Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp 6 ở trường THCS

Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 làgiải các bài toán về phần phân số.. Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nhưsách giáo khoa thì rất dễ nhưng các bài

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong suốt chương trình học trong nhà trường, mỗi môn học đều góp phần

vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu cho học sinh Trong đómôn Toán giữ vai trò quan trọng, thời gian dành cho việc học Toán chiếm tỉ lệkhá cao Thực tế những năm gần đây, việc dạy học Toán đã có những bước cảitiến về phương pháp, nội dung và hình thức dạy học

Các dạng bài tập của môn Toán trong chương trình trung học cơ sở (THCS)rất đa dạng và phong phú Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 làgiải các bài toán về phần phân số Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi môn Toánlớp 6 cấp huyện ở Lệ Thủy thì phân số là nội dung hay đề cập đến và thường lànhững bài khó Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nhưsách giáo khoa thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất phức tạp, đa dạng vàkhông có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhaumột cách linh hoạt, sáng tạo Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổnghợp của học sinh còn hạn chế nên học sinh thường bế tắc trong việc tìm ra cáchgiải cho loại toán này Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bàitoán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải

Là một giáo viên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) Toán 6, để giúphọc sinh giải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức vềphần phân số, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, gópphần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài” Tôi xin trình bày sáng kiến kinh

nghiệm “Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp 6 ở trường THCS” Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học

sinh phương pháp nhận dạng các bài toán về phân số và hướng dẫn phương pháp

để có lời giải hợp lý

1.2 Điểm mới của đề tài.

Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học phổ biếnnhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn

Nội dung của đề tài được chia ra và hướng dẫn cụ thể từng phần, học sinh dễdàng tiếp cận gây nên sự hứng thú trong học tập cho học sinh, kích thích cho các

em sự ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán Tạo một nền tảng vữngchắc cho các em tiếp cận kiến thức về tính toán sau này

Thông qua mỗi dạng bài tập, giáo viên đưa ra bài giải chi tiết từ đó đưa racác phương pháp giải cụ thể giúp học sinh nắm chắc kiến thức để làm các bài tậpvận dụng

1.3 Phạm vi áp dụng đề tài.

Nghiên cứu trong phạm vi các em đội tuyển học sinh giỏi hai năm học liềnkề: 2013-2014 và 2014-2015 của trường nơi tôi đang công tác

2 PHÇN NéI DUNG

2.1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong năm học 2013-2014, sau khi đội tuyển HSG của trường tham gia kìthi HSG lớp 6 môn Toán cấp huyện Lệ Thủy, tôi đã thống kê về kết quả chất lượnglàm bài của các học sinh (HS) phần phân số như sau:

Câu 2 phần

phân số

(1,5 điểm)

Số HS không làm được

để rèn kĩ năng cho học sinh nhằm góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng bồidưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS

2.2 Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Để thực hiện tốt các giải pháp thì hai yếu tố hầu như quyết định đó là giáoviên và học sinh Chính vì vậy giáo viên và học sinh cần phải thực hiện tốt các nộidung sau:

2.2.1 Đối với giáo viên:

- Để giúp giáo viên giảng dạy được thành công trong phương pháp trên, vaitrò của người học là không nhỏ Vì vậy giáo viên cần phải kích thích cho các em sựham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán nói chung, đặc biệt là phần phân

số nói riêng, nhằm đem lại hiệu quả cao

- Phải nắm thật vững phương pháp giải và từng em học sinh để chuẩn bị bàigiảng tốt

- Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt,chọn kiến thức, kĩ năng cơ bản nào hay ứng dụng nhất để giảng tốt, luyện tốt

- Phải hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức đến đâu, luyện chắc đến đấy.Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài tập

- Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làmthế nào? Tại sao nghĩ như thế thì mới đạt kết quả

2.2.2 Đối với học sinh:

- Các em phải luôn đóng vai trò chủ động trong việc tiếp thu kiến thức, chỗnào còn khó khăn vướng mắc học sinh cần mạnh dạn đặt câu hỏi ngay cho giáoviên bồi dưỡng

- Học sinh phải nắm thật chắc những kiến thức trong sách giáo khoa và cáckiến thức liên quan , để từ đó mới vận dụng tốt các phương pháp làm bài tập nângcao

- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu qua sách tham khảo, qua báo Toán học

và Tuổi thơ ….hoặc tìm các bài tập có liên quan thông qua mạng Internet vì nộidung các bài tập trên mạng hiện nay rất nhiều

2.2.2.1 Các kiến thức cơ bản và liên quan

1 Phân số:

* Dạng của phân số b a với a, b Z, b  0.

