Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi toán lớp 8

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài “Hiền tài ngun khí quốc gia, ngun khí thịnh nước mạnh mà hưng thịnh, ngun khí yếu nước yếu mà thấp hèn….” Câu nói bất hủ Tiến sĩ triều Lê, Thân Nhân Trung cho thấy từ đời xa xưa hệ ông cha coi trọng nhân tài coi nhân tài tương lai đất nước Hiện nay, đất nước ta bước vào giai đoạn cơng nghiệp hóa, với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam trở thành nước cơng nghiệp, hội nhập quốc tế vai trị nhân tài chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Việc phát hiện, bồi dưỡng nhân tài cho tương lai đất nước ngành Giáo dục quan tâm thực thông qua kỳ thi, có kỳ thi chọn học sinh giỏi Vì song song với nâng cao chất lượng đại trà, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng nhà trường Trong hệ thống môn học đưa vào đào tạo trường THCS, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hồn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt mơn Tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác Vì mơn Tốn môn ngành Giáo dục chọn để tổ chức thi học sinh giỏi cấp Đối với dạng Tốn thi học sinh giỏi cấp THCS “giải phương trình nghiệm nguyên” mảng kiến thức lớn, có nội dung phong phú, đa dạng hấp dẫn Khi tiếp xúc với loại toán học sinh cịn tỏ lúng túng, khó khăn việc định hướng tìm cách giải, cách trình bày, phương trình nghiệm ngun thường khơng có quy tắc giải tổng quát Mỗi toán với điều kiện cho địi hỏi phải có phương pháp giải thích hợp Vì vậy, để giải tốn phương trình nghiệm ngun u cầu người giải phải có kiến thức chắn tư linh hoạt, mềm dẻo Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp nhà trường phân cơng bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, tơi ln trăn trở suy nghĩ tìm tịi, nghiên cứu chun đề nâng cao Trong chun đề “Phương trình nghiệm nguyên” áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp đạt kết kỳ thi năm trước Vì lý trên, năm học mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm để trao đổi với bạn đồng nghiệp đề tài "Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm ngun cho học sinh giỏi tốn lớp 8" 1.2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm mong muốn giúp em học sinh giỏi lớp nắm vững phương pháp giải phương trình nghiệm ngun, cơng thức nghiệm Các em biết vận dụng kiến thức vào giải tập, nắm hệ thống dạng tập Từ giúp em giải thi kì thi học sinh giỏi, ngồi cịn khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên toàn quốc đề thi đại học ta thường xun bắt gặp tốn giải phương trình nghiệm nguyên từ dạng đơn giản đến khó Tuy nhiên, khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung nghiên cứu phương pháp giả phương trình nghiệm nguyên chương trình đại số Từ giúp em đội tuyển học sinh giỏi tốn sử dụng tài liệu cách hiệu 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu đổi phương pháp dạy học, loại sách tham khảo, sách chuẩn kiến thức kỹ - Phương pháp thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm với giáo viên có chun mơn - Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trong q trình giảng dạy, tơi ln tìm hiểu đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào lớp 10 THPT nhiều tỉnh thành nước, đề thi vào trường chuyên để có hệ thống tập Và năm sau giảng dạy phần cho học sinh tơi ln tự rút