SKKN phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp 6 ở trường THCS

Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 là giải các bài toán về phần phân số.. Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập như sách giáo khoa thì rất dễ nhưng các b

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong suốt chương trình học trong nhà trường, mỗi môn học đều góp phần

vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu cho học sinh Trong đó môn Toán giữ vai trò quan trọng, thời gian dành cho việc học Toán chiếm tỉ lệ khá cao Thực tế những năm gần đây, việc dạy học Toán đã có những bước cải tiến về phương pháp, nội dung và hình thức dạy học

Các dạng bài tập của môn Toán trong chương trình trung học cơ sở (THCS) rất đa dạng và phong phú Một trong những dạng toán cơ bản của môn Toán 6 là giải các bài toán về phần phân số Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 cấp huyện ở Lệ Thủy thì phân số là nội dung hay đề cập đến và thường là những bài khó Các bài toán về phân số nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập như sách giáo khoa thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất phức tạp, đa dạng và không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhau một cách linh hoạt, sáng tạo Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế nên học sinh thường bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp thích hợp để giải

Là một giáo viên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) Toán 6, để giúp học sinh giải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về phần phân số, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, góp phần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài” Tôi xin trình bày sáng kiến kinh

nghiệm “Phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp 6 ở trường THCS” Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học

sinh phương pháp nhận dạng các bài toán về phân số và hướng dẫn phương pháp

để có lời giải hợp lý

1.2 Điểm mới của đề tài.

Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, các phương pháp dạy học phổ biến nhằm hình thành cho các em tư duy khoa học hơn

Nội dung của đề tài được chia ra và hướng dẫn cụ thể từng phần, học sinh dễ dàng tiếp cận gây nên sự hứng thú trong học tập cho học sinh, kích thích cho các

em sự ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán Tạo một nền tảng vững chắc cho các em tiếp cận kiến thức về tính toán sau này

Thông qua mỗi dạng bài tập, giáo viên đưa ra bài giải chi tiết từ đó đưa ra các phương pháp giải cụ thể giúp học sinh nắm chắc kiến thức để làm các bài tập vận dụng

1.3 Phạm vi áp dụng đề tài.

Nghiên cứu trong phạm vi các em đội tuyển học sinh giỏi hai năm học liền kề: 2013-2014 và 2014-2015 của trường nơi tôi đang công tác

2 PHÇN NéI DUNG

2.1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong năm học 2013-2014, sau khi đội tuyển HSG của trường tham gia kì thi HSG lớp 6 môn Toán cấp huyện Lệ Thủy, tôi đã thống kê về kết quả chất lượng làm bài của các học sinh (HS) phần phân số như sau:

Câu 2 phần

phân số

Số HS không làm được

Số HS làm được

từ 0,5 ->1 điểm

Số HS làm được

từ 1 ->1,5 điểm

(1,5 điểm) SL % SL % SL %

Kêt quả chung xếp thứ: 13/28 ( trong đó có một giải ba, 2 giải khuyến khích)

Qua bảng trên cho thấy, học sinh làm bài tập phần phân số đạt kết quả chưa cao, phương pháp bồi dưỡng của giáo viên về phần phân số này chưa được tốt nên ảnh hưởng đến chất lượng của đội tuyển HSG Chính vì vậy bản thân tôi còn nhiều trăn trở, suy nghĩ muốn tìm ra những phương pháp dạy học mới về chuyên đề này

để rèn kĩ năng cho học sinh nhằm góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ở trường THCS

2.2 Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Để thực hiện tốt các giải pháp thì hai yếu tố hầu như quyết định đó là giáo viên và học sinh Chính vì vậy giáo viên và học sinh cần phải thực hiện tốt các nội dung sau:

2.2.1 Đối với giáo viên:

- Để giúp giáo viên giảng dạy được thành công trong phương pháp trên, vai trò của người học là không nhỏ Vì vậy giáo viên cần phải kích thích cho các em sự ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán nói chung, đặc biệt là phần phân

số nói riêng, nhằm đem lại hiệu quả cao

- Phải nắm thật vững phương pháp giải và từng em học sinh để chuẩn bị bài giảng tốt

- Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt, chọn kiến thức, kĩ năng cơ bản nào hay ứng dụng nhất để giảng tốt, luyện tốt

- Phải hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức đến đâu, luyện chắc đến đấy Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài tập

- Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ tại sao, làm thế nào? Tại sao nghĩ như thế thì mới đạt kết quả

2.2.2 Đối với học sinh:

- Các em phải luôn đóng vai trò chủ động trong việc tiếp thu kiến thức, chỗ nào còn khó khăn vướng mắc học sinh cần mạnh dạn đặt câu hỏi ngay cho giáo viên bồi dưỡng

- Học sinh phải nắm thật chắc những kiến thức trong sách giáo khoa và các kiến thức liên quan , để từ đó mới vận dụng tốt các phương pháp làm bài tập nâng cao

- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu qua sách tham khảo, qua báo Toán học

và Tuổi thơ ….hoặc tìm các bài tập có liên quan thông qua mạng Internet vì nội dung các bài tập trên mạng hiện nay rất nhiều

2.2.2.1 Các kiến thức cơ bản và liên quan

1 Phân số:

* Dạng của phân số b a với a, b Z, b  0

a: là tử

b: là mẫu của phân số

* a = 1a với a  Z

2 Phân số bằng nhau:

b

a

= d c nếu ad = bc với b  0, d  0

3 Tính chất cơ bản của phân số.

- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được phân số bằng phân số đã cho

b

a

=

m b

m a

.

.

với m  z, m  0, b  0

- Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng ta thì ta được một phân số bằng phân số đã cho

b

a

=

n b

n a

:

:

với n  ƯC (a, b), b  0

* Chú ý:

- Mỗi phân số thì có vô số phân số bằng nó

- Mọi phân số đều có thể viết dưới dạng phân số mà mẫu số là số dương

4 Rút gọn phân số.

- Rút gọn một phân số là tìm một phân số đơn giản hơn nhưng vẫn bằng phân số đã cho

- Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng

- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa (tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1)

* Muốn tìm phân số tối giản, ta chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng

5 Quy đồng mẫu nhiều phân số.

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu

chung

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng

mẫu)

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Chú ý:

- Nếu trong các phân số đã cho có những phân số chưa tối giản thì nên rút gọn các phân số đó trước khi quy đồng

- Nếu các mẫu của các phân số là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung

là tích của các mẫu và thừa số phụ của mẫu là tích của các mẫu của các phân số còn lại

6 So sánh phân số

- Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

* Nhận xét:

- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0

- Phân số lớn hơn 0 gọi là phân số dương

- Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0

- Phân số nhỏ hơn 0 gọi là phân số âm

7 Phép cộng phân số

- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu

m

b a m

b m





- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân

số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

8 Phép trừ phân số

- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ



















d

c b

a d

c b a

- Phép trừ phân số là phép toán ngược của phép cộng phân số

9 Phép nhân phân số

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau

b a d c b a..d c

2.2.2.2 Một số phương pháp giải bài tập phân số

Dạng1: Tìm điều kiện để phân số tồn tại, điều kiện để phân số có giá trị là

số nguyên

Bài tập1: Cho biểu thức 31





n

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số

b) Tìm phân số A biết : n = 0; n = 10 ; n = -3

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để A là số nguyên

Giải:

a) Biểu thức A có 3 Z, n  Z nên n+1  Z

Để A là phân số cần có điều kiện n+1 ≠ 0 hay n ≠-1

b) Với n = 0 thì 3

1

3





A

Với n = 10 thì 103 1113





A

Với n= -3 thì 33 1 32











A

c) Để A là số nguyên ta phải có n+1 là ước của 3

Ư(3) =  3  ; 1 ; 1 ; 3  Ta có bảng sau:

