Chứng minh rằng bất kì ñiểm nào trên mặt phẳng tọa ñộ mà nằm dưới ñường thẳng 13 y=ñều có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến với P1 và hai tia tiếp tuyến xuất phát từ ñiểm ñó tới tiếp ñiểm 4 tạo[r]
(1)Nguyễn Văn Xá 142 THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG – BẮC NINH – NĂM HỌC 2008 – 2009 Câu Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn f(x) = f( ), ∀ x > Chứng minh hàm số x π f(tanx) ≤ x < π g(x) = liên tục trên ñoạn [0; ] π f(0) x = Câu Chứng minh với a ≠ hàm số y = x(x – a)2 không phải là hàm ñồng biến Câu Giải phương trình x x 81 ) + (co s3 + ) = cos x a/ (sin + sin x co s3 x 2 b/ sin x = cosx Câu Cho f(x) = x2 + ax + b (a, b ∈ R) Chứng minh ít ba số |f(0)|, |f(-1)|, |f(1)| lớn ½ Câu Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có tất các cạnh a Hãy tính theo a: 1) Góc tạo A’B và B’C 2) Diện tích thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng ñi qua A’B và trọng tâm G tam giác ABC 3) Tỉ số thể tích hai phần khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bị phân chia thiết diện nói trên 143 THI HSG LỚP 11 (2001 – 2002) Bài Có tồn hay không 2001 số dương phân biệt cho tổng các nghịch ñảo bình phương chúng là số chính phương có dạng n2 + n + (n ∈N*) ? Tại sao? Bài n Cho n số dương a1, a2, …, an (n ∈N*) thỏa mãn a1a2…an ≤ 2n – Chứng minh k =1 2n Chứng minh k + (−1) ∑ k =1 k + ak ∑ 1+ a n k ≥1 x ≥ , ∀n ∈N*, ∀ ∈R Bài 1.Giải phương trình nghiệm nguyên x x +1 + x + x + + x x + x − x.4 x + = 42 x +1 + 12.4 x + 2.Giải phương trình lượng giác cos6x – cos4x = 4(1 + cos3x) Bài Cho △OAB có C là trung ñiểm AB, D là trung ñiểm OC, AD cắt OB E, gọi F là ñiểm ñối xứng với E qua C, và G là ñiểm ñối xứng với D qua OB Chứng minh OF + 4.OG cùng phương với OB ðề thi HSG môn Toán Trang 128 Lop10.com (2) Nguyễn Văn Xá 144 THI HSG LỚP 10 (2001 – 2002) Bài Giải phương trình a x3 = + + + x Bài b 2002 x4 − x2 + x − = − x + x2 − x4 x 2002 + 2001 x x y z + + Cho x, y, z > 0, x2 + y2 + z2 ≤ 2xyz Tìm giá trị lớn B = x + yz y + zx z + xy Cho 2x2 + y2 + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ C = x + y Cho x ∈ [2001; 2002], tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A = Bài Cho △ABC nội tiếp ñường tròn (O), có BE vuông góc với AC E, CF vuông góc với AB F Chứng minh ñường thẳng d ñi qua A là tiếp tuyến (O) và d // EF n Bài Cho số nguyên tố p có dạng p = ∑2 k =0 k , n ∈N* Chứng minh 2n.p là số hoàn hảo 145 THI HSG Bài …(?)