kinh nghiệm để hồn thiện năm 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong giai đoạn đổi đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh công tác giáo dục, coi yếu tố đầu tiên, yếu tố quan trọng góp phần phát triển kinh tế - xã hội Mục tiêu giáo dục là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài” Bồi dưỡng nhân tài cho đất nước nhiệm vụ nghành giáo dục, xem trọng “hiền tài nguyên khí quốc gia” công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS tổ chức thực nhiều năm qua “ Phương trình nghiệm nguyên” cịn gọi phương trình Diophantus (mang tên nhà toán học cổ đại Hy Lạp vào kỉ thức II) dạng phương trình có nhiều ẩn số với tất hệ số số nguyên mà ta phải tìm nghiệm ngun Nhiều nhà tốn học mong muốn tìm cơng thức giải tổng quát, song nêu cách giải số dạng Cách giải phương trình nghiệm nguyên đa dạng, hấp dẫn đòi hỏi học sinh khả phân tích, đối chiếu, dự đốn phương pháp tư logic để lựa chon nghiệm thích hợp Do tốn phương trình nghiệm ngun thường thấy đề thi chọn học sinh giỏi, thi vào trường chuyên toàn quốc 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Như biết, công tác dạy học việc quan tâm đến chất lượng học sinh đại trà, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng nhà trường, kết kì thi học sinh giỏi đóng phần quan trọng Muốn nâng cao chất lượng chiều sâu cho học sinh giỏi giáo viên phải phân loại chuyên đề dạng tốn cho chun đề Khi dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên Để đánh giá khả em dạng tốn có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tơi đề tốn cho 10 em học sinh đội tuyển trường sau: Bài 1: ( 4đ ) a) Tìm x, y nguyên biết x – y + 2xy = b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x – 7y = Bài 2: (2đ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: + x + x + x3 = 2y Bài 3: (3đ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 + y = (x,y  0) + xy x Bài 4: (3đ) Tìm nghiệm nguyên tố phương trình y2 – 2x2 = Kết thu sau: Tổng số 10 Dưới điểm SL % 50 Điểm - SL % 40 Điểm - SL % 10 Điểm - 10 SL % 0 Từ kết trên, nhận thấy đa số em chưa định hướng cách giải phương trình nghiệm ngun, lời giải thường dài dịng, khơng xác, đơi cịn ngộ nhận 2.3 Các giải pháp: Từ thực trạng nêu trên, tơi nghĩ phải làm để kiến thức truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, nhớ khó quên Từ em có định hướng cách giải, cách lập luận, cách trình bày tốt Năm học 2017 – 2018 áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Năm học tiếp tục lựa chọn giải pháp sau để bồi dưỡng chuyên đề nghiệm nguyên cho em Một là: Phân dạng hướng dẫn học sinh theo dạng toán Hai là: Xây dựng hệ thống tập để rèn luyện kĩ Ba là: Tổ chức cho học sinh trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá 1) Phân dạng hướng dẫn học sinh theo dạng tốn: Trong q trình giảng dạy hướng dẫn học sinh giải tập, tơi phân loại loại tốn, giới thiệu đường lối chung loại, công thức, kiến thức có liên quan loại Đối với chuyên đề giải phương trình nghiệm ngun tơi phân dạng toán sau: - Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên - Dạng : Phương pháp phân tích thành nhân tử sử dụng ước số - Dạng 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ - Dạng 4: Phương pháp đánh giá - Dạng 5: Phương pháp khử ẩn DẠNG 1: Phương pháp tách phần nguyên: Khi hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên việc giúp học sinh hiểu áp dụng kiến thức để giải tập đơn giản giải phương trình với hai ẩn x, y bậc Với giảng dạy, tập đơn giản tăng dần độ khó Ta ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm ngun 12x – 7y =45 Hướng dẫn giải: Vì 12x M3 45M3 nên 7y M3 suy y M3, (7, 3) =1 Giả sử y=3k, với k �Z, ta có 12x – 7.3k =45 � 4x – 7k =15 � x Để x�Z 7k  15 8k  16  k  k 1   2k   4 k 1 �Z , hay k+1= 4n, với n �Z Suy k = 4n -1 Từ đó, ta có : x = 2(4n-1) +4 –n = 2+7n y = 3(4n-1) = -3+12n Vậy phương trình có vơ số nghiệm ngun (x, y) xác định công thức �x   n ( n�Z ) � �y  3  12n Sau nêu ví dụ hướng dẫn cách giải, yêu cầu học sinh nêu dạng tổng quát tìm nghiệm dạng phương trình Các em có nhận xét sau * Nhận xét: Dạng tổng quát phương trình (1) ax+by=c (*) ( a, b, c �Z ) Ta có bước giải sau: Bước 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x tìm nghiệm nguyên Tiếp đến, phương pháp tách phần nguyên ta xét phương trình nghiệm ngun hai ẩn số, có ẩn bậc nhất, ẩn lại bậc hai trở lên Ta tiếp tục với ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên y(x-1) = x2 + (2) ( Đề thi vào 10 chuyên, ĐH KHTN – ĐHQG HN, năm 2000) Hướng dẫn giải: Nhận thấy x= khơng thỏa mãn phương trình Với x �1, phương trình (2) � y  � y x2  x 1 ( x  1)  3  x 1 x 1 x 1 Để y �Z x  1�Ư(3) Ta có bảng sau x-1 -3 -1 x -2 y -2 6 Cũng tương tự ví dụ 1, cho em thấy việc rút ẩn thông qua ẩn quan trong, sau hướng dẫn tơi thấy em tìm cho nhận xét sau: * Nhận xét: Đối với phương trình có ẩn bậc (ẩn y), ẩn lại từ bậc hai trở lên (ẩn x), ta giải cách rút ẩn y theo ẩn x sau thực a phép chia đa thức đưa dạng y  f ( x)  g ( x) (trong f(x) g(x) đa thức với hệ số nguyên, a số nguyên) Ta tìm x cho g(x) ước a DẠNG 2: Phân tích thành nhân tử sử dụng ước số: Đây dạng thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn tốn nước Vì dạy đến dạng giúp em thấy việc phân tích vế phương trình thành nhân tử vơ quan trọng Tơi bắt đầu dạng tốn với ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên 3xy - 5x - 2y = (3) Hướng dẫn giải: Ta có (3) � x(3 y  5)  y  � x (3 y  5)  2.3 y  � x(3 y  5)  2(3 y  5)   10 � (3 x  2)(3 y  5)  19 Suy 3x – ; 3y – ước 19 Ta có bảng sau : 3x-2 3y-5 x y -19 -1 -1 -19 17 19 19 1 14 Vậy phương trình (3) có hai nghiệm ngun (1;8) (7; 2) Sau nêu ví dụ hướng dẫn cách giải, yêu cầu học sinh nêu dạng tổng quát tìm nghiệm dạng phương trình Các em có nhận xét sau * Nhận xét: Dạng tổng quát phương trình (3) axy+by+cy = d (*) ( a, b, c �Z ) (**) Cách giải phương trình (**) x(ay+b) +cy =d � ax(ay+ b) + cay = da � ax(ay+b) + c (ay+ b) = da+cb � (ax+c)(ay+b) = ad+ cb Suy ax+ c; ay+b ước ad+bc Tiếp đến cho học sinh thực ví dụ sau: Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 - 10xy – 11y2 = 13 (4) Hướng dẫn giải: Ta có (4) � x  y  10 xy  10 y  13 � ( x  y )( x  y )  10 y ( x  y )  13 � ( x  y )( x  y  10 y )  13 � ( x  y )( x  11y )  13 Suy x + y, x – 11y ước 13 Ta có bảng sau: x+y - 13 -1 x - 11y -1 -13 X - 12 -2 Y -1 Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm nguyên là: 13 -1 13 12 (-12; -1) ; (-2;1) ; (2;-1) (12; 1) Thơng qua ví dụ tơi cho em rút dạng tổng quát phương trình (4) ax2 + (a + b)xy + by2 = c (*) (trong a, b, c �Z ) Phương trình (*) giải cách: ax2 + (a+b)xy + by2 = c � ax( x  y )  by ( x  y )  c Suy x + y; ax + by ước c…… Tôi lưu ý với em trình giải phương trình nghiệm nguyên ta thường phải sử dụng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng f1 f2….