Vậy n  4  ; 2 ; 0 ; 2 

Bài tập 2: Cho phân số n Z

n

n



 3 5

10

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên

(Câu a: Đề kiểm tra chất lượng HSG môn Toán 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm

học 2013- 2014)

Giải:

Ta có:

3 5

6 2 3

5

6 ) 3 5 ( 2 3

5

6 ) 6 10 ( 3 5

10



























n n

n n

n n

n B

Để B là số nguyên thì phải có 5 6 3



n là số nguyên, tức là 5n-3 phải là ước của 6 Ư(6) =  6; 3; 2; 1; 1; 2;3;6     , ta có bảng sau:

5n-3 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6

Vì n  Z nên n  0 ; 1 ; 

Vậy n  0 ; 1 ; 

Bài tập 3: Tìm số n  Z để phân số 2 115





n

n

là số nguyên

Giải:

Ta có 2 151





n

n

1

13 ) 1 ( 2









n

n

+ 131



n

Để 2 115





n

n

là số nguyên thì phải có 131



n là số nguyên

Tức là n+1 phải là ước của 13

Ư(13) =  13  ; 1 ; 1 ; 13 , ta có bảng sau:

Vậy n   14  ; 2 ; 0 ; 12 

* Phương pháp giải :

Phân số tồn tại khi tử và mẫu là các số nguyên và mẫu khác không

Phân số có tử là một số nguyên, mẫu có chứa ẩn có giá trị là số nguyên khi mẫu là ước của tử

Phân số có tử và mẫu đều chứa ẩn thì biến đổi thành tổng của một số nguyên với một phân số có tử là một số nguyên và mẫu có chứa ẩn

* Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho phân số n Z

n

n





5

9

2

a) Chứng tỏ rằng phân số A luôn tồn tại

b) Tìm phân số A biết: n = -3 ; n = 0 ; n = 3

) 1 ).(

2 (

3

Z n n n





 a) Viết tập hợp M các số nguyên n để phân số B tồn tại

b) Tìm phân số B biết n = -13; n = 0; n = 13

c) Với giá trị nào của n thì B là số nguyên

Bài 3: Cho phân số ; ; 3

3

1 3









n n C

Tìm n để C có giá trị nguyên.

Bài 4: Cho A= 23





n

n

tìm các giá trị nguyên của n để : a) A là một phân số

b) A là một số nguyên

(Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp 6 phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2010-2011)

Bài 5: Cho phân số B =

3

4



n với n  Z

a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để phân số B tồn tại

b) Tìm phân số B biết: n = 0; n = 10; n = -2

c) Tìm giá trị của n để B là một số nguyên

Dạng 2 : Phân số tối giản

Bài tập 1: Trong các phân số sau đây phân số nào là tối giản

132

15

; 118

7

; 43

18

; 42

30

;

36

5







Giải:

ƯCLN(  5 ; 36 )= ƯCLN (5, 36)=1

ƯCLN(30, 42)=6

ƯCLN ( 18 ;  43 )= ƯCLN(18,43)=1

ƯCLN ( 7 ;  118 )= ƯCLN(7, 118)=1

ƯCLN ( 15 ; 132 )  3

Vậy các phân số tối giản là: .

118

7

; 43

18

; 36

5







Bài tập 2: Tìm phân số tối giản b a biết

a Cộng tử với 4, mẫu với 10 thì giá trị của phân số không đổi

b Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu của phân số thì giá trị của phân số tăng lên 2 lần

Giải:

10

4





















b

a b a b ab a ab hay b

a b a

b Ta có: b a b 2a b

 phân số này giảm đi 2 lần so với phân số b a

mà phân số

b

b a b b

b a

2









tăng gấp 2 lần so với phân số

b a

suy ra a+b = 4a hay b=3a vậy

3

1



b a

Tuy nhiên vẫn có học sinh làm cách khác:

Theo bài ra ta có: b a b b  2 b a





=> (a+b)b = 2b 2a

=> ab + b2 = 4ab

=> b2 = 3ab

=> b= 3a

Vậy 31

b

a

Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì những phân số có dạng

3

14

4

21





n

n

là phân số tối giản

Giải:

