Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi toán lớp 8

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 8 và được nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, tôi luôn trăn trở suy nghĩ tìm tòi, nghiên cứu các chuyên đề nâng cao

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

“Hiền tài là nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh thì thế nước mạnh mà hưng thịnh, nguyên khí yếu thì thế nước yếu mà thấp hèn….” Câu nói bất hủ của Tiến sĩ triều Lê, Thân Nhân Trung đã cho thấy từ đời xa xưa các thế hệ ông cha đã rất coi trọng nhân tài và coi những nhân tài là tương lai của đất nước

Hiện nay, đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam cơ bản trở thành nước công nghiệp, hội nhập quốc

tế thì vai trò của nhân tài càng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Việc phát hiện, bồi dưỡng nhân tài cho tương lai của đất nước luôn được ngành Giáo dục quan tâm và thực hiện thông qua các kỳ thi, trong đó có kỳ thi chọn học sinh giỏi Vì vậy song song với nâng cao chất lượng đại trà, thì công tác bồi dưỡng học sinh

giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong mỗi nhà trường

Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn học khác Vì vậy môn Toán là một trong những môn luôn được ngành Giáo dục chọn để tổ chức thi học sinh giỏi các cấp

Đối với các dạng Toán thi học sinh giỏi cấp THCS thì “giải phương trình nghiệm nguyên” là một mảng kiến thức lớn, có nội dung phong phú, đa dạng và hấp dẫn Khi tiếp xúc với loại toán này học sinh vẫn còn tỏ ra lúng túng, khó khăn trong việc định hướng tìm cách giải, cách trình bày, bởi vì phương trình nghiệm nguyên thường không có quy tắc giải tổng quát Mỗi bài toán với những điều kiện đã cho của nó đòi hỏi phải có phương pháp giải thích hợp Vì vậy, để giải các bài toán về phương trình nghiệm nguyên thì yêu cầu người giải phải có kiến thức cơ bản chắc chắn và tư duy linh hoạt, mềm dẻo

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 8 và được nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, tôi luôn trăn trở suy nghĩ tìm tòi, nghiên cứu các chuyên đề nâng cao Trong đó chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” đã được tôi áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 đạt kết quả ở các

kỳ thi của những năm trước

Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài "Kinh nghiệm dạy chuyên đề phương trình nghiệm nguyên cho học sinh giỏi toán lớp 8"

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn giúp các em học sinh giỏi

lớp 8 nắm vững các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, công thức nghiệm Các em biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các dạng bài tập Từ đó giúp các em giải quyết được các bài thi trong các kì thi học sinh giỏi, ngoài ra còn khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trong toàn quốc

và cả đề thi đại học ta thường xuyên bắt gặp các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên từ dạng đơn giản đến các bài khó Tuy nhiên, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các phương pháp giả phương trình nghiệm nguyên trong chương trình đại số 8 Từ đó giúp các em đội tuyển học sinh giỏi toán 8 có thể sử dụng tài liệu này một cách hiệu quả

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học, các loại sách tham khảo, sách chuẩn kiến thức kỹ năng

- Phương pháp thảo luận: Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên có cùng chuyên môn

- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào lớp 10 THPT của nhiều tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trường chuyên để có được hệ thống bài tập Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho học sinh tôi luôn tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong giai đoạn đổi mới của đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn nữa công tác giáo dục, và coi đây là một trong những yếu tố đầu tiên, yếu tố quan trọng góp phần phát triển kinh tế - xã hội Mục tiêu của giáo dục là: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”

Bồi dưỡng nhân tài cho đất nước là một trong những nhiệm vụ của nghành giáo dục, xem trọng “hiền tài là nguyên khí của quốc gia” công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường THCS đã và đang được tổ chức thực hiện trong nhiều năm qua