= k f1; f2… đa thức với hệ số nguyên, k số nguyên Sau ta sử dụng tính chất chia hết, ước số để tìm nghiệm phương trình cho Vì q trình giảng dạy tơi định hướng, giúp đỡ em có kĩ để biến đổi linh hoạt Và để học sinh hiểu sau tiếp tục với ví dụ sau: Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = (5) (Đề thi HSG lớp huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018) Hướng dẫn giải: Ta có : 3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = � x  ( x  y  xy  x  y  1)  41 � (2 x)  ( x  y  1)2  41 � (2 x  x  y  1)(2 x  x  y  1)  41 � ( y  x  1)(3 x  y  1)  41 Đặt: a = x – y -1 b = 3x+y+1 Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a b - 41 -1 -1 - 41 41 41 x = (a – b)/4 - 10 10 - 10 10 y = (a + 3b - 4)/4 - 12 - 32 30 10 Vậy cặp số nguyên (x; y) cần tìm : (-10; -12) ; (10; -32) ; ( -10; 30) ; (10;10) Sau đó, tơi tăng mức độ khó dạng tốn hai ví dụ : Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên y2 = x2 + x + (6) (Đề thi chọn GVG , huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018) Hướng dẫn giải: Ta có : y2 = x + x + � y2  4x2  4x  � (2 y )  (2 x  1)  � (2 y  x  1)(2 y  x  1)  Suy ( 2y – 2x -1) ( 2y+ 2x +1) ước 3, có tích Nhận thấy số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: 2y – 2x -1 2y + 2x +1 1 -1 -3 -3 -1 x -1 -1 y 1 -1 -1 Vậy cặp số nguyên (x; y) cần tìm : (-1; 1) ; (0; 1) ; ( -1; -1) ; (0; - 1) Ví dụ 7: Tìm nghiệm ngun phương trình: y  y  62  ( y  2) x  ( y  y  8) x (Đề thi HSG lớp tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018) Hướng dẫn giải y  y  62  ( y  2) x  ( y  y  8) x �  y    y  3  56  ( y  2) x   y    y   x �  y  2 � x   y   x   y  3 � � � 56 �  y    x  xy  x  y  3  56 �  y    x  x  xy  y  3x  3  56 �  x  1  y    x  y  3  56 Nhận thấy x - + y - = x + y – Do cần phân tích 56 thành thành tích số nguyên mà tổng hai số đầu số cịn lại Như ta có trường hợp sau: ) 56  1.7.8 �  x; y    2;9  ) 56  7.1.8 �  x; y    8;3  ) 56   8   7  �  x; y    7;3  ) 56   8   7  �  x; y    2; 6  ) 56   8   1 �  x; y    7;9  ) 56   8   1 �  x; y    8; 6  Vậy cặp số nguyên (x; y) cần tìm : (2; 9) ; (8; 3) ; ( -7; 3) ; (2; - -6); (-7;9); (8;-6) Đối với ví dụ 6, tơi cho học sinh nhận được, để phân tích vế trái thành tích đa thức có hệ số nguyên, ta phải nhân hai vế với hệ số thích hợp Cịn ví dụ 7, vế trái phương trình khơng biến đổi thành tích hai thừa số ví dụ mà thành ba thừa số, đồng thời phải quan sát thấy đặc biệt thừa số DẠNG 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ Như nói trên, giải phương trình nghiệm nguyên chuyên đề phong phú, địi hỏi học sinh phải có khả quan sát, phân tích tổng hợp Đối với nhiều toán ta phải quan sát đến yếu tố đặc biệt ẩn 10 Một yếu tố đặc biệt yếu tố chẵn, lẻ Để học sinh hiểu rõ dạng này, đưa phân tích hai ví dụ sau: Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 – 2y2 = Hướng dẫn giải Ta có : x2 – 2y2 = � x  y  Suy x số lẻ (do 2y2 số chẵn, số lẻ ) Giả sử x = 2k + 1, k �Z (2k  1)  y  � 4k  4k  y  � 2k  2k  y  suy y2 số chẵn, nên y số chẵn Giả sử y=2n, n �Z 2k  2k  4n  � k  k  2n  � k ( k  1)  2n  Vì vế trái số chẵn với số nguyên k, vế trái lại số lẻ với số ngun n, nên khơng có số k, n thỏa mãn Vậy phương trình (7) khơng có