… hình vuông ACMN Trên nửa mặt phẳng bờ MD không chứa ñiểm N ta dựng tia Mx vuông góc với MD và lấy ñiểm E trên Mx cho ME = MD a Chứng minh bốn ñiểm C, D, M, E thuộc ñường tròn b Tính các góc tứ giác ABCD Bài 2000 Tính S = ∑ k (k + 1) k =1 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tính giá trị biểu thức (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) + b + c + a2 + b2 + c2 Bài Giả sử a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 + 3 + ≤ 3 a + b + b + c + c + a3 + Bài Tìm tất các cặp số (x; y) thỏa mãn x − x3 y + x y − xy (3 y + 2) + y = −1 Tìm 32 nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 = 3485 Cho P(x) = ax2 + bx +c có |P(x)| ≤ 1, ∀x∈{-1; 0; 1} Chứng minh |a| + |b| + |c| ≤ Bài Giả sử A = {1; 2; 3; … ; 2000} Chứng minh tồn cách phân chia A thành tập rời A1, A2, A3, A4 thỏa mãn ñồng thời hai ñiều kiện sau: (i) Số các số thuộc Ak k lần số các số thuộc A1 (k = 2, 3, 4) (ii) Tổng tất các số thuộc Ak k lần tổng tất các số thuộc A1 (k = 2, 3, 4) 1 x −1 Tìm hàm f(x) xác ñịnh trên D = R\{- ; } và thỏa mãn f ( x − 1) − f ( ) = − x , ∀x∈D 2 − 2x Xác ñịnh các số nguyên a, b, c khác và ñôi phân biệt cho P(x) = x(x – a)(x – b)(x – c) +1 có thể phân tích ñược thành tích hai ña thức với hệ số nguyên và bậc chúng nhỏ Bài B=a ðề thi HSG môn Toán Trang 129 Lop10.com (3) Nguyễn Văn Xá Cho △ABC nội tiếp ñường tròn (O; R) và ngoại tiếp ñường tròn (I; r) Chứng minh … (?) … ….(?)… 146 THI HSG LỚP 11 (2000 – 2001) Bài a) Cho hai nửa ñường thẳng chéo Ax, By thỏa mãn Ax ⊥ By, Ax ⊥ AB, By ⊥ AB Trên Ax, By lấy hai ñiểm M, N thỏa mãn AM + BN = AB Có tồn hay không mặt cầu tiếp xúc với Ax M, với By N, ñồng thời tiếp xúc với AB ? Tại sao? b) Cho △ABC, trên các cạnh AB, AC lấy các ñiểm M, N cho MN // BC, gọi P, Q là hình chiếu M, N lên BC, gọi O là giao ñiểm MQ và NP, gọi I, K là trung ñiểm BC và trung ñiểm ñường cao △ABC hạ từ A Chứng minh O, I, K thẳng hàng Bài a Tìm m ñể phương trình x4 -10x3 – 2(m – 10)x2 + 2(5m + 11)x + (m + 1)(m + 3) = có nghiệm thực phân biệt a b c b Cho a, b, c thỏa mãn + + = , m∈R Chứng minh phương trình ax6 + bx3 + c = m +1 m + m + có nghiệm thỏa mãn |x| < Bài 2001 a ðặt N = (1) (2) (3) (4) 2001k Trong các mệnh ñề sau, mệnh ñề nào ñúng, mệnh ñề nào sai, sao? ∑ k =0 2001 chia hết N N là số nguyên tố N là số vô tỉ 2001 20012002 − N= 2000 1516 b Tìm chữ số tận cùng hệ thập phân số 1314 c Các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 2000x + 2001y + 2002z chia hết cho 17 Chứng minh 800x +797y +794z chia hết cho 17 Bài x1 + x2 + + x2001 = −1 x ( x + x + + x ) = −1 2001 Cho hệ ( x1 + x2 )( x3 + x4 + + x2001 ) = −1 Hỏi x1000 có thể nhận giá trị nào? ( x1 + x2 + + x2000 ) x2001 = −1 2001 2k tan xk = 20012 + 3.2001 + (1) k∑=1 Tìm a ñể hệ 2001 tương ñương với phương trình (1) ∑ cos xk ≥ lg | a | (2) k =1 ðề thi HSG môn Toán Trang 130 Lop10.com (4) Nguyễn Văn Xá Bài Tính giới hạn dãy số (un) ñược xác ñịnh u1 = 2u n , un + = , n = 1, 2, 3, … 1+3u n Bài Cho tam diện vuông OABC ñỉnh O Chứng minh ( S ABC ) = ( SOAB ) + ( SOBC ) + ( SOCA )2 147 THI HSG LỚP 11 Bài Chứng minh hàm y = f(x) = x liên tục và có ñạo hàm x = 0, hàm y = g(x) = |x| liên tục không có ñạo hàm x = Hàm y = f(x).g(x) = x|x| có liên tục x = hay không, có