“ Phương trình nghiệm nguyên” còn được gọi là phương trình Diophantus (mang tên nhà toán học cổ đại Hy Lạp vào thế kỉ thức II) là một dạng phương trình có nhiều ẩn số với tất cả các hệ số đều là số nguyên mà ta phải đi tìm nghiệm nguyên của nó Nhiều nhà toán học đã mong muốn tìm ra công thức giải tổng quát, song cũng chỉ nêu được cách giải một số dạng Cách giải phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng, hấp dẫn và đòi hỏi học sinh khả năng phân tích, đối chiếu, dự đoán và phương pháp tư duy logic để lựa chon nghiệm thích hợp Do vậy các bài toán về phương trình nghiệm nguyên thường thấy trong các

đề thi chọn học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên trên toàn quốc

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Như chúng ta đã biết, trong công tác dạy học ngoài việc quan tâm đến chất lượng học sinh đại trà, thì công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cũng là một nhiệm

vụ quan trọng của mỗi nhà trường, trong đó kết quả của các kì thi học sinh giỏi đóng một phần hết sức quan trọng Muốn nâng cao chất lượng và chiều sâu cho học sinh giỏi thì giáo viên phải phân loại được các chuyên đề và dạng toán cho từng chuyên đề đó

Khi dạy chuyên đề về phương trình nghiệm nguyên Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh trong đội tuyển của trường như sau:

Bài 1: ( 4đ )

a) Tìm x, y nguyên biết x – y + 2xy = 6

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x – 7y = 3

Bài 2: (2đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

1 + x + x2 + x3 = 2y

Bài 3: (3đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

2

1

x + xy

1 + 12

y = 1 (x,y  0)) Bài 4: (3đ) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình

y2 – 2x2 = 3

K t qu thu ết quả thu được như sau: ả thu được như sau: được như sau: c nh sau: ư

Tổng

số Dưới điểm 5 Điểm 5 - 7 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10

Từ kết quả trên, tôi nhận thấy rằng đa số các em chưa định hướng được cách giải phương trình nghiệm nguyên, lời giải thường dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận

2.3 Các giải pháp:

Từ những thực trạng nêu trên, tôi nghĩ rằng mình phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có hệ thống, giúp học sinh

dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên Từ đó các em có được định hướng cách giải, cách lập luận, cũng như cách trình bày tốt nhất Năm học 2017 – 2018 tôi

đã áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả Năm học này tôi tiếp tục lựa chọn các giải pháp sau để bồi dưỡng chuyên đề nghiệm nguyên cho các em Một là: Phân dạng và hướng dẫn học sinh theo từng dạng toán

Hai là: Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kĩ năng

Ba là: Tổ chức cho học sinh được trao đổi, thảo luận, tự nhận xét, đánh giá

1) Phân dạng và hướng dẫn học sinh theo từng dạng toán:

Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn học sinh giải bài tập, tôi đã phân loại từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài Đối với chuyên đề giải phương trình nghiệm nguyên tôi phân ra các dạng toán sau:

- Dạng 1: Phương pháp tách phần nguyên

- Dạng 2 : Phương pháp phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số.

- Dạng 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ

- Dạng 4: Phương pháp đánh giá

- Dạng 5: Phương pháp khử ẩn

DẠNG 1: Phương pháp tách phần nguyên:

Khi hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên thì việc đầu tiên là giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức để giải các bài tập đơn giản nhất

là giải phương trình với hai ẩn x, y đều bậc nhất Với tôi khi giảng dạy, bao giờ cũng bắt đầu từ những bài tập đơn giản và tăng dần độ khó Ta bắt đầu từ một ví

dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 12x – 7y =45

Hướng dẫn giải:

Vì 12x3 và 453 nên 7y3 suy ra y3, vì (7, 3) =1

Giả sử y=3k, với kZ, ta có 12x – 7.3k =45  4x – 7k =15

2 4

Để xZ thì 1

4

k Z



 , hay k+1= 4n, với n Z Suy ra k = 4n -1 Từ đó, ta có :

x = 2(4n-1) +4 –n = 2+7n và y = 3(4n-1) = -3+12n

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên (x, y) xác định bởi công thức

2 7

3 12

 





 

 ( nZ )

Sau khi nêu ví dụ và hướng dẫn cách giải, tôi yêu cầu học sinh nêu được dạng tổng quát và tìm nghiệm của dạng phương trình này Các em có được nhận xét sau