nghiệm ngun Ví dụ 9: Tìm nghiệm ngun tố phương trình xy+1 = z Hướng dẫn giải Vì x, y �0 nên z �22   z số nguyên tố lẻ � x y  z  số chẵn suy x số chẵn, nên x = (vì x số nguyên tố) Khi z  y  Nếu y số lẻ z  y  M3 hay zM3 suy z hợp số (loại) Nếu y số chẵn y = z  22   (thỏa mãn) Vậy phương trình (8) có nghiệm nguyên tố nhât (2 ; ; 5) DẠNG 4: Phương pháp đánh giá Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 + + + =1 xy yz xz xyz Hướng dẫn giải Giả sử 1 x  y  z  x2  xy  xz  yz  xyz Suy  �  � ۣ 12 x2 1 1    �2 2 2 xy yz xz xyz x x x x x 12 x  1;2;3 11 Nếu x = � 1    1 y yz z yz � z + + y + = yz � yz – z – y + = 11 � (y- 1) (z - 1) = 11  y = ; z = 12 z =2 ; y = 12 Nếu x = � 1    1 y yz z yz � (2y - 1) (2z - 1) = 23  y = 1; z = 12 y = 12; z = Nếu x =  (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) hốn vị Qua ví dụ tơi nhấn mạnh cho học sinh ta gặp phương trình mà ẩn bình đẳng với Khi ta giả sử ẩn xảy theo trật tự tăng dần giảm dần tiến hành cách giải DẠNG 5: Phương pháp khử ẩn Ở số phương trình, ta sử dụng tính chất lũy thừa bậc số nguyên liên tiếp tích số ngun liên tiếp để đưa phương trình nghiệm ngun cần giải dạng phương trình khác ẩn quen thuộc Từ đó, dễ dàng tìm nghiệm nguyên phương trình cho Khi tơi đưa cho học sinh lưu ý sau: + Nếu x n  y n   x  a  y n  ( x  i) n ( với i = 1, 2, 3, ,a-1) n + Nếu x( x  1)  y ( y  1)   x  a  ( x  a  1) y ( y  1)  ( x  i)( x  i  1) (với i = 1, 2, ,a-1) Và để giúp em hiểu rõ phương pháp này, đưa ví dụ sau: Ví dụ 11: Giải phương trình nghiệm nguyên  x  x  x3  y Hướng dẫn giải � 1� Ta nhận thấy  x  x  �x  �  với x nên � 2� x3   x  x  x3  y3 (1) 12 Ta lại có : � 11 � 19 ( x  2)3  (1  x  x  x ) = x  11x   �x  �  nên � 10 � 29  x  2   x  x  x3  y (2) Kết hợp (1) (2) suy x3  y  ( x  2)3 y   x  1 tức là:  x  x  x   x  1 � x  x  1  suy x = x = -1 Với x = y = -1; với x = -1 y = Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x,y) là: (-1; 0) ; (0; 1) Tiếp đến tơi cho học sinh thực thêm ví dụ sau: Ví dụ 12: Giải phương trình nghiệm ngun  x  x  x  x  y Hướng dẫn giải Ta có: y  x  x3  x  x  Suy y  x  x3  x  x  x  y  ( x  x)  x  x  Ta chứng minh cho a  y  (a  2) Với a  x  x Thật vậy: 11 y  a  x  x   ( x  )2   (1)  a  2 2  y  ( x  x  2)  (1  x  x  x  x )  x  3x   3( x  )   (2) Kết hợp (1) (2) suy ( x  x)  y  ( x  x  2) y   x  x  1 tức là: x  x3  x  x   ( x  x  1)2 � x  x   suy x = x = -2 Với x = y = y = -3; với x = -2 thì y = y = -3 Vậy phương trình có nghiệm ngun (x,y) là: (1; 3); (1; -3); (-2 ;3); (-2 ;-3) 2) Xây dựng hệ thống tập để rèn luyện kĩ 13 Sau học sinh biết phương pháp giải cho dạng tốn, tơi tiếp tục xây dựng hệ thống tập, trước hết phân tập theo dạng thực nhằm mục đích rèn kỹ giải tốn cho em BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LẦN Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) 5x + 7y = 112 b) 6x – 15 y = 25 c) 2x + 5y = d) x2 – (y+2)x + - y = e) x + 3x = x2 y + 2y +5 ( Đề thi HSG lớp huyện Hoằng Hóa, Thanh Hóa, năm học 2015-2016) f) x  xy  2012 x  2013 y  2014  ( Đề thi HSG lớp huyện Cẩm Thủy, Thanh Hóa, năm học 2013-2014) g) 3x  xy  17  x  y ( Đề thi HSG lớp thành phố Bắc Giang năm học 2017-2018) Dạng 2: Phân tích thành nhân tử sử dụng ước số: Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) xy – = 2x +3y b) 5xy +x+2y = c) 2xy  4x  y   ( Đề thi HSG lớp thành phố Quảng Ngãi