ñạo hàm x = hay không? Bài Giải phương trình log x = log3 (2 + x ) 3.x1 = cos(π x ) Giải hệ phương trình 3 3.x2 = cos(π x ) 3.x3 = cos(π x1 ) Bài Cho hàm số liên tục f : [0; 1] → [0; 1], có ñạo hàm trên khoảng (0; 1) và f(0) = 0, f(1) = a Chứng minh phương trình f(x) = – x có nghiệm trên khoảng (0; 1) b Phương trình f ’(x) f ’(a) = (hằng số < a < 1) có nghiệm trên khoảng (0; 1) hay không? a b Bài Cho Ax và By chéo nhau, C ∈ Ax, D ∈ By, + = k (a, b, k là số dương cho trước) AC BD a Chứng minh CD luôn cắt ñoạn thẳng cố ñịnh b.Xác ñịnh C, D cho ABCD có thể tích nhỏ 148 THI HSG LỚP 11 Bài Tính giá trị biểu thức a) A = − cos10 sin100 b) B = tan112030’ 2π 4π 6π c) C = cos + cos + cos 7 Bài 1.Giải biện luận theo tham số m phương trình lượng giác m.cos3x + sinx.sin2x – cosx = 2.Chứng minh với △ABC ta có π AsinA+BsinB+CsinC π (2) ≤ < sinA+sinB+sinC Bài (1) cos A + cos B + cos 2C ≥ n 1) Cho cấp số nhân u1, u2, … , un có các số hạng dương và thỏa mãn ∑ uk = a, k =1 ðề thi HSG môn Toán n ∑ k =1 u = b (a, b > 0) k Trang 131 Lop10.com (5) Nguyễn Văn Xá n Chứng minh ∏ uk = k =1 an bn x2 + x + − x →0 x Bài Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA ⊥ (ABCD) a) Tính khoảng cách hai ñường thẳng SC và BD b) Mặt phẳng ( α ) ñi qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD P, Q, R Tính diện tích tứ giác APQR theo a 2) Tìm giới hạn lim 149 THI HSG LỚP 11 (2003) Câu 1) Giải phương trình sin4x – cos4x = + 4(sinx – cosx) 2) Chứng minh △ABC là tam giác ñều có cos3 A B C 3 A B C + cos3 + cos3 = + (cos + cos + cos ) 3 3 Câu 1) Tìm m ñể phương trình x3 – 3mx2 + (4m2 – 1)x + 3m – 4m2 = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 2) Tìm các giới hạn sau 3x + − x − x + − 2x a lim b lim x →0 x →1 tan( x − 1) − 2x + m Câu Cho phương trình 4|x| - – 2|x| - – = a Giải phương trình m = b Tìm m ñể phương trình có nghiệm Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c, AB’ = AD, B’C’ = AB (B’C’ = AB hay B’C = AB không rõ), AC = AA’ 1.Tính khoảng cách AC và BB’ 2.Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C và có bán kính R Xác ñịnh O và tính R theo a, b, c R 3.Giả sử khoảng cách O và (ABCD) là OI = Tìm mối quan hệ a, b, c 2003 Câu Tìm số dư phép chia (1 + i ∏ i =1 ) cho 2003 150 THI HSG 10A (2001) Câu I Cho f(x) = ax2 + bx + c nhận giá trị nguyên với x nguyên Các hệ số a, b, c có thiết phải là số nguyên hay không? Giải phương trình nghiệm tự nhiên x = y + y + Câu II Giải phương trình x + = − x − x + 14 Câu III Cho a, b, x, y ∈ R thỏa mãn ðề thi HSG môn Toán Trang 132 Lop10.com (6) Nguyễn Văn Xá ax + by = ax + by = 3 ax + by = ax + by = 17 Tính giá trị biểu thức A = ax5 + by5, và tổng quát axα + byβ với α, β ∈ ℤ* Câu IV Cho ñoạn thẳng AB có trung ñiểm O Gọi d1, d2 là các ñường thẳng nằm mặt phẳng, vuông góc với AB A, B Một góc vuông ñỉnh O có cạnh cắt d1 M, còn