* Nhận xét: Dạng tổng quát của phương trình (1) là ax+by=c (*) ( trong đó a, b,

c Z ) Ta có các bước giải sau:

Bước 1 : Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)

Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3 : Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên

Tiếp đến, vẫn là phương pháp tách phần nguyên ta sẽ xét các phương trình nghiệm nguyên hai ẩn số, nhưng chỉ có một ẩn bậc nhất, ẩn còn lại là bậc hai trở lên Ta tiếp tục với ví dụ sau:

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên

y(x-1) = x2 + 2 (2)

( Đề thi vào 10 chuyên, ĐH KHTN – ĐHQG HN, năm 2000)

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy x= 1 không thỏa mãn phương trình

Với x1, phương trình (2) 

2 2 1

x y x









2

1

x

 

Để y Z thì x  1 Ư(3) Ta có bảng sau(3) Ta có b ng sauả thu được như sau:

Cũng tương tự như ví dụ 1, tôi cho các em thấy rằng việc rút ẩn này thông qua ẩn kia là rất quan trong, sau khi được hướng dẫn tôi thấy các em đã tìm được cho mình nhận xét sau:

* Nhận xét: Đối với phương trình có một ẩn bậc nhất (ẩn y), ẩn còn lại từ bậc

hai trở lên (ẩn x), ta có thể giải bằng cách rút ẩn y theo ẩn x sau đó thực hiện

phép chia đa thức và đưa về dạng ( )

( )

a

y f x

g x

  (trong đó f(x) và g(x) là những

đa thức với hệ số nguyên, a là số nguyên) Ta tìm x sao cho g(x) là ước của a

DẠNG 2: Phân tích thành nhân tử và sử dụng ước số:

Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 8 trong cả nước Vì vậy khi dạy đến dạng này tôi giúp các em thấy rằng việc phân tích một vế của phương trình thành nhân tử là vô cùng quan trọng Tôi cũng bắt đầu dạng toán với ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên

3xy - 5x - 2y = 3 (3)

Hướng dẫn giải:

Ta có (3)  x y(3  5) 2  y 3

 3 (3x y 5) 2.3  y 9

 3 (3x y 5) 2(3 y 5) 9 10 

 (3x 2)(3y 5) 19 

Suy ra 3x – 2 ; 3y – 5 là ước của 19

Ta có b ng sauả thu được như sau: :

3

3

14 3



Vậy phương trình (3) có hai nghiệm nguyên là (1;8) và (7; 2)

Sau khi nêu ví dụ và hướng dẫn cách giải, tôi yêu cầu học sinh nêu được dạng tổng quát và tìm nghiệm của dạng phương trình này Các em có được nhận xét sau

* Nhận xét: Dạng tổng quát của phương trình (3) là axy+by+cy = d (*) ( trong

đó a, b, c Z) (**)

Cách giải phương trình (**)

x(ay+b) +cy =d  ax(ay+ b) + cay = da

 ax(ay+b) + c (ay+ b) = da+cb

 (ax+c)(ay+b) = ad+ cb

Suy ra ax+ c; ay+b là ước của ad+bc

Tiếp đến tôi cho học sinh thực hiện ví dụ sau:

Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên

x2 - 10xy – 11y2 = 13 (4)

Hướng dẫn giải:

Ta có (4)  x2 y2 10xy10y2 13

 (x y x y )(  ) 10 ( y x y ) 13

 (x y x y )(   10 ) 13y 

 (x y x )(  11 ) 13y 

Suy ra x + y, x – 11y là ước của 13

Ta có bảng sau:

Vậy phương trình (4) có bốn nghiệm nguyên là:

(-12; -1) ; (-2;1) ; (2;-1) và (12; 1)

Thông qua ví dụ 4 tôi cho các em rút ra được rằngdạng tổng quát của phương trình (4) là ax2 + (a + b)xy + by2 = c (*) (trong đó a, b, c Z )