năm học 2012-2013) d) x  x  1  x    x  8  y ( Đề thi HSG lớp huyện Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc năm học 2011-2012) Bài 2: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình 4( x+ y) = 3xy - Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2 a) x  xy  y  16  ( Đề thi HSG lớp huyện Nho Quan, Ninh Bình, năm học 2014-2015) b) x  y   y  x ( Đề thi HSG lớp trường Trần Mai Ninh, Thanh Hóa năm học 2014-2015) c) x  xy  y  x y 14 ( Đề thi HSG lớp Tam Dương, Vĩnh Phúc năm học ( 2008-2009) Dạng 3: phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ Bài 1: Tìm nghiệm ngun tố phương trình y2 – 2x2 = Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Dạng 4: Phương pháp đánh giá Bài : Tìm x, y, z nguyên phương trình xz xy yz + + y =3 z x Bài 2: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm tự nhiên 1 + y = (x, y  0) + xy x Dạng 5: Phương pháp kh n Bi 1: : Tìm tất nghiệm nguyên phơng trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Bài 2: Tìm số tự nhiên cho x4 + x3 +1 = y2 Bài 3: Tìm phương trình nghiệm nguyên x4 + x2+2 = y2 - y Để giúp em có kỹ thành thạo việc giải phương trình nghiệm nguyên, tiếp tục đưa tập dạng trộn lẫn dạng với Với mục đích để em tự phân dạng, tự tìm cho phương pháp giải phù hợp cho toán, với hình thức giao tập nhà để em có thêm thơng tin, phương pháp giải hay hơn, hấp dẫn BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN LẦN Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) 5x – 7y = b) 6x + 15y + 10 z = c) x – y + 2xy = d) e) (x –1) (y+1) = (x+ y)2 g) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 f) 2x2 + y –2xy + 2y – 6x + = xz xy yz + + y =3 z x h) y + y = x + x3 + x2 + x 15 x2 – 4xy + 5y2 = 169 i) x2 + y2 – x – y = k) l) x2 + 4x – y2 = n) xy – 2x – 3y+1 = Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên a) x  y  z  xy  y  z   ( Đề thi HSG lớp Sơn Dương, Tuyên Quang năm học (2015-2016) b) x3  x  3x   y3 ( Đề thi HSG lớp Việt Yên, Bắc Giang năm học (2012-2013) c) x  y  x  19 ( Đề thi HSG lớp Ý Yên, Nam Định năm học (2017-2018) d) y x  x  y   x  y  xy ( Đề thi HSG lớp Tp Thanh Hóa, Thanh Hóa năm học (2016-2017) Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n2 + 4n + 2013 số phương ( Đề thi HSG lớp TP Bắc Giang năm học (2012-2013) 3) Tổ chức cho học sinh trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá Sau có kĩ cần thiết cho việc giải phương trình nghiệm nguyên, dành thời gian định đến hai buổi học cho học sinh thảo luận kiến thức học Tập hợp ý kiến thắc mắc, băn khoăn, vướng mắc để giải đáp bổ sung củng cố lại giúp em có lượng kiến thức vững vàng Sau đó, tơi u cầu học sinh đội tuyển tự cho đề kiểm tra bám sát với nội dung vừa học (các em sử dụng kênh thơng tin, thay số, biến đổi ) Các em phải vừa thí sinh, vừa giám khảo để vừa làm, vừa chấm chữa cho khai thác toán để phát triển tư phương pháp học thích hợp 2.4 Kết đạt sau thực nghiệm Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy, tiến hành kiểm tra 10 học sinh đội tuyển mơn tốn để kiểm nghiệm trình nhận thức học sinh mảng kiến thức đề tổng hợp thời gian làm 30 phút sau: Bài 1: (6 đ) a) Tìm x, y nguyên biết 2x – 5y + 2xy = b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + xy – 2012x – 2013y -2014 = 16 c) Giải phương trình nghiệm nguyên xz xy yz + + y =3 z x Bài 2: (4 