cạnh cắt d2 N Kẻ OH ⊥ MN H ðường tròn ngoại tiếp △MHB cắt d1 ñiểm thứ hai E khác M MB cắt NA I ðường thẳng HI cắt EB K Chứng minh K luôn thuộc ñường tròn cố ñịnh Câu V Cho 2001 ñồng tiền, ñồng tiền ñược sơn mặt màu ñỏ và mặt màu xanh Xếp 2001 ñồng tiền ñó theo vòng tròn cho tất các ñồng tiền ñều có mặt xanh ngửa lên phía trên Cho phép lần ñổi mặt ñồng thời ñồng tiền liên tiếp Hỏi với cách làm sau hữu hạn lần ta có thể làm cho tất các ñồng tiền ngửa mặt ñỏ lên trên ñược không? Tại sao? 151 THI HSG 11A (2001) Bài Tính giá trị f(x) = x3 + 17x x = 21 31559 21 31559 + + − 6 n Bài Khẳng ñịnh bác bỏ bất ñẳng thức (2 − sin ∏ k =1 xk ) ≥ 2n −1 , ∀ xk ∈ R, k = 1, n , n ∈ N* Bài Tìm giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức 8sin x cos x M= + + , x ∈ R 4 4 4sin x + sin x + cos x cos x + cos x + sin x + sin x + Bài Tìm a ñể phương trình có nghiệm thực phân biệt 4 (2001− x −ax +( a−1) x −ax +( a−1) x−1 ) log 2001 ( x4 + x2 + 1) + (2001− x − x −1 ) log17 ( x5 + ax + (1 − a) x3 + ax + (1 − a) x) = 17 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên dương 1 + + + = , với n ∈ N* cho trước 2 x ( x + 1) ( x + n) 152 THI HSG 11A (2001) Bài Giải phương trình x 2000 a) 2002 = + log2002(1 + (2002 - 1)x) b) x2 + x − + x2 + x + = x2 − x + Bài Chứng minh − + + + + < < , biết trên tử có n dấu căn, mẫu có 27 − + + + n – dấu căn, n ∈ N, n > Bài Dãy số (an) xác ñịnh an = n + ] n[ , với n ∈ N*, ] n[ là số nguyên gần n Tìm số nguyên dương k nhỏ cho các số ak, ak + 1, …, ak + 2000 lập thành dãy 2001 số tự nhiên liên tiếp ðề thi HSG môn Toán Trang 133 Lop10.com (7) Nguyễn Văn Xá Bài Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (O; r) Tìm M thuộc (O; r) cho MA + MB + MC2 + MD2 a) ðạt giá trị lớn nhất; b) ðạt giá trị nhỏ 2 Bài Cho hàm f(x) xác ñịnh và liên tục trên R cho phương trình f(x) = x vô nghiệm Chứng minh phương trình f( f(f(x)) ) = x vô nghiệm, n ∈ N, n ≥ n lần 153 KIỂM TRA ðỘI TUYỂN (2000) ðề Cho hàm số liên tục f : [α; β] → R, có ñạo hàm trên (α; β), f(α) = α, f(β) = β, α < β Chứng minh ∃a, b ∈ (α; β), a ≠ b, cho f /(a).f /(b) = LG: ðặt g(x) = f(x) – (α + β) + x, x∈[α; β] Suy g(x) liên tục trên [α; β], khả vi trên (α; β), và có g(α) = f(α)– (α + β) + α = α - β < 0, g(β) = f(β) – (α + β) + β = β - α > Theo tính chất hàm số liên tục, tồn γ ∈ (α; β) cho g( γ ) = ⇔ f( γ ) = (α + β) - γ Áp dụng ñịnh lí Lagrăng, có: f (γ ) − f (α ) α + β − γ − α β − γ ∃a ∈ (α; γ ) cho f / (a ) = = = ; γ −α γ −α γ −α f ( β ) − f (γ ) β + γ − α − β γ − α ∃b ∈ ( γ ; β) cho f / (b) = = = ; β −γ β −γ β −γ β − γ γ −α ⇒ f /(a).f /(b) = = Và rõ ràng a ≠ b Ta có ñpcm γ −α β − γ ðề Cho hàm số f : R→R thỏa mãn f(x).f(y) = f(x + y), ∀x, y ∈R, ñồng thời khả vi x = Chứng minh f(x) khả vi vô hạn lần trên R 154 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11A (2000) Bài 1 k n 1.Cho dãy ( xk ) k+∞=1 với xk = + + + Tính lim n x1n + x2n + + x2002 n →+∞ 2! 