Vì n  N,nên 21n +4  N* và 14n+3N*

Do vậy để chứng minh phân số 1421 34





n

n

là phân số tối giản với mọi n N, ta phải chứng minh 21n +4 và 14n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN ( 21n + 4, 14n + 3 ) = d (d N* )









d n

d n



 3 14 3

4 21 2

Hay 







d n

d n



 9 42

8 42

=> 42n + 9 - 42n -8d =>1d

Vậy d =1

Như vậy phân số

3 14

4 21





n

n

là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Bài tập 4 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số

2

13





n

n

là phân số tối giản

Giải:

2

15 1 2

15 2 2

13





















n n n

n n

n

Để phân số

2

13





n

n

là phân số tối giản thì phân số

2

15



n là phân số tối giản Muốn vậy 15 và n - 2 phải là 2 số nguyên tố cùng nhau Vì 15 có 2 ước khác 1, khác 15 là 3 và 5 Từ đó suy ra n - 2 không chia hết cho 3 và 5 tức là:

n - 2  3k và n - 2  5k Hay n  3k +2 và n  5k + 2 (kN, k  0)

* Phương pháp giải:

Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của các giá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số Phân số nào có ƯCLN này là

1 thì đó là phân số tối giản

Để chứng tỏ một phân số là tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử và mẫu của nó bằng 1(trường hợp tử và mẫu là các số nguyên dương, nếu là số nguyên âm thì ta xét số đối của nó ) Ngược lại, nếu muốn chứng minh phân số nào chưa tối giản (hay có thể rút gọn được nữa) ta chứng minh ƯCLN của chúng khác 1

* Bài tập vân dụng:

Bài 1: Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản

385

182

; 125

27

; 112

91

; 30

84

; 25



Bài 2: Tìm phân số tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng tích của tử số và mẫu số

của nó bằng120

Bài 3: Tìm số tự nhiên không lớn hơn 10 để phân số

7

5



n là phân số tối giản

Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, phân số sau là phân số tối giản

1 30

1 15





n

n

Bài 5: Cho phân số ( )

6

19

N n n

n







a Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên

b Tìm giá trị của n để phân số là tối giản

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số

A=

3 4

193 8





n n

a Có giá trị là số tự nhiên

b Là phân số tối giản

c Với 150 < n < 170 thì A rút gọn được

Dạng 3 : Tổng các phân số viết theo quy luật

Bài tập 1: a) Tính ; 41 51

4

1 3

1

; 3

1 2

1





b) Áp dụng tính: A=21.331.4 41.5

Giải:

a) 12 3132.32 21.3

31 41 43.4331.4

14 51 54.54 41.5

b) A =21.331.441.5

10

3 5

1 2 1

5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2 1



















Bài tập 2: Tính tổng 3992

63

2 35

2 15

2











B

Giải:

7

2 21

1 3 1

21

1 19

1

9

1 7

1 7

1 5

1 5

1 3 1

21 19

2

9 7

2 7 5

2 5 3 2



































B

31 29

1 29 27

1 27 25

1











C

Giải:

75 73

1

31 29

1 29 27

1 27 25

1











C

75

1 75

1 25

1 2

1

75 73

2

31 29

2 29 27

2 27 25

2 2

1









































* Phương pháp giải:

Với những bài toán có tử và mẫu được viết theo quy luật: Tử không thay đổi

và đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau Ta dùng công thức: b b m m b bm



1 1 ) ( để viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số, số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau, còn lại số

bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng

Nếu mỗi số hạng có dạng phức tạp hơn như b(bm2)(m b2m) thì ta dùng công thức: b(b m2)(m b 2m) b(b1 m) (bm)(1b2m)







hiệu của hai phân số

* Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tính tổng (5 1)(15 6)

16 11

1 11 6

1 6 1

1













n n

A

Bài 2: Tính tổng: 18.191.20

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1











B