3 Tính chất cơ bản của phân số.

- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì tađược phân số bằng phân số đã cho

b

a

=

m b

m a

n a

:

:

với n  ƯC (a, b), b  0

* Chú ý:

- Mỗi phân số thì có vô số phân số bằng nó

- Mọi phân số đều có thể viết dưới dạng phân số mà mẫu số là số dương

* Muốn tìm phân số tối giản, ta chỉ cần chia tử và mẫu của phân số choƯCLN của chúng.

5 Quy đồng mẫu nhiều phân số.

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu

- Nếu các mẫu của các phân số là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung

là tích của các mẫu và thừa số phụ của mẫu là tích của các mẫu của các phân sốcòn lại

* Nhận xét:

- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0

- Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương

- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0

- Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm

7 Phép cộng phân số

- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu

b a m

b m





- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân

số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

a d

c b a

- Phép trừ phân số là phép toán ngược của phép cộng phân số

9 Phép nhân phân số

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau

b a d c b a..d c

2.2.2.2 Một số phương pháp giải bài tập phân số

Dạng1: Tìm điều kiện để phân số tồn tại, điều kiện để phân số có giá trị là

c) Để A là số nguyên ta phải có n+1 là ước của 3.

10

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên

(Câu a: Đề kiểm tra chất lượng HSG môn Toán 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm

học 2013- 2014)

Giải:

3 5

6 ) 3 5 ( 2 3

5

6 ) 6 10 ( 3 5

n n

n n

n B

n+1 -13 -1 1 13

Vậy n   14  ; 2 ; 0 ; 12 

* Phương pháp giải :

Phân số tồn tại khi tử và mẫu là các số nguyên và mẫu khác không

Phân số có tử là một số nguyên, mẫu có chứa ẩn có giá trị là số nguyên khimẫu là ước của tử

Phân số có tử và mẫu đều chứa ẩn thì biến đổi thành tổng của một số nguyênvới một phân số có tử là một số nguyên và mẫu có chứa ẩn

2 (

3

Z n n n





a) Viết tập hợp M các số nguyên n để phân số B tồn tại

b) Tìm phân số B biết n = -13; n = 0; n = 13

c) Với giá trị nào của n thì B là số nguyên

Bài 3: Cho phân số ; ; 3

3

1 3

(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2010-2011)

Bài 5: Cho phân số B =

3

4



n với n  Z

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để phân số B tồn tại.

b) Tìm phân số B biết: n = 0; n = 10; n = -2

c) Tìm giá trị của n để B là một số nguyên

Dạng 2 : Phân số tối giản

Bài tập 1: Trong các phân số sau đây phân số nào là tối giản

132

15

; 118

7

; 43

18

; 42

18

; 36

5







Bài tập 2: Tìm phân số tối giản b a biết

a Cộng tử với 4, mẫu với 10 thì giá trị của phân số không đổi

b Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu của phân số thì giá trị của phân sốtăng lên 2 lần

a b a

b Ta có:

b

a b b

Tuy nhiên vẫn có học sinh làm cách khác:

d n



 3 14 3

4 21 2

d n



 9 42

8 42

=> 42n + 9 - 42n -8d =>1d

Vậy d =1

Như vậy phân số

3 14

4 21





n

n

là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Bài tập 4 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

15 2 2

n n

Muốn vậy 15 và n - 2 phải là 2 số nguyên tố cùng nhau Vì 15 có 2 ướckhác 1, khác 15 là 3 và 5 Từ đó suy ra n - 2 không chia hết cho 3 và 5 tức là:

n - 2  3k và n - 2  5k Hay n  3k +2 và n  5k + 2 (kN, k  0)