3! (k + 1)! 2.Tìm tất các hàm số f : R→R thỏa mãn ñồng thời hai ñiều kiện sau: x a) f(x) ≥ e , ∀x ∈ R b) f(x + y) ≥ f(x).f(y), ∀(x; y) ∈ R2 Bài (2002 x + 2001) 1.Giải phương trình (2002 x + 2001)(2002 x + 2001) 2002 2.Cho 2002 số xi > (i = 1, 2002 ), ∑x i =1 i = = e2002 Tính giá trị nhỏ biểu thức ðề thi HSG môn Toán Trang 134 Lop10.com (8) Nguyễn Văn Xá 2x 2x 2x 2x e e e 2001 e 2002 A= + + + + ln x2 ln x3 ln x2002 ln x1 Bài 1.Cho △ABC, ñường thẳng di ñộng d song song với BC, luôn cắt các cạnh AB, AC D, E tương ứng Gọi G, H là hình chiếu D, E trên BC Tìm quỹ tích tâm hình chữ nhật DEHG 2.Cho hình chóp S.A1A2…An (n ≥ 3) Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SAi Bi (i = 1, 2, …, n) Biết hai ña giác A1A2…An và B1B2…Bn ñồng dạng với Chứng minh (P) // (A1A2…An) Bài 1.Có tồn hay không 2002 giá trị thực a cho phương trình sau có nghiệm a2 x log a2 x = ( ) + a 1+ a 2.So sánh hai số A = (1 + log 2002 2001) + (1 − log 2002 2001) 2002 và B = 22002 Bài 1.Giải phương trình nghiệm nguyên 2x3 + 5x2 + 8x – (y2 + y)(2x + 1) = -11 2.Chứng minh không tồn mặt cầu nội tiếp hình ña diện có tính chất: Có thể sơn số mặt hình ña diện này cho hai mặt cùng ñược sơn nào không có cạnh chung và tổng số mặt ñược sơn nhiều nửa tổng số các mặt hình ña diện ñấy 2002 155 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11A (2001) Bài x 1.Cho a ∈ (0; 1) Chứng minh phương trình a = logax có nghiệm x x x 2.Cho (a – c)(b – c) > Chứng minh phương trình a + b = c có không quá nghiệm Bài 1.Giải phương trình logsinx(2sinx – 2tanx) = logsinx(4 – 2cos2x + tan2x) x − y + + x + y − = 2x − y −1 2.Giải hệ x2 + y2 ≤ y 3.Chứng minh phương trình x6 + x5 – x2 – x – = có nghiệm phân biệt thỏa mãn < |x| < Bài f(x) 1 x2 +1 Cho hàm số y = ñó xf(x + 1) + 2g(x + 1) ≡ x + 7x + 2, f( ) – xg( )≡ , f(0) = 2, g(x) x x x 1 g(0) = -1, f( ) = , g( ) = - Tìm tâm ñối xứng ñồ thị hàm số ñã cho 3 3 a.u n Cho dãy (un) có u1 = a > 0, un+1= (n ∈N*) Tìm lim un a+u n Bài 1.Cho hình chóp ña giác ñều, ñáy là n – giác ñều nội tiếp ñường tròn bán kính r, mặt bên hợp với mặt ñáy góc α Gọi V, V’ là thể tích khối chóp tương ứng và khối cầu ngoại tiếp khối chóp Tính tỉ số V:V’ Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng ( π ) không ñổi Tìm ñiểm M thuộc ( π ) cho |MA + MB + MC +MD| ñạt giá trị nhỏ Có bao nhiêu ñiểm M thế? Bài Cho parabol (Pm) y = x2 + 2(m +1)x + m a) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (Pm) ñi qua với m ðề thi HSG môn Toán Trang 135 Lop10.com (9) Nguyễn Văn Xá b) Tìm quỹ tích ñỉnh (Pm) c) Với m = 1, vẽ (P1) Chứng minh bất kì ñiểm nào trên mặt phẳng tọa ñộ mà nằm ñường thẳng 13 y=ñều có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến với (P1) và hai tia tiếp tuyến xuất phát từ ñiểm ñó tới tiếp ñiểm tạo với góc nhọn 156 