Phương trình (*) có thể giải bằng cách:

ax2 + (a+b)xy + by2 = c

 ax( x y  )  by x y (  )  c

Suy ra x + y; ax + by là ước của c……

Tôi lưu ý với các em rằng trong quá trình giải phương trình nghiệm nguyên

ta thường phải sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng f1 f2….= k trong đó f1; f2… là những đa thức với hệ số nguyên, k là số nguyên Sau đó ta sử dụng tính chất chia hết, ước

số để tìm nghiệm của phương trình đã cho

Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã định hướng, giúp đỡ các em có được kĩ năng để biến đổi linh hoạt Và để học sinh hiểu sau hơn tôi tiếp tục với

ví dụ sau:

Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên

3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = 0 (5)

(Đề thi HSG lớp 8 huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018)

Hướng dẫn giải:

Ta có : 3x2 - y2- 2xy – 2x – 2y + 40 = 0

 4x2 (x2y2 2xy 2x 2y 1)  41

 (2 )x 2  (x y 1)2 41

 (2x x y   1)(2x x y  1) 41

 (y x  1)(3x y  1) 41 

Đặt: a = x – y -1 và b = 3x+y+1 Suy ra a và b là các ước của 41, có tích bằng

41 Nhận thấy 41 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:

a - 41 - 1 1 41

y = (a + 3b - 4)/4 - 12 - 32 30 10

Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là : (-10; -12) ; (10; -32) ; ( -10; 30) ; (10;10)

Sau đó, tôi tăng mức độ khó của dạng toán bằng hai ví dụ :

Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên

y2 = x2 + x + 1 (6)

(Đề thi chọn GVG , huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa, năm học 2017-2018)

Hướng dẫn giải:

Ta có : y2 = x2 + x + 1

 4y2 4x2 4x4

 (2 )y 2 (2x1)2 3

 (2y 2x 1)(2y 2x 1) 3 

Suy ra ( 2y – 2x -1) và ( 2y+ 2x +1) là các ước của 3, có tích bằng 3 Nhận thấy

3 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:

Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là : (-1; 1) ; (0; 1) ; ( -1; -1) ; (0; - 1)

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

y  y  y x  y  y x

(Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017-2018)

Hướng dẫn giải

y  y  y x  y  y x

y 2  y 3 56 (y 2)x2 y 2 y 4x

 y 2 x2 xy 4x y 3 56

y 2 x2 x xy y 3x 3 56

x 1 y 2 x y 3 56.

Nhận thấy x - 1 + y - 2 = x + y – 3 Do đó cần phân tích 56 thành thành tích của

3 số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại Như vậy ta có các trường hợp sau:

) 56 1.7.8 ; 2;9

) 56 7.1.8 ; 8;3

x y

x y

       

       

) 56 8 1 7 ; 7;3

) 56 1 8 7 ; 2; 6

x y

x y

) 56 8 7 1 ; 7;9

) 56 7 8 1 ; 8; 6

x y

x y

Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là : (2; 9) ; (8; 3) ; ( -7; 3) ; (2; - -6); (-7;9); (8;-6)

Đối với ví dụ 6, tôi cho học sinh nhận ra được, để phân tích vế trái thành tích của những đa thức có hệ số nguyên, ta phải nhân cả hai vế với một hệ số thích hợp Còn ở ví dụ 7, vế trái của phương trình không chỉ biến đổi thành tích của hai thừa số như các ví dụ trên mà thành ba thừa số, đồng thời phải quan sát

và thấy được sự đặc biệt của các thừa số đó

DẠNG 3: Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ.

Như đã nói ở trên, giải phương trình nghiệm nguyên là một chuyên đề rất phong phú, đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và tổng hợp Đối với nhiều bài toán ta phải quan sát đến những yếu tố đặc biệt của các ẩn Một trong những yếu tố đặc biệt đó là yếu tố chẵn, lẻ Để học sinh hiểu rõ hơn

về dạng này, tôi đưa ra và phân tích hai ví dụ sau:

Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 – 2y2 = 5

Hướng dẫn giải

Ta có : x2 – 2y2 = 5  x2  2y2  5

Suy ra x là số lẻ (do 2y2 là số chẵn, 5 là số lẻ )