đ) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) x2 - 4xy +5y2 – 16 = b) 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10 Kết thu sau Tổng số Dưới điểm Điểm - SL % SL % 10 10 20 Qua chấm nhận thấy rằng, Điểm - Điểm - 10 SL % SL % 30 40 từ đơn vị kiến thức khơng có sách giáo khoa, tơi giúp học sinh hệ thống dạng tập thường gặp đề thi học sinh giỏi, củng cố phương pháp giải dạng tập Các em thấy điều vô thú vị ẩn sau toán mà em học Đây nội dung tạo hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư linh hoạt cho học sinh Từ thắp sáng niềm say mê học tập học sinh Sau truyền đạt nội dung tới học sinh, học sinh dạy ghi nhớ kiến thức phương pháp giải tốt Mỗi gặp tập dạng em tự tin vận dụng kiến thức mà lĩnh hội KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhận thấy muốn học sinh nắng vững kiến thức thầy giáo, cô giáo phải thực tâm huyết với nghề, phải kiên trì uốn nắn cho học sinh em chưa nắm vững kiến thức Khi củng cố nội dung kiến thức tơi ln tn thủ theo ngun tắc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Hệ thống tập đưa cho học sinh bám sát vào đề thi để tạo sức thuyết phục cho học sinh Kiến thức truyền thụ đến học sinh có hệ thống, dạng phải chốt phương pháp giải 17 Để giúp học sinh có kĩ tư sáng tạo, nhạy bén học tập thực hành đòi hỏi giáo viên phải sử dụng nhiều phương pháp sư phạm, nhiên khơng có phương pháp vạn để đạt kết tốt kì thi mà tổng hợp nhiều phương pháp khác Với cách làm áp dụng cho chuyên đề giải phương trình nghiệm ngun mà cịn áp dụng cho chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khác Với kiên trì, bền bỉ áp dụng kinh nghiệm tìm biện pháp tối ưu nhất, phù hợp trình dạy học giúp học sinh đạt kết cao học tập việc làm thường xuyên giáo viên Trên số kinh nghiệm nhỏ mà đúc rút qua trình giảng dạy từ năm học muốn chia sẻ với đồng nghiệp Tuy nhiên, thời gian có hạn tơi khơng thể trình bày tỉ mỉ, chi tiết, cụ thể; hiểu biết kinh nghiệm chắn khơng tránh sai sót, mong góp ý chân thành đồng nghiệp để thân học hỏi, tiếp tục trau dồi hồn thiện nhằm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 3.2 Kiến nghị Hàng năm, phòng Giáo dục Đào tạo, Sở giáo dục Đào tạo tổ chức lớp chuyên đề đổi phương pháp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cách hiệu thiết thực để giáo viên có dịp trao đổi, học hỏi kinh nghiệm Phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay huyện, tỉnh cho giáo viên để áp dụng vào trình giảng dạy nhà trường Tạo lập nhóm mơn thơng qua trường học kết nối, Facebook để giáo viên học sinh tham gia diễn đàn tốn học huyện Từ em học nhiều kênh khác Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hố, ngày 13 tháng 03 năm 2019 Cam kết khơng copy 18 19 ... chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi toán lớp 8" 1.2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm mong muốn giúp em học sinh giỏi lớp nắm vững phương pháp giải phương trình nghiệm. .. sâu cho học sinh giỏi giáo viên phải phân loại chuyên đề dạng tốn cho chun đề Khi dạy chun đề phương trình nghiệm nguyên Để đánh giá khả em dạng toán có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, ... hợp nhiều phương pháp khác Với cách làm áp dụng cho chuyên đề giải phương trình nghiệm ngun mà cịn áp dụng cho chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khác Với kiên trì, bền bỉ áp dụng kinh nghiệm tìm