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12A (2001) Câu 1 Giải phương trình log 2 + log x log x.log + log x = x2 y2 − 2x + y2 = Giải hệ phương trình 2 x + y + − x = Câu Cho a2 + b2 + c2 = 2, chứng minh |a + b + c – abc| ≤ a2 b2 c2 a b c Cho a, b, c ≠ Chứng minh + + ≥ + + b c a b c a 1 1 1 Cho a, b, c > Chứng minh + + ≤ ( + + ) 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c Câu Cho hình chóp n – giác ñều, có R, r tương ứng là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp R Chứng minh ≥ + π r cos n Cho tứ diện ABCD, trên cạnh DC lấy ñiểm M cho (MAB) chia nhị dịện tạo (ABC) và (ABD) tứ diện thành hai phần có số ño Số ño góc phẳng nhị diện cạnh AB tứ diện là α cos α 1 Chứng minh = + S ∆ABM S ∆ABC S ∆ABD Câu Cho hàm f(x) liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn hai ñiều kiện: (1) ≤ f(x) ≤ 2, ∀x∈[0; 1] (2) ∫ f ( x)dx = dx ≤∫ < f ( x) Cho hàm f(x) liên tục trên [0; 1] và thỏa mãn hai ñiều kiện: (1) ≤ f(x) ≤ 1, ∀x∈[0; 1] (2) f(x) không ñồng trên [0; 1] 1 c2 c2 ðặt ∫ f ( x)dx = c Chứng minh < ∫ xf ( x)dx < c − 2 Chứng minh ðề thi HSG môn Toán Trang 136 Lop10.com (10) Nguyễn Văn Xá 157 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 THPT– VĨNH PHÚC (2003 - 2004) x3 + y = 3x + Câu (3 ñiểm) Gải hệ phương trình 2 y + z = y + 3z + x = z + Câu (3 ñiểm) a Chứng minh với bất kì số thực p, q ta ñều có p2 + q2 + > p(q + 1) b Tìm số thực b cho p2 + q2 + > bp(q + 1), ∀p, q ∈ R Câu (1 ñiểm) Giải phương trình nghiệm nguyên x3 = y3 + 2y2 +1 Câu (3 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (C) (AC không phải là ñường kính) Tiếp tuyến (C) A và C cắt P thỏa mãn PA2 = PB.PD và P không nằm trên ñường thẳng BD Chứng minh rằng: a Tam giác APD ñồng dạng với tam giác BPC b Giao ñiểm AC và BD là trung ñiểm AC 158 THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10A (2009) Bài Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 -2x + 4y – = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: a A = |2x + y – 7| b B = 2x + y – c C = 4x2 + y2 + 4xy -28x – 14y + 49 Bài a Giải phương trình x − − x − = x − b Cho hai phương trình x2 + bx + c = (1) và x2 – b2x + bc = (2) Phương trình (1) có hai nghiệm thực x1 và x2, phương trình (2) có hai nghiệm thực x3 và x4 thỏa mãn x3 - x1 = x4 - x2 = Xác ñịnh b và c x c Giải phương trình nghiệm nguyên – y3 = Bài Cho bảng ô vuông kích thước 2009×2010, ô lúc ñầu ñặt viên sỏi Gọi T là thao tác lấy ô bất kì có sỏi và chuyển từ ô ñó viên sỏi ñưa sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi) Hỏi sau hữu hạn bước thực thao tác trên ta có thể ñưa hết số sỏi trên bảng cùng ô hay không? Bài Trong mặt phẳng Oxy cho B( - m; 0), C(m; 0) cố ñịnh, m ≠ A là ñiểm thay ñổi trên mặt phẳng thỏa mãn tung ñộ A gấp lần tung ñộ tâm I ñường tròn nội tiếp ∆ABC Tìm quỹ tích ñiểm I ðề thi HSG môn Toán Trang 137 Lop10.com (11)