nếu b a > d c a.d > b.c (b, d 0)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: So sánh: 75 và 1421
Bài làm
Vì 5 21 > 7 14 nên 75 > 1421
Ví dụ 2: So sánh: 56 và 89
Vì – 6 8 > – 9 5 nên 56 > 89
3.5 Phương pháp 5: Dùng tính chất sau với m N và m 0:
a) Phương pháp giải:
b) Ví dụ:
Ví dụ 1:
a Cho a, b, n N* Hãy so sánh b a n n
và b a
b Cho A =
1 10
1 10 12 11
; B =
1 10
1 10 11 10
So sánh A và B
Bài làm
a) Ta xét 3 trường hợp a 1
b
TH 1: a 1
b a = b thì a n a 1
TH 2: a 1
b a > b a + n > b + n