* Phương pháp giải:

Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của cácgiá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số Phân số nào có ƯCLN này là

1 thì đó là phân số tối giản

Để chứng tỏ một phân số là tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử và mẫucủa nó bằng 1(trường hợp tử và mẫu là các số nguyên dương, nếu là số nguyên âmthì ta xét số đối của nó ) Ngược lại, nếu muốn chứng minh phân số nào chưa tốigiản (hay có thể rút gọn được nữa) ta chứng minh ƯCLN của chúng khác 1

27

; 112

91

; 30

84

; 25

Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, phân số sau là phân số tối giản

n







a Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên

b Tìm giá trị của n để phân số là tối giản

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số

A=

3 4

193 8





n n

; 3

1 2

1 5 4

4 5 5

1 4

10

3 5

1 2 1

5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2 1

2 15

1 3 1

21

1 19

1

9

1 7

1 7

1 5

1 5

1 3 1

21 19

2

9 7

2 7 5

2 5 3 2

1 29 27

1 27 25

75 73

1

31 29

1 29 27

1 27 25

1 25

1 2

1

75 73

2

31 29

2 29 27

2 27 25

2 2

Với những bài toán có tử và mẫu được viết theo quy luật: Tử không thay đổi

và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ởmẫu sau Ta dùng công thức: b b m m b bm



1 1 ) ( để viết mỗi số hạng thành mộthiệu của hai phân số, số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau, còn lại số

bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng

Nếu mỗi số hạng có dạng phức tạp hơn như b(bm2)(m b2m) thì ta dùng

1 11 6

1 6 1

A

Bài 2: Tính tổng: 18.191.20

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

4

1 3

1 2

1

2 2

1 2

1

2 2

2

2       

n C

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi nN; n 2 ta có:

15

1 ) 4 5 )(

1 5 (

3

24 19

3 19 14

3 14 9

Bài 6: Cho

403 399

4

23 19

4 19 15

2

; 18 11

2

; 11 4 2

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S

9

1

4

1 3

1 2

2



 A

Dạng4 : Tìm số chưa biết trong đẳng thức

Bài tập 1: Tìm số nguyên x sao cho phân số

Trước khi giải bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh rút gọn phân số 86

về phân số tối giản là 43

4.z = -240

z = (-240):4

z = -60 Vậy: x = -3; y =28; z =-60

* Phương pháp giải :

+

d

c b

d a b a

c b d d

c b

+ Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã chothành hai phân số bằng chúng nhưng có tử ( hoặc mẫu ) như nhau Khi đó, mẫu ( hoặc tử ) của chúng phải bằng nhau, từ đó tìm được số chưa biết



Vì -2<3 nên ;

5

3 5

c)Ta có: ;43 129

12

8 3

Giải:

Ta có ;

76

1 1 76

Giải:

Ta có ;

43

1 1 42

Giải:

Xét phân số trung gian 3718 ( phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất

và có mẫu là mẫu của phân số thứ hai)

Ta thấy: ; 3718 3715

37

18 31

386

386 386

1 386

591 591

1 591

- Dùng một phân số làm trung gian

- Sử dụng phép cộng phân số thích hợp: trong một số trường hợp để so sánhhai phân số, ta có thể cộng chúng với hai phân số thích hợp có cùng tử So sánhhai phân số này sẽ giúp ta so sánh được hai phân số đã cho

303

)

; 216

215

; 220

219

)

; 2003 2002

1 2003 2002

; 2002 2001

1 2002 2001

)

; 73

Bài 2: Cho a, m, n N* Hãy so sánh : b a và b a m m





(Bài tập trong chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 6 huyện Lệ Thủy)

2.2.3 Kết quả nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện tôi đã thu được một số thành côngbước đầu:

2.2.3.1.Về phía giáo viên:

Tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng cao hơn, đặc biệt phù hợp với quátrình đổi mới phương pháp dạy học của ngành đề ra Bên cạnh đó hình thành ởgiáo viên phương pháp làm việc khoa học Hơn thế đã phát huy được sự tích cựcchủ động của người học, hình thành ở học sinh những kĩ năng, kĩ xảo trong giảitoán

2.2.3.2.Về phía học sinh:

Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập về phân số, tôithấy đã phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo, say mê môn học của học sinh,giúp học sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với bộ môn Toán học

Học sinh yêu thích bộ môn Toán hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìmhiểu các nội dung chuyên đề nâng cao khác trong chương trình bồi dưỡng mônToán lớp 6 Chính vì vậy kết quả làm bài của các em tốt hơn nên chất lượng củađội tuyển HSG cũng có nhiều bước đột phá hơn

2.2.3.3 Kết quả đạt được của đề tài cụ thể như sau:

Sau khi đội tuyển HSG của trường tham gia kì thi HSG lớp 6 môn Toán cấphuyện Lệ Thủy năm học 2014-2015, trong đề ra cũng có một câu về phần phân số( câu 2) và tôi đã khảo sát và thống kê về kết quả chất lượng làm bài của các họcsinh phần này như sau:

(1,5 điểm) SL % SL % SL %

Kêt quả chung : Giải ba đồng đội ( trong đó có 2 giải nhì, 1 giải ba và 2 giải

khuyến khích)

Kết quả trên cho thấy chất lượng bồi dưỡng HSG đã có bước chuyển biến

Tuy chưa cao nhưng tôi hi vọng khi đã có phương pháp tốt cho học sinh thì trong

năm học 2015-2016 này đội tuyển học sinh giỏi toán 6 trường chúng tôi sẽ gặt háiđược nhiều thành công hơn nữa

3 KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa của đề tài

Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ của từng nhà trường

mà cụ thể là từng nhà quản lí, từng giáo viên giảng dạy Năng khiếu của học sinhnếu được phát hiện và bồi dưỡng sớm sẽ định hướng phát triển và dần định hình trởthành những học sinh giỏi

Qua những năm bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 6, tôi thấy rằng để giúp HShiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập, chuẩn bịbài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có “nghệ thuật giảng dạy” - phương phápgiảng dạy hợp lý Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về phân số cho HS

lớp 6 cần phải hướng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản,

cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến bài tập phức tạp hơn Saumỗi bài giáo viên cần củng cố phương pháp giải quyết và có thể khai thác thành bàitoán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để HS tự mình vân dụng làm được những bàitập khó hơn

Việc bồi dưỡng chuyên đề về phân số sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và

kỹ năng giải quyết bài tập trong các kỳ thi HSG cấp huyện, góp phần nâng cao chấtlượng mũi nhọn trong nhà trường

Nói tóm lại việc tìm hiểu và phát hiện học sinh giỏi là công việc quan trọngcủa mỗi nhà trường, nhất là giai đoạn hiện nay Việc bồi dưỡng nhân tài mang tínhchiến lược của ngành Giáo dục và Đào tạo nhằm tạo ra lớp người mới năng động,sáng tạo, đáp ứng công cuộc đổi mới của nước nhà Bậc trung học cơ sở là bậc học

có đầy đủ điều kiện thuận lợi cho phát hiện, tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, ươmtrồng những tài năng cho đất nước Tuy nhiên, trong thời gian công tác này ở mỗitrường lại có những cách làm khác nhau, chưa mang tính thống nhất, có nơi làm tốt

và có những nơi còn nhiều hạn chế Song trách nhiệm của người giáo viên phải làmục tiêu cao cả, phải ươm những tài năng để làm cho nó phát triển và trở thànhnguyên khí của quốc gia, là tài sản quý báu nhất của mỗi gia đình, cộng đồng vàtoàn xã hội

Qua quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy, người dạy cần tạo cho học sinhthói quen không chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích, khai thác

nó để có những kết quả mới Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạocác bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn tronggiải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng lực sáng tạo,bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học

3.2 Kiến nghị, đề xuất

3.2.1 Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT